О плоском движении стержневой системы с кинематическими связями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1; 539.3

О ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С КИНЕМАТИЧЕСКИМИ СВЯЗЯМИ

А.Н. Данилин, Л.Н. Рабинский

Моделируется динамическое поведение движущейся конструкции, составленной из гибких стержневых элементов, которые соединяются через шарниры. Предполагается, что в шарнирах есть связи - жесткие и нежесткие, управляемые и неуправляемые. Математически они считаются дифференциальными в интегрируемой или неинтегрируемой формах. Модель стержневой системы строится на основе метода конечных элементов с использованием вариационного принципа Даламбера-Лагранжа и метода неопределённых множителей Лагранжа. Рассмотрен пример о развёртывании вращающейся многозвенной стержневой системы.

Ключевые слова: стержневая система, нелинейная динамика, конечные перемещения и повороты, гибкость, кинематические связи, конечно-элементная формулировка.

Введение. Проблемы математического моделирования нелинейной динамики составных стержневых конструкций по-прежнему актуальны и привлекают внимание большого числа специалистов в различных научно-технических областях [1 - 7]. Рост числа публикаций и их тематическое разнообразие определяются, прежде всего, многочисленными практическими приложениями, сочетающими конструктивные особенности стержневых систем с условиями их применения.

Известно множество примеров использования стержневых систем в наземных и космических условиях. Снижение погонных массовых характеристик приводит к увеличению гибкости, что необходимо учитывать в динамических моделях. Конструкции становятся чувствительными по отношению к внешним и внутренним возмущениям. Это ставит ряд проблем перед конструкторами и разработчиками систем управления. Трудности усугубляются возможностью изменения конфигурации, а также высокими требованиями к точности управления движением системы в целом и отдельными её элементами.

Динамическое деформирование стержневых конструкций может носить существенно нелинейный характер, сопровождаться большими перемещениями и углами поворотов и конечными деформациями. Это ведет к проблеме создания адекватных математических моделей, опирающихся на нелинейные геометрические соотношения [1, 5 - 7].

Математическая модель. Стержневые элементы могут иметь произвольную форму поперечного сечения, быть в виде тонкостенных или трубчатых стержней. Они могут быть изготовлены из композиционных материалов или иметь многослойную проволочную структуру подобно проводам воздушных ЛЭП. В таких случаях деформации сдвига распределя-

93

ются в поперечном сечении неравномерно, что приводит к его депланации. Гипотеза плоских сечений позволяет приближенно учесть деформацию сдвига на основе модели Тимошенко [8].

Рассмотрим произвольное сечение стержневого элемента. На рис. 1 это сечение обозначено как С, штрихпунктирной линией изображена осевая линия. С сечением свяжем прямоугольную систему координат Осхсус2с, совмещая начало координат Ос (полюс) с точкой сечения, принадлежащей осевой линии. Ось Осхс направим перпендикулярно сечению. Обозначим далее через гс радиус-вектор произвольной точки сечения Р относительно полюса О .

Р

"X

Рис. 1. Взаимная ориентация координатных систем

Введем систему координат Охуг, движущуюся относительно некоторой неподвижной (инерциальной) координатной системы ОХУ2. Через г и г обозначим радиус-векторы полюса Ос в системах Охуг и ОХУ2 соответственно. Пространственное положение подвижного полюса О в системе ОХУ2 будем определять радиус-вектором гО. В этой же системе положение точки Р будем определять радиус-вектором Я. Очевидно, что Я = г + гс, г = гО + г .

Модель стержневой системы будем строить на основе метода конечных элементов, учитывая конечные деформации и нелинейности инерционных сил.

Каждый конечный элемент связывается с местной системой координат Охуг, которая в дальнейшем называется также локальной или элементной. Перемещения, углы поворотов, поступательные и вращательные скорости этой системы, совершающей движение совместно с элементом относительно системы ОХУ2, учитываются строго. Функции формы выбираются в виде квазистатических аппроксимаций локальных перемещений и углов поворотов сечений стержневого элемента в переменных Оху2 .

