CC BY
12
© А.Б. Цветков, 2013
УДК 622:519.635.4 А.Б. Цветков
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЯВЛЕНИЙ ДАВЛЕНИЯ ГАЗА В АНИЗОТРОПНОМ ГЕОМАССИВЕ*
Представлена математическая модель учета проявлений давления газа в анизотропном геомассиве, которая реализована на основе комплекса проблемно-ориентированных программ, построенного на концепции синтеза математической модели кусочно-однородного геомассива из блоков.
Ключевые слова: Математическая модель, геомассив, структурный блок, угольный пласт, вмещающие породы, геологический разлом, метод конечных разностей, краевая задача теории упругости, синтез, гравитация, анизотропия, газ.
В работе представлена математическая модель напряженного состояния упругого анизотропного геомассива с учетом совместного воздействия давления газа и гравитации. С помощью разработанной модели исследована зависимость распределения напряжений для расчетной области с анизотропными свойствами. В реальных горных массивах деформационные свойства пород неодинаковы в различных направлениях. Возможность задать анизотропию в соответствии с реальными геологическими условиями позволит исследовать совместное воздействие давления газа и гравитации на напряженное состояние исследуемого участка с учетом его особенностей. Это позволит исследовать в окрестности горных выработок проявления опасных областей по выбросам угля и газа. Для обеспечения безопасности горных работ на сложных участках требуется прогнозировать сопряженные с риском ситуации и вовремя предусматривать меры по предотвращению аварий на горных предприятиях. В этой связи актуальна задача разработки системы компьютерного моделирования, которая основана на модели, учитывающей интегральные гравитационные и газовые проявления в анизотропном горном массиве.
При решении поставленной задачи была получена обобщенная система дифференциальных уравнений для нахождения величин перемещений, напряжений и деформаций вызванных силами гравитации и давления газа с учетом анизотропных свойств.
Согласно закону Дюгамеля-Неймана деформации в упругом изотропном теле пропорциональны температуре [3]. Аналогично, если в каждой точке анизотропного упругого тела действует давление р(х, у) , то деформации можно считать пропорциональными давлению р = р(х, у). Анизотропные свойства пород определятся величинами коэффициентов а, Р , 8 в зависимости от направления
£р = аР, £р = рр , < = 8р , гру = гр = у У = 0, (1)
*Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки по контракту №5.3832.2011.
где р = р(х, у) - давление газа, 8р , 8р , 8гр , уру , ^, ур2 - линейная часть зависимости деформаций от давления, а, в , £-коэффициенты пропорциональности.
Если в геомассиве действует гравитация, то совместные деформации 8х , ву , , Хху , Ух?, Хуг, вызванные давлением газа и гравитацией представимы в виде:
8х = Е-1 (СТх -V(стy + )) + ар; Гху = ТхуИ ;
8у = Е - (сту-V(стx))+вр; У =т И- ; / х хгГ > (2)
8? = Е-1 (ст-V(стx +сту)) + $р; Г у? = ТуИ- ,
где стх, сту , стг, тху , тхг, туг - компоненты тензора напряжений, Е - модуль юнга, V - коэффициент Пуассона, ц, X - параметры Ламе.
После нахождения из данной системы напряжений зависимости для их вычисления имеют вид:
2Мех +л{вх +ву + 8?)-(2цос + Л(а + в + 8))р ; Тху =МУху ;
2И8 у + Л(8х + 8у + 8)-(2ц/3 + Л(а + в + 8))р ; т =мГх?; (3)
ст., =
сту =
ст =
2 И8г + Л(8 х + 8 у + 8)-(2и8 + Л(а+в + 8))р ; Ту? =иуу
О °Е Е ГО]
где л = --—-- , И = —,-т , [3].
(1 + и) (1 - 2и) 2 (1 -и)
Ланные напряжения (3) были подставлены в уравнения равновесия [3]:
^ + ^ + Т + ^ = 0 ; дх ду д?
дт дст дт
+-у- + + ^ = 0 ; (4)
дх ду д? у
т+ т + ^ = 0. дх ду д?
После подстановки (3) в (4) была получена система уравнений Ламе в перемещениях с учетом давления газа.
