CC BY
7
УДК 62-501.2
РЭ!: http://doi.org/10.25728/pu.2D21.4.3
СИНТЕЗ ДВУХКОНТУРНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ОДНОЗВЕННЫМ МАНИПУЛЯТОРОМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ1
Д.В. Краснов, А.С. Антипов
Аннотация. Для однозвенного манипулятора с электрическим исполнительным устройством рассмотрена проблема синтеза управления в форме динамической обратной связи, обеспечивающего отслеживание угловым положением манипулятора задающего сигнала в следующих предположениях: выходная (регулируемая) переменная не измеряется, датчики расположены только на электроприводе, на механическую подсистему действуют внешние и параметрические возмущения. В предположении о гладкости возмущений сформирован закон разрывного управления в терминах канонической системы «вход -выход», записанной относительно ошибки слежения. Для его реализации разработан двухконтурный наблюдатель с кусочно-линейными корректирующими воздействиями. В первом контуре с помощью наблюдателя электрической подсистемы восстанавливается регулируемая переменная, которая вместе с задающим воздействием служит для синтеза корректирующих воздействий во втором контуре. Второй наблюдатель строится на основе виртуальной системы «вход - выход» и восстанавливает смешанные переменные. Это - функции от переменных состояния, внешних воздействий и их производных, по которым формируется обратная связь. Порядок наблюдателей в каждом контуре понижен за счет отбрасывания динамики оцениваемых переменных, которые в задаче наблюдения трактуются как ограниченные возмущения. Представлена процедура настройки, обеспечивающая оценивание неизмеряемых внутренних и внешних сигналов с заданной точностью за заданное время при наличии аддитивного паразитного сигнала в корректирующих воздействиях. Приведены результаты численного моделирования.
Ключевые слова: электромеханическая система, слежение, инвариантность, скользящий режим, наблюдатель состояния и возмущения, кусочно-линейные функции.
ВВЕДЕНИЕ
Роботы-манипуляторы с электрическими исполнительными устройствами выполняют разнообразные работы в машиностроительных и других производствах. Прогресс в современной робототехнике связан, в первую очередь, с совершенствованием информационно-управляющих систем, применением передовых информационных технологий и алгоритмов управления. Для нелинейных и многосвязных математических моделей механических систем в настоящее время в рамках различных подходов разработаны эффективные методы
'Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект № 20-01-00363-А).
управления [1-3]. Но для их реализации (за редким исключением) требуется измерение всех переменных вектора состояния электромеханической системы, а также текущая информация о внешних воздействиях и их производных. Если не все параметры объекта управления и среды его функционирования, необходимые для управления движением и ориентацией робота в рабочем пространстве, могут быть непосредственно измерены, в контуре обратной связи используют наблюдатели состояния и возмущения того или иного типа [415]. Это алгоритмы, реализуемые в вычислительной среде, позволяющие при выполнении условий наблюдаемости восстановить неизвестные сигналы по измерениям части переменных состояния. В системах слежения рациональным является построение наблюдателя на основе не исходной мо-
дели объекта управления, а эквивалентной канонической или блочной формы «вход - выход». Такой наблюдатель, размерность которого не превышает размерность объекта управления, совмещает в себе функции наблюдателя состояния и возмущения, идентификатора параметров, а также генератора заданий. По измерениям ошибок слежения он дает оценки смешанных переменных (функции от переменных состояния, внешних воздействий и их производных), по которым формируется обратная связь [4, 7, 8, 14, 15], что упрощает структуру регулятора. В некоторых случаях для целей управления одновременно используют наблюдатели, построенные на основе и исходной, и преобразованной модели [13].
В настоящей работе для однозвенного манипулятора, эластично сочлененного с двигателем постоянного тока, рассматривается случай, когда регулируемое угловое положение манипулятора и его скорость не могут быть качественно измерены (из-за агрессивной среды, резких перепадов температур или вибрации [16]), и датчики установлены только на приводе. Для синтеза следящей системы в условиях параметрических и внешних возмущений разработан двухконтурный наблюдатель внутренних и внешних переменных. Предлагаемая структура подсистемы наблюдения отличается от применяемой в работе [13], где регулируемые переменные измерялись, а оба наблюдателя настраивались независимо друг от друга. В настоящей работе первый наблюдатель, который строится на основе электрической подсистемы, служит для оценивания ее входа - регулируемой переменной, которая вместе с командным сигналом является выходом для второго наблюдателя. Он строится на основе виртуальной канонической системы «вход - выход» и дает оценки смешанных переменных, по которым формируется динамическая обратная связь. В условиях неопределенности относительно корректирующих воздействий второго наблюдателя появляется аддитивный паразитный сигнал -незатухающая ошибка оценивания первого наблюдателя.
Научная новизна работы состоит в организации подсистемы наблюдения в следящей системе при отсутствии измерений регулируемой переменной для конкретного электромеханического объекта. Разработана процедура синтеза наблюдателя с кусочно-линейными корректирующими воздействиями для канонической системы с неопределенным входом и аддитивной детерминированной помехой на выходе.
1. ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ. БАЗОВЫЙ ЗАКОН УПРАВЛЕНИЯ
В качестве объекта управления рассматривается однозвенный жесткий манипулятор с поворотным шарниром, упруго соединенный с валом двигателя постоянного тока (ДПТ) [17]:
= Ъ, х2 = а21(л'з -х1)~а22эт^) + /(0, (1)
+
+ а45х5, х- = -а54х4 - а55х5 + Ъи. (2)
Уравнениями (1) описывается динамика манипулятора (механической подсистемы), уравнениями (2) - динамика ДПТ с постоянными магнитами [3, 18] (электрической подсистемы), йц, Ь - положительные конструктивные коэффициенты: й21 = к1 / 31 , й22 = ЩЬ / 3, й4з = к1 / 1т ,
а44 = й / Зт , й45 = кт / Зт ,
й54 = с / Ь, й55 = Я/ Ь, Ь = 1/Ь .
Описание переменных х = (х1,..., Х5)т и параметров системы (1)-(2) приведено в табл. 1.
