Синтез квантовых моделей представления нечетких знаний для принятия приближенных решений в особых случаях управления полетами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.324

СИНТЕЗ КВАНТОВЫХ МОДЕЛЕЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕЧЕТКИХ ЗНАНИЙ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ В ОСОБЫХ СЛУЧАЯХ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТАМИ

КУРЕНКО А.Б., СИРОДЖА И.Б._____________

Формулируется и решается задача формализации нечетких знаний. Определяется понятие “знание” посредством единого структурированного представления сведений о классах объектов принятия решений и данных о предметной области как разноуровневых лк -знаний. Это позволяет создать единый простой формализм манипулирования знаниями при принятии приближенных решений руководителем полетов и летчиком по управлению самолетом и его системами в целях выхода из особого случая в полете.

1. Актуальность проблемы

Возрастающая сложность и ответственность задач принятия решений, увеличение стоимости, уникальности и сложности авиационной техники порождают ситуации, когда летчик работает на пределе своих интеллектуальных и психофизиологических возможностей. Эти факторы повышают вероятность возникновения особых случаев в полете и перерастания их в авиационные происшествия. Решить эту проблему могут знаниеориентированные системы поддержки принятия решений (ЗСПР), которые усиливают человеческие способности летчика и руководителя полетов строить логические обоснования применительно к задачам управления самолетом и его системами в целях выхода из особого случая в полете, или спасения экипажа [1].

Для научного обоснования построения эффективных ЗСПР, обеспечивающих требуемую безопасность полетов летательных аппаратов, необходимо создать теоретические основы представления и манипулирования нечеткими (приближенными) знаниями для принятия приближенных решений в различных условиях неопределенности [2-4]. Существующие модели представления знаний требуют совершенствования либо кардинального изменения. Поэтому авторы обратились к разработанному научной школой профессора Сироджи И.Б. (ХАИ) эффективному методу разноуровневых алгоритмических квантов знаний (РАКЗ-метод). Он базируется на концептуальной основе к -знаний как содержательных, специальным образом структурированных разнотипных данных, допускающих одновременно вычислительные операции и логический вывод, подобно известным фреймовым или продукционным моделям представления знаний. Однако в отличие от известных моделей, к -знания более универсальны, естественны, обладают качеством наследования и допускают алгебраические преобразования вместе с логическим выводом путем векторно-матричных операций.

2. Постановка задачи

В нашем понимании представление знаний — это определение достаточно широкого класса нечетких знаний в терминах теории алгоритмов. Под манипулированием знаниями будем понимать реализацию формальных операторов над квантами знаний, процедур логического рассуждения и вывода нечетких знаний при компьютерном формировании принимаемых решений.

Постулируем предположение о том, что человек воспринимает и отображает окружающий мир структурированно, т.е. выделяет в нем конкретные факты, предметы, процессы, явления, события и конечное число отношений между ними, сохраняя эту структуризацию в естественно-языковом отображении. Отсюда вытекает необходимость алгоритмического определения понятия “знания” посредством сведений о классах объектов принятия решений (ОПР) и данных о предметной области в форме разноуровневых порций-квантов числового, векторного, функционального, матричного и другого содержания [3].

Обобщим основные результаты, полученные в работах [3,4], относительно моделей представления нечетких лк -знаний в условиях неопределенности на базе РАКЗ-метода для задачи принятия приближенных решений руководителем полетов и летчиком для выхода из особого случая в полете.

Пусть нечетким знаниям соответствуют приближенные, так называемые лк -кванты знаний, которые имеют степень достоверности меньше 1, определяемую показателем достоверности d[•]. Предположим, что показатели достоверности лежат в интервале , где «-1» - означает, что

знания абсолютно неверны; «0» — полная неопределенность знаний; «+1» — знания абсолютно достоверны, а промежуточные значения интервала отображают степень доверия или недоверия к соответствующим знаниям. Указанные значения показателей достоверности л -квантов могут быть назначены экспертами в данной предметной области либо вычислены по специальным обоснованным методикам [4].

Каждой единичной компоненте признакового домена в л -кванте приписываем числовое значение d[•] коэффициента достоверности, отделяемого вертикальной чертой. При этом значение d[«], соответствующее доменным компонентам целевого признака, характеризует оценку достоверности следствия, а значения d [•] компонент других признаков оценивают достоверность посылочных знаний для данного следствия. Чтобы вычислить коэффициент достоверности d[yj = d [пк}Ую\ всего заключения, т.е. показатель достоверности л -кванта j -го уровня с именем Ую, используются задаваемые значения d[•] посылок и импликаций по схеме с жесткой логикой: посылки внутри доменов комбинируются дизъюнктивно (связка или), а междоменные посылки — конъюнктивно (связка и). Алгоритмически найден-

60

РИ, 2003, № 1

ное значение d [^kjY^| хранится всегда в ячейке последнего (и +1 -го домена % -кванта Yro описывающего ОПР иеП . Эта ячейка называется пассивным доменом, символизирующим выход % -кванта.

Тогда A п -задача формализации % -кванта знаний представляется «пятеркой»:

A я= (S,K я ,D, П я ,Q я), (1)

где S — символьный язык % -квантов знаний, состоящий из конечного множества букв, цифр и символов операций теории алгоритмов; K ж — конечное множество терминальных % -квантов знаний; D — множество значений некоторой функции достоверности dM [•] разноуровневых п -квантов из интервала [-1,+1] (показателей достоверности); П ж — правила конструирования разноуровневых п -квантов; Q ж — множество семантических кодов для п -квантовых структур.

Другими словами, в A п -задаче требуется создать формальный механизм построения класса разноуровневых лк -знаний в языке S со значениями степени достоверности из D на основе применения правил П п к терминальным % -квантам из K п с семантическими кодами из Q ж.

3. Решение A я - задачи формализации и синтеза п -квантов знаний

3.1. Основные определения

Рассмотрим алгоритмическую формализацию % -квантов знаний в рамках требований поставленной Aп -задачи (1). Будем сопоставлять приближенным лк -знаниям нечеткие множества [5]. Обозначим через U = {и} универсальное множество.

Определение 1. Нечетким множеством п M на множестве U называется совокупность пар вида:

71M = {( u|dM [и])} (2)

где dM : U ^ Н-,0,..,+1] - отображение множества U в отрезок [-1,...,+1], называемое функцией достоверности нечеткого множества п M .

Значение функции достоверности dM [и] для конкретного элемента и є U назовем показателем достоверности, характеризующим ее степень. Всюду

будем полагать, что показатель достоверности dM [и] является субъективной либо некоторой объективной мерой того, насколько элемент и є U соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством п M.

Определение 2. Носителем нечеткого множества п M называется множество:

Zm = (и|и є U Л dM Ы є [-Р-Э1]} (3)

т.е. подмножество Zm универсального множества U , для элементов которого функция достоверности dM строго принимает значения на отрезке [-1,-,+1].

РИ, 2003, № 1

Например, если универсальному множеству U соответствует множество возможных значений скорости разбега истребителя от 1 до 375 км/ч, то нечеткое множество п M, отвечающее нечеткому (приближенному) понятию “начало разбега”, можно представить в виде:

л M = ^1|17500,9,(1000,8;(1500,7^200-0,і),...,(375|-і)}

(4)

где — принятая символика обозначения нечет-

кой информации. Данное нечеткое множество представимо графически в виде дискретных точек на плоскости, абсциссы которых соответствуют значениям и є U , а ординаты — функции достоверности гїм[и]. Носителем п M в нашем примере есть конечное множество:

ZM = {і,50,100,150,200,...,375} . (5)

При описании объектов и явлений эксперт использует понятия нечеткой и лингвистической переменной.

Определение 3. Нечеткой переменной называется «тройка»:

(a, Y, Cа) , (6)

где а — имя нечеткой переменной; Y = {и} —

область ее определения; C а = и|гї а [и^| — нечеткое

множество на Y, описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной а, т.е. ее семантику.

Определение 4. Лингвистической переменной называется «пятерка»:

(p,T,Y,л G,л Q . (7)

Здесь Р — имя лингвистической переменной; T — множество ее значений (терм-множество), представляющее собой наименования нечетких переменных из области определения Y (T называют базовым терм — множеством лингвистической переменной); п G — синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая оперировать элементами терм - множества T; ж Q — семантическая процедура для преобразования каждого нового значения лингвистической переменной, образуемого процедурой п G, в нечеткую переменную, т.е. для приписывания ему семантики путем формирования соответствующего нечеткого множества.

Пусть перед нами стоит задача интерпретации значений лингвистической переменной понятия “высота полета летательного аппарата”, таких как “предельно малая” высота, “малая”, “средняя”, “большая”, высота “выше допустимой”. Тогда эти значения будут нечеткими множествами, определяющими значения данной лингвистической переменной.

И, наконец, для описания семантически нечетких знаний (:rck -знаний) будем использовать нечеткие высказывания. Нечеткими назовем высказывания следующих трех видов:

1) высказывание (рестьа), где р — имя лингвистической переменной, отражающей некоторый ОПР

61

или параметр реальной действительности, относительно которой утверждается а , являющееся ее нечеткой переменной (нечеткой оценкой);

2) высказывание вида (рестьца), фестона), (цРестьца), (цРестьца), где ц — модификатор (ему соответствуют слова типа: ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ, СРЕДНИЙ, ДОСТАТОЧНЫЙ и др.); q - квантификатор (ему соответствуют слова типа: НЕСКОЛЬКО, БОЛЬШИНСТВО, МНОЕО, НЕ-МНОЕО, ОЧЕНЬ МАЛО и др.);

3) высказывания, образованные из высказываний 1-го и 2-го видов с союзами И, ИЛИ; ЕСЛИ...,ТО; ЕСЛИ...,ТО...ИНАЧЕ; НЕТ.

Рассмотрим механизм алгоритмической формализации п -квантов знаний в рамках сформулированной A ж -задачи (1).

Наблюдаемые ОПР юєО характеризуются конечным числом разнотипных признаков хь x2,..., xn . Пусть они принимают значения из конечных нечетких множеств:

ж X(1) = {а}'

dXi[а}],...,ар} dXi[а1^]},

* X(2) = {«2 |dX2 [aj1 ],..., ар2 |dX2 [«22]},.-. * X(n) = {afdXn[«f],...,

(8)

dvn [apn]},

где dXj : X

(j)

[-1,...,0,...,+i] — функция достовер-

ности нечеткого множества X

п X(j)

Тогда представим конечное множество терминальных п -квантов знаний K ж в A ж -задаче (1) следующими тремя терминальными % -квантами:

1) векторный п -квант 0-го уровня

dXi[a}],...,«pi dXi[ap1]: ..

лкоу =

1

ai

...: af

X1

.n

dXn [a1 ],.., apn

dXn [aon]

pnJ

(9)

y є S, є Qn с семантикой: «наблюдаемый ОПР характеризуется n признаками xj (j = 1,n), значения которых a kk- єл X(j), (k j = 1, p j) с соответствующими

показателями достоверности dXj [akj. є D(j)» (доменные компоненты n -кванта разделяются запятыми);

2) выбирающий п -квант 0-го уровня

лко a = Vkp [ai|dA [ailа 2|dA [а 2І->а p|dA [а Л =

= а k|dA [а к1 (10)

а є S, ^ko є Qn с семантикой: «из p -мерной совокупности ж A наблюдаемых нечетких значений признаков выбрано значение a k с показателем достоверности dA[ak] є D(k) »; D(k) c D ;

3) характеристический % -квант 1-го уровня

rckiP =

=XYj(« kdYj[a k]) =

1, если

(«kdYj[ak])e7t

Y.

0,если(аk dYj[aК])^“ Yj

,(11)

с семантикой: «значение ak j -й характеристики ОПР в данный момент наблюдается с показателем

достоверности dYj [akjє D, если значение характеристической функции х Yj = 1, и не наблюдается, если хYj = 0 », где % Yj = {< ak dYj [«k] >} — нечеткое множество зарегистрированных значений j -го признака ОПР, а х y- — характеристическая функция множества "Yj; nki єQж;РєS;D — множество значений функции достоверности dM [•].

Итак, выражения (9), (10) и (11) определяют множество К п терминальных % -квантов знаний в рассматриваемой A п -задаче:

К n={nk 0У, ^k 0 a, nk ф} . (12)

При этом предполагаем обязательное наличие множества алгоритмов П * (п * с П л) нахождения показателей достоверности целевых следствий в п -квантах на основании их посылок.

Определение 5. Алгоритмические конструкции, получаемые из компонентов множества К п (12) путем конечного числа применений к ним П -оператора, CON( •) -оператора и CON [•] -оператора [5], при наличии П называются разноуровневыми nk -знаниями, т.е. приближенными квантами знаний. Класс nk -знаний M ж, образуемый по определению 5, назовем стандартным классом нечетких РАКЗ-моделей представления знаний, используемых для автоматизированного принятия приближенных решений.

Заметим, что на основе использования К п (12), П -оператора, CON(•) -оператора и CON[•] -оператора определяются п -кванты 0-го, 1-го и 2-го уровней аналогично определениям в [3]. По аналогии с пространством четких МАКЗ-моделей ОПР [3] можно построить пространство нечетких РАКЗ -моделей ОПР вида:

пXn =пX}x*X2 X...хлXn (13)

либо в квантовом виде:

лBn =лБ1хлВ2 х...хлBn (14)

для описания фактов и нечетких закономерностей.

Рассмотрим на примерах типичные представления п -квантов разноуровневых знаний. Произвольный интервальный п -квант знаний 1-го уровня tc^Y будем описывать согласно правилам П ж в(1) векторной доменизированной структурой, содержащей показатель достоверности d y [•] лишь той компоненты домена, которая отмечена символом «1».

При алгебраическом описании ^k -знаний предикатными нечеткими РАКЗ-моделями (например, п -квант :rckiY) будем использовать конечный предикат в виде нечеткой элементарной конъюнкции (НЭК) нечетких выражений

х-є" Zc"Xj,1 < j < n (15)

62

РИ, 2003, № 1

с семантикой: «признак xj ОПР принимает значение из нечеткого подмножества п Z нечеткого множества " Xj ». Такой предикат истинен с заданным показателем достоверности dz [•] только на элементах соответствующего нечеткого интервала I данного пространства нечетких РАКЗ - моделей ОПР.

3.2. Векторно-матричное представление и конструирование л -квантов знаний

Пример 1. Интервальный л -квант знаний 1-го уровня, описывающий фрагмент особого случая в полете “Помпаж силовой установки” [6]:

rfqY =

Х1

х2

1 dXi [а1 ],0,1 dXi [a3 ],0:0,1 dX2 [а2] ,1 dX2 [а32]:

х3

х4

: 1dX3 [a3],0,0,1dX3 [а4]: 1 dX4 [а4],0,0,0,0:

х5

:1dX5[a5],1dX5[a2]

= 1dY

J (16)

с семантикой «признак xj (удары в районе двигателя) исследуемого ОПР принимает 1-е (“многократные”) или 3-е (“одиночные”) значение из

нечеткого множества ж X(1) = {i,2,3,4} с соответствующими показателями достоверности dX(1) [a^ и

dX(1) [a3j ; признак Х2 (изменение оборотов (тяги) двигателя) принимает 2-е (“зависание”) или 3-е (“возрастание”) значение из %X(2) = {l,2,3} с показателями достоверности dX(2) [a 2 J и dX(2) la3 J; признак X3 (изменение температуры газов) принимает 1-е (“падение”) или 4-е (“возрастание выше допустимого”) значение из ж X(3) = {1,2,3,4} с показателями достоверности dX(3) [a3J и dX(3) [a 4]; целевой

признак Х4 (команды РП) определен однозначно 1-м (“действия летчика по выходу из данного особого случая”) значением из множества

п X(4) = {1,2,3,4,5}, рассматриваемых в ИПК «ПОЛЕТ» [2] особых случаев в полете, с показателем

достоверности dX(4) [a5 J; сведения о признаке х5

(толчки в продольном направлении) неясны, так как наблюдается 1-е (“частые”) или 2-е (“одиночные”) его значение из двух возможных ж X(5) = {1,2}», описывает наблюдаемый факт с показателем достоверности л -кванта лк^ , равным dY . Здесь dY есть значение функции достоверности всего л -кванта знаний, которое вычисляется по определенным правилам из П п (1) как степень достоверности некоторого следствия относительно целевого признака в зависимости от показателей достоверности значений нецелевых признаков. Как правило, во внутреннем (машинном) представлении вычисляе-

мое значение dY достоверности заключения в л -кванте помещается в (n +1) -м специальном пассивном домене, а j -й домен целевого признака перемещается на место n -го домена. В л -кванте (16) целевым является признак Х4 (т.е. хц = х4 ). Тогда с очевидными упрощениями л -квант (16) в машинном представлении станет 6-доменным (6-й домен поименован YBbIX) и запишется так:

лк^ =

Х1

x2

1 dX1 [1,0,1 dX1 [3,0 : 0,2 dX2 [2,3 dX2 [3:

x3

x5

:1dX3[1l0,0,4dX3[4]:1dX5[ll2dX5[2]:

x4=^ Y

л ^ 1 RT-.TV

:1dX4 [40,0,0,0:1djy]

(17)

что является векторным представлением нечеткой РАКЗ-модели лk -знаний с видоизмененной семантикой: «ЕСЛИ ОПР обладает 1-м значением

признака x1 с показателем достоверности dX(1) [1] ИЛИ 3 -м значеним с dX(1) И И 2-м значением с dv(2) [4, ИЛИ 3-м значеним с dX(2) [4 признака

X(2) x2 '

И 1 -м значением с dX(3) 1, ИЛИ 4-м значе нием с dX(3) [4 признака x3, И 1-м значением с dX(5) М, ИЛИ 2-м значением с dX(5) [2 признака x5, ТО целевой признак x4 будет иметь 1-е

значение с dX(4) 1, гарантированно вычисленным по заданной схеме рассуждений заключительным показателем достоверности d[Y] л -кванта знаний

с именем Y ». Как видим, л -квант лк^ содержит логическую комбинацию посылок с показателями достоверности относительно значений признаков xbx2,x3,x5, от которых зависит вычисляемый показатель достоверности d[Y] заключения относительно целевого признака x4 = xц . Методика вычисления d[Y] изложена в [4].

Матричное представление нечетких РАКЗ - моделей лк -знаний 2-го уровня можно получить с помощью CON [4 -оператора [3], связывающего совокупность л -квантов 1-го уровня как частных логических свидетельств связкой ИЛИ, которая отражает независимость частных свидетельств младшего уровня.

Пример 2. Для описания нечетких импликативных закономерностей r -го ранга между признаками ОПР используются соответствующий векторный либо матричный л -кванты по методике [3]. Так, запретный л -квант 1-го уровня лк1 Yro , описывающий, например, нечеткую импликативную связь 3-го ранга между признаками xbx2 и x3 ОПР иєП, представляется нечеткой векторной РАКЗ -моделью вида

РИ, 2003, № 1

63

rck1Yco =

x1

x2

(18)

X3 у

. 1ВШ

0,2

dX(i)[2],3

dX(i)[3]:0,0,0,4

dX(2)[4]:1dX(3)[1],0:qd[y

с семантикой: «не существует ОПР ю с достоверностью dy, который, обладая 2-м значением с dX(i) [2] ИЛИ 3-м значеним с dX(i) [3 признака xi И, обладая 4-м значением с dX(2) [4 признака X2, не обладал бы 1-м значением с dX(3)[l] целевого признака X3». Показатель достоверности d|Y] % -кванта (18) также вычисляется по методике, изложенной в [4].

3.3. Предикатные РАКЗ - модели представления я -квантов знаний

истинность предиката с вычисленным показателем достоверности d[y] по методике, изложенной в [4].

Запретный п -квант (18) из примера 2, описывающий импликативную связь 3-го ранга между признаками xi,X2,X3 , представим эквивалентной нечеткой предикатной РАКЗ - моделью во внутреннем представлении:

лк1Ую =

(X1 = 2

dX(i) [2],3 dX(i) [3]). (X2 = 4dX(2) [4]) ^

X'

X

^^(X3 = 1dX(3) [1]) = 0|d[Y]

(22)

где символы 0|d|yj указывают на ложность предиката с вычисляемой достоверностью d[yj п -кванта лкіУю , по методике, рассмотренной в [4].

С помощью алгебры конечных предикатов представим, например, п -квант (17), описывающий фрагмент особого случая в полете, нечеткой предикатной РАКЗ - моделью. Пусть лкіУ (17) конъюнкт. Тогда ему соответствует НЭК вида

лкіУ =

(xi є{а1 dX(i)[a1],a3 dX(i)[a3]})л

л (X2 є{а2 3

л (X3 є {ai

dX(2) [a2 ]a3 dX(2) [a3]}) л

Xі-

dX(3)[a3],a4dX(3)[a4]})л -(19)

л (X4 є {a4 dX(4)[a4]})

Заметим, что в (19) отсутствует компонента с признаком X5, поскольку соответствующее нечеткое подмножество значений

ж Z5 = X(5) = {af

1X(5)[a5],a2 dX(5) [a2]} ,

лк^У =

л (

Л (

) Л

= 1dy

(20)

что указывает на неоднозначность сведений в п -кванте и, следовательно, на их неинформативность.

Далее НЭК (19) представим предикатным уравнением и получим л -квант в аналитическом виде:

((xi =1 dX(i) [i]) v (xi = 3 dX(i) [3)) л Л ((x2 = 2 dX(2) [2]) v (x2 = 3 dX(2) Ф /

v ((x3 =1 dX(3) ^]) V (x3 = 4 dX(3) [ф Л

v(x4 =1dX(4)[1)

либо (с упрощением) в виде нечеткой предикатной РАКЗ-модели во внутреннем представлении:

(xi = 1dX(i) W’3|dX(i) [з]) •

• (X2 = 2dX(2)M,3dX(2)[3)«

• (x3 = 1dX(3)t],4dX(3)[4) •

• (x4 = 1dX(4)[1)

где символ «•» означает конъюнкцию, а символ «,» — дизъюнкцию; символы id у и 1d[Y указывают на

64

л^У =

- 1|dy, (21)

4. Выводы

Таким образом, сформулирована и решена A п -задача формализации нечетких знаний. Алгоритмически определено понятие “знания” посредством единого структурированного представления сведений о классах ОПР и данных о предметной области как разноуровневых лk -знаний. Это позволило создать единый простой формализм манипулирования знаниями, отличающийся от известных способов возможностью легко преобразовывать и выводить новые лk -знания при решении базовых В- и С-задач принятия приближенных решений по управлению самолетом и его системами в целях выхода из особой ситуации либо спасения экипажа, посредством векторно-матричного (16)-(18) и предикатного (19)-(22) представления % -квантов знаний различного уровня.

Литература: 1. Кирпичникова Л.Г., Матвеенко Л. С. Бортовые информационные системы обеспечения безопасности пилотируемых летательных аппаратов: Учебное пособие. М.: МАИ, 1994. 66с. 2. Куренко А.Б. Поддержка принятия решений в системе “руководитель полетов-летчик-летательный аппарат” при условиях неопределенности методом разноуровневых алгоритмических квантов знаний // Труды 6-го Международного молодежного форума “Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке”. Харьков: ХНУРЭ, 2002. 4.2. С.370-371. 3. Сироджа И.Б. Математическое и программное обеспечение интеллектуальных компьютерных систем: Учебное пособие. Харьков: ХАИ, 1992. 4.1. 101с. 4. Сироджа И.Б, Петренко Т.Ю. Метод разноуровневых алгоритмических квантов знаний для принятия производственных решений при недостатке и нечеткости данных. К.: Наук. думка, 2000. 247с. 5. Дюбуа Д, ПрадА. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990. 287с. 6. Руководство по летной эксплуатации самолета МИГ-29М. 1985. 367с.

Поступила в редколлегию 10.09.2002

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Путятин Е.П.

Куренко Александр Борисович, адъюнкт Харьковского института ВВС Украины. Научные интересы: представление знаний и разработка систем военного назначения, основанных на знаниях. Адрес: Украина, 61165, Харьков, ул. Клочковская, 228, тел. 30-82-18.

Сироджа Игорь Борисович, д-р техн. наук, профессор, академик УкрАИН, заведующий кафедрой программного обеспечения компьютерных систем Национального аэрокосмического университета им. Н.Е. Жуковского «ХАИ». Научные интересы: прикладная математика, искусственный интеллект. Адрес: Украина, 61136, Харьков, ул. Героев Труда, д.29в, кв. 22, тел. 44-27-34.

РИ, 2003, № 1