И« + Ку + <) + (Л + И)(и1 + У"ху + <)-( 2иа + Л(а + в + 3)) р'х + ^ = 0
ИК + V; + <) + {Л + И)К + V- + <)-(2ив + Л(а + е + 5))р'у + ^ = 0 (5)
И( < + ^ + <) + {л + иЖ + v"y2 + <)-( + Л(а + е + 3))р'2 + ^ = 0,
где и, V, ш - перемещения, Ех , ¥у , - массовые силы.
Система уравнений Ламе в перемещениях с учетом давления газа и воздействия гравитации для плоскости ХОУ имеет вид:
\м(и'Хх + и"уу) + (Л + ц)(иХх + у'Ху) - (2ца + Л(а + в))р'х = 0 [мК + vУy) + (Л + ц)(иХу + V;)-(2цв + Л(а + в))р'у + pg = 0,
где р - плотность, д - гравитационная постоянная.
Алгоритм исследования разработанной модели для плоского случая реализован в виде комплекса проблемно-ориентированных программ. В пакете программ для исследования математической модели применен метод конечных разностей [2].
В качестве примера рассмотрен массив горных пород, который представлял собой область О прямоугольной формы длиной Ь и глубиной < Вмещающая толща на глубине Н2 включала пласт угля прямоугольной формы мощностью т=Н3-Н2 насыщенный газом под давлением рпл и на глубине Н4 пропласток под давлением рпр. Расчетная область представлена на рис. 1.
Расчетная область состояла из пяти подобластей 1=1..5. Каждая
из подобластей характеризует породы определенного типа. При моделировании было принято, что области 01, О5, это аргиллит, О3 — алевролит, О2 и О4 — уголь, В подобласти О2 задано давления газа величиной рпл, а в О4 - рпр, которое распределено равномерно.
В статье применялись следующие обозначения: и(х, у) , v(х, у)
а
а,
горизонтальные, вертикальные перемещения и напряжения соответствен-но.Физико-механические свойства подобластей определялись величинами: Л^ рь , где Л^ - постоянные Ламе и ^ - плотность О,. Горизонтальные границы задавались уравнениями: у=Н 3=1 ..6.
Функция давления была получена на основе математической модели диффузии газа для кусочно-неоднородного геомассива в которой обеспечивалась ее непрерывность при переходе через границы между неоднородными участками. В случае равенства коэффициентов а и в в (6) среда ведет себя как изотропная. С помощью отличающихся коэффициентов а и в моделируется анизотропные свойства массива.
Построение модели проводилось следующим образом. Для каждого блока прямоугольной формы Qi рассматривалась краевая задача теории упругости с учетом давления газа, рассчитанного на основе решения задачи диффузии газа. Краевая задача была сформулирована в следующей постановке. Найти вектор перемещений
и=(ц,у), и=и(х,у), У=у(х,у), удовлетворяющий внутри О системе дифференциальных уравнений (6) и граничным условиям:
и(а,у)=0, и(Ь,у)=0, и(х,с)=0, иМ)=0, v'x (а, у) = 0 ,
у'х(Ь,у)= 0; <уу (х,с) = 0 ; у(х,<<)=0. Задача решалась
Рис. 1. Расчетная область О
при условии, что массовые силы направлены вдоль оси ОУ и создавались собственным весом пород. На внутренних границах Н2, Н3, Н4 и Н5 согласовывались напряжения и перемещения. При проведении вычислительного эксперимента выбраны следующие структурные параметры модели в метрах: а=0, Ь=360, с=0, а=240, Н1 =0, Н2 =150, Н3 =153, Н4 =210, Н5 =211, Нб =240. Лавление газа вызывает сжатие, поэтому у коэффициентов аир задан знак минус. Физико-механические свойства задавались такие: р1=2600 кг/м3, Е1=5,2-104МПа,
Рис. 2. Вертикальные напряжения МПа: сплошная линия - анизотропный вариант, пунктирная - изотропный
V1=0,17, Р2=1380 кг/м3, Е2=0,3-104МПа,
4
Е3=2,8-104МПа, v3=0,27, р4=1380 кг/м3, Е4=0,3-104МПа, v4=0,34, р5=2600
3
V2=0,34, р3=2700 кг/м'
3
4
кг/м3, Е5=5,2-104МПа, V5=0,17,
Р1=0.1 МПа, р2= Р3=0,9 МПа, р4= Р5=0,4
р2=-0,15 -10-
а2=-0,5 -10-5 МПа-1,
МПа, р6=0.25 МПа, а1=р1=-0,15 -10-5 МПа-1 5 МПа-1.
