Синтез и моделирование системы управления поставками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г.Н. Решетникова

СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОСТАВКАМИ

Рассматривается задача формирования следящей системы управления поставками. Описывается математическая модель процесса поставок, сбыта и хранения п видов товаров в виде линейной стохастической системы обыкновенных дифференциальных уравнений с блочными матрицами. Приводятся алгоритмы, позволяющие определять объемы поставок на основе слежения за величиной желаемой прибыли.

Развитие рыночной экономики ставит задачи о разработке методов управления экономическими системами с применением математических методов. В связи с доступностью и относительной дешевизной компьютерной техники использование математических моделей экономических процессов приобретает не только теоретическое, но и практическое значение как средство принятия эффективных экономических решений.

В настоящей работе рассматривается задача формирования следящей системы управления поставками. Описывается математическая модель процесса поставок, сбыта и хранения п видов товаров в виде линейной стохастической системы обыкновенных дифференциальных уравнений с блочными матрицами. Приводятся подходы, позволяющие определять объемы поставок на основе минимизации локальных квадратичных критериев при слежении только за величиной желаемой прибыли.

Описание математической модели процесса поставок

Пусть математическая модель, описывающая процесс поставок п видов товаров, задана в виде системы линейных дифференциальных стохастических уравнений:

= N с )(ф7«) -фг (/)),

а(3,1) _ 1,1 а(1,2) =

= (с )(фу (ґ) -фг (ґ) - к2 А

а,

7(2,2) =

= - N (с„ )фг (ґ),

= -NС )ф_ і (ґ) - к1

= -сД(сі ^(ґ)•

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Матрица В (?), задающая влияние управляющих воздействий в (1), имеет вид

В(ґ) = (в^) В2(і) Б3(Ґ)У

(9)

где В1 (?) = (Ьи(,'1) (?)), ' = 1,3, ц, п = 1, п, - диагональные матрицы п -го порядка. В матрицах В1 (?), В3 (?) диагональные элементы соответственно равны

Ъ(3) = --

(10)

(її)

Х(ґ) = А (ґ)х(ґ) + В (ґ)и (ґ) + ^ ( ґ)^(ґ),

х(?о) = Хо,

(1)

где х(?) = (X! (?), X2 (?), Х3 (?)) - вектор состояния, компоненты которого имеют следующий смысл: х1(?) = (zl(t), ..., 2п(?))Т - объем каждого вида товара на рынке; х2(0 = (у1(/), ..., Уп(?)) -Т объем товара у потребителя; х3(?) = (м'1(/), ..., wn(?))Т - прибыль от реализации товаров; и (?) = (м1(/), ..., ип (?))Т - вектор управления, характеризующий темп поставок товара каждого вида. Матрица А (?) динамических свойств модели (1) является блочной и имеет вид

А( ) =

(Аї,ї(ґ) Аї,2 (ґ) Аї,з(ґ) ^

А2,ї(ґ) А2,2 (ґ) А2,з(ґ)

Аз ї (ґ) Аз2(ґ) Азз(ґ)

(2)

7(1,1) _

= -N(с )(фу (ґ) -фг (ґ) + кЗА

(з)

В (2), (9) матрицы А- 3 (?), ' = 1,3, В2 (?) являются нулевыми.

При определении элементов в блоках матриц А( ), В ( ) использовались следующие обозначения: к1 к2 к3 сц, N(сц), ц = 1, п, - коэффициенты, характеризующие темп потребления, плату за хранение, порчу товаров, величины торговой накрутки и скорости продажи товара каждого вида. Функции Ф7 (?), фг (?), фГ (?), ц = 1, п, характеризуют потенциальный спрос, объем товара на рынке и поведение покупателя относительно товара каждого вида.

Влияние случайных факторов в модели (1) будем описывать с помощью вектора q(t) = (^ (?), q2 (?), ^3 (?))Т, компонентами которого являются векторы гауссовских случайных величин с характеристиками

где А1 (?) = (оц^), ', у = 1,3, ц, п = 1, п - диагональные матрицы п -го порядка, ненулевые элементы которых соответственно равны

М {ч, (ґ)} = (ґ),

М {(Ч,. (ґ) - Ч (ґ))(ч,. (т) - Ч, (х))г } = Іп 8(ґ - т),

м{ч,(ґ)</ (ґ)} = о,; ф у,;,у = 1, з,

(12)

где q¡(?) = (^.^), ..., q¡,п(?)) , 1п - единичная матрица п -го порядка, 8(-)- функция Дирака. Матрица ^ (?)

1

характеризует влияние случайных факторов в модели (1), которую будем считать блочной матрицей вида

F (ґ) = d;ag{Fl(ґ), ^(ґ), ^з(ґ)},

(1з)

М {гі (к)} = 0,

М{г(к)гТ (у)} = Л5*, м{г (к)гт (к)} = о,; ф у,;, у = 1,з

где F■ (ґ), ; = 1,3, - диагональные матрицы п -го порядка.

