CC BY
14
Список литературы:
1. Першин И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. - Пятигорск: Изд-во РИА-КМВ, 2007. - 244 с.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
- М.: Наука, 1972. - 736 с.
3. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределёнными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003.
- 299 с.
4. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и распределенные системы. Модели теплопроводности. - СПб.: Изд-во СПб ГТУ 2003. - 196 с.
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ВХОДНОГО СИГНАЛА В ЗАДАЧЕ АКТИВНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ1
© Чубич В.М.*, Филиппова Е.В/
Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск
Рассматриваются вопросы планирования входных сигналов при построении моделей стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний. Рассмотрен случай вхождения неизвестных параметров в уравнения состояния и наблюдения, начальные условия и ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений в различных комбинациях.
Проблема идентификации относится к одной из основных проблем теории и практики автоматического управления и является обязательным элементом решения крупномасштабных прикладных задач. Качественное решение данной проблемы способствует эффективному практическому использованию современных математических методов и наукоемких технологий при проектировании различных систем управления подвижными (в том числе авиационно-космическими) и технологическими объектами; построении прогнозирующих моделей (например, в экономике и бизнес-процессах); конструировании следящих и измерительных систем. Разработка информационных технологий идентификации сложных динамиче-
1 Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
* Доцент кафедры Прикладной математики, кандидат технических наук, доцент
♦ Магистрант
ских систем стохастической природы является одним из перспективных активно развивающихся научных направлений.
По способу проведения эксперимента, существующие методы идентификации можно разделить на пассивные и активные. При пассивной идентификации для построения математической модели используются реально действующие в системе сигналы и нормальный режим эксплуатации не нарушается. Активная идентификация, напротив, предполагает нарушение технологического режима и подачу на вход изучаемой системы специальным образом синтезированного сигнала. Его находят в результате решения экстремальной задачи для некоторого предварительно выбранного функционала от информационной (или дисперсионной) матрицы вектора оцениваемых параметров. Таким образом, трудности, связанные с необходимостью нарушения технологического режима, окупаются повышением эффективности и корректности проводимых исследований и методы активной идентификации систем предоставляют экспериментатору дополнительные возможности в получении качественной модели по сравнению с методами пассивной идентификации. Эти возможности обусловлены самой идеологией активной идентификации, базирующиеся на сочетании приемов параметрического оценивания с концепцией планирования эксперимента [1].
Более определенно, процедура активной идентификации систем с предварительно выбранной модельной структурой предполагает выполнение следующих этапов:
1. Вычисление оценок параметров по измерительным данным, соответствующим некоторому пробному сигналу.
2. Синтез на основе полученных оценок оптимального по некоторому выбранному критерию сигнала.
3. Пересчет оценок неизвестных параметров по измерительным данным, соответствующим синтезированному сигналу.
Планирование оптимальных входных сигналов относится к наиболее сложному этапу процедуры активной параметрической идентификации и позволяет повысить качество результатов исследования за счет более полного учета специфики динамической системы и оптимизации экспериментальных данных. Применительно к стохастическим линейным системам теоретические и прикладные аспекты задачи синтеза оптимальных входных сигналов обстоятельно рассмотрены в [2-5]. В данной работе приведены результаты последних исследований в рамках указанной проблемы применительно к стохастическим нелинейным непрерывно-дискретным системам.
Рассмотрим следующую модель управляемой, наблюдаемой, идентифицируемой динамической системы в пространстве состояний:
4*(0 = /МО, и(0, г] + г е[/о, ^ ]
ш
у(гк+1)=Н[х(гк+1), гк+1]+у(гк+1), к = о, 1, ..., N -1
где x(t) - и-вектор состояния;
u(t) - детерминированный г-вектор управления (входа), и(Ф) е Д; w(t) - /»-вектор возмущения; У (4 +1) - т-вектор измерения (выхода); у(4 + 1) - т-вектор ошибки измерения.
Предположим, что вектор - функцииЛх(Ф), и(.Ф), Ф] и И[х(Фк + 1), Фк + 1] непрерывны и дифференцируемы по х(Ф), и(Ф) и х(Фк + 1) соответственно; случайные процессы {^(ф), ф е [Ф0, 4г]} и {у(Фк + 1), к = 0, 1, ..., N - 1} являются стационарными белыми гауссовскими шумами, для которых:
Е[м>(Щ = 0, Е^(^Т(т}] = 0^(1 - т) Е[у(4 + 1)] = 0, Е[у(Фк + 1)уТ(Фг + 1)] = ЯЗкг ЕШ + 1^Т(т)] = 0, к, I = 0, 1, ..., N - 1, те [4
(здесь и далее Е[-]- оператор математического ожидания, ¿>(1 - т) - дельта-функция, ¿¿к1 - символ Кронекера); начальное состояние х(Ф0) имеет нормальное распределение с параметрами:
Е[х(Фо)] = х>, Е{[х(Фо) - х0][х(Фо) - Х0]т} = Ро
и не коррелирует с w(t) и у(Фк + 1) при любых значениях переменных Ф и к; неизвестные параметры сведены в 5- вектор ©, включающий в себя элементы вектор - функций/[х(Ф), и(Ф), Ф], И[х(Фк + 1), Фк + 1], матриц О(Ф), 0, Я, Р0 и вектора х0 в различных комбинациях.
