CC BY
7
- © А.Б. Цветков, 2013
УДК 622:519.635.4 А.Б. Цветков
АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЯВЛЕНИЙ ДАВЛЕНИЯ ГАЗА В АНИЗОТРОПНОМ ГОРНОМ МАССИВЕ*
Представлена математическая модель проявлений давления газа в анизотропном горном массиве, синтезированная из краевых задач газовой динамики и геомеханики. Разработан метод идентификации величин ее параметров на основе заданных критериев. Для исследования предложенной модели создан авторский комплекс проблемно-ориентированных программ. Ключевые слова
Математическая модель, геомассив, структурный блок, угольный пласт, вмещающие породы, краевая задача теории упругости, краевая задача газодинамики, синтез, гравитация, анизотропия, идентификация, газ.
В работе представлен метод адаптации математической модели, учитывающей интегральные гравитационные и газовые проявления в анизотропном геомассиве к реальным условиям на основе выбранных критериев. При механическом воздействии физических факторов на горный массив в его однородных участках проявляются анизотропные свойства в виде зависимости величин деформаций от направления. При синтезе математической модели напряженно-деформированного состояния горного массива анизотропные свойства пород необходимо учитывать с помощью задаваемых параметров, величины которых должны соответствовать геологическим условиям исследуемого участка и передавать его существенные свойства. В статье представлена математическая модель, которая позволяет исследовать совместное воздействие давления газа и гравитации на напряженное состояние исследуемого участка с учетом анизотропных свойств геомассива. На основе заданных критериев ее параметры были настроены на условия, идентичные реальным. Возможность задать анизотропию в соответствии с определенными геологическими условиями позволит уточнить расположение в окрестности горных выработок опасных зон по выбросам угля и газа [3]. Это позволит прогнозировать сопряженные с риском ситуации и вовремя проводить профилактические мероприятия по предотвращению аварий на горных предприятиях. В этой связи актуальна задача разработки метода идентификации на основе заданных критериев анизотропных свойств синтезированной математической модели интегральных гравитационных и газовых проявлений в горном массиве.
Известно, что если в каждой точке анизотропного упругого тела действуют силы, то они вызывают в нем деформации [2]. В данной работе рассмотрена математическая модель, которая предусматривает линеаризацию деформаций,
*Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки по контракту №5.3832.2011.
возникающих под действием давления газа и гравитации в анизотропном геомассиве. Сумма деформаций, вызванных воздействием гравитации и давлением газа:
= Е - (Сх -У(Су + С ))
8у = Е(Су ~У(ох + С ))-
Е( ~У(°х + Су ))
8Р • х Уху Тху М •
8р • ьу • Гхг =ТхМ • (1)
8р • Туг = ТуМ- •
8 =
е'х = ар , е'у = )р , 8 = 5р , ^ = 7р„ = ГРр, = 0 ,
где р = р(х,у) - давление газа, 8X , 8р , 8р, уХу , УХг , Ург - линейная часть
зависимости деформаций от давления. Анизотропные свойства пород определяются величинами коэффициентов а , ) , $ в зависимости от направления.
После нахождения из (1) напряжений и подстановки их в уравнения равновесия [4] была получена модифицированная система уравнений Ламе в перемещениях, которая позволила учесть давление газа в анизотропной среде:
М«х + иуу + ) + (Л + М)(ы'Хх + у'Ху + w'Xz) - (2Ма + Л(а+) + 3))р'х+ ¥х = 0 М(у'Хх + у'Уу + V;) + (Л + /а)(и"ху + уУу + ) - ( + Л{а + в + ё))Ру + ¥у = 0 (2) М( < + у + < ) + (Л + М)(иха + V; + < ) - ( + Л(а + р + д))р'г + ¥г = 0, где и, V, ш - перемещения, ¥х , ¥у , ¥г - массовые силы.
Система уравнений (2) в перемещениях с учетом давления газа и воздействия гравитации для плоскости ХОУ имеет вид:
\М(и"хх + и"уу ) + (Л + М)(и"хх + v':Xy ) -(2Ма + Л{а + в))р\ = 0 [м^'Хх + ^у ) + (Л + М)(иху + vyy ) -( + Л(а + )))р'у + р^ = 0,
где р - плотность, д - гравитационная постоянная.
Система (3) содержит коэффициенты а и в, характеризующие анизотропные свойства геомассива. Каждому газонасыщенному угольному пласту или породам ставятся в соответствие свои коэффициенты а и р. Для нахождения их величин достаточно задать критерии, соответствующие реальным условиям залегания пород на исследуемом участке.