где Я 1 - матрицы порядка I 1,' = 1,3 , которые являются блоками матрицы Я вида

Синтез и моделирование системы управления поставками

В реальной ситуации информация о состоянии экономического процесса, как правило, содержит погрешности и, кроме того, часть информации может вообще отсутствовать. Будем предполагать, что информация поступает в дискретные моменты к , соответствующие ?к = ?0 + кЫ, Д? = ?к+1 - , к = 0,1, ..., и математическая модель информационной системы задана в виде

у(к) = Нх(к) + г (к),

(14)

где

х(к +1) = А(к) х(к) + В(к )и(к) + F (к )д(к), х(0) = Хо.

(15)

Если дискретизация осуществляется методом Эйлера с шагом Д?, то

А (к) = 13п +ДА(?к),

В (к) = ДВ (?к),

Е (к) = <Д1Ё«к), (16)

где 13п - единичная матрица порядка 3п .

Матрица Н информационной системы имеет вид

ґ

Н =

Н1 0

0 Н2 00

(17)

Л =

Г л1 0 0 'ї

0 Л2 0

0 0 Л

3 У

Объем поставок будем формировать на основе минимизации локального квадратичного критерия [1, 2]:

J (к) = 0,5М {(х(к +1) - х( 2 > (к ))т С > х( х(к +1) - х( 2-1 (к)) + ит (к) Би(к)}

(18)

х(к) = (х (к), х2(к), х3 (к))Т, х(к)=(ху(к), ..., х,„(к))Т, ' =1, п, -

состояние преобразованной в дискретную форму системы (1), которая записывается в виде

при слежении за состоянием Х^к)=Х')(к) х2\к), Х^^(к), где х:(2)(к) = (х(1)(к), ..., х(2и))т,' = 1,3. Матрицы С,Б в (18)

являются неотрицательно и положительно определенными весовыми матрицами порядков 3п и 3 соответственно. Выражение, определяющее объем поставок, будет иметь вид

и(к) = -(Вт (к )СВ(к) + Б)- Вт (к )С х х[А (к)Х(к) + F(к)д(к) - х(2) (к)],

(19)

где Х(к) = (Х^к),Х2(к),Х3(к))Т - оценка вектора со-

стояния, полученная с помощью фильтра Калмана.

Для поставщика существенным чаще всего является отслеживание только прибыли. В связи с этим рассматриваются подходы, позволяющие формировать объемы поставляемых товаров на основе минимизации локальных квадратичных критериев при слежении только за величиной желаемой прибыли.

В [3] это достигается построением системы пониженного порядка р < 3п вида

X(р) (к +1) = А(р) (к) х( р) (к) + В( р) (к )и(к) +

+ Е(р) (к)q(k), х(р) (0) = Ьх0, (20)

системы пониженного

где Н1 - матрицы размерности I 1 х п, (/¡. < п), ' = 1,3,

состоящие из нулей и единиц, нулевые столбцы которых соответствуют компонентам вектора состояния, о которых отсутствует информация; 0 - нулевые матрицы соответствующих размерностей. При этом отсутствие блочных матриц в ' -й строке в (17) указывает на

полное отсутствие информации о х' (к),' = 1,3. Вектор

г(к) = (г (к), г,(к), г3(к))Т, где г (к) = (гд(к), ..., гц(к))Т, ' =1,3,

описывает погрешности информационной системы. Будем предполагать, что компоненты вектора г (к) являются последовательностями независимых гауссовских величин с характеристиками

где А( р) (к) - матрица динамики

порядка, определяемая с помощью алгоритмов агрегирования, приведенных в [3, 4]:

В(р)(к) = ЬВ(к), Е(р) (к) = ЬЕ(к),

X - матрица агрегирования размерности рх3п ранга р.

Объем поставок, осуществляемый на основе минимизации локального критерия

J(р-1 (к) = 0,5М{(х р) (к +1) - 1х(2-1 (к))т С

(х(р) (к +1) - Ьх(2; (к)) + ит (к)Би (к)},

Л2)

(21)

определяется выражением

и(к) = -((В(р)(к))тСрВ(р)(к) + Б)-1(В(р)(к))тСр х х [Акр) (к)Х(р) (к) + F(р) (к)Ч(к) - Ьх(2> (к)], (22)

где Ср = Б(к)СБт (к), Х(р) (к) = ЬХ(к), Б(к) - матрица оператора обратного преобразования, определяемая одновременно с А^^р) (к). При соответствующем выборе матрицы Ь в выражении Ьх(2) (к) останутся только те компоненты вектора заданного состояния, которые определяют величину желаемой прибыли.

