Синтез модели слоистого массива с учетом взаимодействия слоев на контактах Текст научной статьи по специальности «Физика»

© А.Б. Цветков, В.Н. Фрянов, 2013

УДК 622:519.635.4

А.Б. Цветков, В.Н. Фрянов

СИНТЕЗ МОДЕЛИ СЛОИСТОГО МАССИВА С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СЛОЕВ НА КОНТАКТАХ*

Предложен метод синтеза математической модели слоистого горного массива, структурным частям которого ставятся в соответствие краевые задачи теории упругости с отличающимися физико-механическими параметрами. Краевые задачи синтезируются в математическую модель посредством метода конечных разностей. Вышеизложенная концепция реализована в виде комплекса программ. Результаты численного решения соответствуют известному аналитическому решению для горизонтально-слоистого массива.

Ключевые слова: математическая модель, геомассив, угольный пласт, вмешаюшие породы, метод конечных разностей, краевая задача теории упругости, синтез, гравитация.

В статье представлен метод синтеза математической модели слоистого горного массива. Исследуемый объект разбивается на слои, которым в качестве определяющих соотношений ставятся в соответствие краевые задачи теории упругости с различными физико-механическими свойствами. Предполагается, что взаимодействие слоев друг с другом определяется контактными условиями. Поэтому, синтез единой математической модели слоистой структуры производится посредством согласования граничных условий краевых задач. Такой метод построения модели позволяет учитывать особенности взаимодействия слоев массива между собой. Для реализации этой идеи применен метод конечных разностей [4], с помощью которого удалось согласовать условия на контактах и синтезировать модель слоистого объекта. При таком подходе метод конечных разностей применен для построения модели кусочно-однородного объекта. Метод конечных разностей приводит к меньшей ширине ленты основной матрицы системы по сравнению с методом конечных элементов [2, 3]. Это позволило уменьшить время решения системы линейных уравнений, что актуально при высоком ее порядке и многократном проведении вычислительных экспериментов.

Работа комплекса программ продемонстрирована на задаче, для которой существует аналитическое решение. Далее проведено сравнение полученного численного и аналитического решений.

Рассмотрен участок слоистого массива прямоугольной формы длиной 400 метров и глубиной 250 м. Вмещающая толща на глубине 160 м включала пласт угля прямоугольной формы мощностью 20 м. Расчетная область представлена на рис. 1. Моделирование напряженно-деформированного состояния проводилось с учетом воздействия гравитации.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки по контракту №5.3832.2011. 398

Рис. 1. Расчетная область О

Модель геомассива в прямоугольной системе координат представлена прямоугольником О соответствующих размеров. Расчетная область состояла из трех подобластей Q= П1+П2+П3. Каждая подобласть характеризует породы определенного типа. При моделировании было принято, что область О1 это аргиллит, О2 - уголь, О3 - алевролит. Угольный пласт Q2 и два породных слоя Q1, Q3 были получены рассечением расчетной области прямыми y = 160 м, y = 180 м.

В статье применялись следующие обозначения: (y) , si (y) , < (y), вертикальные перемещения, деформации и напряжения i = 1, 2, 3 соответственно, где i - номер подобласти Qi. Были приняты следующие физико-механические свойства подобластей: Я,, pi,, где Я,, ц,, - постоянные Ламе и pi - плотность Qi. Горизонтальные границы задавались уравнениями: y = hj, j = 1, 2, 3, 4.

Синтез краевых задач производится следующим образом. Для каждого слоя прямоугольной формы О, рассматривалась краевая задача теории упругости в следующей постановке. Найти вектор перемещений U = (u,v), u = u(x,y), v = =v(x,y), удовлетворяющий внутри О, системе дифференциальных уравнений:

Ml( u'L + Wyy ) + (Я + ^)(и1 + v'xy ) = 0,

ъ ( + Vy) + (Я+Mi)(Wy + vy)+pg = 0

и граничным условиям: u(a,y) = 0, u(b,y) = 0, u(x,c) = 0, u(x,d) = 0, (a, y) = 0, Vx(b, y) = 0 ; <cy (x, c) = 0 ; v(x,d) = 0. На внутренних границах h2 и h3 согласованы напряжения и перемещения. Выбраны следующие значения параметров модели: a = 0, b = 400, c = 0, d = 250, h2 = 160 и h3 = 180.

Краевая задача решались при условии, что массовые силы направлены вдоль оси ОУ и создавались собственным весом пород. Физико-механические свойства были заданы следующие: p1 = 2600 кг/м3, E1 = 2,6-104 МПа, v1 = =0,28, p2 = 1380 кг/м3, E2 = 0,3-104 МПа, v2 = 0,34, p3 = 2700 кг/м3, E3 = =2,8-104 МПа, V3 = 0,27.

Для решения задачи (1) были разработаны программные модули, которые стали частью пакета проблемно-ориентированных программ. Вычислительный эксперимент проводился при 60000 узлах сетки.

С целью тестирования разработанного пакета программ моделирование напряженно-деформированного состояния в угольном пласте и вмещающих породах при воздействии гравитации проводилось как численно, так и аналитически. Затем выполнена оценка результатов численного эксперимента посредством аналитического решения.

В работе [5] изложен алгоритм аналитического моделирования напряженно-деформированного состояния при действии гравитации для геомассива, состоящего из произвольного числа слоев и пород. У рассмотренной модели горизонтальные границы были заданы уравнениями: y = hj, j = 1, 2, 3, 4.

