CC BY
39
ВЕСТНИК 1/2011
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ АКТИВНОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ
SYNTHESIS OF DISCRETE-TIME CONTROLLERS FOR ACTIVE ATTENUATION OF HIGH STORY BUILDING OSCILLATIONS
Л.Н. Кривдина
L.N. Krivdina
ГОУ ВПО ННГАСУ
Доклад посвящен синтезу цифровых законов управления, обеспечивающих гашение колебаний высотного сооружения, на основе применения аппарата линейных матричных неравенств.
Synthesis of discrete-time control strategies providing attenuation of high story building oscillations is designed in terms of linear matrix inequalities.
В математической теории управления решение задач начинается с составления математической модели управляемого процесса и задания определенной цели управления. Для обеспечения достижения этой цели на основе принципа обратной связи синтезируется закон управления, который должен быть реализован в виде соответствующего автоматического регулятора.
Ранее задачи управления относительно простыми физическими и механическими системами состояли в построении какого-либо прибора или устройства, оказывающего воздействие на управляемый объект с целью достижения желаемых его свойств. Впоследствии задачи, возникающие в теории управления, стали характеризоваться все большей сложностью объектов, а также высокими требованиями к точности и динамике управления. К таким задачам относятся создание авторулевых в навигации, автопилотов и систем ориентации космических аппаратов в авиации и ракетно-космической технике и многие другие.
Для решения широкого круга задач стали применяться цифровые вычислительные машины и, в частности, компьютеры. Возросшая сложность объектов управления потребовала разработки соответствующих методов построения регуляторов, которые должны быть реализованы. Процесс реализации синтезированных регуляторов заметно усложнился, и во многих случаях стало очень сложно или совсем невозможно их реализовать при помощи построения механических управляющих устройств. Применение компьютеров позволяет синтезировать сложные регуляторы благодаря тому, что поступающие сигналы могут быть обработаны, а затем преобразованы в соответствии с законом управления в необходимые для управляющего воздействия сигналы. Полученные после преобразования сигналы подаются на управляемый объект и оказывают на него нужное воздействие, не требуя при этом построения сложных механических устройств. Обработка поступающих на компьютер сигналов производится на основе цифрового принципа с применением разработанных алгоритмов и программ синтеза
1/2П11 ВЕСТНИК
_угогт_мгсу
регуляторов. Поэтому в настоящее время в связи с развитием науки и техники все большее значение приобретают регуляторы, работающие по цифровому принципу.
В теории управления рассматривались различные задачи управления как непрерывными, так и дискретными объектами [4]. В частности, для дискретных объектов -это задачи стабилизирующего и оптимального управления. Стабилизирующие и оптимальные законы управления синтезируются на основе принципа обратной связи, поэтому в таких задачах необходимо получать данные о состоянии объекта в каждый момент времени. Как правило, на практике не могут быть измерены все переменные состояния, так как ограничено число измерительных устройств, а часть переменных состояния в принципе нельзя измерить. В качестве выходных переменных обычно получают либо отдельные компоненты вектора состояния, либо линейные комбинации этих компонент. Основная трудность синтеза законов управления по измеряемому выходу заключается в том, что необходимо построить регулятор для объекта при отсутствии необходимых данных о его состоянии, руководствуясь только данными, полученными на выходе.
Ранее задачи стабилизации динамических объектов по выходу решались, например, при помощи построения наблюдателей - динамических систем, дающих оценку состояния объекта и обеспечивающих асимптотическое приближение этой оценки к истинному состоянию. Наблюдатель синтезировался на основе информации о входных и выходных переменных, а также о структуре объекта. Стабилизирующий регулятор по выходу получали следующим образом: строили стабилизирующий регулятор по состоянию на основе принципа обратной связи, после чего вместо вектора состояния объекта использовали его оценку. Задачу оптимального линейно-квадратичного управления по выходу для непрерывной системы также решали с помощью наблюдателей. Однако, синтезированный таким образом регулятор по выходу, вообще говоря, не является оптимальным. Позднее задача оптимального управления непрерывным объектом по измеряемому выходу была решена на основе применения аппарата линейных матричных неравенств [2, 3], который является принципиально новым подходом к решению предлагаемого класса задач автоматического управления динамическими системами.
