CC BY
91
УДК 004.89, 004.9
А.А. Зуенко СИНТЕЗ МЕТОДОВ ЛОГИКО-СЕМАНТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В РАМКАХ ЗАКОНОВ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ*
Аннотация
Дается краткое введение в теоретические основы математических структур, часто используемых в информационных технологиях и тесно связанных с алгеброй кортежей (АК). Доказывается, что АК относится к классу булевых алгебр. Приводится обзор методов АК, позволяющих унифицировать процедуры дедуктивного и недедуктивного анализа.
Ключевые слова:
булевы алгебры, алгебра кортежей, логико-семантический анализ, дедуктивные рассуждения, недедуктивные рассуждения.
A.A. Zuenko SYNTHESIS OF METHODS OF LOGICAL-SEMANTIC ANALYSIS BASED ON LAWS OF CLASSICAL LOGIC
Abstract
The article presents the theoretical bases of mathematical structures often used in informational technologies and closely related to N-tuple algebra (NTA). We prove that N-tuple algebra belongs to the class of Boolean algebras. Review of NTA methods for unifying the procedures of deductive and non-deductive analyses is given.
Keywords:
boolean algebra, N-tuple algebra, logical-semantic analysis, deductive and non-deductive reasoning.
Введение
При разработке современных средств моделирования структурно-сложных систем наметилась тенденция к интеграции хорошо зарекомендовавших себя методов (например, методов теории управления), и новых для этой области исследований методов искусственного интеллекта [1]. В результате, в состав упомянутых программных комплексов включаются такие компоненты, как нейронные сети; базы знаний; компоненты, реализующие рассуждения и т.д. Однако, как правило, компоненты, предназначенные для моделирования рассуждений, основаны на аксиоматическом методе, и поэтому реализуют только один вид рассуждений. Дело в том, что различные виды рассуждений (дедукция, абдукция, аналогия, индукция) формализуются различными системами аксиом и правил вывода, что затрудняет их сопряжение в единой программной среде. В связи с этим, представляется актуальной проблема создания математического аппарата, который бы мог послужить базой для разработки интегрированных методов логико-семантического анализа, синтезирующих различные познавательные процедуры.
"Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-07-00066, № 11-08-00641-а),
ОНИТ РАН (проект 2.3 в рамках текущей Программы фундаментальных научных исследований) и Президиума РАН (проект 4.3 Программы № 15).
В качестве такого аппарата далее рассматривается алгебра кортежей (АК), представляющая собой общую теорию многоместных отношений [2, 3, 4]. Основы АК излагаются в [2]. Применение АК при решении различных задач логико-семантического анализа можно найти в [5, 6]. В настоящей работе приводятся некоторые сведения из дискретной математики и математической логики, необходимые для того, чтобы обосновать принадлежность АК к классу булевых алгебр и показать, что в АК соблюдаются все законы классической логики. Затем продемонстрировано, что средствами АК, не прибегая к помощи многозначных логик, можно решать основные задачи дедуктивного и недедуктивного анализа.
Чтобы обозначить место АК среди других алгебраических систем, введем некоторые определения и понятия.
1. Решетки и булевы алгебры
Сначала рассмотрим частично упорядоченные множества (ч.у.м., посеты, i’-множества) X. < >, которые можно представить как частный случай графов, где для элементов носителя задано отношение частичного порядка со свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Примерами ч.у.м. являются числа, упорядоченные по величине; слова с лексикографическим порядком; множества, упорядоченные по включению; целые числа с отношением делимости и т.д. Формально отношение частичного порядка определяется как заданное на множестве X бинарное отношение со следующими свойствами:
1) рефлексивности, a < a;
2) транзитивности: если a < b и b < с, то a < с;
3) антисимметричности: из a < b и b < a следует a = b, где a, b и с - произвольные элементы X.
Используя понятие частично упорядоченного множества, можно описать еще один фундаментальный класс алгебраических систем - решетки. Для этого введем несколько вспомогательных определений.
Пусть X - ч.у.м. с частичным порядком <. Элемент х называется нижней гранью для a и b, если х < a и х < b. Аналогично, у называется верхней гранью для a и b, если a <у и b <у. Элемент х называется точной нижней гранью для a и b, если х - нижняя грань элементов a и b и для любой другой их нижней грани v выполняется v < х. Обозначение: х = inf(a, b). Элемент у называется точной верхней гранью для a и b, если у - верхняя грань элементов a и b и для любой другой их верхней грани и выполняется у < и. Обозначение: у = sup(a, b).