с

В качестве обобщенных координат задачи (?) (? - время; I - порядковый номер) принимаются абсолютные перемещения и углы поворотов краевых сечений конечных элементов модели.

Уравнения движения системы составляются на основе принципа Даламбера - Лагранжа [5, 9]:

Ъи-ЪЛр-54 = 0, (1)

где 5и - вариация потенциальной энергии системы; 5Лр, 5Лг - вариации

работы внешних и инерционных сил.

Пусть V и £ - объем и площадь поверхность стержневого элемента, р и С - векторы поверхностной и объемной внешней нагрузки, р - массовая плотность материала. Тогда

5Лр = Л р ■ 5Я (£ + С ЪЯ (IV, ЪЛг = -Ц] рЯ ■ 5Я (IV,

£ V V

где Я и ЪЯ - ускорение точки Р и вариация её положения.

Будем считать, что на обобщенные координаты ql(?) системы наложены т связей, линейных относительно скоростей ql (?):

п

Е В qn; 0 + (ql,..., qn; = 1=1,..., т. (2)

7 =1

Если связи голономны и имеют вид /гqn) = 0, то В 7 = д/^дqJ .

Динамика в плоскости. Динамика пространственного движения требует привлечения теории конечных поворотов и весьма громоздка в записи. Поэтому ограничимся далее случаем плоского движения, считая, что упругие оси элементов двигаются в одной плоскости.

Элементная (локальная) система координат вводится так, чтобы ось

Ох проходила через полюсы краевых сечений "0" и "1", как это показано на рис. 2, а.

Осевую линию стержневого элемента будем считать нейтральной. Рассмотрим в плоскости сечения усгс произвольную точку Р, отстоящую

от оси Ос2с на расстоянии ус. Считая угол поворота сечения в системе (Эху малым, приближенно имеем ус » у - V, где и(х) - перемещение осевой точки сечения по оси Оу (рис. 2, б).

Обозначим через уху = уху (х) деформацию сдвига, осредненную по

сечению, например, в энергетическом смысле. Эта величина представляет собой угол отклонения нормали сечения от касательной к осевой линии. Если и - продольное перемещение точки Р (вдоль оси Ох), то уху (х) = ди/ду + дх. Интегрирование этого соотношения по у с учётом

преобразования у = ус + V даёт и(х, у) = иф (х) - ус 0(х), где иф - продоль-

ное перемещение нейтральной линии Oczc, 0 = V'- уху - угол поворота сечения; V = dVdx. Здесь и далее величины со штрихом обозначают производные по локальной координате x.

а

Y/l

О

'0

-X

а

б

Рис. 2. Кинематические и статические факторы в сечениях стержневого элемента

В пределах конечного элемента перемещением иф далее будем пренебрегать. Тогда е х = ды/дх = - ус 0', уху = V' - 0.

Получим выражения для изгибающего момента М, поперечной силы Q и продольной силы И, действующих в сечении стержня.

Напряжения ох и тху связаны с деформациями ех и уху соотношениями упругости ох = Еех = -Еус0', тху = Оуху = О(V - 0); Е и О - модули Юнга и сдвига. Поэтому

М = |ус оxdF = -EJz0, Q = ОЕ5 (V -0) , (3)

F

где Jz = I у]dF - момент инерции сечения; Fs - эквивалентная площадь

J F

поперечного сечения, работающая на сдвиг.

При вычислении продольной силы используется нелинейное выражение для осевой деформации в виде е = и' +1/2 • V2. Тогда

N = | Ее dF = EF (и +1/2 • V2), (4)

F

где F - площадь поперечного сечения.

