CC BY
30
Математическое моделирование и оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 5, с. 82-86
УДК 62-80
СИНТЕЗ НЖ-РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ АКТИВНОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ
© 2007 г. О.П. Никонычев
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
oleg.nikonychev@gmail .com
Поступила в редакцию 19.09.2007
В статье рассматривается задача стабилизации динамического объекта, заданного дифференциальными уравнениями для случаев измеряемого состояния и измеряемого выхода. Получена математическая модель стабилизирующей системы. Проведены численные эксперименты для регуляторов по состоянию и по выходу полного порядка. Сравниваются уровни гашения возмущений, достигаемые построенными регуляторами для десятиэтажного здания.
Введение
На протяжении трех последних десятилетий был разработан ряд систем управления, предназначенных для снижения рисков опасного воздействия со стороны окружающей среды, таких как землетрясения и сильные ветры, на городские инженерные сооружения. Многообразие рассматриваемых систем можно разделить на три группы: пассивные, активные, полуактив-ные и гибридные (сочетания предыдущих типов) [1, 2]. Данная статья посвящена построению активных систем управления на основе Нш-регуляторов.
В статье рассматривается пример построения регуляторов по измеряемому состоянию и измеряемому выходу. Как показано в [3], минимальный уровень гашения возмущений обеспечивается регулятором по состоянию, однако, в реальных условиях данные о состоянии объекта могут отсутствовать, поэтому решается задача синтеза регуляторов по выходу. В качестве измеряемого выхода берется межэтажное смещение и смещение управляющих масс относительно этажей, к которым они прикрепляются. В предложенной в [3] реализации алгоритма синтеза Нш-регуляторов по выходу присутствует ранговое условие, вносящее нелинейность в систему линейных матричных неравенств. Чтобы избежать нелинейности, строится регулятор по выходу полного порядка, для которого ранговое условие выполняется всегда. Для решения задачи был применен аппарат линейных матричных неравенств, благодаря которому решение задачи значительно упрощается. Численные эксперименты произведены с использованием LMI Toolbox пакета MATLAB.
В разделе «Численные результаты» приводятся уровни гашения колебаний построенными регуляторами. Для десятиэтажного здания уровень гашения колебаний уменьшается более чем в 60 раз по сравнению с неуправляемым сооружением.
1. Постановка задачи
В качестве механической системы, моделирующей колебания высотного сооружения, будем рассматривать одномерную цепочку упругосвязанных материальных точек (этажей или секций сооружения), одна из которых (основание) совершает поступательное движение, порождаемое сейсмическим воздействием. Предполагается, что масса основания намного пре-
U3
=3£=Л
___и. и__________
U2
m
•М2
о. о
Ui
М1
Рис. 1. Схема трехэтажного здания с прикрепленными управляющими массами
с
b
вышает массы остальных материальных точек и поэтому влиянием движения секций сооружения на движение основания можно пренебречь [3]. Один из возможных вариантов технической реализации динамического гашения колебаний заключается в прикреплении к каждому этажу сооружения некоторой достаточно малой массы (по сравнению с общей массой сооружения), перемещаемой в соответствии с законом управления в форме обратной связи.
Будем рассматривать данную задачу как задачу синтеза ^^-оптимального регулятора для управляемого объекта, описываемого системой дифференциальных уравнений
x = Ax + B1v + B2u , z = C1x + Dnv + D12u . y = C2x + D2iv ,
sup < у •
v^0 V
c c c c
z = C„x + Dv,
рица Y = Y > 0 и nx x nx - матрица Z, удовлетворяющие линейному матричному неравенству
F (Y, Z ,y) =
(5)
fYAT + AY + ZTB2T + B2Z B1 YCT + ZTDT2 л T -Y DTi
< 0.
(1)
в которой X е Rnx - состояние, V е Rnv - возмущение, и е Rnu - управление, г е Rnz -управляемый выход, у е Rny - измеряемый выход.
Синтез Д„-управления этим объектом состоит в построении регулятора, при котором уровень гашения возмущений в асимптотически-устойчивой замкнутой системе меньше заданного числа у, т.е.
B1
C1Y + D12Z D11 -Y
V У
Если такие матрицы Y и Z найдены, то параметры 0 искомого регулятора определяются по формуле 0 = ZY1. Минимальное значение у находится из решения следующей оптимизационной задачи:
Y* = inf Y (6)
F (Y ,Z Y)
Hx— оптимальный регулятор k-го порядка по выходу для управляемого объекта (1) имеет вид
X,. = ArXr + Bry , u = Crxr + Dry ,
где X є Rk - состояние регулятора. Для регулятора полного порядка k = n.