Решеткой [7] называется ч.у.м. <Х, < >, для любых двух элементов а, b которого существует точная нижняя грань inf{a, b) е X и точная верхняя грань sup(a, b) е X.
Другими словами, если в модель ч.у.м. добавить две двухместные операции inf и sup, то получим известную алгебраическую систему, которая называется решеткой.
Примечательно, что решетка может быть представлена и как "чистая" алгебра <В, П, U>, если положить, что а ГлЬ = inf{a, b), a U b = sup(a, b), a отношение < заменить следующим образом: а <Ь <=> а СЛЬ = а или a KJ b = Ь
(знак <^> здесь означает "равносильно"). Далее приведем формальное определение решетки через операции О, ^ (в некоторых источниках эти операции обозначаются, как л и V соответственно. Алгебра <В, П, и>, где В - непустое множество элементов решетки, аП,и - двухместные операции (пересечение и объединение), называется решеткой, если для всех а, Ь, с из В выполняются следующие требования:
1) замкнутость: множество В содержит а гл Ь, а и 6;
2) свойства идемпотентности: а гл а = а, а и а = а;
3) коммутативные законы, а Г\Ь = Ь П а, а и Ь = Ь и а;
4) ассоциативные законы, а П ф П с) = (а П Ь) П с,
а и ф и с) = (а и Ь) и с;
5) законы поглощения: а и (а П Ь) = а, а П (а и Ь) = а.
Решетка называется дистрибутивной, если соблюдается хотя бы один из следующих законов:
6) законы дистрибутивности: а П ф и с) = (а П Ь) и (а П с),
а и ф П с) = (а и с) П (а и с).
Решетка называется ограниченной, если:
7) 0 е В {нуль или нижняя грань решетки) и 1 е В (единица или верхняя грань решетки) такие, что для. а е В выполняется О П я = 0, 1иа=1, аиО = а, а Г\\= а.
Решетки сами по себе часто встречаются в разных прикладных задачах, но еще важнее то, что понятие решетки непосредственно приводит нас к понятию булевой алгебры, значение которой для основ современной двоичной компьютерной техники трудно переоценить.
Алгебра <В, О, >, где есть одноместная операция (дополнение), называется булевой алгеброй (булевой решеткой), если в В, помимо условий 1 - 7, выполняются следующее условие:
8) Для каждого элемента а множество В содержит элемент а (дополнение
элемента а) такой, что а и а = 1, а П а = 0.
Другими словами, булева алгебра является дистрибутивной ограниченной решеткой, в которой для каждого элемента существует дополнение.
Большой список литературы по различным вариантам аксиоматических определений булевой алгебры приведен в [8].
К булевым алгебрам относятся:
1) алгебра множеств (алгебра Кантора, алгебра классов, алгебра подмножеств, алгебра частей множества) <Р{М), ГЛ, и. >, причем М (универсум) - верхняя грань, 0 - нижняя грань, сг - естественный частичный порядок, Р(М) - булеан (множество всех подмножеств) множества М;
2) алгебра Буля (алгебра логики, алгебра высказываний, алгебра В2) <{0,1}, л, V, —I >, причем 1 - верхняя грань, 0 - нижняя грань.
Своеобразным эталоном в классе булевых алгебр является алгебра множеств, о чем свидетельствует следующая теорема.
Теорема (Стоуна). Всякая конечная булева алгебра В изоморфна алгебре множеств [9].
Семейство Ь подмножеств опорного множества X называется решеткой подмножеств для X. если выполнены условия:
I) X е Ь; 0 е Ь (эти множества играют роль единицы и нуля);
II) из Л-1, Я,2 е Ь следует п ^2 е Ь;
III) из ^1, Х2 е Ь следует А,1 и Х2 е Ь;
IV) из Х\, Х2 ^ Ь следует Х,1 \ Я-2 е Ь.
Решетка подмножеств — это булева решетка с нулем, единицей и операцией дополнения А, = Х\к е Л для любого X е Л. При этом Х\\Х2 = Х\СЛ Х2 . Отношение порядка в решетке подмножеств есть отношение включения Х\ е X, при этом:
$ир{к\, Х2} = ^и Х2; т/{Хг, Х2} = Х^ П Х2.
