CC BY
28
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62.50
А. Л. Бочков, Н. А. Дударенко, А. В. Ушаков
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
СИНТЕЗ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО ВЫРОЖДЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассматриваются проблемы, связанные с синтезом функционально вырожденных систем, которые возникают во многоагрегатных технических средах типа многомерный вход — многомерный выход в режимах „синхронного" движения.
В современной технологической практике имеют место многоагрегатные технические процессы, в которых агрегаты участвуют в формировании совокупного продукта и функционируют как „единое целое". Примерами таких процессов являются: процессы формирования и подачи ленточного материала в листопрокатном производстве, в производстве бумаги и тканей, процессы динамической юстировки многокомпонентных оптических и радиооптических систем, процессы движения „строем" подвижных технических средств и антропокомпо-нентов (строй самолетов, автомобилей и т.п.).
С точки зрения модельной концепции „вырождение систем типа многомерный вход — многомерный выход (МВМВ)" [1, 2] перечисленные технические процессы являются „функционально" вырожденными, при этом одной из задач средств управления, обслуживающих эти процессы, является поддержание „функционального" вырождения, именуемого также согласованным управлением [3—6].
Постановка задачи синтеза управления многоагрегатным техническим объектом (ТО) МВМВ, доставляющего процессам, фиксируемым на выходе объекта, функциональное вырождение, формулируется на основе использования модельного векторно-матричного представления
х(г)=Ах(г)+Ви(г), у(г)=Сх(г), (1)
где и, х, у — соответственно векторы управления, состояния и выхода ТО, и, у^Ят , х^Яп; А, В, С — соответственно матрицы состояния, управления и выхода, согласованные по размерности с переменными объекта.
Задача функционально вырожденного поведения ТО (1) принимает вид
g(t) = y(t)g0) ^^С?)=у(»£0; у(^Ьс {дляУt, (2)
где g (), go, ), у(?) — задающее входное воздействие, фиксированный вектор в пространстве входов, скалярные функции соответственно времени t и комплексной переменной ?,
26 А. Л. Бочков, Н. А. Дударенко, А. В. Ушаков
задающие динамику желаемого развития процессов в ТО; Lc {^о} — линейная оболочка, натянутая на вектор gо.
Поиск решения задачи осуществляется в классе алгоритмов неадаптивного управления вида
u(t)=К^)-Кх(1:), (3)
где , K — соответственно матрицы прямой связи по задающему воздействию и отрицательной обратной связи по состоянию ТО.
Агрегирование модели объекта (1) и алгоритма управления (3) образует систему
^)=Fx(t)+Gg^); x(0); у(0=Cx(t), (4)
здесь F=A-BK, G=BKg .
Перейдем в системе уравнений (4) к лапласовым образам, тогда получим
У(5)=C(sI-F)-1 x(0)+C(sI-F)-1 Gg(s)X(0)=0=(sI-Л"^); x(0)=x(t)t, (5)
где I — единичная матрица.
Подстановка в выражение (5) условия (2) дает
у(з)=C (sI - F )-1 Gg (^ (= C ^ - F gо. (6)
Поставим задачу сведения представления у( s) в форме (6) к виду
у^)=C (sI - =С( s) gо, (7)
где С^) — скалярный лапласов образ, определяющий динамику изменения вектора у^) выхода ТО (1) средствами алгоритма управления (3) в линейной оболочке Lc ^о}.
Основной результат, состоящий в конструировании матриц Kg, K алгоритма (3), опирается на следующие утверждения.