В рассматриваемой модели геомассива вертикальные напряжения в угольном пласте формируются под действием двух видов сил - гравитации и давления газа:
°Рр = р + °у , (4)
где сгур - напряжения, вызванные совместным воздействием газа и гравитации,
р - заданное давление газа в угольном пласте, оу - напряжения, вызванные гравитацией.
Горизонтальные напряжения отличаются от вертикальных на коэффициент бокового отпора [1, 4]. Пусть горизонтальная компонента тензора напряжений для заданных условий имеет следующую зависимость:
р
А
А + 2ц
(5)
ар - напряжения, вызванные совместным воздействием газа и гравитации.
В систему линейных алгебраических уравнений для решения краевой задачи (3) с целью нахождения коэффициентов аир были добавлены следующие уравнения:
о
ар =а + р (6)
А + 2ц
В результате решения синтезированной системы были найдены параметры а и в для всех пластов, соответствующие заданным критериям и напряжения ар и ар . Величины ах и а у , входящие в критерии, предварительно были найдены из условия воздействия только сил гравитации, а затем сформированы
аУ = р + а
а.
Земная поверхность
х.м
условия (6), и синтезирована система для нахождения а, в и арх , „у
Функция давления р(х,у) была получена на основе математической модели диффузии газа для кусочно-неоднородного геомассива, в которой обеспечивалась ее непрерывность при переходе через границы между неоднородными участками.
В качестве примера применения разработанного алгоритма идентификации параметров математической модели был рассмотрен слоистый углепородный геомассив, который представлял собой область О прямоугольной формы длиной Ь и глубиной < Вмещающая толща на глубине Н4 включала пласт угля прямоугольной формы мощностью т=Н5-Н4, насыщенный газом под давлением рпл. На глубинах Н2 и Н6 были заданы пропластки, содержащие газ под давлением рпр1 и рпр2. Расчетная область представлена на рис. 1.
Расчетная область состояла из семи подобластей Оь О=£Оь 1=1..7. Каждая из подобластей характеризует породы определенного типа. При моделировании было принято, что области 01, О5 -это аргиллит, О3, О7 - алевролит, О2, О4 и О6 - уголь. В подобласти О4 задано давление газа величиной рпл, а в О2 и О6 - рпр1, рпр2 соответственно, которое распределено равномерно.
В статье применялись следующие
обозначения: и(х,у) , у(х,у), а х , а у -горизонтальные, вертикальные перемещения и напряжения соответственно. Физико-механические свойства подобластей определялись величинами: рь> где - постоянные Ламе и р1 - плотность Горизонтальные границы задавались уравнениями: у=Н ]=1..8.
Построение модели проводилось следующим образом [5]. Для каждого блока прямоугольной формы Qi рассматривалась краевая задача теории упругости с учетом давления газа, рассчитанного на основе решения задачи диффузии газа. Краевая задача была сформулирована в следующей постановке.
У.М*
Рис. 1. Расчетная область О
Найти вектор перемещений и=(и,у), и=и(х,у), у=у(х,у), удовлетворяющий внутри Qi системе дифференциальных уравнений (3) и граничным условиям: и(а,у)=0, и(Ь,у)=0, и(х,с)=0, и(х,а)=0, у;(а,у) = 0 , ^(Ь,у) = 0 ; ^(х,о) = 0 ; у(х,а)=0. Задача решалась при условии, что массовые силы направлены вдоль оси ОУ и создавались собственным весом пород. На внутренних границах Н ]=2..7 согласовывались напряжения и перемещения. При проведении вычислительного эксперимента выбраны следующие структурные параметры модели в метрах: а=0, Ь=300, с=0, а=240, Н1 =0, Н2 =90, Н3 =91, Н4 =120, Н5 =123, Н6 =180, Н7 =181, Н8 =240. Физико-механические свойства задавались такие: р1=2600 кг/м3, Еа=5,2-104 МПа, V1=0,17, Р2=1380 кг/м3, Е2=0,3-104 МПа, v2=0,34, р3=2700 кг/м3, Е3=2,8-104МПа, v3=0,27, р4=1380 кг/м3, Е4=0,3-104 МПа, V4=0,34, р5=2600 кг/м3, Е5=5,2-104 МПа, V5=0,17, Р6=1380 кг/м3, Еб=0,3-104МПа, V6=0,34, р7=2700 кг/м3, Е7=2,8-104 МПа, V7=0,27, Рпр1=0.3 МПа, рш =1 МПа, Рпр2=0.4 МПа.