Другими словами, чтобы обосновать принадлежность алгебраической системы к классу булевых алгебр, достаточно доказать, что выполнены свойства 1-1У.
2. АК как булева алгебра
Алгебра кортежей (АК) - это алгебраическая система, предназначенная для моделирования и анализа многоместных отношений. Носителем АК является произвольная совокупность многоместных отношений, выраженных в матрицеподобных структурах (С-системах, С-кортежах, ^-системах, ^-кортежах), которые называются АК-объектами. В отличие от матриц и реляционных таблиц, компонентами этих структур служат не отдельные элементы, а их множества. В качестве базовой структуры АК выступает С-кортеж, представляющий собой, по сути, изображение декартова произведения. В АК любое многоместное отношение можно “компактно” выразить как совокупность С-кортежей, то есть в виде С-системы. Для С-систем определены операции взятия дополнения, пересечения и объединения. Все операции в АК выполняются без разложения АК-объектов в набор элементарных кортежей, поскольку в основе законов алгебры кортежей лежат следующие свойства декартовых произведений [10].
1. Пересечение декартовых произведений.
Если даны декартовы произведения Х\хХ2х...хХп и К,хК2х_..хто их пересечение вычисляется как:
(Х\хХ2х...хХ„) п (71х72х...х7„)=(ЛГ1 п ¥,)х(Х2 п 72)х... х(Х„ п ¥„).
Таким образом, надо сначала вычислить пересечение пар множеств, находящихся на соответствующих "местах" исходных декартовых произведений, а затем сформировать декартово произведение полученных множеств. Например, пусть заданы следующие декартовы произведения:
{а, с, с!}х{Ь, с}х{Ь, с,/} и {а, Ь, с, с1}х{а, с, с!}х{Ь, с, с!}.
В соответствии с приведенным правилом вычисления пересечения декартовых произведений имеем:
({а, с, с!}х{Ь, с}х{Ь, с,/}) п ({а, Ь, с, с!}х{а, с, с!}х{Ь, с, с!}) =
= ({а, с, й} п {а, Ь, с, с1})х({Ь, с} п {а, с, с1})х({Ь, с,/} п {6, с, б/}) =
= {а, с, с1}х{с}х{Ь, с}.
Нетрудно убедиться, что результат пересечения содержит 6 элементарных кортежей:^, c, Ь); (а, c, ^; (c, c, Ь); (с, c, c); (^, c, Ь); ^, c, c).
Тот же результат можно получить, если развернуть первое декартово произведение (в нем содержится 18 элементарных кортежей), затем второе (в нем 36 элементарных кортежей), а потом выбрать из этих двух совокупностей одинаковые элементарные кортежи. Но вычислять результат таким путем намного сложнее. При пересечении двух С-систем С-кортежи, принадлежащие различным отношениям, пересекаются по схеме ”каждый-с-каждым”.
2. Пустое декартово произведение.
Если при вычислении пересечения декартовых произведений окажется, что в полученном декартовом произведении хотя бы одно множество - пустое, то результатом будет пустое декартово произведение. Например,
{а, с, с!}х{Ь, с}х{Ь, с,/} п {а, Ь, с!}х{а, с!}х{Ь, с, с!} = {а, б/}х0х{6, с} = 0.
3. Объединение декартовых произведений.
В общем случае объединение двух декартовых произведений нельзя представить как одно декартово произведение:
П П П
Пх^П7 <=П^и^)- (!)
г=1 ;=1 ;=1
Существуют случаи, когда в соотношении (1) знак включения можно заменить знаком равенства. Таких случаев два.
Первый случай. Если для двух декартовых произведений А и В соблюдается ^сВ,то справедливо А и В = В. Например,
{а, с, с1}х{Ь, с}х{6, с,/} и {а, с1}х{Ъ, с}х{Ь,/} = {а, с, с!}х{Ь, с}х{Ь, с,/}, так как проверка показывает, что второе декартово произведение включено в первое.
Второй случай. Если в двух декартовых произведениях все "места", за исключением одного, содержат равные множества, то в соотношении (1) знак включения заменяется на знак равенства. Например,
{а, с1}х{Ь, с}х{Ь, с, с!} и {а, с1}х{Ъ,/]х{Ъ, с, с!} = {а, с1}х{Ь, с,/]х{Ъ, с, с!}, так как в этих декартовых произведениях отличаются друг от друга только множества на втором "месте", а все остальные "места" содержат равные множества.