С учётом (3), (4) потенциальная энергия стержневого элемента длины / записывается в виде

1 1

и=21

N М2

+

+

Q

2 Л

2{ i EF ЕЛ ОF„

dx

(5)

0 V z я у

Минимизация функционала (5) без учета энергии растяжения-сжатия и с учётом граничных условий v(0) = v(l) = 0 и 0(0) = 00, 0(/) = 01 приводит к решению в виде

с

0(x) = 0О j0 (x) + 0j jj (x), v(x) = 0O y0 (x) + 0j yj (x)

где функции формы

Фо(х) = 1 -(1 + 3ж)Х + 3жX2, ф1(х) = (1 -3ж)Х + 3жX2;

у о (х) = I [(1 + ж) X/2 - (1 + 3ж) X 72 + жХ3 ], (6)

у1( х) = I [(-1 + ж) X/2 + (1 - 3ж)Х 72 + жХ3 ];

ж = [1 +12■ EJz|(12 ■ ) ; X = х/1 (0 1). Безразмерный параметр ж характеризует осреднённый сдвиг. Если пренебречь сдвигом (ОЕ5 ® ¥), то ж = 1.

Определим продольную (осевую) деформацию е, считая её величиной постоянной в пределах элемента. Из выражения для е в виде = е -1/2 ■

u

v2 имеем

u(x) = u0 + e x - - [ v 2dx.

1J

(7)

Перемещения краевых сечений u0 = u(0) = 0, uj = u(l) Ф 0. Тогда из (7) после интегрирования по координате x от 0 до l получаем

e = ujl + [(a! - a0 )73 + ж2 (a! + a0 - 2p)V^]/8. (8)

Продольное перемещение uj = l -1, где l = yj(Xj - X0 )2 + (Yj - Y0 )2

- расстояние между полюсами краевых сечений. Угол наклона элементной системы координат b связан с этими координатами соотношениями

sinb = (Yj - Y0)/1, cosb = (Xj -X0)/1 . (9)

Вариация потенциальной энергии деформации. Интегрирование в (5) с учётом выражений (3) и (4) приводит к выражению

U =

j EJ„

2 l

(aj - a0 )2 + 3^(aj + a0 - 2p)2 ]

2 1 j N2l 2 1 +

2 ЕЕ

где продольная сила N = ЕЕ е, а е определяется по (8).

Введем вектор обобщенных координат элемента в виде

0 , ,а0 ,

T T

q = ( Чl,..., Чв) =( Xo, Yo, ao, al, Y )

(j0)

Тогда вариация du = ХгЭи/dqt • dqt = (3U/dq) dq, где вектор-

столбец

3U EJ„

0(-) (-e3 + e4) + 0

(+)

-2^- + e3 + e4 dq

ЛП de + Nl —.

dq

dq l у

Здесь введены обозначения:

0(+) = 0j + 00 = aj + a0 - 2р, 0(-) = 0j - 00 = aj - a0;

г

ek (k = 3,4) - вектор-столбцы, элементы которых суть символы Кронекера:

ek =(51k,d2k,...,56k )т. Вектор-столбцы Эе/Эд, ЭЬ/Эд легко вычисляются

при помощи (8), (9).

Вариация работы инерционных сил. Проекциями векторов r и rO на оси инерциальной координатной системы OXY являются X, Y и X0, Y0. Величины x + u и v представляют собой проекции r на подвижные оси Ox и OOy. Тогда

X = X0 + (x + u)cos b- v sin b, Y = Y0 + (x + u )sin b + v cos b. Обозначим через R1, R2 проекции вектора R = r + rc на оси системы OXY. Тогда компоненты ускорения и вариации координат точки P имеют соответственно вид

R1 = X - wyc, R2 = Y - w2yc; 8R1 = 8X - yc8(b + 0), 8R2 = 8Y.

Тогда вариация работы инерционных сил

84 = -J J pR 8R dFdx = -mJ (X8X + YdY) dx + myC J wdX dx

0 F 0 L 0

l l ] l + Jw2dYdx + JX5(b + 0)dx -IzJCb5(b + e)dx,

+

(11)

где т = ^ рdF - погонная масса стержневого элемента; ус = ^ ру^^ -

локальная координата центра массы сечения; 12 = | рус2dF - массовый момент инерции.