В [6] осуществлен вывод приближенного соотношения для информационной матрицы Фишера (ИМФ) в указанной постановке. Решение удалось получить при помощи линеаризации во временной области моделей состояния и наблюдения относительно выбранной определенным образом детерминированной опорной траектории. Приведенные в [6] расчетные соотношения позволили построить алгоритм вычисления ИМФ, представленный в [7]. Также был разработан алгоритм вычисления производных ИМФ по компонентам входного сигнала. Перечисленные научные результаты легли в основу предложенных авторами доклада алгоритмов вычисления градиентов в прямой и двойственной процедурах синтеза (подробно см. [1]) Б- и А-оптимальных входных сигналов.
В рамках системы МАТЬАБ создано программное обеспечение задачи планирования оптимальных входных сигналов для стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем.
Проиллюстрируем возможности предложенной информационной технологии на примере следующей одномерной модели с экспоненциальной нелинейностью:
в2 01 01 X0(t) =-ex(t) + вexP{0,25[u(t) -x(t)]} + вwit), t е[0, 30]
ei в1 в1
y(tk + i) = x(tk + i) + v(tk + i), k = 0, 1, ..., 30
где в], в2 - неизвестные параметры системы, предварительно полученные оценки которых ( = 3,91241, в, = 0,52547. Как и ранее будем считать, что выполнены все выше перечисленные априорные предположения относительно помех динамики, ошибок измерений и начального условия, причем:
E[w(t)w(r)] = Qd(l - т) = 0,6^(1 - т) E[v(tk + ])vT(t1 + ])] = RSki = 0,24
X0(to) = 0, Po = 0,01.
Будем искать D-оптимальный входной сигнал на множестве сигналов, ограниченных по амплитуде, на допустимой области Пи = {U е R30 | 10 < u(t) < 20, t е [0, 30]}. Воспользуемся прямой градиентной процедурой синтеза. Результаты вычислений приведем в табл. 1.
Таблица ]
Синтезированные входные сигналы и значения критерия оптимальности на отдельных итерациях
№ итерации, l
План Ei
detM(E; (в)
3.2679e+002
11
1.2642e+004
0
171
1.5464е+004
270
1.6654е+004
Из представленной таблицы видно, что применение реализованной прямой процедуры синтеза Б-оптимальных входных сигналов позволило построить входной сигнал, информативность которого относительно исходного выше более чем в 50 раз. Имеются основания предполагать, что применение синтезированного входного сигнала должно привести к повышению качества оценивания, поскольку мы значительно уменьшили объем эллипсоида рассеивания оценок неизвестных параметров.
Список литературы:
1. Денисов В.И. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных систем: монография / В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова, Д.И. Бобылева. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. - 192 с. (Серия «Монографии НГТУ»).
2. Денисов В.И. Новое обобщенное выражение для информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических линейных дискретных систем / В.И. Денисов, В.М. Чубич, О. С. Рябых // Науч. вест. НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. -№ 2 (11). - С. 29-42.
3. Денисов В. И. Активная идентификация стохастических линейных дискретных систем во временной области / В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова // Сиб. журн. индустр. матем. - Новосибирск: Изд-во инта математики, 2003. - Т. 6. - № 3 (15). - С. 70-87.
4. Денисов В.И. Особенности вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем / В.И. Денисов, В.М. Чу-бич, Д.И. Бобылева // Науч. вест. НГТУ - Новосибирск: Изд-во НГТУ 2004. - № 2 (17). - С. 45-57.
5. Денисов В.И. Построение оптимальных планов экспериментов в задачах идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем / В.И. Денисов, В.М. Чубич, Д.И. Бобылева // Науч. вест. НГТУ -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. - № 4 (25). - С. 25-43.
6. Чубич В.М. Особенности вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем / В.М. Чубич // Науч. вест. НГТУ - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. - № 1 (34). - С. 41-54.
7. Чубич В.М. Алгоритм вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем / В.М. Чубич // Науч. вест. НГТУ - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. - № 3 (36). - С. 15-22.
КООРДИНАТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ
© Шломан Т.В.*
Омский государственный технический университет, г. Омск
В статье рассмотрены особенности измерений применяемых в коор-динатно-измерительных машинах. Приведены общие математические выражения расчета новых систем координат и некоторых размеров исследуемых деталей.
В современном машиностроении для эффективного контроля производства деталей применяют координатно-измерительные машины (КИМ), позволяющие выполнять измерения контролируемых параметров с необходимой точностью и высокой скоростью. В основе работы данного оборудования лежат множественные измерения координат различных точек.
Особенность координатных измерений заключается в своеобразном использовании наконечника, который касается объекта измерения различными своими точками при различном направлении нормали проверяемой поверхности в точке измерения. Почти при всех измерениях длин в расчетную формулу, кроме координатных отсчетов, приходится вводить не-
* Магистрант кафедры «Системы автоматизированного проектирования машин и технологических процессов»
