Синтез оптимального цифрового регулятора дозирования флокулянта Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 3 (45)

УДК 004.942:544.77.052.22

А. В. ПИСЬМЕНСКИЙ1*

1 Каф. «Системная инженерия», Восточноукраинский национальный университет имени В. Даля, кв. Молодежный, 20 а, 91034, Луганск, Украина, тел. +38 (0642) 41 22 25, e-mail [email protected]

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА ДОЗИРОВАНИЯ ФЛОКУЛЯНТА

Цель. Задачей автоматического управления процессами сгущения шламовых вод и осветления отходов флотации является стабилизация плотности сгущенного продукта в заданном диапазоне и поддержание содержания твердой фазы в сливе не выше допустимого уровня при минимальном расходе флокулянта. В существующих системах автоматического управления дозирование флокулянта осуществляется по содержанию твердой фазы в питании аппарата (принцип разомкнутого управления). Это ведет к его перерасходу и увеличению дисперсии плотности слива. Для минимизации отклонений от задающего воздействия и обеспечения заданного качества переходного процесса необходимо выполнить синтез оптимального цифрового регулятора. Величина перерегулирования не должна превышать 5 %. Выполнить моделирование работы системы для определения качества переходных процессов. Методика. Синтез оптимального цифрового регулятора выполнен на основе метода динамического программирования. Результаты. Математическая модель объекта управления представлена в нормальной форме Коши и далее в виде разностных уравнений. Рассчитан оптимальный период квантования как функция от заданной погрешности регулирования и скорости изменения выходной координаты. Получено дифференциальное уравнение Беллмана и определено условие достижения минимума функционала качества. Функция Беллмана представлена в виде квадратичной формы от переменных состояния системы. Для ограничения возможного управления рассчитаны весовые коэффициенты функционала, исходя из максимально допустимых значений переменных состояния системы и управляющих воздействий во время переходного процесса. Практическая значимость. Моделированием работы САУ дозирования флокулянта установлено, что величина перерегулирования составляет 3,5 %, время переходного процесса 5,6 с, переходный процесс апериодический, регулирование астатическое, что отвечает требованиям, предъявленным к САУ.

Ключевые слова: флокулянт; оптимальный цифровой регулятор; период квантования; динамическое программирование; дифференциальное уравнение Беллмана; алгебраическое уравнение Риккати; нормальная форма Коши

Введение

Задачей автоматического управления процессами сгущения шламовых вод и осветления отходов флотации является стабилизация плотности сгущенного продукта в заданном диапазоне и поддержание содержания твердой фазы в сливе (не выше допустимого уровня) при минимальном расходе флокулянта [12]. Одним из важных требований, предъявляемых к системе управления, является снижение расхода дорогостоящего флокулянта, эффективность действия которого может изменяться в пределах 1520 % [7]. В существующих системах автоматического управления дозирование флокулянта осуществляется по содержанию твердой фазы в питании аппарата (принцип разомкнутого управления), что ведет к его перерасходу и уве-

личению дисперсии плотности слива [1]. Введение обратной связи по плотности слива позволяет поддерживать слив с большей точностью и снизить расход реагента.

Цель

Для минимизации отклонений от задающего воздействия и обеспечения заданного качества переходного процесса выполнить синтез оптимального цифрового регулятора. Величина перерегулирования не должна превышать 5 %. Выполнить моделирование работы системы для определения качества переходных процессов.

Методика

Синтез оптимального цифрового регулятора выполнен на основе метода динамического

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 3 (45)

программирования с квадратичным критерием качества.

Синтез оптимального цифрового регулятора для объекта, описываемого уравнениями (1) выполнен согласно методике, приведенной у В. Г. Шаруды [10], при квадратичном критерии Выполнен синтез оптимального регулятора оптимальности:

Результаты

для систем, описываемых в цифровом виде. Для этого был использован метод динамического программирования.