В [5] предлагается минимизируемый критерий записывать в виде

JS (к) = 0,5М{(5Х(к +1) - Н2) (к))т С, х х (£х(к +1) - 2) (к)) + ит (к)Б,и(к)} ,

(23)

где 2 ^ (к) = (н’!(к),

„(2 )с

У1 (к), ..., ккп (к)) - вектор, компоненты которого содержат значения величин желаемой прибыли в к -й момент для каждого вида товара, £ = (0 0 1п) - блочная матрица размерности п х 3п, состоящая из нулевых и единичной матриц п -го порядка, С£, - неотрицательно и положительно опре-

деленные весовые матрицы вида

Численное моделирование

В [6-8] рассмотрено формирование объема поставок для двух и трех видов товаров на основе минимизации критерия (18), при этом слежение осуществлялось за вектором, задающим величину желаемой прибыли на существующем рынке. Использование критерия (21) рассмотрено в [4].

Численное моделирование на основе минимизации критерия (23) осуществлялось для управления поставками двух видов товаров одним поставщиком [6] с шагом Дґ, равным одному дню в течение месяца. Математические модели, описывающие потенциальный спрос, ситуацию на рынке и поведение покупателя относительно каждого вида товара, заданы в виде полиномиальных функций, для определения коэффициентов которых учитывались данные поставщика и характер поставляемого товара. При управлении на основе минимизации критерия (23) использовались следующие данные:

Я = (0 0 12), С, =

Б =| 10-4 0

Б =1 0 10-5

Г 9,52 -10-7

0

1,19 -10

Л

С, = diag{Cs ,1, Б, = diag{Ds ,1,

С,, п },

Б,, п }.

(24)

Тогда объем поставок будет определяться выражением

и(к) = -(Вт (к),тС3,В(к) + )-1 х

х Вт (к),тС3 [£А(к)Х(к) + SF(к)д(к) - н(2) (к)]. (25)

слежение осуществлялось за величиной желаемой прибыли, соответствующей 5%-му увеличению существующего состояния. Объемы поставок каждого вида товара формировались по информации, характеризующей только динамику изменения прибыли (Н = (0 0 12)), при этом вводились ограничения, учитывающие грузоподъемность транспортных средств и допустимые финансовые расходы на их использование.

Учитывая соотношения (2)-(13), (14)-(15) и вид матрицы £, можно записать выражения, определяющие объемы поставок каждого вида товара, следующим образом:

и (к) = К' [Д^ N (с )Ф^ (к) + Е (к )^1 (к) --(Nc¡фv (к) + Дк\)Х1' (к) - ^Х2' (к) - 2) (к)], (26)

где

Дїс;С,,

Дґ С,,; + с; ,;

Nc¡ = ДґсN (с,), і = 1, п .

(27)

(28)

Заметим, что, в отличие от способа формирования объема поставок при минимизации критериев (18), (21), использование критерия (23) позволяет в явной форме, используя коэффициенты и параметры модели (1), получить выражения для определения объема поставок каждого вида товара.

Рис. 1. Реализации прибыли для первого вида товара

Рис. 2. Реализации прибыли для второго вида товара

На рис. 1, 2 приведены результаты моделирования, мой прибыли, а точками - прибыли, полученной в ре-

где сплошными линиями изображены значения желае- зультате моделирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. 171 с.

2. Решетникова Г.Н. Синтез следящей системы адаптивного управления темпом производства по локальному критерию // Вестник Томского

государственного университета. 2004. Вып. 284. С. 166-168.

3. Решетникова Г.Н. Синтез адаптивного управления по локальному критерию с моделью пониженного порядка // Вестник Томского государ-

ственного университета. 2006. Вып. 290. С. 241-244.

4. Решетникова Г.Н. Следящая система адаптивного управления с прогнозирующей моделью пониженного порядка // Вестник Томского госу-

дарственного университета. 2006. Вып. 290. С. 237-240.

5. Смагин С.И. Управление выходом дискретной динамической системы: Материалы Х Всероссийской научно-практической конференции

«Научное творчество молодежи». Ч. I. Анджеро-Судженск, 2006. С. 178-179.

6. Старых А.А., Решетникова Г.Н. Формирование следящей системы управления поставками при неполной информации: Материалы докла-

дов межрегиональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР». Томск: ТУСУР, 2005. С. 319-323.

7. Игнатович В.И., Решетникова Г.Н. Моделирование процесса поставок, сбыта и хранения трех видов продукции одним поставщиком. Изме-

рение, контроль, автоматизация: Материалы международной научно-практической конференции «ИКИ-2004». Барнаул: АГТУ, 2004. С. 171-174.

8. Игнатович В.И., Решетникова Г.Н. Формирование следящей системы управления поставками: Труды второй международной конференции

студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук». Томск: Том. политех. ун-т, 2005. С. 217-219.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 1 июня 2006 г.