Если объединение двух декартовых произведений (С-кортежей) не удается записать в виде единственного декартового произведения (С-кортежа), то из них формируется С-система.
4. Проверка включения декартовых произведений.
Если, при сравнении двух декартовых произведений А = (Х1хХ2х...хХп) и В = (У]хУ2х...у Уп) окажется, что для всех "мест" соблюдаются соотношения
сX\ С 70, № с 72),..., (Х„ с ¥„), (2)
то справедливо А с 5, то есть все элементарные кортежи декартова произведения A обязательно принадлежат также и декартову произведению B. В
противном случае отношение ЛсВне соблюдается. Например, если заданы два декартовых произведения {а, с, с1}х.{Ь, с}х{Ь, с,/} и {а, <3}х{Ь, с}х {&,/},легко убедиться, что второе из них включено в первое, так как каждая компонента второго декартова произведения есть подмножество соответствующей компоненты первого.
5. Разность декартовых произведений.
п п
Пусть даны два декартовых произведения |””[ у и № . Тогда
/=1 /=1
П П
Пх, \ п=(ста№....х^и... и».,хста).
1=1 1=1
Структуру этой формулы легче понять, если расположить объединяемые в правой части подформулы в виде таблицы:
Х1 \ Г2 х Х2 х...х Хи
Хх X Х2\Г2 Х...Х Хи
X, х Х2 х...х Хп\Тп
Опираясь на это свойство, можно утверждать, что дополнение С-кортежа является С-системой.
Замечание. В математике под многоместным отношением понимается подмножество некоторого декартова произведения. Доказано, что для совокупности многоместных отношений, сформированных в одном декартовом произведении, выполняются все законы булевой алгебры, поскольку в этом случае отношения можно рассматривать как обычные множества (множества элементарных кортежей). Однако для отношений, заданных в различных декартовых произведениях операции алгебры множеств не определены.
В АК обобщены операции алгебры множеств на случай, когда многоместные отношения сформированы в различных схемах (декартовых произведениях). С этой целью в АК введены пять операций с атрибутами отношений (столбцами АК-объектов). Кратко затронем некоторые из них. Операция +Atr (операция добавления атрибута) позволяет добавлять в заданное отношение новый столбец и соответствует известному в исчислении предикатов правилу обобщения: из Р(у) выводимо \/х(Р(у). Операция -А !г (операция элиминации атрибута) заключается в удалении столбца из АК-объекта и также может быть интерпретирована с помощью кванторов, но тип квантора (V или 3) зависит от типа структуры (С-структура или .О-структура), к которой эта операция применяется.
В АК доказано, что алгебра С-систем (в том числе, сформированных в различных схемах) изоморфна алгебре подмножеств, то есть является булевой алгеброй [2]). Нетрудно убедиться, что свойства II - IV выполняются, поскольку результатом обобщенных операций (пе, иа. /о) над С-системами также являются С-системы. Отдельно поясним, насчет свойства I. Пустое множество является С-кортежем, а, значит, это вырожденный случай С-системы. Опорным множеством для семейства С-систем служит гибкий универсум, представляющий декартово произведение множеств, входящих в схемы С-систем упомянутого семейства. Следовательно, по аналогии с пустым множеством, гибкий универсум является С-системой.
Использование в АК обобщенных операций (пе, /е) и отношений (се, =а и др.), аналогичных по смыслу соответствующим операциям и отношениям алгебры множеств, расширяет аналитические возможности АК по сравнению с реляционной алгеброй и теорией бинарных отношений, а также дает возможность реализовывать не только известные в логике методы, но и создает предпосылки для разработки новых методов логико-семантического анализа, некоторые из них представлены ниже.
5. Краткий обзор методов АК.
Перечислим основные задачи логического анализа, решаемые в АК.
Логический вывод. В АК реализован принципиально новый алгебраический подход к логическому выводу. Пусть посылки (или аксиомы) Аь А2, ..., Ап и предполагаемое следствие В выражены как АК-объекты. Кратко опишем схемы решения двух задач логического вывода:
1) проверка правильности следствия осуществляется как проверка обобщенного включения (А 1 слаА2 ... А„) <^оВ;
2) вывод возможных следствий: сначала вычисляется:
А = А\ Г\(; А 2Г>; ... ГУ; АПОСЛе чего подбираются такие Вр чтобы выполнялось А В}. При формировании возможных следствий часто необходимо учитывать определенные семантические ограничения (например, число и/или состав атрибутов в следствии), в связи с чем поиск Bj сводится к нахождению интересующих проекций АК-объекта А.