(1)

Выражение для нахождения величин вертикальных перемещений в п-м слое имеет вид [5]:

8У2 Рп + I §Лр1 + V ^-Р^ +Р]+1) ^

(2)

V (у) = с--^^ + у ^^ + V

2(4 + 14 +>1 К +

Лля удобства нахождения постоянной интегрирования Сп, соответствующей слою п, было использовано обозначение:

(3)

(у) =- ^ + у[ + V^+1(-р +р+1)^

п 2(4 + 2^) +7=1 4 +^ Постоянные Сп найдены из условий: ^(Ъ) = К (Лп+1) .

В обобщенной форме выражение Уп (у) было представлено в виде: Уп(у) = Сп + УСп(у). (4)

Из (2) дифференцированием по у получены зависимости для вычисления вертикальных деформаций:

е (у) = ё^А - уРп) , (5)

П 4 п + п j=1 4 п + 2^п •

Вертикальные напряжения определяются по формуле:

а (у) = 8(Ь1р1 - уРп) + (4п + +41(-Р2+Р+1) (6)

j=1 4 п + п •

Графики численного и аналитического решений приведены на рис. 2 и 3. По вертикали приведена глубина, а горизонтали - перемещения, деформации и напряжения соответственно. Сплошная тонкая линия соответствует численному решению, точки - аналитическому. Знак плюс соответствует перемещениям в направлении оси ОУ, минус - в противоположном. Знак минус соответствует сжимающим деформациям.

Из рис. 2, а видно, что перемещения слоев Ох и О3 составляют 0,06 % и 0,15 % от их мощности. Величина этого отношения у пласта угля превышает их более чем в четыре раза и составляет 0,9 %. Откуда следует, что слою угля соответствует скачок деформаций. График деформаций представлен на рис. 2, б.

На рис. 3 приведен график вертикальных напряжений при х=400 метров. По горизонтальной оси отложены напряжения в МПа, а по вертикальной -глубина. Знак минус соответствует сжимающим напряжениям.

Из рис. 3 следует, что в массиве О действуют только сжимающие напряжения. Наблюдается возрастание величин сжимающих напряжений с увеличением глубины. Следовательно, ненарушенный, слоистый, кусочно-однородный массив, с учетом воздействия гравитации, представляет собой область сжатия. При переходе через пласт угля присутствует скачок напряжений а у . Он наблюдается как у аналитического, так и численного решений.

Проводилась верификация численного решения (1) с аналитическим решением (2-6). Относительная погрешность составила около 1%.

У.М

100 150 200 250

\

\

\

V

х~ Щ

\

-0,002 -0,004

-0.006 а

-0,008

Выводы

1. В статье представлены результаты тестирования разработанного комплекса программ, основанного на концепции синтеза математической модели исследуемого объекта, состоящего из слоев, которым в качестве определяющих соотношений поставлены в соответствие краевые задачи теории упругости с различными физико-механическими свойствами. Результаты численного моделирования напряженно-деформирован-

ного состояния слоистого массива согласуются с известным аналитическим решением.

2. Метод конечных разностей обеспечивает согласование условий на контактах слоев и позволяет синтезировать модель слоистого объекта из краевых задач теории упругости с различными физико-механическими параметрами.

3. Проведенное исследование относится к одному из этапов построения математической модели для решения актуальной научно-практической задачи прогноза параметров напряженно-деформированного состояния

при разработке паспортов выемочных участков угольных шахт. На следующих этапах планируется применение разработанной методики для моделирования напряженно-деформированного состояния реального геомассива с выработкой и настройки математической модели по результатам шахтных измерений.

Рис. 2. Сопоставление численного н аналитического решений: а - вертикальные перемещения, б - вертикальные деформации

Рис. 3. Напряжения С у, МПа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ДинникА.Н. Статьи по горному делу. / А.Н. Динник - М.: Углетехиздат, 1957. - 193с.

2. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. / А.Б. Фадеев - М.: Недра, 1987.

3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. / О. Зенкевич - М.: Мир, 1975.

4. Рихтмайер Р. Разностные методы решения краевых задач. / Р. Рихтмайер, К. Мортон - М.: Мир, 1972. - 414с.

5. Цветков А.Б, Васильев П.В, Петрова О.А. Синтез краевой задачи теории упругости и статического давления для математического моделирования напряженно-деформированного состояния в угольном пласте и вмещающих породах при действии гравитации. / А.Б. Цветков, П.В. Васильев, О.А. Петрова. //Горный информационно-аналитический бюллетень. - М.: Горная книга, 2012. - №12. - С. 3-9.

6. Серяков В.М. К расчету напряженно-деформированного состояния массива горных пород над выработанным пространством. / В.М. Серяков // ФТПРПИ. - 2009. - №5. - С. 13-20.

7. СавинГ.Н. Концентрация напряжений около отверстий. / Г.Н. Савин - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. шиз

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Цветков Андрей Борисович - кандидат технических наук, доцент, atsvet@mail.ru

Фрянов Виктор Николаевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой,

zzz338@rdtc.ru

Сибирский государственный индустриальный университет.

А

ГОРНАЯ КНИГА -

Горный информационно-аналитический бюллетень. Отдельный выпуск № 1. Труды научного симпозиума «Неделя горняка-2013»

2013 г. 648 с.

ISBN: 0236-1493 UDK: 622

В сборник вошли статьи по проблемам горного недропользования, горнопромышленной геологии, геофизики, маркшейдерского дела и геометрии недр, геомеханики, рудничной аэрогазодинамики, горной теплофизики, экономики природопользования, геоэкологии, геоинформатики, геотехнологии (подземной, открытой, строительной), электротехнических систем и комплексов, обогащения полезных ископаемых.

Сборник включает в себя ключевые доклады 28 семинаров научного симпозиума.

Для специалистов горнодобывающих отраслей.