Таким образом, несмотря на имеющееся многообразие методов в теории управления дискретными объектами, остались нерешенными некоторые важные вопросы. К таким вопросам относится, в частности, задача синтеза регулятора, когда состояние объекта не может быть измерено.
Более ста лет назад в теории управления появился аппарат линейных матричных неравенств. Но, только начиная с конца прошлого века благодаря появившимся алгоритмам и программному обеспечению (в частности, пакет МЛТЬЛВ), линейные матричные неравенства имеют эффективные методы решения и стали активно применяться во многих областях теории управления [6]. Поэтому в качестве альтернативы имеющимся способам решения задач теории управления, а также как метод решения некоторых задач, для которых классические методы не позволяют найти решение, можно рассматривать метод, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств.
Рассмотрим одну из важных задач теории управления линейными динамическими объектами - задачу оптимального линейно-квадратичного управления дискретным объектом в случае измеряемого выхода объекта [5].
Задача оптимального линейно-квадратичного управления дискретным объектом
ВЕСТНИК МГСУ
1/2011
xt+1 = Axt + But Zt = C 1X + Dut : Уt = C2 X :
(1)
где xt е ^ЯПх - состояние объекта, ut е - управление, zt е ^Пг - управляемый
выход, у{ еШ "у - измеряемый выход, для заданного начального состояния Х0 Ф 0 состоит в построении стабилизирующего регулятора полного порядка по выходу вида
х(+1 = Arx/ ) + Bryt ,
Щ = Сгх(Г) + ^
(2)
где х(г) еШПх - состояние регулятора, минимизирующего квадратичный функционал
да
J = ^ | zt | , х0г) - начальное состояние регулятора. Поставленная задача эквива-
Г=0
лентно формулируется так: синтезировать регулятор вида (2) с х^") = 0 , для которого при заданном х^ Ф 0 выполняется
у.= М \у> 0:3© J(©) <у2\х0|2 }.
Теорема 1. Оптимальный линейно-квадратичный регулятор по выходу вида (2) с
■(Г) = 0 для объекта (1) с заданным х^ Ф 0 существует тогда и только тогда, когда
Т Т 2
существуют две (пх х пх)-матрицы Хц = Xц > 0, Уц = Уц > 0 и число у > 0,
удовлетворяющие линейным матричным неравенствам
(Шс2 0^ ( АТX11А - Хц СТ
С1
-1
№с2 0 ^ 0
< 0,
Гщ^ Т (
V ^2, (
АУц А - Уц АУпС{ С1У11АТ С1У11С1 -1
т V шЛ
X■
11
У11
> 0,
Т2 х0 Х11 х0 <Г х0
1
V" 2 у 2
< 0,
(3)
где столбцы матрицы образуют базис ядра матрицы С2 , а столбцы матрицы
(Т Т \Т I Т т I
образуют базис ядра матрицы В ^ . Задача у -оптимального управления объектом (1) состоит в построении стабилизирующего регулятора по выходу вида (2) с х0г) = 0 , для которого у„= М \у> 0: 3© J(©) <у2\х0|2 V х0 ф 0
Теорема 2. у -оптимальный регулятор по выходу вида (2) с х0г^ = 0 для объекта (1) существует тогда и только тогда, когда существуют две (пх х пх)-матрицы
Т Т 2
X11 = Хц > 0, Уц = Уц > 0 и число у > 0 , удовлетворяющие линейным матричным
неравенствам (3), в которых последнее неравенство заменено следующим
0
1/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
Хп <у21.
На рисунке представлен график зависимости значений функционала от значений а для линейно-квадратичного (пунктирная линия) и у -оптимального (сплошная линия) регуляторов по выходу для дискретного объекта (1).
.V
А
1
ц, _
1
г'
/
и 1 /
1_
1 ■ 1 II К XI 1 х№
Рис. Сравнение значений функционала при разных регуляторах
Результаты, полученные в теореме 1 ив теореме 2 для линейного дискретного объекта (1), были применены для решения задачи обеспечения устойчивости высотного сооружения при сейсмических воздействиях. Эти воздействия вызывают колебания сооружения и могут привести к его разрушению. В связи с этим возникает задача гашения колебаний сооружения на основе принципа обратной связи. Ее решение заключается в создании специального этажа (ближе к верхним этажам многоэтажного здания), на котором располагается достаточно малая масса по сравнению с общей массой здания. Эту массу перемещают по определенному закону, что позволяет оказывать управляющее воздействие на данный этаж и гасить колебания [1].
