CC BY
51
Раздел III. Методы искусственного интеллекта
УДК 681.51
В.В. Соловьев
СИНТЕЗ ГИБРИДНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ-НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Показаны условия синтеза стабилизирующего регулятора для нечеткой модели, обеспечивающего устойчивость локальных подсистем. Показано место наблюдателя состояния в системе управления и приведены условия поиска коэффициентов наблюдателя и коэффициентов обратных связей в методе размещения полюсов.
; - .
V.V. Soloviev
SYNTHESIS OF THE HYBRID REGULATORS-OBSERVERS FOR NONLINEAR SYSTEMS
Conditions of synthesis of a stabilising regulator for the indistinct model, providing stability of local subsystems are shown. The place of the observer of a condition in a control system is shown and conditions of search of factors of the observer and factors of feedback in a method of placing of poles are resulted.
Indistinct model; a regulator-observer.
.
,
. , -зации функционирования системы не только в установившемся режиме (в котором возможна линеаризация), но и в переходных режимах (пуск, останов и т.п.). Моде-
[1] , методы синтеза регуляторов, при наличии нелинейностей, хорошо развиты только для отдельных ее видов. В данной работе предлагается гибридный метод, позволяющий для заданной нелинейной модели в пространстве состояний построить нечеткую модель Takagi-Sugeno (TS-модель), которую в дальнейшем можно исследовать модифицированными методами классической теории управления [2, 3].
. TS-
проходит в несколько этапов.
1. -(1).
x = ф(, u, z (t )),
y = ^(x, u, z (t )). (1)
Нелинейные функции правых частей уравнений Ф и Y зависят от вектора переменных состояния x и от вектора управляющих воздействий и . Построение нечеткой модели возможно, если удастся выделить в правых частях уравнений не-
линейные функции переменных состояния г () таким образом, чтобы переписать систему уравнений в матричном виде формы Коши.
,
I Xj = 5 x2 + 3xj2 • x
[X2 = 4 X2 ,
2
МОЖНО выделить нелинейную функцию z = Xj • X2 и переписать ее в виде
J Xj = 5x2 + 3Xj • z, 1X 2
или в матричной форме Коши
lX2 = 4 X2 ,
X =
3z 5 0 4
X
Этап 2. На данном этапе исследуются функции z (t) на экстремум с использованием производных и на границах интервала.
minZj (t) = Уц , max Zj (t) = Yi2 , (2)
XE. X XE X
где Zt (t) - i -я нелинейная функция (i = 1,r); Yi’Y2 - минимальное и максимальное значение соответственно; X - множество ограничений по переменным
СОСТОЯНИЯ x (t) .
Функции z (t) представляются в виде нечетких множеств с парой функций принадлежности, соответствующих минимальным и максимальным значениям.
Zj (t) = Мц ( (t)) • Yi + Mi2 ( (t)) ■ Y2, (3)
где Mi1 (t)), M:2 (t)) - функции принадлежности, для которых верно равенство
Мл ( (t)) + Mt2 ( (t))= 1 (4)
На основании (3) и (4) имеем
Mil =, M, 2 =А^
Yi -Yi2 Yi2 -Yii
. 3. -
линейных функций z(t):
1. ЕСЛИ zi (t) есть M11 и z2 (t) есть M21 и zr (t) есть Mr1 TO
(x = A1 x + B1u
[j = C1x
где г, () = уп,г2 () = г21,...,г, () = уг1.
2. ЕСЛИ г, ^) есть М12 и г2 () есть М21 и ... гг (I) есть Мг1 ТО
х = Л2 х + В2 и
Ь = С2 х
где г, () = /12, г2 (1) = /21,..., г, () = уг1.
п. ЕСЛИ г, () есть М12 и г2 ^) есть М22 и ... гг ^) есть Мг2 ТО Гх = Лгх + Вги
и = Сгх ’
где г, (*) = у^ г2 () = /22,..., г, ^) = уг2.
Этап. 4. В результате нечеткого логического вывода по методу центра тяжести определяется нечеткая модель системы (5):
Е Чі ( (г)){х (г) + ви (г)}
х (г) = -
ЕЧ ((г))
і=1
к
Е ч ((г ))с-х (г)
■ = Ер ((г )){4х (г) + віи (г)},
■ = Е Рі ((г))сх(г),
(5)
Е ч ((г))
і=1
г ¡к
где ді (()) = ПМу ( ()), Р, (()) = Ч, (())/ Е Ч (()) М* всех г.
У=1 / і=1
Построенная нечеткая ТБ-модель отражает динамику нелинейной системы в виде совокупности движений линейных подсистем на локальных участках тра-.
Процедура синтеза стабилизирующего регулятора. Структурная схема не. 1.
_Т_
Блок нечеткой линеаризации
Нечеткая модель (результирующая)
г (х )
Нелинейная модель (исходная)
Я
У.
х
О
А, В
Формирователь коэффициентов обратных связей
Регуляторі
Рис. 1. Структурная схема нечеткой модели с регулятором
і=1
и
На выходе блока нечеткой линеаризации формируется вектор , с использо-
ванием которого строятся матрицы А, В, С нечеткой модели в переменных состояния.
Для обеспечения устойчивости локальных моделей и нечеткой модели, необходимо руководствоваться следующей теоремой [2].