Пусть объект управления описывается системой разностных уравнений: к

Дхг [и] = Xа1]х] [и] + Ьгы[п] = £ (х[п],и[п]),

1=1

I = 1,2,...,к . (1)

' = 1

X СЛ2["] + с0и 2["]

(2)

где XCiX[n] + С0и2[n] = f0(x[n],u[n]);

i=1

c0,ci - весовые коэффициенты.

dS (x)

1

min<! f, (x[n],u[n]) + X~d—f (x[n],u[n]) + - X

Дифференциальное уравнение Беллмана: 52 S (x)

i=1 дХг

£ (х[п],и[п])£ (х[и],и[п]) г = 0 . (3)

•г, ^

Если принять, что управление и [и] не имеет ограничений, то выражение (3) приобретает минимум в точке, где производная равняется нулю, то есть

_ [] Л dS(x) df (x[n],u[n]) 1 А d2S(x) d[f (x[n],u[n]) f(x[n]u[n]] = 0

2c0u[n] + X~д- du + 2X ~ : =0.

du

2 j dxidx,

du

(4)

г=1 г ------~ г,}=1 —г~"1

Если оптимальное управление принадлежит множеству и или ограничения вообще отсутствуют, то уравнение (3) можно представить как совокупность уравнений в частных производных

к 1 к д2 V(Х)

£ (х[и], и[п])£ (х[и], и[п]) = 0;

г=1 Щ 2 г~1 дхгдх }

к ЯО/л/Л 1 к д2 (

f (x[n],u[n]) + XdS(x) f (x[n],u[n]) +1 X ■ я ~

dxi 2 j dxidx.

du.

f (x[n],u[n]) + X^?^ f (x[n],u[n]) +1X

d2 S (x)

(5)

i=1

2 iJ1 dxi dxJ

где г = 1,2,...,п ; к = 1,2,...,т. Для решения задачи оптимального управления, необходимо решить систему (5) с (т +1) уравнением в частных производных [4].

f (x[n],u[n]) fj (x[n],u[n]) = 0.

d 2 y

t2 d3y+

= Ku

(7)

запишем в форме Коши, приняв x1 = y; Передаточная функция °&ьекта управления x2 = dx/dt; x3 = d2x/dt2 [5].

В нашем случае:

имеет вид: W (p) =

K

_=Рсл (t)) = У

P(T\ P2 + p +1) бфл (t) u

(6)

где рсл ^) - содержание твердой фазы в сливе (выход у); QфJl ^) - расход флокулянта (вход и); р - оператор дифференцирования. Параметры передаточной функции:

• К - коэффициент передачи = 0,35;

• Тх - постоянная времени = 0,4;

• ^ - коэффициент колебаний = 1,625. Уравнение динамики объекта:

dx1 dt

dt

__ K_

~Л2 - Tx3 +T2

(8)

dx3 =1 2S,

~dt = T2 x Tx

u.

Представим математическую модель в виде разностных уравнений [9]. Введем в (8) замену:

йх ~ _Дх^ = хг (п + 1) - хг (п) (9)

n=0

= x3;

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2013, вип. 3 (45)

где А^ = Т 0 - период квантования.

Данная замена свидетельствует о том, что нала качества [8] все переменные х1,...,хп в уравнениях (8) мы будем определять только в дискретные моменты времени х (пТ0) (для компактности будем

записывать х(п) ).

С учетом того, что Ахг. = xi (п +1) - xi (п) (9)

Используем квадратичную форму функцио-[а качества [8]

ад

J = ^с1 Xj2(n) + c2xl(n) + c3x\(n) + c0u2(n). (11)

Весовые коэффициенты с0, с. функционала (11) определяем, исходя из максимально допустимых значений переменных состояния системы

уравнения (8) в виде разностных уравнений бу- и управляющих воздействий во время переход-

дут иметь следующий вид:

xj(n +1) = x2(n); x2(n +1) = x3(n);

X3(n +1) = x2 (n) - ^ x3 (n) + K u (n).

