CC BY
47
выгодно отличающие блок системы управления яв-= 'M'); }} ляются:
- использование контроллера ADAM - 5510 существенно уменьшает габариты, массу и энергопотребление блока системы управления;
- дружественная, и знакомая среда программирования Borland C++;
- после «прошивки» программы в контроллер, манипулятор может работать автономно от PC в ручном или автоматическом режиме работы;
- разработанную программу целесообразно использовать в процессе обучения.
while (cc! getch ();
Заключение
В результате проделанной работы была спроектирована система интеллектуального уровня управления робототехническим комплексом. Система управления реализована на контроллере ADAM -5510 фирмы Advantech. Важнейшими критериями,
ЛИТЕРАТУРА
1. Проектирование систем автоматизации технологических процессов: Справочное пособие/Под. ред. А.С.Клюева.-М.: Энергоатомиздат, 1990.464 с.
2. Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. М.: Высшая школа, 1986.
3. www.proavtomatika.ru/sensor/sick/ih.htm
4. Синтез системы управления мобильным роботом методом интеллектуальным эволюции. Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю. Надежность и качество сложных систем. 2013. №3. С. 52-59.
5. Трусов В.А. Однопозиционный модуль управления шаговым двигателем / Трусов В.А., Кочегаров И.И., Горячев Н.В., Юрков Н.К. // Теоретические и прикладные аспекты современной науки. 2015. № 7-3. С. 131-133.
6. Трусов В.А. Проектирование одновибратора без перезапуска на программируемой логической интегральной схеме / Трусов В.А., Кочегаров И.И., Горячев Н.В. // Молодой ученый. 2015. № 4 (84). С. 276-278.
7. Абрамов О.В. Проектирование технических систем с элементами настройки // Надежность и качество сложных систем. 2014. № 2(6). С.51-55.
УДК 621.3.078 Ерофеев С.А.
ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет», Санкт-Петербург, Россия
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫМИ ОБЪЕКТАМИ НА БАЗЕ МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА В СРЕДЕ МАПАВ
На практике метод конечных элементов является одним из самых эффективных способов быстрого получения адекватных (достаточно точных) данных по напряженно-деформированному состоянию объекта, возникающему в результате приложения к нему внешнего воздействия. В связи с частой невозможностью или высокой трудоемкостью получения оценочной информации каким-либо иным образом с применением аналитических или иных инженерных методик конечно-элементный подход составляет надежную базу, которая обеспечивает возможность объективной качественной и количественной оценки. В этом ракурсе использование конечно-элементных данных для синтеза оптимального управления является перспективным новым методическим направлением. Для работы в этом направлении необходимы алгоритмический каркас и процедура его реализации, разработке которых и посвящена данная статья.
Рассмотрим основные положения конечно-элементного подхода к расчету напряженно-деформированного состояния твердых тел. Согласно принципу виртуальных работ механическое перемещение и должно удовлетворять условию стационарности функционала Лагранжа [1], который имеет следующий вид:
L(u) = J
1 t д u -T'-E + pU -=
's _ _ r —
2 = =
dt2
dV -J PTudS ,
(1)
L(W) = J
V
где W = [ux,uy,uz]T , a = [TxTyyTzzTzyTzxTxyf ,
1 _t_ ,Тгт„ д2W -a1 e + W1 R——
2 dt2
dV -J PT W dS , (2)
" = [e
E =1 Exx ,Eyy ,Ezz ,2 Ezy ,2 Ezx ,2 Exy J
P = [Px,Py,Pz]T
R = p
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Разобьем объект на ЫЕ конечных элементов, в результате чего образуется конечно-элементная сетка с узлами числом ЫР. Основные неизвестные во всех узлах объединяются в глобальный столбец
Ш = [...,Ы(ХГ>,и(У\П(/\...]Т размерностью ЫЛ = 3 X № ,
где j - номер узла (от 1 до ЫР). Перемещения и потенциалы узлов конечного элемента с номером i Ц = 1...ЫЕ) составляют локальный вектор-столбец
W(l) = ctfW ,
(i)
где матрица «у называется матрицей
инциденции. Основные неизвестные в любой точке (как в узле, так и не в узле) конечного элемен-
та с номером
определяются как
w = NfafW
где - матрица функций формы, которые под-
бираются по геометрии конечного элемента и не зависят от времени [3]. В этой же точке
e=b(i)w(,)=в(1а%
a= T(1)E ,
B(1
где V - объем тела, Б - площадь, Т и Е - тензоры механических напряжений и деформаций [2], •• - символ свертки тензоров, р - плотность материала, Р - механические усилия на поверхности пьезоэлемента ( Р = П-Т , где п - нормаль к поверхности) .
Сопоставляя тензорам и векторам соответственно матрицы и столбцы их компонентов, выражение (1) можно преобразовать в:
- матри-
матрица Подста-
ца производных от функций формы, Т -упругости, состоящая из модулей Юнга.