Недедуктивные методы логико-семантического анализа. Помимо представленных задач логического вывода (дедуктивный анализ), в АК успешно решаются и задачи недедуктивного анализа: формирование и проверка
корректности гипотез, вывод абдуктивных заключений [5, 6]. В отличие от формальной логики, в АК контроль корректности посылок (и/или гипотез, абдуктивных заключений) не сводится лишь к анализу их противоречивости (контрадикторности), а реализуется более тонкий семантический анализ несовместности посылок (например, выявление контрарных следствий), который опирается на понятие “Коллизия”. Коллизии в основном возникают как нарушение определенных формально выраженных правил или ограничений, регулирующих целостность или смысловое содержание системы. В системах пересматриваемой аргументации коллизиям в какой-то степени соответствуют понятия "опровержение", "подрыв аргумента", "атака" и т.д.
Анализ неопределенностей. Для решения этой задачи в АК на данный момент реализовано два метода [2]. Первый заключается в том, что параметры с неопределенными значениями могут быть заданы в виде множеств или интервалов возможных значений. Второй метод позволяет применить вероятностный анализ ситуации, используя логико-вероятностный подход на основе АК.
Заключение
Обзор возможностей АК показывает, что в ней реализуется широкий спектр задач логико-семантического анализа: логический вывод, недедуктивные методы, анализ неопределенностей. По сути, предлагается новый алгебраический подход к унификации решения перечисленных задач, опирающийся на законы булевой алгебры без привлечения неклассических логик.
Литература
1. Васильев, С.Н. Интеллектное управление динамическими системами / С.Н. Васильев, А.К. Жерлов, Е.А. Федосов, Б.Е. Федунов. - М.: Физико-мате-матическая литература, 2000. - 352 с.
2. Кулик, Б.А. Алгебраический подход к интеллектуальной обработке данных и знаний / Б.А. Кулик, А.А. Зуенко, А.Я. Фридман. - СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2010. 235 с.
3. Кулик, Б.А. Математическое отношение как основная структура логики / Б.А. Кулик // Труды междунар. научной школы "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах - 2008" СПб., ГУАП, 2008. - С.190-192.
4. Зуенко, А.А. Унификация обработки данных и знаний на основе общей теории многоместных отношений / А.А. Зуенко, Б.А. Кулик, А.Я. Фридман // Искусственный интеллект и принятие решений, 2010. - Вып. 3. - С.52-62.
5. Кулик, Б.А. Управление логико-семантическим анализом на основе теории отношений. / Б.А. Кулик, А.А. Зуенко, А.Я. Фридман // VIII Всероссийская школа-семинар «Прикладные проблемы управления макросистемами» г. Апатиты, 29 марта - 2 апреля 2010 г.: мат. докл. - Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2008. - С.23-24.
6. Kulik, B. Logical Analysis of Intelligence Systems by Algebraic Method /B. Kulik, A. Fridman, A. Zuenko // Cybernetics and Systems 2010: Proceedings of Twentieth European Meeting on Cybernetics and Systems Research (EMCSR 2010) Vienna, Austria. 2010. - pp.198-203.
7. Дискретная математика: учебник для студ. вузов / Т.С. Соболева,
А.В. Чечкин; под ред. А.В. Чечкина. - М.: Издательский центр «Академия», 2006. - 256 с.
8. Сикорский, Р. Булевы алгебры / Р. Сикорский. - М.: Мир, 1969. - 375 с.
9. Столл, Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории / Р.Р. Столл. - М.: "Просвещение", 1968. - 232 с.
10. Бурбаки, Н. Теория множеств / Н. Бурбаки. - М.: Мир, 1965. - 465 с.
Сведения об авторе Зуенко Александр Анатольевич
к.т.н., научный сотрудник. Учреждение Российской академии наук Институт информатики и математического моделирования технологических процессов Кольского научного центра РАН.
Россия, 184209, г. Апатиты Мурманской обл., ул. Ферсмана, д. 24A. e-mail: [email protected].
Alexander. Zuenko
Ph.D. (Tech. Sci.), a researcher. Institution of Russian Academy of Sciences, Institute for Informatics and Mathematical Modeling of Technological Processes, Kola Science Center оf RAS. Russia, 184209, Apatity Murmansk region, Fersman St. 24А.