Таблица 1
Описание переменных и параметров объекта управления
Обозначение
Описание, единица измерения
Х1 Угловое положение звена манипулятора, \х\<ъ , рад
Х2 Угловая скорость звена манипулятора, рад/с
/ (0 Неконтролируемое возмущение, Н/(кгм)
Хз Угловое положение вала ДПТ, рад
Х4 Угловая скорость вала ДПТ, рад/с
Х5 Ток якоря ДПТ, А
и Напряжение питания якорной цепи ДПТ, В
8 = 9,8 Ускорение свободного падения, м/с2
т Масса звена манипулятора, кг
к Длина звена манипулятора, м
к Жесткость передаточного механизма, Нм/рад
З Момент инерции звена манипулятора, кгм2
й Коэффициент демпфирования, кгм2/с
3т Момент инерции ДПТ, кгм2
Коэффициент передачи, Нм/А
Ь Индуктивность якоря ДПТ, Гн
с Коэффициент противо-ЭДС ДПТ, Вс/рад
Я Сопротивление якоря ДПТ, Ом
В системе (1)-(2) выходной регулируемой переменной является угловое положение звена манипулятора X', функция / ({) трактуется как внешнее неконтролируемое возмущение, управляющим воздействием является напряжения якоря ДПТ и, которое выбирается из класса разрывных
функций; хе X с Я5, X - открытая ограниченная область изменения переменных состояния, обусловленная проектными ограничениями.
Для системы (1)-(2) ставится задача синтеза разрывного управления в форме обратной связи, обеспечивающего отслеживание выходной переменной x1(t) заданного допустимого сигнала g(t) в следующих предположениях:
- датчики расположены только на исполнительном устройстве, прямым измерениям подлежат переменные xз(t), х4^), x5(t), шумы в измерениях отсутствуют;
- значения параметров к1, ]т, й , кт и, следовательно, а43, а44, а45, известны, параметры т , к, ]и с, Я, Ь и, следовательно, а21, а22, а54, а55, Ь
точно не определены, но диапазоны их значений ограничены известными константами;
- /(О - неизвестная кусочно-дифференцируемая функция времени, ограниченная вместе со своими производными до третьего порядка включительно известными константами при t > 0;
- задающий сигнал g (t) поступает в реальном времени из автономного источника и заранее неизвестен, g(t) полагается кусочно-дифференцируемой функцией времени, ее аналитическое описание отсутствует, ее производные g(!)^), I = 1,5, неизвестны, но ограничены известными константами при t > 0;
- генераторы внешних воздействий в построения не вводятся, задача оценивания по отдельности производных задающего и возмущающего воздействий не ставится.
В сделанных предположениях стабилизация ошибки слежения в1(t) = x1(t) - g(t) возможна лишь
с некоторой точностью. Пусть А' > 0, t* > 0 - заданные точность стабилизации и время ее достижения. Цель управления - обеспечить в замкнутой системе выполнение условия
|в1(о| < А', t > л (3)
Система (1)-(2) представляет собой частный случай лагранжевой полноприводной системы. При / (^ = 0 она является управляемой и наблюда-
емой относительно выходной переменной x1(t), ее относительный порядок равен размерности системы, что позволяет представить ее в канонической форме «вход - выход» без выделения внутренней динамики [11, 14, 15]. В работе [7] показано, что этот класс систем обладает инвариантностью канонической формы по отношению к внешним аффинным возмущениям. А именно, наличие во втором уравнении подсистемы (1) внешнего возмущения с числовым множителем не изменит свойств наблюдаемости, управляемости и относительный порядок, присущие невозмущенной системе, при переходе к каноническому базису смешанных переменных. Таким образом, путем пятикратного дифференцирования ошибки слежения (3) и диффеоморфных замен переменных состояния с аффинным вхождением внешних воздействий и их производных математическая модель объекта управления (1)-(2) представима в каноническом виде
¿;=W=1А (4)
e5 = y(e, t) + bu (5)
относительно смешанных переменных
е — (ех, е2, е}, е^, е^) .
e2=x2-g(t), <?3 = а21 (х3 - х,) - а22 sinCx,) + f(t) - g(t), <?4 = a2l (х4 - х2) - а22х2 cos(X[) + f(t) - g(t), e5 = a21 [(a43 + a21 + a22 cos(x1))(X ~ x3) --fl44x4 + fl45x5] + (a2l + a22 cos(X[) + x2 )a22 sin(X[) --(a21 + a22 cosix ))f{t) + fit) ~ g{A\t),
(6)
где b = a2i045b > 0.
функция g, g,.... gl5\
f,f,f, 'f) = -^e5-bu, которая получена после обратной замены переменных (6), трактуется как ограниченное возмущение. С учетом известных диапазонов внешних воздействий, их производных, а также конструктивных ограничений на переменные и параметры системы (1)-(2), получим такие оценки:
|e (0) < E0i, i = 1,5; b < b < b. (7)
Разрывное управление сформируем в целях организации в замкнутой системе скользящего режима на поверхности s = c1e1 + c2e2 + c3e3 + c4e4 + +e5 = 0 в виртуальном пространстве канонических переменных (6) e е R5, где ci = const > 0 - коэффи-
4
циенты гурвицева полинома ^-^i) = ^4 + c4^3 +
=i
+ с3Х2 + c2X + q, ReXt < 0, i = 1, 4, которые назначаются исходя из требований к переходному процессу по ошибке слежения. Для системы (4)-(5) базовый закон разрывного управления с постоянной амплитудой M = const > 0 имеет вид
u = -Msign(s), (8)
где
"+1, 5 > 0,
sign(i) =
-1, 5 < 0,
при 5 = 0 значение данной функции не определено, но ограничено отрезком [-1; 1].
Нижнюю оценку для выбора амплитуды определим из достаточного условия ss < 0 [3],
s = схе2 + с2е3 + съе4 + с4е5 + у(е, t) + bn,
ss < Ы + k(e- t)\-bM^
которое обеспечивается при условии
( 4 Л
(12)
M >
Z c*h+il+k(e' * ^
V i=i
/ b,
(9)
и желаемого времени ts: 0 < ts < t* возникновения скользящего режима:
M >1
b
(\
s(0)
+Z ci\e+J+k(e> t )|
Л
У(0)| <Z сЕы + Eo5 = So-
(10)
Управление (8), (10) обеспечит в замкнутой виртуальной системе за конечное время монотонную сходимость s(t) в нуль [3], если априорные предположения, при которых определены начальные условия (7), продолжают выполняться вдоль всей траектории замкнутой системы.