новка выражений для w, Е и и в (2) приводит к выражению Ь для одного конечного элемента, то
есть Ь(1> . Сложение Ь(1> по i = 1...ЫЕ позволяет получить глобальный функционал Лагранжа для всей конечно-элементной сетки в целом (то есть всего объекта исследования) в следующем виде:
Ь(Ш> = 1ШТкШ + ШТм-, (3) 2 31
и
где
где
Л
жесткости
к = £ (Off J т(,) b(0 V* '=1 Iv(')
NE (
, M = £(af )T J (NffRNf dV(i)
матрица Л
V V
NE
A-)
матрица масс, F = ^(af ))T J (Nf))TP dS(l '■=1 S(i)
Из условия стационарности функционала (3),
SL(W)
то есть
SW
- = 0 , следует ура
внение состояния
деформируемого твердого тела:
KW + M
d2W -
dt2
F .
(4)
Если р интерпретировать как входные воздействия и, а W принять за переменные состояния X; , это уравнение можно считать дифференциальным выражением системы управления. Добавив
дW 5Х;
X2 = - ,
2 dt
получим соотношения
dt
- = X,
свести
С помощью объединения
X =
можно составить матричное представле-
ние системы управления в традиционной форме Коши:
— = AX + BU , dt
где X =
1! , Л =
0 I
-М~1К 0
(I
(5)
единичная
матрица), В = , , и = Б
[м _ 1
Рассмотрим задачу определения оптимального
управления и системы (5), при котором минимизируется функция стоимости:
1 »
ф^и) = -J(Xtx + UT^)dt .
(6)
Такое управление находится из максимума функции Гамильтона [4]:
Н(Х,иД) = ^ХТХ +ити + Хт[АХ + ви] ,
где X - столбец множителей Лагранжа. Условия оптимальности:
аы = 0 аы = ах _аы = зл ди = ' ~дГ~~дГ' ах =аТ '
Из них вытекают такие уравнения, как:
и = _ВтХ , — = АХ + ви , — = -Х _ АтX . (7)
Совмещая второе и третье уравнения (7) и подставляя в них выражение и из первого уравнения, получаем систему:
(8)
где матрица H-
"ах/dt' = H " X"
d//dt
a -BBT" " A -S
-E - AT -E -at
(E
единичная матрица).
Граничными условиями являются соотношения
X(0) = X0 и /(<») = 0 .
Если искать X в виде Х(1) = Р(1)Х(1) , где Р("Ь) - неизвестная матрица, то уравнения системы (8) принимают такой вид:
— = АХ _ $>РХ , дРХ + Р— = -X - АТРХ . 51 51 51
Подстановка выражения для
5X 5t
из первого
соотношения во второе приводит к дифференциальному уравнению Риккати:
5P
57
+ PA - PSP + E + A'P = 0 .
(9)
5X
M-— = -KX, + F . При невырожденной матрице М
5t 1
последнее выражение
dX— = -М -1KX1 + М -1F . 5t 1
Когда Р("Ь) сходится к установившемуся пределу, это уравнение приобретает вид алгебраического уравнения Риккати:
РА _Р8Р + Е + АтР = 0 . (10)
Исследуем эффективность решения уравнений (9) с помощью явных методов Рунге-Кутта, учитывая особенности формирования матриц А и Е, а также возможное наличие большого количества узлов в конечно-элементной модели. Последнее обстоятельство означает, что матрицы А и Е могут иметь высокую размерность. Например, если модель создается на базе 20-узловых трехмерных изопараметрических конечных элементов [5], каждый из которых наделен тремя степенями свободы, матрицы жесткости и масс содержат как минимум 60 строк и 60 столбцов. Для виртуального воссоздания сложных профилей или получения надежных (точных) расчетных данных число конечных элементов увеличивается, что существенно повышает размерность задачи (9). В связи с этим целесообразно переходить от покомпонентных схем Рунге-Кутта к их матричным аналогам. Выполним такой переход для метода Рунге-Кутта 4-го порядка, который для задачи -= У(¿,Р0 , где 1 и
51
j - номер строки и номер столбца в матрице Р, находит решение с заданным шагом Ь по такому
алгоритму: Р1(п+1) = Р^ +1(^1 + 2• ¿2 + 2• ¿3 + ¿4) , где
1 1 6
номер h
итерации, si
si = h - f (t„ ,Pijn)) ,
Jij\ и' 1]
h „(„) s2 2
82 = {*. +2>РГ , 83 = +2,, +
84 = ¿•л-(/„ + а,, + 53) .
Перепишем уравнение (9) в форме: дР
— = Р8Р-РА _ АтР _ Е = Г (Р) , д1
и сопоставим покомпонентной схеме матричный дР
метод решения задачи -= у(Р) :
д1
РО+;) = р(п) +1 + 2 • р2 + 2 • р3 + р4), 6
где n
номер итерации, F1 = h-f (P(n)),
F2 = h-f |Р(П) + F11 , F3 = h-f i Р(и) + F— | ,
F4 = h-f (P(n) + F 3)
В программной реализации данного метода на языке MATLAB функция подсчета f(P) выделена в виде отдельного модуля CalcFR.m. В основной программе MRDE.m выполняется итеративное вычисление P с выходом из цикла либо при ошибке ниже установленного уровня (0.001), либо при превышении предельного числа итераций, задаваемого во избежание зависания.