ного процесса [1]:

f 1 V

с =

(10)

x

V i max J

f 1

V umax J

V

T

T2

Таким образом, для нашего случая дифференциальное уравнение Беллмана (3) будет иметь вид:

• I 2 2 2 2 dS(x) , , dS (x) , ч

min < cjxj + c2x2 + c3x3 + c0u +--(x2 - xj) +--(x3 - x2) -

u I dxj Sx2

dS (x)

dx3

-1

K

^ ^2

t2 t Tj2 3 2

V-11 f

d S (x) f ч 2 dS (x) , ,, s +-2— (x2 - x) +--(x2 - x )(x3 - x2) +

dxj V ' dxxdx2 3 2

+ dS(x), - ) dxjdx3 2 1

dS (x)

-1

K

_ x9 x3 _ u x3

T2 2 T T2 3

v-1 1

1 d2 S (x)

2 dx2

' (x3 x2 ) +

dx2 dx3

(x3 x2)

f

-1

2S.

^ x3 I - x3

T2 Tj T2

K

T2

1 d2 S (x)

2 dx32

f-1 V T

2^

K

^ x3 I - u* x3

t2 T T2

=0. (12)

/

Определим условия минимума для выражения (12), т. е. приравняем производную по и к нулю:

2c0u -

dS (x) dS (x) ( - ) dS (x) ( - ) d2 S (x)

Я + Л Я, (x2 x1) + л Я (x3 x2) + -V 2 dx3 dxjdx3 dx2dx3 dx3

f-1 V T

2^

K

^ x3 I - x3

t2 t T2 3

K

Tj2

= 0. (13)

Откуда

u = -

dS(x) dS(x) ( - ) dS (x) ( - ) d2 S(x)

+ (x2 xj )+^n„.(x3 x2) +

dx3 dxjdx3

dx2dx3

dx3

-1

2^

Y

T 2 x2 T x3 x3 VT T J

K

T2

K_ d2 S (x)

T4 dx32

. (14)

2c0

Подставив найденное значение (14) в (12), получаем уравнение для определения оптимального управления, решение которого находят в виде квадратичной формы от переменных состояния системы:

S=££■mkrxkxr.

(15)

k=j r=1

Запишем функцию S при mkr = mrk в квадратичной форме

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 3 (45)

S (x|, x2 , x3 ) — 1 x ^21 x| x2 ^^31 x| x3 ^^12 x| x2 "+ ^^22 x2 "+ ^^32 x2 x3 "+ ^^13 x| x3 "+

I ^23 x2x3 ^33— x] ^^22x2 ^^332(^^12x1 x2 ^^13x1 x3 ^^23x2x3 ). (16) Частные производные функции S имеют

вид:

dS „,

— = 2(mnx1 + m12 x2 + m13 x3);

dx1 dS =

= 2(m12 x1 + m22 x2 + m23 x3z;

d*2

dS „,

-= 2(m13 x1 + m23 x2 + m33 x3);

dx3

dS

d^! x2 dS

= 2m

12

dx1 x3 dS

= 2mv

dx^ x3

= 2m2

d2 S

dx1

d2 S

= 2mn;

dr-

2 = 2m22;

d2 S

dx.

2 = 2m33.

(17)

Подставив частные производные (17) в (3), получим квадратичную форму переменных х 1, х2 ..., хп . Выражение (3) будет тождественно равняться нулю при условии, что все его коэффициенты равны нулю. Поэтому, приравняв нулю совокупность коэффициентов при произведениях хкхг и учтя, что хкхг = хгхк, получим систему из п(п +1) / 2 алгебраических уравнений для определения коэффициентов тгк (алгебраические уравнения Риккати):

для x

[- K2 mu + c1K2 ]m33 + c0T14 с1. - c0T14 mu

c0T14 + K2 m33

= 0;

для x2

[-K2m22 + K2mn + с2K2 + с0 ] m33 - c0T14m22 - 2c0T12m13 + c0T14c2 + c0T14mn - K2m123 -

c0T14 + K2 m33

-2c0T12m13 + C0T1 C2 + с0?14 m11.- K 2 m123 = 0.

c0T14 + K2 m33

для x3

[-K2m33 + с3K2 + 4c0Jj2+ K2m22 - c0T14 ] m33 - K2m^3 - 4c0T13^m23 + c0c3T14 + c0T14

m

22

c0T1 + K m33

= 0:

для x1 x2

-2m12 ((2m33 + c0T14.)