Интегрирование в (11) по х приводит к выражению

84 = -qT {m - & {

"AYAT + BYBT - yc (CZAT + AZTCT)] + IzCFCT }

m

+

AyAt + BYBt - yc ( CZAt + A Zt Ct + CQBt ) + Iz CFCT }8q.

Здесь матрицы A6x5 =(«1,...,a5) и B6x5 =(b1,...,b5) формируются столбца-

ми:

a,

Эе

эь

1 = e1, a2 = cosb--(1 + e)sinb—, a3 =(sinb + bcosb)

Эд

Эд

эь

Эд'

a4 =-e3sinb-«0cosb—, a5 =-e4sinb-«1cosb—;

Эд Эд

b1 = e2, b2 = sin b—+ (1 + e)cos b—, b3 =(-cos b + b sin b)—, Эд Эд Эд

l

l

l

0

0

0

Ь4 = е3 соб/ - а0 Бт/—, Ь5 = е4 СОБ/ - а1 БШ/—;

Эд Эд

„ 1 (э2/

Сбх3 I -ч , ез, е4 I, С

д, 0, 0

Эд' ' / V Эд2

¥ = £ ффТ(х, 2 = £ ффТ(х, Ф = £ ффТ(х, (Э = £ ффТСТдфТ(х,

¡0 ' ' .10 ' 1 .10 .10

где х) = (1, х, у(х), у0(х), у(х))Т, ф(х) = ( ф(х), ф0(х), ф1(х))т - вектор-

столбцы, элементами которых являются функции формы (б).

Вариация работы внешних сил. Обозначим компоненты внешней погонной силы через рх, ру, а внешний погонный момент - через рт. Будем также считать, что в узлах к = 0,1 элемента действуют сосредоточенные силы с компонентами ОХ), Ог ) и моменты ОМ). Введем вектор узловых силовых факторов б* = (0(х°\ 0г\ Ом, Ом, 0?, 0^) ■ Тогда вариация работы внешних сил ЪЛ = 8д, где вектор обобщенных сил

I

б = & +1{[Рх (х) А + Ру (х) В] х) + Рт (х) Сф(х)} (х .

0

Уравнения движения. Пронумеруем конечные элементы от 1 до N и обозначим через ц{к) вектор обобщенных координат (10) к-го элемента. Тогда вариационное уравнение (1) для к-го элемента можно записать в виде

(&(к )Т М(к) - Т(к) )Ъд(к) = 0.

Здесь М(к) = М(/) + М(к) - матрица масс к-го элемента, где М^к) - матрица

присоединённых масс; М(к) - матрица массы собственно стержневого элемента в виде

М(к) = т [АУАТ + ВУБТ - ус (С2АТ + А2ТСт)] +12СФСТ; (12) вектор-столбец

Т(к) = -дТ {т [А¥АТ + ВУБТ - ус (С2АТ + А2ТСТ + С(ЭВТ)] +

+ 1СФСТ }-Эи/ Эд + б (13)

представляет собой сумму нелинейных инерционных сил, нелинейных сил упругости и обобщенных внешних сил. Правые части (12) и (13) зависят от номера элемента, который как индекс для упрощения записи опущен. Для системы элементов, образующих конструкцию, имеем

N , \

£ (д(к)Т М(к) - Т(к) )бд(к) = 0. (14)

к=1

Группировка множителей при одинаковых вариациях обобщенных координат (ассемблирование) позволяет переписать (14) в виде

[ЦтМ - Тт = 0, (15)

где Я = (... Х(1),У(1 \а0'),а1(г)...) - вектор-столбец всех обобщенных координат задачи, где индекс 1 - порядковый номер узла конечно-элементной сетки стержневой системы; ММ - матрица масс системы; Т - суммарный вектор-столбец силовых факторов системы, соответствующих обобщенным координатам.

