CC BY
69
УДК 519.6
АЛ. Слепцов, Т. А. Тыщук
СИНТЕЗ ОБОБЩЕННОГО МЕТОДА НЕЧЕТКОГО КРИТИЧЕСКОГО
ПУТИ
Задача нечеткого сетевого планирования и управления проектами была поставлена Чанасом [1] и Прадом [2] в середине 70-х годов и развита в работах Чана-са [3], Дюбуа и Прада [4], Камбуровски [5], Бакли [6], Слепцова и Тыщук [7] и др. В данной работе основное внимание уделяется задаче анализа критичности работ и путей сетевой модели проекта. Степень критичности путей и работ может определяться на основе сравнения нечетких величин длин путей с нечеткой критической длительностью проекта (путевая критичность) [3-5] либо на основе сравнения нечетких величин ранних сроков запуска и завершения работ (резервная критичность) [7]. Выявлено, что эти подходы дают различные результаты, и эти результаты не в полной мере обеспечивают корректное решение задачи сетевого планирования и управления (СПУ) проектами. Для эффективного решения задачи СПУ на основе анализа критичности путей и работ сетевой модели проекта предложено агрегировать путевую критичность и критичность по резервам времени в единый обобщенный показатель критичности и использовать его при принятии управлен-.
Пусть проект представлен в виде сетевой модели G = <R,A,t> , где R = {r} -множество вершин G, соответствующее множеству работ, которые необходимо выполнить в процессе реализации проекта; A: RxR - множество дуг G, представляющих отношения предшествования работ; т: R ^{Tr}, где Tr - длительность работы г. Обозначим: P={p} - множество путей G, L={lp} - длины путей из P, PD -критическую длительность проекта, ESr - раннее начало r, ECr - ранний конец r, LSr - позднее начало r, LCr - поздний конец r, Fr - резерв выполнения r, PRE(r) = {pre(r)} - множество непосредственных предшественников r, POST(r) = {post(r)} -множество непосредственных последователей r, st - единственная первоначальная работа проекта (PRE(st)=0), fin - единственная завершающая работа (POST(fin)=0).
В рамках классического метода критического пути (МКП) считается, что кри-p, ,
должен обладать следующими свойствами.
1. ( , ) должна быть равна критической длительности проекта, т.е. минимальному интер-, :
lp = PD. (1)
2. , , -, , , раннего начала ее критического последователя совпадают:
Vre p Fr = 0, т.е. Vre p ECpre(r) = ESr, pre(r)e p. (2)
Следует отметить, что, если для некоторого пути выполнено свойство (1), то
(2) , . . (1) (2) -
валентными. Вывод о критичности пути и работ, лежащих на нем, можно сделать на основе любого одного из рассматриваемых свойств.
В ситуациях, когда длительности работ представляются нечеткими величина, , критичности применяют методы нечеткого критического пути (МНКП). Суть этих методов состоит в следующем. Расчет сроков раннего начала и завершения работ выполняется аналогично классическому МКП во время прямого прохода сетевой , -
ные:
__ Г 0, если г = 81,
Е8Г =------- ~~ (3)
1тах8ерКЕ(г) ЕС8,
бс г = Е§г © Тг; (4)
где Т г нечеткая длительность г; Е8 г, ЕС г - нечеткие величины раннего начала и завершения г; ©, гтах - расширенные операции сложения и взятия максимума для нечетких величин [4].
Вычисление поздних сроков выполнения работ таким способом не представляется возможным [3-7], что усложняет задачу нахождения резервов и анализа критичности путей и работ сетевой модели.
Можно выделить два основных подхода к анализу критичности путей и работ, которые будем называть методами путевой критичности и критичности по резер-. ,
критических путей РС = (Р, цРС) и нечеткого множества критических работ ЯС= (Я, црС) в сетевой модели проекта с нечеткими длительностями работ. Каждый путь реР имеет степень критичности цРС(р)е [0,1], а работа геЯ имеет степень критичности црС(г)е [0,1]. Следует отметить, что существование не единственного критического пути в сетевой модели является принципиальным отличием МНКП от методов МКП и РЕЯТ.
Определение функций цРС и црС осуществляется различными способами. Методы путевой критичности [3-5] предполагают определение цРС и црС на основе расширения свойства (1), т.е., степень критичности путей и работ определяется сопоставлением нечетких величин, соответствующих длинам путей с критической длительностью проекта. Метод критичности по резервам времени [7] отличается тем, что расчет цРС и црС осуществляется на базе расширения свойства (2). При этом определение критичности путей и работ состоит в сопоставлении нечетких величин раннего начала и завершения работ.