С учетом равенства е5 = 5 - (с1е1 + с2е2 + с3е3 + +с4 е4) получим устойчивую редуцированную си-
(11)
стему
Ъ=ем>* = 1> 3; <?4 =+ I c^e^ c^e^ c^e4) s, где s(t) = 0, t > ts, и, как следствие, асимптотическую стабилизацию ошибки слежения:
lim e1(t) = 0 lim x1(t) = g(t).
t —t —да
Диапазоны изменения смешанных переменных, требуемые для назначения амплитуды (10), найдем на основе системы (11) с учетом выражения (7),
|s(t)| < S0, t > 0, и принятых значений ci, i = 1, 4:
\ei(t)\ < E, i = 174; |у(е, t)| t > 0;
Цс)| < ^ + (с1Б1 + с2 Б2 +
+ С3Е3 + с4Е4 ) = Е5 .
Системой (11) описывается движение в идеальном скользящем режиме, когда изображающая точка е(г) е Я5 за конечное время попадает на поверхность переключений 5 = 0 и при Г > ^ движется по ней к положению равновесия, теоретически совершая колебания с бесконечно малой амплитудой и бесконечно большой частотой [3].
Обратная связь (8) формируется по смешанным переменным ег (г),г = 1,5 (6). Ставится задача их
оценивания с помощью динамического наблюдателя с использованием измеряемых сигналов 8(Г), Х3(Г), Х4(Г), Х5(0 . В условиях неопределенных
параметров и отсутствия динамических генераторов внешних воздействий нужны специальные подходы для организации и настройки подсистемы наблюдения, которые представлены в § 2. Предварительно отметим, что в указанных условиях задача наблюдения может быть решена только с некоторой точностью. Пусть ~ (Г) - оценки смешанных
переменных, которые будут получены в подсистеме наблюдения, 8г > 0, Т > 0 - соответствующие
точности и время решения задачи наблюдения. Тогда при выполнении условий
\е,{г)-ё,{г)\<Ь„1 = ~5,г>Т,Т<г,, (13)
в замкнутой виртуальной системе (4)-(5) с динамической обратной связью
и = ? = с1?1 + с2ё2 + с3ё3 + с4ё4 +ё5, (14)
за конечное время ^ > Т возникнет так называемый реальный скользящий режим [3], когда движение изображающей точки системы (11) при г > ^ происходит в пограничном слое поверхности переключений |,у(0| < А< (с181 + с282 + с383 + с484 + 85),
что снижает точность регулирования в установившемся режиме. С учетом принятых коэффициентов обратной связи с1, i = 1,4, определяется допустимая область А<А, при которой обеспечивается желаемая точность стабилизации ошибки слежения Ах (3), а также ограничения на точность оценивания 8г, г = 1, 5 (13), которые надо обеспечить в подсистеме наблюдения, из условия
(с181 + с282 + с383 + с484 +85) <А. (15) При достаточно малых ошибках наблюдения (13) вне области <А выполняется равенство знаков
sign(~) = 5). Но из-за несовпадения началь-
ных условий наблюдателя и объекта наблюдения разница между переменными (^) и их оценками
~ ^) и, как следствие, между ) и ~ ^) в начале
переходного процесса достаточно существенная. Поэтому в системе с динамической обратной связью (14) на отрезке t е[0; Т] достаточные условия возникновения скользящего режима (9) могут быть нарушены, а монотонная сходимость s(t) в А -окрестность нуля в худшем случае гарантируется только при t > Т. С учетом неравенства
|.(Т)| < |.5(0)| + (£ с, е+11 + |у(е, /)| + МЪ)Т
скор-
ректируем нижнюю оценку амплитуды (10):
*(Т)| -А ^ Л
--!-+Хс Ы +к(е= о|
V 1
4
М >
^ - Т к (0)-А+(^ с, е+
| + к(е, ф,
•М >■
(16)
Ы. - (Ь + Ь )Т
Из выражения (16) следует ограничение на время оценивания (13) при фиксированном значении ts < t :
0 <Т <Я/(Ь + Ь), (17)
которое надо обеспечить в подсистеме наблюдения.
2. СИНТЕЗ ДВУХКОНТУРНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
2.1. Наблюдатель для оценивания регулируемой переменной
Первый контур служит для оценивания углового положения манипулятора по измерениям переменных состояния электрической подсистемы. Вместе с задающим воздействием полученная оценка будет использована для синтеза наблюдателя во втором контуре. Он служит для оценивания смешанных переменных, по которым непосредственно формируется обратная связь (1 4), и строится на основе виртуальной системы «вход -выход» (4)-(5), где все функциональные и внешние возмущения сосредоточены в уравнении (5) и не сужают наблюдаемого относительно ошибки слежения пространства канонических переменных. Такая организация подсистемы наблюдения удобна для следящих систем, так как выполнение в реальном времени обратных замен переменных не требуется, а в условиях неопределенности нет необходимости в дополнительном оценивании внешних воздействий и их производных, а также в идентификации параметров.
Система (1)-(2) при / (^ = 0 является наблюдаемой относительно измерений х3(г), х4(^, х5^). Однако наличие в механической подсистеме (1) параметрических и внешних возмущений является препятствием для построения полноразмерного наблюдателя состояния. Для оценивания неизме-ряемой регулируемой переменной х1 (/) воспользуемся идеологией оценивания внешних сигналов по их воздействию на объект управления с помощью «силовых» корректирующих воздействий в виде глубоких обратных связей, разрывных управлений или их комбинаций. В этом случае наблюдатель возмущения строится на основе части динамической модели объекта управления, на которую действует внешний ограниченный сигнал, а остальные переменные и параметры известны [5, 6]. Для оценивания в рамках данного метода внешнего сигнала достаточно знать диапазоны его изменения, а его динамическая модель при построении наблюдателя не используется.