для x1 x3

c0T14 + K2 m3

= 0;

-2m13 (K 2m33 + c0T14.) c0T14 + K2 m33

=0;

для x2 x3 2

m33 (K2m12 - K2m23 + 2c0T1^) - m23 ( (с0Jj2 + c0T14 + K2m13) + c0T14m12 - 2c0Jj3^mr

= 0.

c0T14 + K2 m3

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2013, вип. 3 (45)

Решив данную систему, получим следующие значения для т1к:

ти =1;

т12 =0; ти = 0;

т22 = 0,762;

т23 =-0,196;

т33 =-0,028.

Одной из задач при составлении дискретной модели объекта управления заключается в выборе оптимального периода квантования Т0

[12]. Необоснованное уменьшение периода квантования при управлении процессом приводит к неэффективному использованию машинного времени, что сказывается на быстродействии [11]. Увеличение приводит к снижению точности регулирования в виду неполной информации о процессе.

Выбор допустимого периода дискретизации выполнен по критерию обеспечения требуемой точности управления [6]. Величина неопределенности выходной координаты объекта (Рсл (0 = У({)) в момент пТ0 определяется разностью ):

УС) = У«) - У[пТ0], пТ0 < X < (п + 1)Т).

Область неопределенности ограничивается постоянной величиной в, которая определяет точность регулирования | у(Х) |< в. Для вычисления допустимого периода дискретизации воспользуемся ограничением, согласно которому:

T0 <

Bm

(18)

где в - абсолютная погрешность выходной координаты у (X) (0,01-0,05); Втах - максимальное значение В-характеристики.

При подаче на вход системы гармонического сигнала и (X) = 8т(юХ) на выходе системы получим:

у (X) = А (ю) 8т(ю X + ф),

где А(ю) - амплитудно-частотная характеристика объекта.

Продифференцировав у(X), получим скорость изменения его во времени: )

dt

■ = ra^(ra)cos(rat + ф).

Амплитуда скорости выходного сигнала равна:

dy(t)

dt

= ю4(ю) = В(<ю). (19)

Для объекта управления АФЧХ имеет вид:

K

Дю) = -

<ayl (1 - TjV)2 + (2 ЗДю)2

В соответствии с (19) получим: В(ю) = K

д/(1 -Т>2)2 + (2да2 '

Определим максимальное значение В-ха-

рактеристики, приравняв производную функции В(ю) к нулю:

Bmax = K .

Изменение во времени скорости

dy(t) dt

значение амплитуды скорости В(ю) выходного сигнала (ю = 2, ф = 0), при входном воздействии и(X) = ), показано на рис. 1.

0.1

d

£

в(ю)

, -0.05

-0.1:

2-

Л" /V

' \

- \

■0 > 1 3 4 5/ 6 \ 8 9

\ /

5

Рис. 1. Изменения выходного сигнала при гармоническом воздействии на входе Таким образом, если изменять входную частоту ю , можно построить зависимость максимальных скоростей выходной переменной от ю . В результате на графике (В-характеристике) можно определить верхнюю границу возможных или ожидаемых скоростей на выходе объекта (рис. 2).

и

в

t

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 3 (45)

Допустимое значение периода квантования (при 8 = 0,04) Т0 < 0.114. Согласно расчетам принимаем период квантования Т0 = 0,1 с. 0.4

0.3-

b(q>) Bmax1

0.1-

-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

0123456789 10

Рис. 2. График изменения В-характеристики от частоты

Результат моделирования работы САУ дозирования флокулянта приведен на рис. 3 [3].