В соответствии с [3-5] нечеткое множество критических путей сетевой модели РС имеет функцию принадлежности ц'РС, определяемую как:
^'Рс(р) = РОББ (Т р Рб ), (5)
где 1 р - нечеткая величина, соответствующая длине пути р, 1 р=©герТ г; Рб - нечеткая критическая длительность проекта, Рб = ЕС йп.
Задача определения нечеткого множества критических работ, в соответствии с [3,5], решается следующим образом. Для каждой работы г рассчитывается вспомогательный показатель Тг' по фо рмуле:
(6)
Функция ц'ЯС(г) вычисляется как:
М^е(г) = Ро88(Е8г © ~ г © Т; 18 Рб) = Ро88(ЕС г © Т; 18 Рб ), (7)
где м-'ЯС(г) будем называть степенью путевой критичности работы г.
В сущности, нечеткая величина Е8г © Тг © Тг представляет собой максимум , г:
, (5)
путей сетевой модели с нечеткой критической длительностью проекта, то есть на (1) .
(7) ,
проходящих через нее, и критической длительности проекта.
Подход, предложенный в [7], предполагает расширение понятия критического пути на основе свойства (2). Функция ц''РС определяется в соответствии с соот-:
цМРс(р)=Ро88(&гер[ ЕС рге(г) 18 Е8 г])=тШгерРо88( ЕС рге(г) 18 Е8 г), рге(г)е р. (8)
Суть (8) состоит в следующем. Ро88( ЕС рге(г) 18 е8г) характеризует возмож-, рге(г) г .
М-''РС(р) характеризует возможность того, что на пути р дата запуска каждой работы г совпадает с датой завершения рге(г). Если ц''РС(р)=0, то на пути р существует, по крайней мере, две работы г и рге(г), такие что Ро88(ЕС рге(г) 18 Е8г)=0. Иначе гово-, рге(г) г, -
ях длительностей работ, имеется некоторый интервал (резерв) времени. Это свиде-, , (2), путь р является некритическим. Если ц''РС(р)>0, то на всем пути р нечеткие величины завершения работ и начала их последователей пересекаются. Тогда, функция ц''ЯС определяется исходя из степеней критичности путей, проходящих через нее:
где ц''ЯС(г)будем называть показателем резервной критичности работы г.
Вычисления методом [7] осуществляются в соответствии с алгоритмом, который позволяет не выполнять полный перебор путей сетевой модели проекта. Это достигается за счет того, что на третьем шаге алгоритма выявляются работы,
( Я') , -левую степень критичности (множество Я-Я'). В расчетах, выполняемых на сле-, , Я'. -
:
1. Пронумеровать элементы Я: Я={гт), т=1,2,...,п; п= | Я |, так что Угк, г1: если гк=рге(г1), то к<1.
2. Построить матрицу Н={Иу}, где 1=1,2,...,п; ]=1,2,...,п;
Е8г © Т г © Тг = тахр|гер 1 р.
М"яс(г) = тахр|гер м"рс(р),
(9)
3. , -
ста Я'={гк 1цМЯс(гк)>0}.
Процедура формирования множества Я'
Я':={гп} (гп=йп)
Для q:=1 до п-1
Если 3]: (Ь(п-<й>0)&(^е Я') то Я'= Я'uгn-q .
4. , -
ста: Р'={р |ц''РС(р)>0}. Они состоят из работ, принадлежащих Я'.
5. :
Наш анализ и эксперименты показывают, что эти подходы не являются эквивалентными. В частности, существует множество работ Я^Я, которые обладают ненулевой степенью критичности в соответствии с одним из подходов и нулевой, в . , , Я1 ( -
бых возможных четких длительностях работ) имеют резерв выполнения и не ЯВ, , , с одним из признаков, больше нуля.
Для более достоверного определения нечетких множеств критических путей и работ предложено комбинировать рассматриваемые подходы в обобщенный МНКП. Поскольку в рамках классического МКП предполагается, что для критиче-
(1), (2), предлагается выполнять расчет цРС и цЯС с учетом соотношения как нечетких длин путей с критической длительностью проекта, так и нечетких ранних сроков запуска и завершения работ.
Обобщенный МНКП включает в себя следующие расчеты:
1. Оценку путевой критичности работ по одному из методов [3-5].
2. [7] -
.
3. ,
Агрегирование степеней путевой и резервной критичности целесообразно выполнять следующим образом:
|!рс(р)=Р088[&ГЄр( ЕС рГе(г) іб Е§ г)&( Т р іб РІЗ )]=тіп(|і'рс(р),м"рс(р)), (10)
шагах.
где цРС(р) - обобщенная степень критичности пути р.
Обобщенная степень критичности работ должна определяться как
Цяс(г) = тт (ц'яс(г), М"яс(г)).
Для иллюстрации расчетов обобщенным МНКП рассмотрим пример.