Утверждение 1. Для того чтобы вектор y(t)&Lc { gо} или чтобы выполнялось соотношение у^)=Z(s)gо, где ад — скалярная функция переменной s, имеющая вещественно-значное обратное преобразование Лапласа, достаточно, чтобы:
1) вектор BKggо был правым собственным вектором матрицы состояния F, т.е. выполнялось соотношение
F(BKggо )=Х,(ВК^о), (8)
где X, — одно из собственных значений матрицы F, i=1, п;
2) вектор gо был правым собственным вектором матрицы CBKg, т.е. выполнялось равенство
(СВК^о =Х^, (9)
где X^ — одно из собственных значений матрицы CBKg, I=1, m. Доказательство. Рассмотрим векторно-матричное выражение
у^)=C^-F)-1Gv(s)gо = C(sI-F)-1 ВК^ф). Согласно свойству [4] матричной функции f ^) сохранять геометрический спектр исходной матрицы F (F't¡i =Xi, где X, :det(XI-F)=0) в форме
f (F = f (X, Ъ (10)
выражения (8) и (10) позволяют записать для f ^) = (sI - F )-1 соотношение
^ - F )-1 ВК^ = (s-X,- )-1 BKggо, (11)
Синтез многомерных функционально вырожденных динамических систем 27
подстановка которого в формулу (7) дает
y(s)=CBKggoW (s) (s-X- )-1. (12)
Если в выражении (12) учесть равенство (9), то получим
y(s)=Xgi V(s) (s-Xi )-1 go =C(s)go, C(s)=Xgi V(s) (s-Xi )-1. ■
Заметим, что собственные числа X- выбираются исходя из требований к динамике развития фиксируемых на выходе процессов в подпространстве Lc {go} .
Альтернативой полученному результату являются следующие положения. Утверждение 2. Для того чтобы вектор y(t)eLc {go} или чтобы выполнялось соотношение y( s)=Z(s) go, где Z(s) — скалярная функция переменной s, имеющая вещественно-значное обратное преобразование Лапласа, достаточно, чтобы:
1) вектор BKggo удовлетворял соотношению (8), а следовательно, (11);
2) матрица CBKg была единичной, т. е.
CBKg = I. (13)
Доказательство. На основании подстановки соотношения (11) в формулу (7) получим выражение
y( s)=CBKggoW(s) (s-X- )-1,
тогда с учетом (13)
y(s)=go(s -Xi)-1 V(s)=(s-Xi)-1 V(s) go =C(s) go, где Z(s) = (s-X- )-1v (s). ■
Таким образом, матрицы C и B (при конструирования объекта управления) и матрица Kg (при синтезе закона управления) должны формироваться из условия
(C, B, Kg )=arg {CBKg = I}. Собственные числа X-, как и для утверждения 1, выбираются исходя из требований к динамике развития процессов в подпространстве Lc {go}.
Утверждение 3. Матрица M, приводящая произвольную (nxn) квадратную матрицу F простой структуры к диагональной форме Л в силу соотношения
Л=M~lFM,
имеет своими столбцами [7] собственные векторы матрицы F . ■
Положения утверждений 1—3, дополненные результатами, полученными при разработке обобщенного модального управления [8], являются алгоритмической основой для синтеза управления, доставляющего системе МВМВ функциональную вырожденность.
Рассмотрим алгоритм формирования матричных компонентов закона управления (3).
1. Задать вектор go, определяющий линейную оболочку Lc {go}, которой в процессе
функционирования ОУ должен принадлежать вектор выхода y (t) .
2. Сформировать требования к качеству процессов в переходном и установившемся режимах.
3. Сформировать модельное векторно-матричное представление объекта в виде (1).
4. Задать значение Xgi и решить уравнение Kg = arg {CBKg =Xgll}.
28 А. Л. Бочков, Н. А. Дударенко, А. В. Ушаков
5. Сформировать собственный вектор матрицы F : = BKgg0 .
6. Записать матричное уравнение Сильвестра МЛ-AM = -BH в декомпозированной форме:
[М М ]• Л Л - A [М М ] = -B [ Я: H ] , (14)
где М =í)i, Л = А,г-: Fí)i = 'kjt,i, так что выражение (14) распадается на два уравнения Сильвестра
(V-A) = -BH ; МЛ-АМ = -BH , (15)
где (Л, H) — наблюдаемая пара, Л=ё1а§ {^у: j ^i; j=1, n}; решить первое уравнение (15) относительно матрицы H, а второе — относительно матрицы М; сформировать матрицы М = [М:М ], H = [Й \ H ] , при этом обеспечить максимальную близость собственных векторов Е,у = Му, j ^ i, матрицы F к ортогональности, с тем чтобы доставить модальную робаст-ность системе.
7. Вычислить матрицу обратных связей K=HM _1 = [Й\H]^[М/:М] .
8. Построить реализационную версию закона управления:
u (t)=Kgg (t) - Kx(t)=Kgg (t) - Kyy(t) - Kxx(t )\ку =Kg =
=Kg (g (t) - y (t)) - Kxx(t)=Kg e(t) - Kxx(t )\Kg =ke= Kee(t) - Kxx(t), где Kx = K - KgC.
В заключение следует заметить, что класс решений поставленной задачи может быть расширен за счет использования алгебраических свойств левых собственных векторов матрицы F состояния системы (4), в качестве которых можно использовать строки Ck, к = 1, m,
матрицы выхода C = col{ck, к=1, m}. В этом случае матричная мультипликативная структура
C (sI - F ) BKg получит представление C (sI - F ) 1 BKg = col {(s-Xk ) 1 CkBKg, к =1, m}, допускающее последующее развитие алгебраического подхода к решению задачи.
список литературы
1. Акунова А. М., Дударенко Н. А., Ушаков А. В. Проблемы вырождения сложных систем: технологии контроля при гармоническом и стохастическом экзогенных воздействиях // Современные технологии: Сб. статей / Под ред. С. А. Козлова. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2004.
2. Дударенко Н. А., Ушаков А. В. Вырождение сложных динамических систем с равнотемповыми структурными компонентами // Программирование, управление и информационные технологии: Науч.-техн. вестн. СПб.: СПБГУ ИТМО, 2005. Вып. 19.
3. Лаврентьев В. В., Ушаков А. В. К вопросу о синтезе перекрестных связей, обеспечивающих синхронную работу параллельно включенных агрегатов // Приборы и системы автоматики: Тр. ЛИТМО. Л.: ЛИТМО, 1975. Вып. 85.
4. Мирошник И. В., Ушаков А. В. Синтез алгоритма синхронного управления системой квазиоднотипных объектов // Автоматика и телемеханика. 1977. № 11.
5. Мирошник И. В. Согласованное управление многоканальными системами. Л.: Энергоатомитздат, 1990.
6. Система управления лентопротяжным механизмом / В. А. Власенко, И. В. Мирошник, Ю. А. Сабинин, А. В. Ушаков и др. // Электротехн. пром-сть. Сер. Электропривод. 1977. Вып. 5(58).
Прогнозирование процесса вертикальной качки корабля 29
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.
8. Никифоров В. О., Ушаков А. В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002.
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
систем управления и информатики 26.06.07 г.
УДК 62.50
В. В. Григорьев, Ю. В. Медынский, М. М. Мотылькова
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
О. К. Мансурова
Северо-Западный государственный заочный технический университет
Санкт-Петербург
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЕРТИКАЛЬНОЙ КАЧКИ КОРАБЛЯ
Описывается алгоритм прогнозирования вертикальной качки на море, который может быть использован для повышения точности работы бортовых систем автоматического управления посадкой самолетов палубной авиации и разработки новых систем управления беспилотными летательными аппаратами.
Введение. Научные модели, применяемые для описания явлений природы, можно разделить на детерминированные и вероятностные [1]. В вероятностной модели любого явления наряду с контролируемыми присутствуют случайные факторы, вызывающие при его повторении неконтролируемые колебания.
В теории случайных процессов рассматривается специальный класс — нерегулярная качка [1]. Движение объектов, в данном случае корабля, под действием нерегулярных возмущений (нерегулярное волнение) осуществляется по случайному закону. Процесс качки характеризуется существенной неопределенностью. Описание этого процесса детерминированной моделью не отразит полностью характер его развития. Поэтому при построении модели качки будем опираться на вероятностную модель — случайный процесс.
Расчет математической модели процесса качки. Случайный процесс вертикальной качки характеризуется явной колебательностью. В общем случае спектральная плотность случайного процесса с явно выраженной резонансной частотой Шо, коэффициентом затухания а и константой уровня Оо определяется выражением [2, 3]
5 (ш) =
4
Ш0 О0
ш4 + 2(2а2 -Ш2)Ш2 +ш0
Предположив, что случайный процесс вертикальной качки представляет собой гауссов белый шум, постоянный „белый" спектр которого искажается при прохождении через колебательное звено, запишем выражение для передаточной функции формирующего фильтра [2]:
Ф(р ) =
Ш0
2 2 р + 2ар + ш0