Уравнения замкнутой системы (1), (7) при мут вид
Xc = AcXc + BcV z = CcXc + DcV
где xc=col(x, Xr),
(7)
(8)
(2)
Ac =
B„ =
Такие регуляторы будем называть Ню-регуляторами с заданным у. Ню-оптимальным регулятором будем называть Ню-регулятор с минимальным значением у.
Для случая измеряемого состояния в объекте (1), когда С2=1 и _02і =0, управление выбирается в виде
и = 0х. (3)
Уравнения замкнутой системы (1), (3) примут вид
X = Л х + Ву,
(A + B2 DC v BrC2
B1 + B2 DrD21 BrD 21
B2Cr Ї
Ar
(9)
Cc = (C1 + D12 DrC2 D12Cr )>
12^ r^ 2 Dc = D11 + D12 DrD21
(4)
где Ac = A + B2©, Bc = B1, Cc = C1 + D12©,
cf N ( aTTx+XA0 XB0 cT 1
Необходимые и достаточные условия существования Ню-оптимального регулятора по состоянию приводятся в [3]. wT bTx C0 V -jl Du dT -yi J
Утверждение 1. Для существования регулятора по состоянию с заданным у необходимо и wRT 'yAT + AY bT B0 -jl YC01 DT1
достаточно, чтобы существовали Пх х пх— мат- C0Y \ Du -YI У
Описанные в [3] необходимые и достаточные условия существования регулятора по выходу полного порядка выглядят следующим образом:
Утверждение 2. Для существования регулятора полного порядка необходимо и достаточно, чтобы существовала (2п х 2п) — матрица Х=ХТ > 0 и обратная ей матрица У=¥т > 0, удовлетворяющие следующим неравенствам:
Wr < 0.
z
p
С учетом блочной структуры матриц X и У данная задача сводится к решению следующих матричных неравенств:
С N | о ^
о |/
СХцА + AXU XiiCi 1 Bi ^
B[Xn
-Yl ID,
Di I-YI
С Ni | о
0 |I
< 0
о I/
Y11A + AY11 Y11C1 |В1 C1Y11 -y/ 1
Д,
BT
dT I -y/
CN21 о Ї (12)
< о,
о |/
Г X11 i ^
V1 Y,i,
> о,
rank(I -XnY1T) < k.
r r
в котором
X =
V = X i, -y-,.
m!l = -2b4l - 2C^j + b42 + ^2 - т1о (t) + U1
(11)
m&L = -2b; s- 2c;+b; s-i + c^-i + b; s+i +
+ c^s+i -т&&о(t) + Us (i7)
mL = -2b; n- 2c;n + b; n-i + c;n-,- т!о(t)+U„
M&Ll =-Ui
где столбцы матриц #1 = со1( №р1:>, Жр2)) и #2= = со1( Жл(1), WR2)) образуют базисы ядер матриц (С2 В21) и (В2Т Дг2) соответственно,
(13)
(14)
Для регулятора полного порядка условие (14) выполняется всегда и его можно опустить.
В случае, если неравенства (11), (12) выполнены, матрицы Хи и Уи найдены и X„-
( А В }
^2n =-Un,
где ; = col(;,,...,£,n), ^ - координата i-й материальной точки относительно основания, Us -управляющая сила, приложенная к s-й материальной точке, ;о - координата основания относительно инерциальной системы отсчета, m -масса материальной точки, b и с - коэффициенты демпфирования и упругости межсекционных связей.
Введем обозначения
О b 2 с Ut ••
Р= —, ® =—, U =~L, v, = г&о, m m m
тогда уравнения (17) примут вид
Л і
&& = -РЮ; - ю Ю> + qu + pvT, где ; = (;i, ;2,..., ;2п ),
(18)
(19)
находятся
т/ -1 Л
- y,, > о, то параметры 0 =
как решения линейного матричного неравенства
Ю =
ATx + XA + CT0TbTX + ХВо0Со < о, (15)
(16)
q =
2. Математическая модель высотного сооружения
Будем считать, что массы т этажей сооружения одинаковы, а упругие и демпфирующие связи моделируются линейными элементами с одинаковыми коэффициентами упругости и демпфирования. Положим также, что массы прикрепленных управляемых элементов также равны по величине, т.е. щ = ц2 = ... = = ц . В этом
случае уравнения движения рассматриваемой управляемой линейной системы системы примут вид: X = Ах + Bv1 + В2и ,
' 2 -1 о о .. о о... о Л
-1 2 -1 о .. .о о.. о
о о.. о
... о- -1 2 -1 о... о
о О о .. -1 1 о... о
о .. ... о .. о о о... о
Vо О о .. о о о... о)
С i о ... о > Г1 ^
о 1 ... о 1
о о .. 1
о ... о p = 1
m
о
о о о
m
о о ... 1/1/1 v о ,
(2о)
Запишем систему в каноническом виде
где X = со4 4) - состояние, а блочные матрицы А, В, В2 имеют следующий вид:
А =
( 0
I ї
-га2К -РК
, В =
(0 ї (0 ї
, В2 =
V Р V V Я V
(22)
С =
Задача гашения колебаний состоит в построении линейного динамического регулятора вида (7), обеспечивающего гашение внешних возмущений в заданном отношении у, т.е. выполнение неравенства
Допустим, что имеется возможность наблюдать следующие величины
Ух = X У 2 = Х2 - Х1
.................... (23)
Уп+1 = Хп+1 - Х1
у = Хт - X ,
2п 2п п
т.е. деформации межсекционных соединений.