Рис. 3. Переходная функция САУ дозированием флокулянта: у(и) - содержание твердой фазы в сливе

Практическая значимость

Выполнен синтез оптимального цифрового регулятора с квадратичным критерием качества, который, в отличие от существующих систем, обеспечивает минимизацию отклонения дозирования флокулянта за счет введения обратной связи. Это позволяет получить требуемое качество переходного процесса с характеристиками: величина перерегулирования составляет с = 3,5 %, время переходного процесса tp = 5,6 с, переходный процесс апериодический, регулирование астатическое.

Выводы

Использование принципов оптимального управления обеспечивает наилучшее качество регулирования при учете всех ограничений. Рассчитанный оптимальный период дискретизации

позволяет добиться требуемой точности регулирования без потери информации о процессе.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Зубов, Д. А. Автоматичне керування техноло-пчними процесами вуглезбагачувально! фабрики : монографiя / Д. А. Зубов. - Луганськ : Вид-во Схщноукр. нац. ун-ту iм. В. Даля, 2003.

- 172 с.

2. Макаров, Е. Г. Инженерные расчеты в Mfthcad / Е. Г. Макаров. - СПб. : Питер, 2010. - 448 с.

3. Олссон, Густав. Цифровые системы автоматизации и управления / Густав Олссон, Джан-гуидо Пиани. - СПб. : Невский диалект, 2001. -557 с.

4. Пелех, Р. Я. Двосторонш обчислювальш схеми розв'язування нелшшних диференщальних рiвнянь з оцшкою головного члена похибки / Р. Я. Пелех, Й. Й. Лучко // Вюник Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна.

- Д., 2011. - Вип. 39. - С. 123-125.

5. Пелех, Я. М. Методи високого порядку точ-носл розв'язування задачi Кошi для нелшшних штегро-диференщальних рiвнянь Вольтера / Я. М. Пелех // Вюник Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - Д., 2011.

- Вип. 39. - С. 126-130.

6. Письменский, А. В. Определение допустимого периода дискретизации для представления параметрической модели радиального сгустителя шламовых вод в пространстве состояний /

A. В. Письменский, В. А. Ульшин // Пр. Луган. вщ-ня М1жнар. Акад. шформатизацп. - 2002. -№ 1 - С. 41-45.

7. Полулях, О. Д. Технолопчш регламента ву-глезбагачувальних фабрик : [довщково-шфор-мацшний поабник] / О. Д. Полулях. - Д. : Нац. прничий ун-т, 2002. - 856 с.

8. Поляков, К. Ю. Основы теории цифровых систем управления / К. Ю. Поляков.- СПб. : Питер, 2006. - 161 с.

9. Романенко, В. Д. Методи автоматизаци про-гресивних технологш / В. Д. Романенко. - К. : Вища шк., 1995. - 519 с.

10. Шаруда, В. Г. Практикум з теорп автоматичного управлшня : [навчальний поабник] /

B. Г. Шаруда. - Д. : Нац. прн. акад. Украши, 2002. - 414 с.

11. Famularo, D. A global optimization technique for fixed-order control design / D. Famularo, P. Pugliese, Ya. D. Sergeyev // International Journal of Systems Science. - 2004. - Vol. 35 (7) -P. 425-434.

q

0

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 3 (45)

12. Grachov, O. Enrichability curves analysis of sev eral coals mixture / O. Grachov // TEKA. Commi sion of motorization and energetics in agriculture - Lugansk, 2012. - Vol. 12. - № 4. - P. 64-70.

О. В. ПИСЬМЕНСЬКИЙ1*

1 Каф. «Системна шженер1я», Сх1дноукрашський нацюнальний ушверситет 1мен1 В. Даля, кв. Молод1жний, 20 а, 91034, Луганськ, Украша, тел. +38 (0642) 47 14 44, e-mail [email protected]