Будем считать, что стержневые элементы последовательно соединяются посредством шарниров, которые создают упругое сопротивление изменению углов между осями соседних элементов. Рассмотрим сочленение стержневых элементов с номерами к -1 и к. Пусть Ш(к) - угол установки нейтрального положения пружины, а кк)- её жесткость. Потенциальная энергия всех пружин и* = 1/2£"=2К(к) (а0к) -а(к-1) -Ш(к) )2. Тогда вариация

5и* = £ кк) (а0к) - а(к-1) - ш(к) )(5а0к) - 5а(к-1) ) = (ди*/дд)т 5д. (16)

к=2

Аналогичным образом можно учесть силы демпфирования в шарнирных соединениях. В случае вязкого демпфирования вариация их работы

N

5А* =-£п(к)(а0к) -а((к-1))(5а0к) -5а(к-1)) = ^*т5?, (17)

к=2

где вектор-столбец Q* формируется аналогично (ди*/дд)т.

На основании (16), (17) величины и и Q в правой части выражения для Т(к) (13) следует заменить на и* = и + и* и QS = Q - Q*.

Вариации обобщенных координат задачи ql (1 = 1,...,п) не являются свободными, поскольку на них наложены кинематические связи в виде (2).

Уравнения связей (2) запишем в матричной форме:

В<7 = й, (18)

т т

где Б = ^ , ^ = (ql,...,qn) , й = (йх,...,dm) ; п > т .

Тогда синхронное варьирование условий (18) приводит к дополнительным кинематическим связям между вариациями обобщенных координат в виде

Б5? = 0. (19)

Для учёта (19) в уравнениях движения введём неопределённые множители Лагранжа. Считая первые п - т элементов вектор-столбца ¿7 независимыми, представим его в виде

ЯТ = (?Т-т ) , (20)

ГДе ЯТп-ш =( ^ Чп-т ) , ЯТт =( Чп-т^ Чп ) • В с00тветствии с таким

разбиением матрицу Б запишем как

Б = ( Б , Б ), (21)

V п-т ' т } ' V /

где

Б

Д М2 - Д п - т

д

т1 т2

д

Б

1, п-т у

""1, п-т+1 В1, п-

п-т+2

в +, в + 2

у т, п-т+1 т, п-т+2

Д

д.

(22)

представляют собой матричные блоки размерности т х (п - т) и т х т соответственно •

Аналогично разбиению (20) вектор-столбец М& - Т в (15) представим в виде

я&М - Тт = £т =(£тп-т,£тт) • (23)

Преобразуем теперь (15), используя обозначения (20), (21), (23) и добавляя к левой части (15) левую часть (19), умноженную слева на вектор неопределенных множителей Лагранжа 1т = (11,_, 1 т) • В результате вместо (15) имеем

[£Т +1т Я 15? + Г£т +1т »1 5? = 0^ (24)

п-т п-т 1 ~ п-т \_ т т 1 ~ т V /

Множители Лагранжа (элементы 1), определим из условия

т л г ( т \ 1

£т +1 Ят = 0, откуда имеем 1 = -(Ят) £т • Подстановка этого выражения в (24) приводит к равенству £п-т - (ВТт) £т = 0 или

( Ет , 0п-т ) £ + ( 0т , - »Т-т ( » ) £ = Т (М<7 - Т ) = 0,

(25)

где Ет, 0т - единичная и нулевая матрицы размерности т х т; Т - матрица преобразования размерности т х п вида

т=(е ,-ят (я )-1)

т п-т т

Систему (25) необходимо дополнить матричным уравнением связей (18) и интегрировать по времени совместно^

Пример. Представляют практический интерес задачи о раскрытии стержневых систем по предписанным законам управления • В этом случае

а} - а} = Фк (1), где к - номер узла (шарнира), где соединяются элементы с номерами у и ¡; (рк (1) - заданная функция^ Вариация кинематической связи даёт равенство 5кх[1 1 = 8а(к } •