Введем вектор У = СОІ(У1,У2,...У2п)и перепишем (23) в виде:
у = С 2 х,
( 1 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 ... 0ї
-1 1 ... 0 0 0 0 ... 0 0 ... 0
Дхг2х + р2и 2 )й
J (и, V) =
_ 0
1VI2 &
■<у
(27)
для всех ненулевых допустимых возмущений, а также в центре минимально возможного уровня гашения колебаний, т.е. минимального значения у, при котором имеет место (27). Если ввести управляемый выход системы как
X +
( 0 ї Р
(28)
то последнее неравенство принимает вид
112 ^ J (и, V) = „----------
1VI2 &
<у 2.
(29)
(24)
0 0 ... -1 1 0 0 ... 0 0 ... 0 -1 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 ... 0 0 -1 ... 0 0 0 1 ... 0 0 ... 0
ч0 0 ... 0 -1 0 0 ... 1 0 ... 0у
Таким образом, уравнения (21), (23), определяющие динамику сооружения и доступные измерения, составляют математическую модель управляемого сооружения.
На траекториях системы (21) определим функционал
J(и, V) = |(хгЄх + р2и2 , (25)
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к задаче синтеза Иа--управления по измеряемому выходу, которое обеспечивает выполнение неравенства
!г4 < у, Vv ф 0
V
(30)
для системы (1), где р обозначает Ь2 - норму, матрицы А, В2, С2 определены выше,
В, = (В 0), С1 =
(0 ї
0
(31)
^12 =
Ах =( 0) .
где Q - симметричная неотрицательно определенная матрица, р - заданный параметр. Этот
функционал характеризует качество колебательных процессов в механической системе. При выборе матрицы Q в блочном виде
е =
(26)
квадратичная форма (25) определяет с точностью до множителя полную механическую энергию системы при ее движении относительно основания и затраты на управление.
3. Численные результаты
Вычислительные эксперименты проводились для десятиэтажного здания п=10, т.е. объект имеет порядок пх=40. Значения параметров были выбраны следующие: р = 1с-1, га2 = 100с-2, р = 1с, Д = 0.01т. Вначале был найден уровень гашения возмущений в этом объекте в отсутствие управления: он оказался равным 184.3. Затем находились минимальные уровни гаше-
0
и
0
да
0
Р
0
ния колебаний сооружения, которые могут быть достигнуты регуляторами по состоянию и по выходу полного порядка. Регулятором по состоянию был достигнут уровень гашения колебаний 2.92. Регулятор по выходу полного порядка достиг уровня гашения колебаний 3.5. Время работы программ на компьютере с процессором Intel Core 2 Duo 1.86 ГГц и 1 Гб оперативной памяти составило: для регулятора по состоянию - 8 мин., для регулятора по выходу полного порядка - 1 ч. 23 мин. Полученные результаты демонстрируют высокую эффективность работы регуляторов, а также целесообразность использования активных систем
управления для гашения колебаний высотных сооружений.
Список литературы
1. Fujino Y., Soong T.T., Spencer B. F. Jr. Structural Control: Basic Concepts and Applications // Proceedings of the ASCE Structures Congress. 1996. V. 4. P. 1277-1287.
2. Dyke S.J., Spencer B.F. Jr., Sain M.K, Carlson J.D. An Experimental Study of MR Dampers for Seismic Protection. // Smart Materials and Structures. 1998. V. 7. P. 693-703.
3. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез регуляторов на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007.
SYNTHESIS OF H^-REGULATORS FOR ACTIVE SEISMIC PROTECTION OF HIGH-RISE STRUCTURES
O.P. Nikonychev
We consider a dynamic object described by differential equations and analyze the problem of its stabilization by measured-state or measured-output feedback. A mathematical model of the stabilizing system is constructed and the numerical experiments are carried out for the measured-state- and full-order measured-output-feedback regulators. The degrees of mitigation achieved by the constructed regulators for the 10-floor structure response are compared.