Разработаны программные модули для решения задачи (6), которые стали частью пакета проблемно-ориентированных программ. Вычислительный эксперимент проводился при 360000 узлах сетки. Результаты численного решения приведены на рис. 2.
На вертикальной оси отложена глубина, а по горизонтали вертикальная компонента тензора напряжений. Сплошная тонкая линия соответствует напряжениям для анизотропного варианта, а пунктирная линия - изотропного. Знак минус соответствует сжимающим напряжениям.
На первом этапе исследований был проведен расчет напряженно-деформированного состояния массива под действием гравитации и давления газа при изотропных свойствах - пунктирная линия на рисунке 2. Коэффициенты а1 и р1 были заданы равными. Из графика видно, что в массиве П действуют только сжимающие напряжения. Следовательно, моделируемый ненарушенный горный массив при действии гравитации представляет собой область сжатия и сжимающие напряжения возрастают с увеличением глубины. На графике наблюдаются скачки напряжений сту на границах пласта и пропластка
угля. Величины сжимающих напряжений в окрестности пласта и пропластка соответствует совместному воздействию гравитации и давления газа.
На следующем этапе рассмотрено состояние ненарушенного геомассива при наличии анизотропии. Были заданы отличающиеся коэффициенты а2 и р2 - сплошная тонкая линия на рис. 2. Поле напряжений вызвано суперпозицией двух видов сил: гравитацией и давлением газа, но воздействие газа различно по вертикали и горизонтали. Наличие такой анизотропии приводит к увеличению величин напряжений в окрестности пласта угля на 8,7%. Таким образом,
синтезированная математическая модель позволяет исследовать распределение напряжений в геомассиве с анизотропными свойствами.
Возможность учета в математической модели, анизотропных свойств геомассива позволит исследовать распределение напряжений при наличии в нем газовых ловушек и областей аномального давления с учетом реальных геологических условий.
Практическое значение комплекса проблемно-ориентированных программ состоит в возможности прогноза выбросов угля и газа при разработке паспортов креплений выработок.
Выводы
В статье предложена система взаимосвязанных математических моделей геомеханики и газодинамики, которая в отличие от известных позволяет совместно учитывать воздействие гравитационной и газовой составляющей сил на напряженное состояние анизотропного геомассива.
Разработан авторский комплекс проблемно-ориентированных программ, который позволяет исследовать математическую модель блочной структуры, синтезированную из краевых задач геомеханики и газовой динамики.
Разработанная модель напряженно-деформированного состояния углепо-родного геомассива в отличие от известных уравнений Ламе, основана на определяющих соотношениях учитывающих давление газа в анизотропной среде.
Проведенное исследование относится к одному из этапов разработки системы компьютерного моделирования на основе комплекса проблемно-ориентированных программ, предназначенной исследования взаимодействия геомеханических и газодинамических процессов в массиве горных пород с системой подземных выработок.
1. Динник А.Н. Статьи по горному делу. [Текст] / А.Н. Динник - М.: Углетехиздат, 1957. - 193 с.
2. Венгеров И. Р. Теплофизика шахт и рудников. Математические модели. Том 1. Анализ парадигмы. [Текст] / И.Р. Венгеров -Донецк: Норд-Пресс, 2008. - 632 с.
3. Ершов Л. В. Математические основы физики горных пород. [Текст] / Л.В. Ершов, В.А. Максимов - М.: МГИ, 1968. - 293 с.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Цветков А.Б. Синтез краевой задачи теории упругости и статического давления для математического моделирования напряженно-деформированного состояния в многослойном кусочно-однородном массиве при действии гравитации [Текст] / А.Б. Цветков, В.Н. Фря-нов //Горный информационно-аналитический бюллетень, 2013. - №2. - С. 141146. ГТТШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -
Цветков Андрей Борисович - кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики ФГБОУВПО «Сибирский государственный индустриальный университет», а1БУе1@таП.ги
А