В качестве механической системы, моделирующей колебания высотного сооружения, будем рассматривать одномерную цепочку упругосвязанных материальных точек (этажей или секций сооружения), одна из которых (основание) совершает поступательное движение, порождаемое сейсмическим воздействием. Уравнения движения рассматриваемой системы имеют следующий вид
=~2Ъ^1 - 2с^1 + Ъ%2 + с%2 - m£o(t),
т^ =~2Ъ^ - 2с£у + -1 + -1 + +1 + +1 + и - т1о(0,
т£п = "2Ъ£п - 2с£п + Ъ£п-1 + с£п-1 " т^0(1 X где ^ = со/(^1,...,^п), ¿¡I - координата г -ой материальной точки относительно основания, и - управляющая сила, приложенная к ^ -ой материальной точке, ¿¡о - координата основания относительно инерциальной системы отсчета, т - масса материальной точки, Ъ и с - коэффициенты демпфирования и упругости межсекционных связей. Задача гашения колебаний высотного сооружения при сейсмических воздействиях заключается в том, чтобы построить линейный дискретный динамический регулятор по измеряемому выходу объекта, обеспечивающий гашение внешних возмущений в
ВЕСТНИК 1/2011
некотором заданном отношении у, а также в том, чтобы оценить минимально возможный уровень гашения колебаний.
В задаче активного гашения колебаний высотных сооружений для математической модели высотного сооружения были получены законы управления, которые, как показал эксперимент, обеспечивают хорошее качество гашения колебаний.
Литература
1. Баландин Д.В., Коган М.М., Федюков А.А. Активное гашение колебаний высотных сооружений при сейсмических воздействиях // Приволжский научный журнал. 2007. № 4, с. 8 -14.
2. Баландин Д.В., Коган М.М. Линейно-квадратичные и у -оптимальные законы управления по выходу // Автоматика и телемеханика. 2008. № 6, с. 5 -14.
3. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
4. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Мир, 1977.
5. Кривдина Л.Н. Синтез линейно-квадратичных и у -оптимальных дискретных регуляторов по выходу на основе линейных матричных неравенств // Информатика и системы управления. -Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2008. № 1(15), с. 179-190.
6. Boyd S., Ghaoui L. El, Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. -Philadelphia: SIAM, 1994.
The literature
1. Balandin D.V., Kogan M.M., Fedukov A.A. Active attenuation of high story building oscillations under seismic disturbances // Privolzhsky scientific journal. 2007. № 4, p. 8 -14.
2. Balandin D.V., Kogan M.M. Linear-quadratic and у -optimal output-control strategies // Automatic and telemechanics. 2008. № 6, p. 5 -14.
3. Balandin D.V., Kogan M.M. Synthesis of control strategies in terms of linear matrix inequalities. -Moscow: PHIZMATLIT, 2007.
4. Kvakernaak X., Sivan P. Linear optimal control systems. - Moscow: Mir, 1977.
5. Krivdina L.N. Synthesis of linear-quadratic and ^-optimal discrete-time output-regulators in terms of linear matrix inequalities // Informatics and control systems. - Blagoveshchensk: Amursk University Press, 2008. № 1(15), p. 179-190.
Ключевые слова: дискретный объект, дискретный регулятор, устойчивость, управление на основе обратной связи, высотное сооружение, линейные матричные неравенства, стабилизирующий регулятор, линейно-квадратичный регулятор.
Key words: discrete-time object, discrete-time regulator, stability, feedback control, high story building, linear matrix inequalities, stabilizing regulator, linear-quadratic regulator.
E-mail автора: lkrivdina@yandex.ru
Рецензент: Д.В.Баландин доктор физико-математических наук, профессор заведующий кафедрой Численного и функционального анализа факультета ВМиК ННГУ им. Н.И. Ло бачевского