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА ДОЗУВАННЯ ФЛОКУЛЯНТ1В

Мета. Завданням автоматичного управлiння процесами згущення шламових вод i освгглення вiдходiв флотацii е стабiлiзацiя щшьносп згущеного продукту в заданому дiапазонi i пiдтримка змiсту твердо! фази в зливi не вище допустимого рiвня при мiнiмальнiй витратi флокулянту. В iснуючих системах автоматичного управлшня дозування флокулянту здiйснюеться за змютом твердо! фази на входi апарату (принцип розь мкнутого управлшня). Це веде до його перевитрати i до збiльшення дисперсii щiльностi зливу. Для мiнiмiза-цii ввдхилень вщ заданого значения i забезпечення задано! якосп перехiдного процесу потрiбно виконати синтез оптимального цифрового регулятора. Величина перерегулювання не повинна перевищувати 5 %. Виконати моделювання роботи системи для визначення якостi перехiдних процеав. Методика. Синтез оптимального цифрового регулятора виконаний на основi методу динашчного програмування. Результати. Математична модель об'екта управлшня представлена в нормальнш формi Кошi i дал1 у виглядi рiзницевих рiвиянь. Розраховано оптимальний перюд кваитувания як функцiя вiд задано! похибки регулювання та швидкостi змши вихiдноi координати. Отримано диференцiальне рiвняння Беллмана i визначено умову досягнення мшмуму функцiонала якостi. Функцiя Беллмана представлена у виглядi квадратично! форми ввд змiнних стану системи. Для обмеження можливого управлiния розраховаиi ваговi коефiцiенти функцiонала виходячи з максимально допустимих значень змiнних стану системи i керуючих впливiв пiд час перехщного процесу. Практична значимiсть. Модулюванням роботи САУ дозування флокулянта встановлено, що величина перерегулювання складае 3,5 %, час переходного процесу 5,6 с, перехщний процес аперiодичний, регулювання астатичне, що вiдповiдае вимогам, що до САУ.

Ключовi слова: флокулянт; оптимальний цифровий регулятор; перюд квантування; динашчне програму-вання; диференцiальне рiвняння Беллмана; алгебра!чне рiвняння Рiккатi; нормальна форма Кошi

A. V. PISMENSKIY1*

1 Dep. «Systems Engineering», East Ukrainian National University named after Volodymyr Dahl, Molodizhnyi Quarter, 20 a, 91034, Luhansk, Ukraine, tel. +38 (0642) 47 14 44, e-mail [email protected]

SYNTHESIS OF OPTIMAL DIGITAL CONTROLLER OF FLOCCULANT DOSING

Purpose. The task of automatic process control of the slime water thickening and flotation tailings clarification is the stabilization of thicken product density within the given range and keeping up the solids content in the overflow not above the permissible level with minimum use of the flocculants. In existing systems for automatic control the flocculant dosing is carried out according to the solids content in the device input (the principle of open-loop control). This leads to the excess consumption of the flocculants and increase the dispersion density of the overflow. To perform the synthesis of the optimal digital controller in order to minimize the deviations from the master control and ensure the specified quality of the transition process. Over controlling value should not exceed 5 %. To perform the system operation modeling in order to determine the quality of transient processes. Methodology. Synthesis of the optimal digital controller is based on the method of dynamic programming. Findings. A mathematical model of the object control is represented in the normal form of Cauchy and further in the form of differential equations. The optimum period of quantization as the function from specified error of control and the output coordinate change is

- 13. Seborg, Dale E. Process Dynamics and Control /

- Dale E. Seborg, Duncan A. Mellichamp, Thomas . F. Edgar, Francis J. Doyle. - 3rd Edition. - New

York : John Wiley & Sons, 2010. - 528 p.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, вип. 3 (45)

calculated. The differential equation of Bellman is obtained and the condition for minimization of the quality functional. Bellman function is represented as a quadratic form from the variables of the system condition. In order to limit possible control, the weight coefficients of the functional are calculated based on maximum permitted values of the system condition variables and the control actions during the transient process. Practical value. Using the modeling of ACS of the flocculant dosing it was established that the over controlling amount is 3.5 %, the transient process life 5.6 sec, the transient process is aperiodical, non-static control, which meets the requirements imposed on the ACS.

