CC BY
195
УДК 681.51
Марголис Борис Иосифович
доктор технических наук, профессор Тверской государственный технический университет
Мешков Илья Сергеевич
Тверской государственный технический университет
СИНТЕЗ НАСТРОЕК ПИД-РЕГУЛЯТОРОВ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫМ МЕТОДОМ РАСШИРЕННЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Приведены формулы для нахождения настроек ПИД-регулятора с использованием расширенных частотных характеристик в виде параметрических зависимостей. Предложено использование критерия минимального отклонения времени переходного процесса и перерегулирования от заданных значений. Указаны недостатки стандартного метода расширенных частотных характеристик и рассмотрен переход к альтернативному набору параметров регулятора. Выведены соотношения для расчета настроек регуляторов через постоянные времени интегрирования и дифференцирования. На основе предложенного альтернативного метода расширенных частотных характеристик в среде Ма^аЬ разработана программа, позволяющая рассчитать оптимальные настройки регулятора. Приведены результаты расчета настроек ПИД-регулятора для контрольного примера. Показаны преимущества альтернативного метода, заключающиеся в получении менее колебательной, чем исходный объект, системы управления. Рассмотрены возможности применения численных оптимизационных методов МайаЬ.
Ключевые слова: система автоматического управления, регулятор, синтез настроек регулятора, альтернативный метод, расширенная частотная характеристика, переходный процесс, степень колебательности, перерегулирование, критерий качества, программа расчета, численные оптимизационные методы.
Одними из наиболее распространенных регуляторов, используемых при автоматизации технологических процессов, являются регуляторы, реализующие пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) закон регулирования [1].
Передаточная функция ПИД-регулятора выглядят следующим образом:
Шр(р) = К, + К„/р + К2р = К, (1 + 1/(Тмр) + Тдр), (1) где Ти = К1/К0 и Тд = К2/К, - постоянные времени соответственно интегрирования и дифференцирования. Системы с ПИД-регуляторами совмещают нулевую статическую ошибку с хорошей динамикой, поскольку в области рабочих частот ПИД-регулятор не вносит отрицательный фазовый сдвиг в систему.
В работе [2] для расчета настроек регуляторов в САУ состоящей из объекта с передаточной функцией Ш (р) и ПИД-регулятора, предложен метод расширенных частотных характеристик (РЧХ), использующий частотные характеристики объекта регулирования. Параметрические зависимости от частоты настроечных параметров регулятора получены в следующем виде: (X = R - т1 + 2К2 та ; |К0 = -I (т2 +1)® + К2( т2 +1)®2,
т = а/Ь - желаемая степень колебатель-характеризующая отношение действи-
где ности
тельной а и мнимой в частей корней характеристического уравнения замкнутой САУ; К(ю), Ца>) - соответственно действительная и мнимая части РЧХ регулятора, определяемые из формулы
WP (( ] - т)®) = - 1/ W (( ] - т)®) = R(®) + ]1 (®).
Для ПИД-регулятора в соответствии с формулами (2) получается семейство линий равного за-
тухания (ЛРЗ) (зависимостей между пропорциональной ( К1) и интегральной ( К0) составляющими регулятора) для различных значений дифференциальной составляющей К2 [2]. Нахождение наилучших для каждой из ЛРЗ настроек К1, К0 и оптимального значения К2 производится по критерию:
1кр = Щ*\а- &зад\ / Ой + Щ ' ^р - tзад\|, (3)
где а, гр - рассчитанные, а азад, 1 зад - желаемые значения перерегулирования и времени переходного процесса; м>а, м>1 - веса, с которыми они входят в критерий [2].
Это является одним из недостатков стандартного метода РЧХ, так как пространственная задача нахождения неизвестных настроек ПИД-регулятора К1, К0, К2 сводится к решению двухмерной задачи в области параметров К1, К0 при фиксированных значениях К2. Кроме того, для корректной работы метода необходимо, чтобы желаемая степень колебательности системы т была меньше степени колебательности объекта тоб.
Для преодоления этих недостатков произведем переход от набора параметров (К1, К0= К2) к набору (К1; S=Tд/Ти, Ти). В этом случае можно ввести ограничение на дифференциальную составляющую 5 = Тд/Ти = К0К2/К12 < 0,25 (4), что повышает помехозащищенность системы и снижает перерегулирование.
Исходя из (2) уравнения для расчета настроек ПИД-регулятора можно записать в виде: |К0 = а1К2 + Ь;
где коэффициенты
К1 = с1К2 + ¿, а1 = (т2 + 1)®2
Ь= -1 (т2 +1)®;
с1 = 2т®; d=R - т1.
(5)
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова Ак № 7, 2014
© Марголис Б.И., Мешков И.С., 2014
104
Синтез настроек ПИД-регуляторов в системах автоматического управления..
Подставляя К2 из (4), получим:
Г К0 = а15К12/К0 + Ь = аК?/К0 + Ь; 1К1 = с1^К12/К0 + а = пкЦк, + а, где \с = с1б.
а = а,£;
(6)
(7)
Т =-
0 < S < 0,25. (10)
Используя соотношение Т = К^К0, имеем:
К = аКТ + Ь, КТ = аКТ + Ь,
1к = сКТ + а; [к = а/ (1 - т ) ■
К = аКТ + ЬТ,, Г К1 = ЬТё/(1 - аТ2), 1К1 = аК1-ст„); [К1 = а/(1 -сТи).
Приравнивая правые части уравнений системы (7) получим квадратное относительно Ти уравнение: (аа - Ьс)Ти2 + ЬТм - а = 0, корни которого можно найти из выражения:
Т =-Ь +У Ьг + 4(аа - Ьс)а (8)
"1! 2(аа - Ьс)
Подставляя в (8) значения коэффициентов а, Ь, с, а, после упрощений получим:
I ±. [F+44s(R2-m2F)/(m2+\)
Т =—------(9)
Щ1 2Sw(R + т1)
Вычисления для конкретных примеров показали, что Ти , рассчитанная по (9), отрицательна, по-
этому окончательно:
I 2 + 4S-т212)/(т2 +1) 2S®(R + т1) :
Подставляя в уравнение (7) значения коэффициентов с и а, получим окончательные выражения для расчета настроек регулятора (К1, К0, К2) в виде:
R - т1
К =:
К0 = К1/Ти; К2 = БК?/К0. (11)
1 - 2таБТи
На основе изложенного альтернативного метода РЧХ в среде Ма1ЬаЬ разработана программа расчета настроек регуляторов в САУ га^.т. Для передаточной функции объекта регулирования
2
Ж (р) =
р1 + 2 р + 2
имеющего степень колебатель-
ности тоб = 1, результаты вычислений с помощью программы га^.т приведены на рисунках 1-3. При нахождении настроек ПИД-регулятора используются следующие желаемые характеристики качества: степень колебательности т = 3; перерегулирование и = 1%; время переходного процесса I „ = 5 с .
Рис. 1. Графики настроек ПИД-регулятора для набора 8
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова № 7, 2014
105
Рис. 3. Графики переходных процессов объекта и замкнутой системы
Для набора S, удовлетворяющих требованию (4), в пространстве (К1, К0, К2) по формулам (10), (11) строится семейство ЛРЗ (рис. 1). На каждой кривой выбирается оптимальная по критерию качества (3) точка, из которых затем выбирается наилучшая (рис. 2). На рисунке 3 приведены графики переходных процессов объекта и замкнутой системы и достигнутые значения и = 1,0419% и t р =4,6983 с.
Как уже отмечалось, альтернативный подход метода РЧХ позволяет ограничить дифференциальную составляющую и получить менее колебательную, чем объект регулирования, систему.
Для решения задачи синтеза настроек регуляторов можно также использовать численные оптимизационные методы Matlab fminsearch и fmincon.
Библиографический список
1. Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учебник.- 3-е изд. - М.: Изд-во МЭИ, 2005. - 396 с.
2. Марголис Б.И, Мешков И.С. Синтез настроек регуляторов в системах автоматического управления методом расширенных частотных характеристик // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. -2014. - № 2. - C. 31-33.
Вестник КГУ им. H.A. Некрасова .4> № 7, 2014
106