Разработаны программные модули для синтеза представленной модели, которые стали частью пакета проблемно-ориентированных программ. Вычислительный эксперимент проводился при 86400 узлах сетки. Результаты численного решения приведены на рис. 2.
На рис. 2, а приведен график распределения давления газа. На вертикальной оси отложена глубина, а по горизонтали - величины давлений газа. Из рисунка видно, что на границах пласта угля и пропластка наблюдаются скачки, обусловленные перепадом давлений, но график функции непрерывен. Результаты вычислительного эксперимента подтверждают нелинейность функции давлений, что соответствует известным данным натурных наблюдений.
На рис. 2, б приведены графики вертикальной компоненты тензора напряжений при воздействии гравитации и давления газа. По вертикальной оси отложена глубина, а по горизонтали - величины вертикальных напряжений. Сплошная тонкая линия соответствует напряжениям, вызванным только гравитацией, пунктирная - суперпозицией давления газа и гравитацией. Знак минус соответствует сжимающим напряжениям. На первом этапе, для формирования условий (6) был проведен расчет напряженно-деформированного состояния массива под действием гравитации - сплошная линия на рис. 2, б. На графике наблюдаются скачки напряжений
С у на границах слоев пород и
Рис. 2. Результаты моделирования МПа: а
давление газа, б - вертикальные напряжения
пласта угля. Величины сжимаю-
щих напряжений в кровле пласта составляли -3,1 МПа, кровле пропластка П2 - -2,3 МПа, в кровле П6 - -4,6 МПа.
На следующем этапе рассмотрено состояние ненарушенного геомассива при наличии газа в пласте угля под давлением 1 МПа, пропластке 02 - 0,3 МПа, в 06 - 0,4 МПа - рисунок 2а. Поле напряжений вызвано суперпозицией двух видов сил - гравитацией и давлением газа - пунктирная линия на рисунке 2б. Величины сжимающих напряжений в окрестности пласта согласуются с заданными критериями (6) и составляют -4,1 МПа, пропластка 02 -2,6 МПа, 06 -5,0 МПа, что соответствует совместному воздействию гравитации и газа. Результаты моделирования удовлетворяют заданным критериям (6) за счет найденных величин параметров а и р, входивших в качестве неизвестных в синтезированную систему линейных алгебраических уравнений.
Возможность идентификации параметров модели, характеризующих анизотропные свойства геомассива на основе заданных критериев, позволит исследовать распределение напряжений при наличии газовых ловушек и областей аномального давления с учетом реальных геологических условий. Практическое значение комплекса проблемно-ориентированных программ состоит в возможности прогноза выбросов угля и газа при разработке паспортов выемочных участков угольных шахт.
Выводы
В статье предложен метод, который в отличие от известных позволяет на основе заданных критериев идентифицировать величины параметров математической модели, синтезированной из краевых задач геомеханики и газовой динамики, характеризующих анизотропные свойства пород.
Разработана система компьютерного моделирования в виде комплекса проблемно-ориентированных программ, которая позволяет адаптировать синтезированную математическую модель к реальным условиям залегания пород на исследуемом участке. Проведенное исследование относится к одному из этапов разработки системы компьютерного моделирования на основе комплекса проблемно-ориентированных программ, предназначенного для исследования взаимодействия геомеханических и газодинамических процессов в массиве горных пород с системой подземных выработок.
1. Линник А.Н. Статьи по горному делу. [Текст] / А.Н. Динник - М.: Углетехиздат, 1957. - 193 с.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. [Текст] / С.Г. Лехницкий - М.: Наука, 1977. - 416 с.
3. Венгеров И.Р. Теплофизика шахт и рудников. Математические модели. Том 1. Анализ парадигмы. [Текст] / И.Р. Венгеров - Донецк: Норд-Пресс, 2008. - 632 с.
4. Ершов Л.В. Математические основы фи-
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
зики горных пород. [Текст] / Л.В. Ершов, В.А. Максимов - М.: МГИ, 1968. - 293 с.
5. Цветков А.Б. Синтез краевой задачи теории упругости и статического давления для математического моделирования напряженно-деформированного состояния в многослойном кусочно-однородном массиве при действии гравитации [Текст] / А.Б. Цветков, В.Н. Фря-нов //Горный информационно-аналитический бюллетень. - М.: Горная книга, 2013. - №2. -С. 141-146.ЕШ
Цветков Андрей Борисович - кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики Сибирский государственный индустриальный университет, [email protected]