CalcFR.m
function [F] = CalcFR(S, A, E, P)
F = P * A + transpose(A) * P + E - P * S *
P;
end
MRDE.m
%считывание матриц K и M
n
K = load('K.dat'); M = load('M.dat');
%определение числа строк в матрице K n = size(K,1);
%ввод единичной I и нулевой Z матриц размерности n
I = eye(n); Z = zeros(n); %формирование матриц A и B
A = vertcat(horzcat(Z,I),horzcat(-
inv(M)*K,Z)); B = vertcat(Z,inv(M));
%размерность уравнения Риккати dim, матрицы E и S
dim = size (A, 1); E = eye (dim) ; S = B*transpose(B);
%начальные значения P и ошибки P = zeros(dim); SE(1) = norm(CalcFR(S, A, E, P));
^допустимая ошибка minErr, шаг по времени h minErr = 0.001; h = 0.1; %максимальное число итераций maxIt = 100;
%начальный номер итерации it = 1;
while ((SE(it)>minErr)&(it<maxIt)) it = it + 1;
%расчет следующего приближения к P F1 = h*CalcFR(S, A, E, P); F2 = h*CalcFR(S, A, E, P + F1/2); F3 = h*CalcFR(S, A, E, P + F2/2); F4 = h*CalcFR(S, A, E, P + F3); P = P + (F1 + 2*F2 + 2*F3 + F4)/6; SE(it) = norm(CalcFR(S, A, E, P)); end;
Исследуем эффективность приведенного кода на примере расчета управления конечно-элементным объектом, который состоит из последовательно соединенных n 20-узловых изопараметрических элементов (рис. 1). Каждый узел считаем наделенным тремя степенями свободы (перемещения в трех направлениях декартовой системы координат).
Результаты тестирования
/ — Г ) —о- г / А
/ —£>— у -ft— -< / -в— - У -ft— -А У
Рисунок 1 - Исследуемый конечно-элементный объект
В таблице 1 приведены данные по быстродействию разработанного кода, полученные на процессоре Intel Celeron частотой 2.2 ГГЦ с ОЗУ 2 Гб под управлением Windows XP.
кода MRDE.m. Таблица 1
Рисунок 2 - Время синтеза оптимального управления
Число элементов Число узлов Размерность K и M Размерность P Время расчета P, сек
1 20 60 x 60 120 x 120 2,929936
2 32 96 x 96 192 x 192 10, 4 67 629
3 44 132 x 132 264 x 264 26,467749
4 56 168 x 168 336 x 336 52,614708
5 68 204 x 204 408 x 408 98,437217
6 80 240 x 240 480 x 480 162,432924
7 92 276 x 276 552 x 552 251,138686
8 104 312 x 312 624 x 624 357,065507
9 116 348 x 348 6 9 6 x 6 9 6 501,303477
10 128 384 x 384 768 x 768 677,600257
Результатам, приведенным в таблице 1, соответствует график на рис. 2.
Полученные данные свидетельствуют о высокой производительности разработанного методического комплекса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Партон В. З., Кудрявцев Б. А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988, 472 с.
2. Горшков А. Г., Рабинский Л. Н., Тарлаковский Д. В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. Учебник для вузов. - М.: Наука, 2000, 214 с.
3. О. Зенкевич. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ.- М.: Мир, 1975, 541 с.
4. M. Shafiee, S. Amani. Optimal control for a class of singular systems using neural network. Iranian Journal of Science & Technology, Transaction B, Engineering, Vol. 29, No. B1, 2005, 3348.
5. Горячев Н.В. Исследование и разработка средств и методик анализа и автоматизированного выбора систем охлаждения радиоэлектронной аппаратуры / Горячев Н.В., Танатов М.К., Юрков Н.К. // Надежность и качество сложных систем. 2013. № 3. С. 70-75.
6. Кочегаров И.И. Программный пакет моделирования механических параметров печатных плат / Кочегаров И.И., Таньков Г.В. // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2011. Т. 2. С. 334-337.
7. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. - М.: Мир, 1989, 190 с.
УДК 62-9, 621.3.078 Ерофеев С.А.
ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет», Санкт-Петербург, Россия
РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И УПРАВЛЕНИЕ ИМИ С ПОМОЩЬЮ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ НА БАЗИСНЫХ ПРОБНЫХ ФУНКЦИЯХ В СРЕДЕ MATLAB
Динамический объект, как правило, описывает- ференциальных уравнений состояния. Изоморфизм ся дифференциальным уравнением или набором диф- [1] этих уравнений, то есть их аналогичность