Теорема 1. Положение равновесия нечетко й системы асимптотически устойчивое, если существует матрица Р, такая что выполняются неравенства:
{Д -В^)}Т Р{А -В^)} - Р < 0, і = 1,2,...,г, аїра,, - р < о, і < і < г,
У У ’
(6)
(7)
где а.у =
{ Д - В^} + { Ау - }
, і < і , так что р п ру Ф 0 .
количество ло-
кальных подсистем; Г - вектор коэффициентов обратных связей.
При учете (6) и (7) в формирователе коэффициентов обратных связей рассчитывается вектор Г (рис. 1). Задающее воздействие g и сигналы обратных связей заводятся на сравнивающий элемент, на выходе которого формируется управляющее воздействие и .
Этот метод стабилизации относится к методам современной теории управления и позволяет реализовать заданное положение всех полюсов линейной математической модели с использованием обратных связей по состоянию. Расплатой за заданное размещение всех полюсов является необходимость измерения многих переменных в системе. На практике не все необходимые переменные могут быть
- . В таких случаях те переменные, которые не могут быть измерены непосредственно, подлежат оценке на основании измеряемых переменных [1].
Процедура синтеза регулятора-наблюдателя. Чтобы реализовать метод синтеза, основанный на размещении полюсов, те переменные состояния, которые не могут быть непосредственно измерены, должны быть оценены с использованием наблюдателя состояния. Структура системы с нечеткой моделью, наблюдателем
. 2.
г ---------------------- у.
Рис. 2. Структурная схема нечеткой модели с наблюдателем и регулятором
состояния
На выходе наблюдателя по управляющим воздействиям и и выходным сигналам у нечеткой модели формируется вектор оценок переменных состояния £, с помощью которого в системе организуются обратные связи по состоянию.
При синтезе наблюдателя необходимо выполнение условия
где e (t) = х (t)- х (t) - ошибка наблюдения; k, - коэффициенты наблюдателя.
висят от оцениваемых переменных. В противном случае нелинейные функции сами .
Поиск векторов и К1 выполняется из условий (8)
где Q = F^, N2, = P2K,.
По условиям (8) с использованием пакета MatLab (Fuzzy Logic Toolbox, Robust Control Toolbox, Simulink), для исходной модели (1) может быть синтезирована нечеткая замкнутая TS-модель (7).
1. Гайдук А.Р. Системы автоматического управления. Примеры, анализ и синтез. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006.
2. Tanaka K., Wang H. Fuzzy Control System Design and Analysis: A Linear Matrix Inequality Approach. Copyright, 2001.
3. Соловьев В.В. Разработка моделей энергетических систем с применением аппарата нечеткой логики // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 2 (91). - C. 251-256.
Соловьев Виктор Владимирович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
(6)
При этом ТБ-модель с наблюдателем и регулятором будет иметь вид [2]:
S(t) = £ ( (t)) ( (t)){(. -{ ) )t)+BiFje(t)},
i=1 j=l
(7)
r r
e (t )=EEh ( (t ))hj( (t )){- KC }e (} )■
i = 1 j = 1
Модель (7) записана при условии того, что нелинейные функции г ^) не за-
Pi,Р2 > 0,
Pi AT - QTB + A, Pi - B,QU < 0,
AfP2 - CTNT + P2A, - N2,C, < 0,
Pi AT - QTjBT + A, Pi - BQi j + Pi AT --QTB + AjPi-BjQu < 0,
AfP2 - CTNT + P2- N2iCj + ATP2 -
-CTNT2j + P2Aj - N2jCi < 0, i < j, p, n pj Ф0,
(8)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Тел.: 8863437i689.
Soloviev Victor Vladimirovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 88634371689.
УДК 681.518
E.B. Заргарян, A.P. Салпагарова
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЧЕТКОГО ПОПАРНОГО СРАВНЕНИЯ
Рассматривается постановка задачи принятия решения при задании критериев эффективности функционирования объекта и параметров задачи в условиях неопределенности в виде нечетких переменных. Определены варианты многоатрибутного принятия решения.
Попарно; нечеткое сравнение.
E.V. Zargarjan, L.U. Salpagarova
IT IS A LOT OF CRITERION THE CHOICE WITH APPLICATION OF INDISTINCT PAIRED COMPARISON
It is considered statements of a problem of decision-making at the task of criteria of efficiency of functioning of object and parametres of a problem in the conditions of uncertainty in the form of indistinct variables. Variants of multiattribute decision-making are defined.
Pairs; fuzzy comparison.
При принятии управленческих решений и прогнозировании возможных результатов лицо, принимающее решение (ЛПР) обычно сталкивается со сложной
( , ), -. ( ),
предложенный Т.Л. Саати [1], сводит исследование сложных систем к последовательности попарных сравнений их отдельных составляющих. Один из наиболее существенных недостатков классического МАИ - возможность обработки лишь точечных экспертных оценок, что в большинстве случаев неприемлемо при решении практических задач, которые характеризуются наличием концептуальной неопределенности и многофакторных рисков [2].
Неточность в оценках экспертов и связанные с ней риски можно выразить следующими способами:
1. .
2. .
Вероятностное представление точечных оценок и функций распределения обеспечивает создание нескольких модификаций МАИ, названных стохастически.
Второй способ представления неточности оценок ЛПР приводит к необходимости применения интервальных и нечетких методов нахождения весов и, следо-
,
.