В качестве примера далее рассматривается система из 7 последовательно соединенных шарнирами стержней, которая изменяет свою конфигурацию в результате предписанного изменения углов между соседними стержнями. Вид системы показан на рис. 3, а. Стержень 1, имитирующий некоторое несущее тело, считается абсолютно жестким. Длина жесткого стержня Ь1 = 5 м. Длины гибких стержней в порядке их следования от жесткого стержня Ь2 = 1 м, Ь3 = Ь4 = Ь5 = Ь6 = 2 м, Ь7 = 1 м . Поперечные сечения стержней имеют одни и те же геометрические и жесткостные характеристики: площадь поперечного сечения Е = 10-4 м2; геометрический момент инерции сечения Jz = 8.3333 10-10 м4; жесткость на растяжение-сжатие ЕЕ = 7.2 106 Н, изгибная жесткость EJ = 60 Н • м2; сдвиговая жесткость ОЕ = 2.7692 -106 Н. Здесь Е = 7.2 -1010 Н/м2 - модуль Юнга; О = 2.7692 1010 Н/м2 - модуль сдвига. Считается также, что стержни выполнены из одного материала с массовой плотностью р = 2800 кг/м3.

У, м 5

У, м 0

-5

-10

-5

в

10 X, м -5

10 X, м

Рис. 3. Схема конструкции (а) и её конфигурации в различные моменты времени в интервалах 0 £ г £ 7 с (б),

7 < г £ 16,6 с (в) и 16,6 г £ 30 с (г)

102

0

5

0

5

г

В начальном состоянии (до раскрытия) система имеет Т-образный вид, показанный на рис. 3, б, как начальная конфигурация с номером 1. В этом состоянии гибкие стержни располагаются перпендикулярно жесткому стержню и параллельно глобальной оси ОХ. В начальном состоянии углы раскрытия ф1(0) = р2, ф2(0) = ф3(0) = ф4(0) = ф5(0) = ф6(0) = 0. Гибкая часть стержневой системы соединяется с жестким стержнем через шарнир.

Принимается, что до раскрытия система свободно вращается относительно начала координат ОХУ с постоянной угловой скоростью ю=р/3 рад/с. Началу интегрирования системы соответствует начало раскрытия системы. В процессе раскрытия углы ф^), ф2^), ф3^), ф4^), ф5^), ф6^) изменяются по закону:

при 0 £ t £ 10 ф1 = (1 + t|10) •р/2, ф2 =-ф3 =ф4 =-ф5 =ф6 =- tк/10; при t > 10, ф1 = -ф2 = ф3 = -ф4 = ф5 = -ф6 = р.

Силы гравитации и демпфирование колебаний в расчетах не учитывались. Для упрощения вычислений распределенные массовые характеристики стержня (масса, моменты инерции) и нагрузка приводились к узлам конечно-элементной модели.

Уравнения интегрировались численно с использованием стандартных алгоритмов (метод Рунге - Кутта четвёртого порядка точности). На рис. 3, б, 3, в и 3, с показаны пронумерованные конфигурации конструкции в различные моменты времени с шагом 0.5 с от 0 до 30 с движения.

Заключение. В работе показан способ получения конечно-элементных уравнений движения гибкой стержневой систем со связями на основе вариационного принципа Даламбера - Лагранжа. В этих уравнениях максимально полно учтены слагаемые, учитывающие нелинейный характер упругого деформирования, осреднённых сдвиг, а также нелинейности инерционных сил. Для упрощения записей рассмотрена плоская задача динамики для механической системы, элементы которой представляют собой стержни с сосредоточенными массами, соединенные друг с другом посредством шарниров. Считается, что в шарнирах существуют связи, которые математически записываются в виде дополнительных линейных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат задачи. Такая формулировка позволяет в общей форме описать динамику гибких стержневых систем с учётом изменения её геометрии в результате не только деформирования стержневых элементов, но и изменения углов их соединения в шарнирах по предписанным законам управления.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 1508-06259).

Список литературы

1. Dynamics of a space vehicle with elastic deploying tether / A.N. Dani-lin, T.V. Grishanina, F.N. Shklyarchuk, D.V. Buzlaev // Computers & Structures. 1999. V. 72, No.1-3. P. 141-147.

2. Гуляев В.И., Завражина Т.В. Динамика робота-манипулятора с упругоподатливыми звеньями и приводными механизмами // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 18-30.