Тот факт, что значения параметров а43, а44, а45
известны, позволяет принять за основу для построения редуцированного наблюдателя второе уравнение электрической подсистемы (2), так как его правая часть является линейной комбинацией известных сигналов и переменной х^), подлежащей оцениванию. Таким образом, динамический наблюдатель для оценивания углового положения манипулятора (по сути, дифференциатор) будет иметь первый порядок
£ — а43х3 а44х4 + а45х5 + V,
(18)
где £ - переменная состояния, V - корректирующее воздействие наблюдателя. Относительно ошибки наблюдения в — х4 - г в силу выражений (2), (18) получим уравнение
в — а43х1 - V, (19)
где неизвестный сигнал х^) трактуется как внешнее возмущение, ограниченное известной константой |хх(0| <л, t > 0. Выбором воздействия
v(в) нужно обеспечить с заданной точностью за заданное время стабилизацию ошибки наблюдения и ее производной
|в(0| < а, \а43х1 (t) - v(t)| < а, t > Т1. (20) Тогда при достаточно малом а > 0 и при t > Т1 корректирующее воздействие v(t) можно использовать для оценки регулируемой переменной.
Для решения поставленной задачи (20) будем использовать в наблюдателе кусочно-линейную обратную связь [6, 7, 13], которая является гибри-
'—1
дом разрывных и линейных управлений с большими коэффициентами
msign(в), |в| > 1/1,
v = msat(/s) =
mls, Isl < 1/l, m, l = const > 0,
(21)
и имеет два настраиваемых параметра: m = const > 0 - амплитуду, от выбора которой зависит время сходимости ошибки наблюдения в окрестность нуля, где корректирующее воздействие (21) является линейным; l = const > 0 -большой коэффициент, от которого обратно пропорционально зависит радиус этой окрестности и, следовательно, точность оценивания.
Вне линейной зоны система (19), (21) имеет вид s = а43х - msign(s). По аналогии с системами с
разрывным управлением, функционирующими в скользящем режиме (9), найдем нижнюю оценку для выбора амплитуды. Достаточное условие sS < 0, где sS = s(a43x1 - msign(s)) < |s|(а43л - m), выполняется при
m > а43л, (22)
что обеспечит выполнение условия |s(t)| < 1/1 за
конечное время.
Тот факт, что переменная x4(t) измеряется, позволяет обеспечить нулевые начальные условия по ошибке наблюдения z(0) = x4(0) ^ s(0) = 0. Тогда при выбранной на основе условия (22) амплитуды и при l > 1/ а первое неравенство (21) будет выполнено для всех t > 0.
В линейной зоне система (19), (21) имеет вид
s = а43хх - mls. Для обеспечения выполнения второго неравенства (20) проведем анализ оценки ее решения на отрезке t е [0; TJ :
|s(Zj )| < a43l^^
(
ml ml
а 43 |x,(t)|
Л
ml
-mlT
<
m а43% e-mlT
ml
т1\в(Т1) - а43% < (т - а43%)в~т1Т,
|а43х ^) - v(t)| < а, t > Т ^ (т - а43п)в~т1Т1 < а. (23)
Из выражения (23) следует, что при t > Т1 ошибка наблюдения сходится в такую окрестность нуля:
|в(t)| < а43^ + а . т1
Тот факт, что т > а43Х1 (22), позволяет уменьшить нижнюю оценку I > 1/ а, а именно, оба неравенства (20) будут выполнены при таком выборе большого коэффициента:
, 1 I а43% + а 1 , m - а43% I
l >—maxx —-; —ln—_ !
m [а T1 а
Таким образом, оценкой регулируемой переменной х1 ^) при t > Т1 является сигнал
~1(0 — v(t)/а43: |x1(t) -^(О) — (г^)) < а/а43 — а1; (24)
который вместе с задающим воздействием g (t) поступает во второй контур и служит для настройки наблюдателя смешанных переменных в (t), [ — 1, 5, (6) канонической системы (4)-(5). Как следствие, точность и время оценивания смешанных переменных во втором контуре будут зависеть от точности и времени оценивания регулируемой переменной в первом контуре и
а /а43 — а1 <81, Т1 < Т. (25)
Учитывая, что на неравенства (25) установлены верхние ограничения (15) и (17) соответственно, а также возможность обеспечить в первом контуре (18) любую заданную точность оценивания за любое заданное время, в процессе настройки второго контура будут формализованы более конкретные требования к показателям оценивания а1(81), Т1(Т) (25).
2.2. Наблюдатель смешанных переменных пониженного порядка
И во втором контуре построение наблюдателя полной размерности затруднительно, так как множитель Ь — а21а45Ь перед разрывным управлением
точно не известен. Из-за невозможности полностью компенсировать управляющий сигнал в системе относительно ошибок наблюдения к имеющимся неопределенностям у(е, {) добавится высокочастотный паразитный сигнал, что может снизить качество оценивания. Чтобы избежать этой проблемы, для оценивания смешанных переменных предлагается редуцированный наблюдатель, построенный на основе линейной подсистемы (4) в виде
г — г+1 + V, I— 1,3; ¿4— ^ (26)
где - переменные состояния наблюдателя, V, -его корректирующие воздействия. В силу выраже-
ний (4), (26) относительно ошибок наблюдения ег = ei -гг, г = 1, 4, получим систему
¿г. = е1Ч1 - V, I = 1, 3; ¿4 = е5 - (27)
где е5(г) трактуется как внешнее ограниченное возмущение |е5(г)| < Е5, Г > 0 (12). Оценки смешанных переменных (/). / = 1. 4, будут получены с помощью соответствующих переменных наблюдателя ~ (Г) = ), а оценкой «внешнего возмущения», по аналогии с системой (19), будет служить корректирующее воздействие ~5(Г) = v4(t). В терминах
системы (27) задача стабилизации (13) с учетом ограничений (15), (17) формулируется так:
К (Г)| = |е,. (Г) - г,. (Г)| < 8г, г = 174;
\е5(г) -vл(t)\ <85, Г > Т. (28)
Для решения поставленной задачи также будем использовать кусочно-линейные корректирующие воздействия, которые формируются по каскадному принципу [7] в виде
т^щп(V-1), к-1 > 1/ 1и
— (29)
т11?1 -ь V-1 <1/к, г =1, 4,
V = тг^(ккг-1) =
где к0(Г) = ~1(Г) - 8 (Г) - г1(Г) = е1(Г) -г^). Отличие наблюдателя (26), (29) от представленного в работе [7] заключается в том, что переменная к0 (Г), по
которой формируется обратная связь (29), аддитивно содержит незатухающий паразитный сигнал г^), который нельзя ничем компенсировать, но при г > Т его можно сделать сколь угодно малым по модулю.
При установке в наблюдателе (26) нулевых
начальных условий гг (0) = 0 ^ е, (0) = е1 (0), г = 1, 4,
в качестве области начальных условий ошибок наблюдения примем оценки (7):
е (0) = е (0) < е., г=174. (30)
Сформулируем достаточные условия решения поставленной задачи (28).
Лемма. Если в системе (27), (29) начальные условия и функция е5(Г) ограничены известными
константами (30), (12) соответственно, то тогда для любых Т > 0, 8 > 0 найдутся такие действительные числа щ, I* > 0, что при всех mi, :
тг > т*, к > /*, г = 1, 4, неравенства (28) будут выполнены.
Конструктивное доказательство леммы представлено в приложении. В процессе доказательства формализована итерационная процедура настрой-
ки параметров корректирующих воздействий (29) с реализацией метода разделения движений в пространстве ошибок наблюдения. Данную процедуру легко можно распространить на канонические системы более высокого порядка, а также на квадратные канонические системы с векторными переменными. В процессе доказательства установлены требования к времени и точности оценивания (25) в первом контуре подсистемы наблюдения в виде 0 < Т < Т/46, а1=81/2 ^ 0 <а< а4381/2.
Заметим, что доказательства стабилизации ошибок слежения и наблюдения основаны на достаточных условиях устойчивости, что приводит к консервативным (завышенным) нижним оценкам для выбора параметров динамической обратной связи, которые могут быть скорректированы в меньший диапазон по результатам имитационного моделирования.
Обратим внимание на тот факт, что в разработанном подходе используются не только ограниченные по модулю корректирующие воздействия в наблюдателях, но и ограниченный по модулю закон разрывного управления. Поэтому известная проблема возникновения в начале переходного процесса перерегулирования большой величины, характерная для замкнутых систем с линейной обратной связью по переменным линейных наблюдателей с большими коэффициентами, здесь отсутствует. Задача рассматривалась в детерминированной постановке. Вопрос применимости наблюдателей с кусочно-линейными корректирующими воздействиями в условиях неизвестного входа при наличии шумов в измерениях требует отдельного рассмотрения и выходит за рамки данного исследования.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Численное моделирование разработанных алгоритмов проводилось в среде МАТЬАВ^шиПпк для системы (1)-(2) при нулевых начальных условиях х(0) = 0 . При интегрировании применялся метод Эйлера с постоянным шагом печения целевых показателей А1 = 0,05 рад,
Г * = 3 с учетом условия (3) были приняты такие значения параметров обратной связи (14): с1 = 625, с2 = 500, с3 = 150, с4 = 20, М = 90. (31)
Исходя из худшего расчетного случая с учетом допустимых значений конструктивных коэффициентов и внешних воздействий
к1 — 0,2, ]т — 0,01, й — 0,045, кт — 0,3; т е [0,2; 0,8], к е [0,15; 1,2], ]х е [0,045; 1,15],
с е [0,25; 0,33], Я е [3,8; 4,2], Ь е [0,006; 0,013];
^(0(о| <л, г — 0,5, /^)| < 0,01, г — 0,3, t > 0
были выбраны параметры кусочно-линейных корректирующих воздействий (21), (29) наблюдателей (18), (26) соответственно и указанные начальные условия:
т — 280, I — 30, г(0) — х4(0) ; (32)
т —150, т2 —116, т3 —150, т4 — 100, /1 — 30,
12 — 30, /3 — 10, 14 — 2, ¿.(0) — 0, г —174.
Было проведено два численных эксперимента с одинаковыми параметрами обратной связи (31), (32) и разными неопределенными коэффициентами и внешними воздействиями из указанных диапазонов. В каждом эксперименте рассматривалось три варианта:
• эталонная система (1)-(2) с базовым законом управления (8) в условиях полных данных о коэффициентах системы, внутренних и внешних сигналах и их производных;
• система (1)-(2) с бездатчиковым приводом при измерении только ошибки слежения в^) — х^) - g(t), где для оценки смешанных переменных е1 ^), г — 2,5 используется наблюдатель (26), (29), корректирующее воздействие v0 (t) — — е1(() - г 1 (() — в1 (() не содержит паразитного сигнала г^), требования к определенности значений к, ]т, й , кт не предъявляются, закон управления (14) реализуется на основе ^ = схех + с2г2 + + с3-3 + с4-4 + у4 ;
• система (1)-(2) с бездатчиковым манипулятором при измерении значений параметров g ^), x3(t), x4(t), х5(?) с двухконтурным
наблюдателем (18), (21) и (26), (29), где закон управления (14) реализуется с учетом оценки (24) на основе 5 = ^ (г' / а43 - + с2г2 + + с3 г3 + с4 г4 + v4.
Эксперимент 1: m = 0,5, h = 1, Jl = 0,5, c = =0,2865, R = 4,1, L = 0,0103;
g (t) =
f (t) = 0,01sin(t); /3, t е [0, 5], [10,15], [20, 25],...; -л /3, t е (5,10), (15, 20), (25, 30),...
Для эталонной системы на рис. 1 показаны графики изменения задающего воздействия g (г) и
углового положения манипулятора х1(?), на рис. 2
- график изменения ошибки слежения в1э (г) — х (}) - g(t), пунктиром обозначены заданные границы ошибки в установившемся режиме |в1 э(t)| <А1 — 0,05 [рад], t > t* — 3 с. На рис. 3 представлены графики изменения в1э (г) - в1п (г) и в1э (t) - в1м (t) - отклонения от ошибки слежения эталонной системы в1п (^ (ошибки слежения в системе с бездатчиковым приводом) и в1м (^ (ошибки слежения в системе с бездатчиковым манипулятором), пунктиром обозначены границы допустимых отклонений. На рис. 4 для системы с бездат-чиковым манипулятором показан график х^) - Зс1(?) - ошибки оценивания углового положения х1(?) с помощью наблюдателя (18) в виде сигнала ~ — v(t) / а43.
Эксперимент 2: т — 0,45, к — 1,1, ]1 — 0,5445, С — 0,25, Я — 3,9, Ь — 0,0103;
f (t) =
g (t) = |sin(0,5t);
-0,01, t е [0, 2], [4, 6], [8,10],...; +0,01, t е (2, 4), (6, 8), (10,12),...
На рис. 5-8 представлены графики изменения переменных, аналогичные соответствующим графикам на рис. 1-4.
В табл. 2 для обоих экспериментов и всех вариантов указаны показатели качества регулирования: время регулирования f : в^) < 0,05, t > t*; величина перерегулирования в1тах > |в1(t)| и точность слежения А1 > |х1 (?) - g(í)| в установившемся режиме.
Рис. 1. Графики изменения параметров g(t), xi(t) для эталонной системы
Рис. 2. График изменения ошибки слежения е1э(() = х-() - g(() для эталонной системы
ч л о.
0.1
i
а) *
а)
5
о ю s 3 о
0.05
-0.05
-0.1
О -0.15
...
\ е1э"е1п е1э е1м
ц
J
10
t, С
Рис. 3. Графики изменения отклонений от ошибок слежения эталонной системы е1э(() - е1п((), е1э(() - е1м(()
Рис. 4. График изменения ошибки оценивания xi(t) - xi(t)
Рис. 5. Графики изменения параметров g(t), xi(t) для эталонной Рис. 6. График изменения ошибки слежения ei3(t) = xi(t) - g(t) для
системы эталонной системы
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Рис. 7. Графики изменения отклонений от ошибок слежения _
эталонной системы е1э(0 - е1п((), е1э(() - е1м(0 Рис. 8. График изменения ошибки оценивания х¡(¿) - х1(()
Таблица 2
Значения показателей качества регулирования
Показатель, единица измерения Эталонная система в условиях полной информации Система с бездатчиковым приводом Система с бездатчиковым манипулятором
Эксперимент 1 (для первого переходного процесса 0 < t < 5)
* с 1,6039 1,9968 2,1753
в1тах, рад 1,0472 1,0472 1,0472
А1, рад 0,0013 0,0421 0,0473
Эксперимент 2
* с 1,1137 1,2292 1,2568
в1тах, рад 0,1448 0,1448 0,1449
А1, рад 0,0016 0,0385 0,0430
Как видно из табл. 2, заданные целевые показатели достигаются во всех случаях. При этом в эталонной системе и в системах с наблюдателями обеспечивается одинаковое перерегулирование ошибки слежения. В системах с неполным комплектом датчиков время регулирования увеличивается незначительно, однако точность стабилизации ошибки слежения в установившемся режиме ухудшается примерно в 30 раз (из-за ошибок наблюдения, которые порождают реальный скользящий режим в пограничном слое поверхности переключения ^^)|<А) по сравнению с эталонной системой, где обеспечивается скользящий режим, близкий к идеальному. Однако сравнение с эталонной системой не конструктивно, она не реализуема на практике, поскольку для формирования базового закона управления (8) требуется точное
управления, но также внешних возмущений и их производных. Интерес представляет сравнение между собой систем с неполными измерениями.
Время регулирования и точность в установившемся режиме в системе с бездатчиковым манипулятором несколько хуже, но сопоставимы с указанными показателями системы с бездатчиковым приводом. Причина этого заключается в быстрой сходимости наблюдателя регулируемой переменной (см. рис. 4, 8), которая обеспечивается с помощью нулевого начального условия ошибки наблюдения в системе (19). Таким образом, в замкнутых системах с неполным комплектом датчиков и динамической обратной связью поддерживаются различные допустимые сценарии при изменении параметров объекта и внешних факторов в расчетных пределах без перенастройки регулято-
знание не только значений параметров объекта ра.
36
СОМИКЛ. БиЕМСЕБ N0.4 • 2021
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для электромеханической системы с однозвен-ным манипулятором разработан двухконтурный наблюдатель и декомпозиционная процедура синтеза линейных корректирующих воздействий с насыщением для случая, когда выходная переменная содержит паразитный сигнал, не подлежащий компенсации. Суммарная размерность подсистемы наблюдения, которая в комплексе восстанавливает все внутренние и внешние сигналы, необходимые для синтеза обратной связи, равна размерности объекта управления.
Результаты численного моделирования подтвердили работоспособность разработанного метода синтеза динамической обратной связи. Показано, что при использовании в следящей системе наблюдателя смешанных переменных для синтеза обратной связи достаточно знать области изменения параметров объекта управления, внешних воздействий и их производных. В условиях неопределенности, без датчика регулируемой переменной и генератора внешних воздействий, обеспечивается решение задачи слежения с заданной точностью за заданное время.
Разработанный метод синтеза двухконтурной подсистемы наблюдения без ограничения общности может быть распространен на полноприводные следящие электромеханические системы с многозвенными бездатчиковыми манипуляторами, модели которых представлены системой дифференциальных уравнений одинакового порядка, аналогичных системе (1)-(2), относительно векторных переменных с матричными коэффициентами [8].
_ПРИЛОЖЕНИЕ
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы. Обозначим 0 = г0 < Т1 = г1 < г2 < г3 <... < г8 < г9 = Т и формализуем
во времени желаемое поведение ошибок наблюдения в замкнутой системе (27), (29), отвечающее поставленной цели (28):
КЛ)| < 1/1* «К(?) <а* +1/¡{, г>г2*;
+1(г) - V*(г^ = |Л+1(0| < а;+1 <§;+
(П.1) (П.2)
|в* (г)| < 8;, г > гг1+1, * = 1, 4.
Выполнение неравенств (П.1) должно быть обеспечено выбором амплитуд т-1 > 0, * = 1, 4, соответствующих корректирующих воздействий, а неравенств (П.2) - выбором больших коэффициентов ¡* > 0, * = 1, 4.
В системе (27), (29) совпадение знаков ошибок
наблюдения и соответствующих корректирующих воздействий (г)) = ;(г)), * = 1,4, может не иметь места при 0 < г < г2г-1 и гарантируется только при г > г2г_1 вне окрестности |е< а* (П.1).
В общем случае 5; << Е01, * = 1, 4, система (27), (29) согласно неравенствам (П.1), (П.2) на указанных временных интервалах представима в виде
е^+иу^пСеДГе^;^), е,.+1 -ш^ддСе,.), г е [и^, и,), (П.З)
_е;+1 - тк(е; ± Л*), г > г2*; * = l, 4, := е5-
Оценим области изменений ошибок наблюдения в замкнутой системе (П.3) с учетом неравенств (П.2):
К (г)| < К (г2*-1)| < Е01 + (Е+ + т1 )гм-, =
= Е1, * = 1, 4, Е5 = Е5.
(П.4)
По аналогии с выражениями (10)—(11), т. е. из достаточных условий е;81 < 0 и с учетом указанных временных интервалов (П.3), составим иерархические неравенства для выбора амплитуд, при которых последовательно, сверху вниз, обеспечивается сходимость аргументов корректирующих воздействий в линейные зоны (П.1):
т > -1
г2; г2 *
- + 1 = 1, 4.
Подставляя в полученные неравенства оценки (П.4), получим последовательную, снизу вверх, иерархическую схему выбора амплитуд корректирующих воздействий
Е„,. +(+ т -1
т. > ■
Е,
^ - и.
Е + Е г _
^ т = Е°' Е+1'2*, I=4,1.
(П.5)
г2* - -1
Из схемы (П.5) следуют ограничения на временные интервалы: г2{ > 2г2;-1, г = 1, 4. Положим, например, в качестве приращения времени величину Т1, а именно:
г, = Тъ г2 = 2г.--! + Т, гШ1 = гъ + Т, * = 14, (П6)
откуда следует верхнее ограничение на выбор времени сходимости (20) наблюдателя регулируемой переменной (18) при заданном значении Т (17):
Т = [3(1 + 2 + 22 + 23) +1]Т ^0<Т <Т/46. (П.7) При подстановке выражений (П.6)-(П.7) в схему (П.5) будут определены значения т*: Vm¡ > т*, * = 1, 4, неравенства (П.1) будут выполнены.
Для определения нижних оценок на выбор больших коэффициентов ¡. > 0, обеспечивающих выполнение неравенств (П.2), аналогично выражению (23), рассмотрим оценки ¡-х переменных, описываемых третьими уравнениями системы (П.3), на интервалах
[г2*; г2* + Т1 = ^хЬ * = 14:
^+ni С)| +( 1-tf)«
-m¿l¿Ti
F.
+ ai ml '
m. - F
i_i+
m,l,
(|в((^2/+1) ) " Р+1 < (т, - ^К^1, (П8)
К^О - V,(Г) <а(+1, г > ^
О (т, - Р,+1)е-т'гл <а(+1, / = 1~4.
Для обеспечения границ линейных зон, отвечающих заданной точности оценивания (15), рассмотрим с учетом выражения (П.8) оценки ошибок наблюдения
е, (г),, = 174, пРи г > г2i+l:
ш <
! 1+1
+ a;.
i+1
mili
+ a¡ <Si, i = 1, 4.
(П.9)
Примем, например, а ;=8; /2, / = 1,4, а5 =85. Из выражений (П.8), (П.9) следует, что при г > Т оба неравенства |е; (г) <8, и |ег+1(г) - VI (г) <8г+1, / = 1,4 будут выполнены при любых значениях т{ > т* (П.5) и ^ > /*, где
. 1 12F+1 +S¿+1 1 2(mi - F+i)
= — max J——-—; —ln-i-—
m I 8,. T 8
i+1
i = 1, 3;
Г= — maxJ2(F5 +85); Ilnmi^
m4 | 84 Лемма доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Spong, M., Hutchinson S., Vidyasagar, M. Robot Modeling and Control. - New York: Wiley, 2005. - 496 p.
2. Angeles, J. Fundamentals of Robotic Mechanical Systems: Theory, Methods and Algorithms. Third Edition. - New York: Springer, 2007. - 573 р.
3. Utkin, V.I., Guldner, J., Shi, J. Sliding Mode Control in Electromechanical Systems. - New York: CRC Press, 2009. -485 p.
4. Краснова С.А., Уткин В.А., Уткин А.В. Блочный синтез управления механическими системами в условиях неопределенности // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2009. - № 6. - С. 41-54. [Krasnova, S.A., Utkin, V.A., Utkin, A.V. Block Control Synthesis for Mechanical Systems under Uncertainies // Mechatronika, automation, control. - 2009. - No. 6. - P. 41-54. (In Russian)]
5. Краснова С.А., Кузнецов С.И. Оценивание на скользящих режимах неконтролируемых возмущений в нелинейных системах // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 10. -С. 54-69. [Krasnova, S.A., Kyznetsov, S.I. Uncontrollable perturbations of nonlinear dynamic systems: estimation on moving modes // Automation and Remote Control. - 2005. - Vol. 66, no. 10. - P. 1580-1593.]
6. Краснова С.А. Оценивание производных внешних
возмущений на основе виртуальных динамических моделей
// Управление большими системами. - 2018. - Вып. 76. - С. 6-25. [Krasnova, S.A. Estimating the Derivatives of External
Perturbations Based on Virtual Dynamic Models // Automation and Remote Control. - 2020. - Vol. 81, no. 5. - P. 897-910.]
7. Краснов Д.В., Уткин А.В. Синтез многофункциональной системы слежения в условиях неопределенности // Управление большими системами. - 2017. - Вып. 69. - С. 29-49. [Krasnov, D.V., Utkin, A.V. Synthesis of a Multifunctional Tracking System in Conditions of Uncertainty // Automation and Remote Control. - 2019. - Vol. 79, no. 12. -P. 345-357.]
8. Антипов А.С., Краснов Д.В., Уткин А.В. Декомпозиционный синтез системы управления электромеханическими объектами в условиях неполной информации // Прикладная математика и механика. - 2019.
- Т. 83, Вып. 4. - С. 530-548. [Antipov, A.S., Krasnov, D.V., Utkin, A. V. Decomposition Synthesis of the Control System of Electromechanical Objects in Conditions of Incomplete Information // Mechanics of Solids. - 2019. - Vol. 54, no. 5. -P. 47-60.]
9. Маликов А.И. Синтез наблюдателей состояния и неизвестных входов для нелинейных липшицевых систем с неопределенными возмущениями // Автоматика и телемеханика. - 2018. - № 3. - С. 21-43. [Malikov, A.I. Synthesis of State Unknown Input Observers for Nonlinear Lipschitz Systems with Uncertain Disturbances // Automation and Remote Control. - 2018. - Vol. 79, no. 3. - P. 406-424.]
10.Никифоров В.О. Наблюдатели внешних детерминированных возмущений. Ч. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика.
- 2004. - № 11. С. 40-48. [Nikiforov, V.O. Observers of External Deterministic Disturbances. P. II. Objects with Unknown Parameters // Automation and Remote Control. -2004. - Vol. 65, no. 11. - P. 1724-1732.]
11.Голубев А.Е. Стабилизация однозвенного манипулятора при неполном измерении состояния: обратная связь по угловой координате звена манипулятора // Научое издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. Наука и образование. - 2012. - № 11. С. 395-412. [Golubev, A.E. Single-Link Manipulator Output Feedback Control: Manipulator Link Angular Coordinate Feedback // Scientific Periodical of the Bauman MSTU. Science and Education. - 2020. - No. 11. - P. 395-412. (In Russian)]
12.Андриевский Б.Р., Фуртат И.Б. Наблюдатели возмущений: методы и приложения. Часть 2. Приложения // Автоматика и телемеханика. - 2020. - № 10. - Р. 35-91. [Andrievsky, B.R., Furtat, I.B. Disturbance Observers: Methods and Applications. P. II. Applications. // Automation and Remote Control. - 2020. - Vol. 81, no. 10. - P. 1775-1818.]
13.Кокунько Ю.Г., Краснов Д.В., Уткин А.В. Два метода синтеза наблюдателей состояния и возмущений для беспилотного летательного аппарата // Проблемы управления. - 2020. - № 1. - С. 3-16. [Kokunko, Ju.G., Krasnov, D.V., Utkin, A.V. Two Method of Synthesis of State and Disturbances Observers for an Unmanned Aerial Vehicle // Control Sciences. - 2020. - No. 1. - P. 3-16. (In Russian)]
14. Уткин В.А., Уткин А.В. Задача слежения в линейных системах с параметрическими неопределенностями при неустойчивой нулевой динамике // Автоматика и телемеханика. - 2014. - № 9. - С. 62-81. [Utkin, V.A., Utkin, A.V. Problem of Tracking in Linear Systems with Parametric Uncertainties under Unstable Zero Dynamics // Automation and Remote Control. - 2014. - Vol. 75, no. 9. -P. 1577-1592.]
15. Краснова С.А., Уткин А.В. Анализ и синтез минимально-фазовых нелинейных SISO-систем при действии внешних несогласованных возмущений // Проблемы управления. -
в,
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
2014. - № 6. - C. 22-30. [Krasnova, S.A., Utkin, A.V. Analysis and Synthesis of Minimum Phase Nonlinear SISO Systems under External Unmatched Perturbations // Automation and Remote Control. - 2016. - Vol. 77, no. 9. - P. 1665-1675. (In Russian)]
16.Бусурин В.И., Йин Н.В., Жеглов М.А. Анализ влияния линейного ускорения на характеристики кольцевого оптоэлектронного преобразователя угловой скорости и его компенсация // Автометрия. - 2019. - № 3. - С. 120-128. [Busurin, V.I., Win, Y.N., Zheglov, M.A. Effect of Linear Acceleration on the Characteristics of an Optoelectronic Ring Transducer of Angular Velocity and its Compensation // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. - 2019. - Vol. 55, no. 3. - P. 309-316.]
17.Spong, M. Modeling and control of elastic joint robots // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. -1987. - Vol. 109. - P. 310-319.
18.Кочетков С.А., Уткин В.А. Вихревые алгоритмы в задаче управления двигателем постоянного тока // Проблемы
управления. - 2014. - № 5. - С. 20-27. [Kochetkov, S.A., Utkin, V.A. DC Motor Control on the Base of Vortex Algoritm // Control Sciences. - 2014. - No. 5. - P. 20-27. (In Russian)]
Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.
Поступила в редакцию 18.02.2021, после доработки 30.04.2021. Принята к публикации 13.05.2021
Краснов Дмитрий Валентинович - науч. сотрудник, Н dim93kr@mail.ru,
Антипов Алексей Семенович - науч. сотрудник, Н scholess18@mail.ru,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва.
DESIGNING A DOUBLE-LOOP OBSERVER TO CONTROL A SINGLE-LINK MANIPULATOR UNDER UNCERTAINTY
D.V. Krasnov1 and A.S. Antipov2
Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia dim93kr@mail.ru, 2H scholess18@mail.ru
Abstract. A single-link manipulator with an electrical actuator is considered, and a dynamic feedback control is designed for tracking a given reference signal of its angular position. The problem statement includes the following assumptions: the output (controlled) variable is not measured; the sensors are located only on the electrical drive; the mechanical subsystem has exogenous and parametric disturbances. Under the smooth disturbances, a discontinuous control law is formed in terms of the canonical input-output system written in the tracking error. For implementing this law, a double-loop observer with piecewise linear corrections is developed. In the first loop, the controlled variable is restored using an observer of the electrical subsystem. This variable, together with the reference signal, serves to design corrections in the second loop. The second observer is a replica of the virtual input-output system. It restores mixed variables-functions of the state variables, the exogenous actions, and their derivatives—to form the feedback law. The order of the observers in each loop is reduced by discarding the dynamics of the estimated variables, treated as bounded perturbations in the observation problem. A tuning procedure is proposed that allows estimating the unmeasured endogenous and exogenous signals with a required accuracy in a given time under an additive parasitic signal in the corrections. The simulation results are presented.
Keywords: electromechanical system, tracking, invariance, sliding mode, observer of states and disturbances, piecewise linear functions.
Funding. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research, project no. 20-01-00363-A.