Пример. Пусть имеется проект, представленный сетевой моделью рис.1. Длительности работ представлены трапециевидными нечеткими величинами с носителем 8(ТГ) и ядром с(ТГ) (табл.1). В соответствии с (3)-(4) рассчитаны нечеткие величины сроков раннего начала и завершения работ. Критическая длительность
проекта равна раннему сроку окончания завершающей работы Ь, РБ = ЕС Ь.
В результате реализации трех шагов обобщенного МНКП получены степени критичности, приведенные в табл. 2.
Табл.1. Нечеткие длительности работ, их сроки раннего начала и завершения.
Работа Предшест- венники г Е§г ЕС г
8(Т Гг) с(Т г) 8(Е8 г) с(Е8г) 8(ЕС г) с(ЕС г)
А -
В А 0 2 1 1 7 1 8 9
С А 3 0 2
Б В,С 1 1 7 1 8 9 6 2 7 0
Е Б 6 2 7 0 9 6 0 3
Г Б 8 4 9 2 6 2 7 0 4 6 6 2
а Б 1 0 0 6 2 7 0 5 3 7 0
н Е 9 6 0 3 0 9 2 6
I а 5 3 7 0 7 5 9 2
і а 7 1 8 0 5 3 7 0 2 4 5 0
к Г,1 4 6 6 2 5 9 7 4
Ь н,і,к 2 5 3 4 2 4 5 0 4 9 8 4
Табл. 2. Степени критичности работ проекта
Работа А В С Б Е Г а н I і к Ь
Ц'яс(г) 1 1 0,9 1 0 1 1 0 0 1 1 1
ЛсМ 1 1 0 1 0 0,9 1 0 0,25 1 0,9 1
Цяс(г) 1 1 0 1 0 0,9 1 0 0 1 0,9 1
, -
дают. В частности, работа С имеет степень критичности 0,9 в соответствии с (5)-(6)
и 0 - с (8)-(9) , а работа I имеет степень критичности 0 в соответствии с (5)-(6) и
0.25.- с (8)-(9).
Проанализируем рассчитанные показатели. Как видно, работы A,B,D,G,J,L имеют степень критичности, равную единице. Из них работы A,B,D и L являются критическими при любом наборе возможных длительностей работ, так как они принадлежат всем путям, имеющим ненулевую степень критичности. Кроме того, в зависимости от длительностей будут критическими либо работы G и J либо F и K. Этим работам следует уделить особое внимание при управлении, поскольку задержка их выполнения повлечет за собой задержку выполнения проекта в целом. Работы C, E, F и H имеют обобщенную степень критичности 0, поэтому они не являются критическими при любых возможных ситуациях и имеют резерв.
Выводы. В результате исследований выделено два подхода к определению нечетких множеств критических путей и работ сетевой модели проекта, основанные на путевой и резервной критичности работ. Установлено, что степени критичности путей и работ проекта, полученные при реализации подходов, различны и не в полной мере обеспечивают решение задачи СПУ. Для повышения достоверности и эффективности метода нечеткого критического пути предложено комбинировать два подхода и осуществлять расчеты степеней критичности путей и работ на основе агрегирования путевой и резервной критичности.
ЛИТЕРАТУРА.
1. Chanas S., Radosinski E. Time pattern of activities performance in the light of fuzzy sets theory // Problemy organizacji. - 1976. - №2. - C. 68-76.
2. Prade, H. Using fuzzy set theory in a scheduling problem: a case study // Fuzzy Sets and Systems. - 1979. - №2. - C. 153-165.
3. Chanas S., Kuchta D. Discrete fuzzy optimization / Fuzzy sets in decision analysis, operations research and statistics. Edited by R.Slowinski. - Kluwer Academic Publishers. - 1998. - C. 249-280.
4. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. - М.: Радио и связь, 1990. - 208с.
5. Kamburowski J. Fuzzy activity duration times in critical path analysis // Inter. Symp. On Project Management. - New Delphi, 1983. - C. 194-199.
6. Buckley J.J. Fuzzy PERT / Applications of fuzzy set methodologies in industrial engeniring. Edited by G.Evans, W.Karwowski, M.Wilhelm. - Elsevier, 1989. - C. 103-114
7. . ., . .
// -
лиз. - 1999. - Вып. 3. - С. 158-170.
УДК 621.03
В.И. Кодачигов, Н.В. Кодачигова
МАТРИЧНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И МАТРИЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
АГРЕГИРОВАНИЯ
В очень многих случаях при решение разнородных задач, допускающих гра,
взвешенные графы без кратных ребер. Приходится сталкиваться с задачей агрегирования [1]. К ней сводятся задачи: размещение графов, разрезание (кластеризация графов) и т.д.
Было замечено [1,2], что удачное их решение приводит к графам, характеризующимся матрицами смежности, тождественными исходным, но имеющим спе-
:
