CC BY
51
УДК 621.372
DOI: 10.17586/0021-3454-2016-59-7-542-546
СИНТЕЗ КОМПЛЕКСНОГО ФИЛЬТРА С ЗАДАННОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ
С. И. Зиатдинов, А. В. Аграновский, Л. А. Осипов
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,
190000, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]
Предложена методика синтеза комплексного фильтра с желаемыми частотными характеристиками. Синтезируемый фильтр состоит из нескольких параллельно включенных элементарных узкополосных фильтров, обладающих своими амплитудно- и фазочастотными характеристиками. Согласно полученному выражению, импульсная характеристика синтезированного фильтра может быть представлена суммой импульсных характеристик элементарных фильтров. Рассмотрен конкретный пример.
Ключевые слова: комплексный фильтр, частотная передаточная функция, импульсная характеристика
При обработке информации наиболее часто используется процедура фильтрации сигнала с помощью фильтров нижних и верхних частот, полосовых и режекторных фильтров. В ряде случаев применяются адаптивные комплексные фильтры, параметры которых могут изменяться в зависимости от спектральных характеристик обрабатываемых сигналов [1, 2].
В комплексных фильтрах управлять частотной передаточной функцией фильтра значительно проще, чем в действительных фильтрах. Вместе с тем далеко не всегда удается согласовать параметры фильтра с характеристиками сигналов на его входе. При этом существует достаточно жесткая связь между амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристиками (ФЧХ) фильтра.
Вопросы синтеза фильтров с заданными частотными свойствами достаточно подробно рассмотрены в [3]. Существующие методы сводятся к решению задачи аппроксимации — отысканию передаточной функции реализуемого фильтра, которая являлась бы аппроксимацией некоторой выбранной идеальной характеристики. При этом используются методы классического численного анализа, ряда Фурье, наименьших квадратов и др. Однако такие методы очень громоздки, сложны в практическом использовании и не всегда дают желаемый результат.
В настоящей статье рассматривается простой метод синтеза комплексного фильтра с заранее заданными АЧХ и ФЧХ.
Желаемые АЧХ и ФЧХ комплексного фильтра представлены на рис. 1 жирными линиями. Для синтеза комплексного фильтра с заданными произвольными и независимыми АЧХ и ФЧХ проведем дискретизацию этих характеристик по частоте с шагом Дю, в пределах которого не происходит существенных изменений W(ю) и ф(ю) . В результате эти характеристики комплексного фильтра можно представить в виде последовательности прямоугольников высотой W (юг-) и ф(юг-) с основанием Дю (рис. 1, тонкие линии).
Очевидно, что чем меньше шаг дискретизации по частоте Дю, тем менее дискретизиро-ванные АЧХ и ФЧХ будут отличаться от исходных АЧХ и ФЧХ комплексного фильтра. В результате синтезированный комплексный фильтр можно представить в виде параллельно соединенных элементарных фильтров с АЧХ Wi (ю) = W(юг-) и ФЧХ фг- (ю) = ф(юг-), где i — номер элементарного фильтра. АЧХ и ФЧХ элементарного фильтра приведены на рис. 2.
В целом синтезированный комплексный фильтр имеет следующую частотную передаточную функцию
N . ( )
(. ю) = Е Ж (ю).(ю), (1)
-=1
где N — число элементарных фильтров. Из этого соотношения видно, что путем независимого выбора необходимых значений Ж- ( ю ) и ф- ( со ) можно получить практически любую частотную передаточную функцию Ж (]со ) .
а)
и>1 о
W(ra) А W(ffl) ■■
Дю
ю
Рис. 1
б)
ф(ю)Д
ю1 Ю; ю2 Ю
Ю1 ю2 ю
Рис. 2
Импульсная характеристика такого фильтра принимает вид [4]:
1 » . . 1 » N , .
^ (г) = — I (.ю = — I Е Ж ( ю>фг (со).^ю.
2п _Ю 2п _Ю у =1
Поменяв интеграл и сумму в (2) местами, получим
(2)
Ие(/) = Е -1- I Ж( ю)е.[юг+ф* <ю)]*> = Е И«), (3)
I=1 2П _Ю у=1
1 да
где И (^) = — | Ж 1 ( ю)е.[юГ+ф|(со)]^ю — импульсная характеристика элементарного фильтра.
2л _Ю
Найдем импульсную характеристику элементарного фильтра, считая, что в пределах его полосы пропускания Дсо значения Ж- ( ю ) и ф - ( ю) остаются постоянными
1 (»2 1 »2 h. (t) = _l j Wjej»td®=— J Wfj(»1+ф)d».
2л
2n,
(4)
Используя в (4) преобразование Лапласа ejy = cos у + j sin у, после несложных тригонометрических преобразований получим
, , ч W • -» i
h (t) == —- sin —2-11
; nt 2
(02 +» i I . . I (O9 +» i cos| —-L t + ф; I-j sin I —-L t + фг-
Выражение (5) преобразуем к виду
ю
Ф
о
о
h (t) = W sin 4г* [cos (ю**+ Ф«) - j sin Kt + Фг)], (6)
nt 2
ю2 + Ю1 ,
где roi = 2— — средняя частота элементарного фильтра с полосой прозрачности
Дю = ю2 - ю1 (см. рис. 2, а).
В частном случае можно записать:
- , „ , , ч , Wi . Дю , .
1) фi = + п /2; h (t) = ±—sin-1 (sin ю* + j cos ю*);
nt 2
„ч 42W¡ . Дю r. , . ... _ . . n
2) фг- = + п /4; hi (t) =-- sin-t[(cos ю* ± sin ю*) - j(cos ю* + sin ю^)];
2nt 2
3) фi = + п /6; h¡ (t) = W sin -Д" t [(V3cos ю^ ± sin ю^)- j (^Зо^ю^ + sin ю^ );
s x Щ . Дю .
4) фг- = 0; ht (t) = — sin-t(cos ю^ - j sin юit).
nt 2
Следует отметить, что взятые за основу элементарные фильтры с прямоугольной АЧХ имеют импульсную характеристику типа sinx/x, бесконечную как при положительных, так и при отрицательных значениях аргумента. Это известные в литературе так называемые идеальные фильтры, не реализуемые на практике.
Задача перехода от идеального фильтра к реальному и ее решение обсуждаются в работе [5]. Предлагается в импульсную характеристику hi (t) идеального элементарного фильтра ввести
задержку на время *о . При этом величина импульсной характеристики h¡ (t - *о) для t=0 должна быть меньше заданной: например, hi (t - *о)/ hi (0) < 0,01. Возникающие при этом амплитудные и фазовые искажения являются незначительными.
Вводимая задержка выходного сигнала является абсолютно нормальным явлением для любого реального фильтра с ограниченной верхней частотой АЧХ. В качестве примера рассмотрим синтез комплексного фильтра нижних частот первого порядка с частотной передаточной функцией вида
w О) = 1————-, 1 + j (ю - ю0)-
где -, ю0 — постоянная времени и средняя частота фильтра.
Этой частотной передаточной функции соответствуют следующие АЧХ и ФЧХ
W(ю) = , 1 ; ф(ю) = -arctg^ - ю0)-. (7)
д/1 + (ю - ю0)2-2
Импульсная характеристика фильтра определяется выражением
h(t) = — e-t/- (cos ю0* - j sin ю0*) . -
В соответствии с выражениями (3), (6) и (7) импульсная характеристика синтезируемого комплексного фильтра нижних частот принимает вид
N 1
hz (t) = !■
i =1
2 2 2 т2
хsint {cos^t - arctg(юi - ю0)-] - jsin[юit - arctg^- -ю0)-]}. При расчетах полагалось - = 0,01 с, fN = юN /2п = 10 кГц; f0 = ю0 /2п = 100 Гц.
Качество синтезированного комплексного фильтра оценивалось по относительной среднеквадратической ошибке вычисления импульсной характеристики фильтра
о h =
M Е W) " h (t)/h(t}2
M k=1
где M — число учитываемых отсчетов импульсной характеристики (было принято M = 100). Отсчеты брались с периодом Г=0,001 с.
В работе получены следующие результаты. При ширине полосы прозрачности элементарного фильтра А/ = А со/2п = 10 Гц нормированная среднеквадратическая ошибка составляла 2,32 %; при А/ = 5 Гц — 0,91 % и при А/ = 1 Гц — 0,8 %.
Таким образом, с уменьшением полосы прозрачности элементарного фильтра частотная передаточная функция синтезированного комплексного фильтра стремится к желаемой.
Рассмотренная методика синтеза позволяет получить комплексный фильтр практически с любой частотной передаточной функцией.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987. 221 с.
2. Микропроцессорные системы автоматического управления / Под общ. ред. В. А. Бесекерского. Л.: Машиностроение, 1988. 364 с.
3. Воробьев С. Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Академия, 2013. 317 с.
4. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.
5. Сиберт У. М. Цепи, сигналы, системы. М.: Мир, 1988. 243 с.
Сведения об авторах
Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государствен-
ный университет аэрокосмического приборостроения; E-mail: [email protected]
Андрей Владимирович Аграновский — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического приборостроения Леонид Андронникович Осипов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государствен-
ный университет аэрокосмического приборостроения; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
метрологического обеспечения 03.03.16 г.
Ссылка для цитирования: Зиатдинов С. И., Аграновский А. В., Осипов Л. А. Синтез комплексного фильтра с заданной передаточной функцией // Изв. вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59, № 7. С. 542—546.
SYNTHESIS OF COMPLEX FILTER WITH SPECIFIED TRANSFER FUNCTION S. I. Ziatdinov, A. V. Agranovsky, L. A. Osipov
St. Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 190000, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
A method for synthesis of a complex filter with desired frequency characteristic is proposed. The filter under development consists of several elementary narrow-band filters connected in parallel, each of the filters possesses separate amplitude- and phase-frequency characteristics. A formula is derived presenting pulse response of the synthesized filter as the sum of pulse response functions of the elementary filters. The results are illustrated with a specific example.
Keywords: complex filter, frequenct transfer function, pulse response
Data on authors
Sergey I. Ziatdinov — Dr. Sci., Professor; St. Petersburg State University of Aerospace In-
strumentation; E-mail: [email protected]
Andrey A. Agranovsky — PhD, Associate Professor; St. Petersburg State University of Aero-
space Instrumentation
Leonid A. Osipov — Dr. Sci., Professor; St. Petersburg State University of Aerospace In-
strumentation; E-mail: [email protected]
For citation: Ziatdinov S. I., Agranovsky A. V., Osipov L. A. Synthesis of complex filter with specified transfer
function // Izv. vuzov. Priborostroenie . 2016. Vol. 59, N 7. P. 542—546 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2016-59-7-542-546