Keywords: flocculant; the optimal digital controller; the quantization period; dynamic programming; Bellman differential equation; the algebraic Riccati equation; the normal form of Cauchy

REFERENCES

1. Zubov D.A. Avtomatychne keruvannia tekhnolohichnymy protsesamy vuhlezbahachuvalnoi fabryky [Automatic control by the process of coal preparation plants]. Luhansk, Vyd-vo Skhidnoukr. nats. un-tu im. V. Dalia Publ., 2003. 172 p.

2. Makarov Ye.G. Inzhenernyye raschety v Mfthcad [Engineering calculations in Mfthcad]. Saint Petersburg, Piter Publ., 2010. 448 p.

3. Olsson Gustav, Piani Dzhanguido. Tsifrovyye sistemy avtomatizatsii i upravleniya [Digital automation and control systems]. Saint Petersburg, Nevskiy dialect Publ., 2001. 557 p.

4. Pelekh R.Ya., Luchko Y.Y. Dvostoronni obchysliuvalni skhemy rozviazuvannia neliniinykh dyferentsialnykh rivnian z otsinkoiu holovnoho chlena pokhybky [Bilateral computational schemes for solving nonlinear differential equations with principal term evaluation of error]. VisnykDnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zal-iznychnoho transportu imeni akademika V. Lazariana [Bulletin of Dnipropetrovsk National University named after Academician V. Lazaryan], 2011, issue 39, pp. 123-125.

5. Pelekh Ya.M. Metody vysokoho poriadku tochnosti rozviazuvannia zadachi Koshi dlia neliniinykh intehro-dyferentsialnykh rivnian Voltera [The methods of high order of accuracy for solving the Cauchy problem for nonlinear integro-differential equations Voltaire]. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zal-iznychnoho transportu imeni akademika V. Lazariana [Bulletin of Dnipropetrovsk National University named after Academician V. Lazaryan], 2011, issue 39, pp. 126-130.

6. Pismenskiy A.V., Ulshin V.A. Opredeleniye dopustimogo perioda diskretizatsii dlya predstavleniya paramet-richeskoy modeli radialnogo sgustitelya shlamovykh vod v prostranstve sostoyaniy [Permissible period determination of discretization for the presentation of parametric model of radial thickener of slime water states space]. Pratsi Luhanskoho viddilennia Mizhnarodnoi Akademii informatyzatsii - Proceedings of Lugansk Department of International Academy of Informatization, 2002, no. 1, pp. 41-45.

7. Poluliakh O.D. Tekhnolohichni rehlamenty vuhlezbahachuvalnykh fabryk [Process regulations of the coal preparation plants]. Dnipropetrovsk, Natsionalnyi hirnychyi universytet Publ., 2002. 856 p.

8. Polyakov K.Yu. Osnovy teorii tsifrovykh sistem upravleniya [The basic theory of digital control systems]. Saint Petersburg, Piter Publ., 2006. 161 p.

9. Romanenko V.D. Metody avtomatyzatsii prohresyvnykh tekhnolohii [Methods of automatization of advanced technologies]. Kyiv, Vyshcha shkola Publ., 1995. 519 p.

10. Sharuda V.H. Praktykum z teorii avtomatychnoho upravlinnia [Practical on automatic control theory]. Dnipropetrovsk, Natsionalna hirnycha akademiia Ukrainy Publ., 2002. 414 p.

11. Famularo D., Pugliese P., Sergeyev Ya.D. A global optimization technique for fixed-order control design. International Journal of Systems Science, 2004, vol. 35 (7), pp. 425-434.

12. Grachov O. Enrichability curves analysis of several coals mixture. TEKA. Commision of motorization and energetics in agriculture, 2012, vol. 12, no. 4, pp. 64-70.

13. Dale E. Seborg,. Duncan A. Mellichamp, Thomas F. Edgar, Francis J. Doyle. Process Dynamics and Control. New York, John Wiley & Sons Publ., 2010. 528 p.

Статья рекомендована к публикации д.т.н., проф. В. А. Ульшиным (Украина); д.т.н., проф. В. В. Скалозубом (Украина)

Поступила в редколлегию 28.03.2013 Принята к печати 14.06.2013