3. Steindl A., Troger H. Optimal control of deployment of tethered subsatellite // Nonlinear Dyn. 2003. V. 31. No. 3. P. 257-274.

4. Akour S.N. Dynamics of nonlinear beam on elastic foundation // Proceedings of the World Congress on Engineering. Vol II WCE 2010, June 30-July 2, 2010. London, P. 1427-1433.

5. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Динамика плоского движения тела с системой последовательно соединённых упруговязкими шарнирами гибких нерастяжимых стержней при больших углах поворота // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 2. С. 109-117.

6. Piccardo G., Tubino F., Luongo A. Equivalent nonlinear beam model for the 3D-analysis of shear-type buildings: Application to aeroelastic instability // Int. J. Nonlinear Mech. 2016. V. 80. P. 52-65.

7. Данилин А.Н. Динамика стержневой системы со связями: плоская задача в конечно-элементной формулировке // Вестник ПНИПУ. Механика. 2016. № 4. С. 338-363.

8. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Сер. «Механика твердых деформируемых тел». Т.5. М.: ВИНИТИ, 1973. 272 с.

9. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

Данилин Александр Николаевич, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой, an-danilin@yandex.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт,

Рабинский Лев Наумович, д-р физ.-мат. наук, проф., декан, зав. кафедрой, f9 decamai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт

ON THE PLANE MOTION OF A ROD SYSTEM WITH KINEMATIC CONSTRAINTS

A.N. Danilin, L.N. Rabinsky

In this paper the dynamic of a structure composed offlexible rod elements connected via hinges is modeled. It is assumed that the hinges have constraints - rigid and non-rigid, controlled and uncontrolled. Mathematically, they are considered as differential ones in integrable or non-integrable forms. Mathematical model is formulated on the finite element method using the d'Alembert-Lagrange variational principle and the Lagrangian-multiplier method. An example of deploying rotating multi-link rod system is considered.

Key words: rod system, nonlinear dynamics, finite displacements and rotations, flexibility, kinematic constraints, finite element formulation.

104

Danilin Alexander Nikolaevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of chair, andanilinayandex. ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute,

Rabinsky Lev Naumovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, head of chair, _ f9 decamai. ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute

УДК 625.7.8

ПЕРЕРАБОТАННЫЙ ПЛАСТИК В ДОРОЖНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ

А. В. Лысянников, Е. А.Третьякова, Н. Н. Лысянникова

Рассмотрены существующие конструкции дорожных покрытий, выявлены их основные достоинства и недостатки. Раскрыта проблема утилизации бытовых и промышленных отходов, представлены направления повторного использования пластиковых отходов с целью сохранения окружающей среды, развития ресурсосберегающих технологий в дорожном строительстве, снижения издержек на утилизацию отходов, повышения качества и долговечности дорожного покрытия.

Ключевые слова: дорожное покрытие, переработанный пластик, ресурсосбережение, утилизация мусора, пластиковая плита, переработка мусора, строительство.

По мере развития общества и промышленности все большей проблемой современного мира становится загрязнение окружающей среды. Виды загрязнений достаточно многообразны по своей силе воздействия.

Актуальной проблемой являются переработка отходов и их повторное использование. Решение проблемы позволит создать новые предприятия и улучшить экологическую обстановку. Вторичная переработка отходов для профильных производств значительно экономит расход полимерного сырья и электроэнергии, а также способствует увеличению производимой продукции без дополнительных вложений на закупку сырья. В некоторых странах перерабатывается до 90 % бытовых и промышленных отходов в РФ эти цифры значительно ниже [1, 2].

Рост автомобилизации в РФ стимулирует тенденцию к интенсификации реконструкции дорожной инфраструктуры и благоустройства городов. Такая тенденция в условиях кризисного состояния экономики делает особенно актуальной задачу разработки экономичных дорожных покрытий, обладающих высокими эксплуатационными качествами, показателями современного технического уровня и позволяющих вести круглогодичное строительство. В этом отношении высокие потенциальные возможности имеют дорожные покрытия из сборных элементов [3].

105