Синтез динамических систем с учетом степени управляемости объекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

чив эффективность системы. Вторая и третья стратегии дали меньший эффект относительно базовой стратегии.

Эксперимент подтвердил, что применение предложенной системы показателей качества управления состоянием СТС позволяет более полно реализовать ресурсы подсистемы управления за счет определения и устранения источников непроизводительных потерь производственного потенциала системы, обусловленных недостаточно квалифицированными действиями управленцев и исполнителей.

Предложенная имитационная модель также может быть использована для проведения деловых игр, в которой рейтинг обучаемых формируется в зависимости от принимаемых решений по управлению состоянием системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Португал В.М. и др. Организационная структура оперативного управления производством. -М.: Наука, 1986.

2. Мильнер Б.З. и др. Системный подход к организации управления. -М.: Экономика, 1983.

3. Волков Л.И. Управление эксплуатацией летательных комплексов. Учебное пособие для втузов. Изд. 2-е перераб. и доп. -М.: Высшая школа, 1987.

4. Шеннон Р. Имитационное моделирование сложных систем - искусство и наука. Пер. с англ. Под ред. Е.К.Масловского М.: Мир, 1978.

В.В. Тютиков, С.В. Тарарыкин, Д.Г. Котов СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ СТЕПЕНИ УПРАВЛЯЕМОСТИ ОБЪЕКТА

Возможность получения САУ, обладающих высокой чувствительностью к параметрическим возмущениям, при решении обратных задач динамики в частотной области методами модального управления (МУ), является известным фактом, поэтому вопросам обеспечения параметрической грубости таких систем в настоящее время уделяется достаточно пристальное внимание.

Известно, что чувствительность систем МУ значительно возрастает в том случае, когда в статическом регуляторе состояния (РС) присутствуют положительные обратные связи.

В некоторых случаях оценить возможность получения САУ с высокой чувствительностью к параметрическим возмущениям и попытаться уменьшить ее можно еще на стадии составления математической модели объекта управления (ОУ) и задания желаемого характера движения замкнутой системы. Так, например, исключение из описания объекта полюсов, определяющих процессы более быстрые, чем обусловленные полюсами желаемого характеристического полинома, позволяет значительно повысить грубость замкнутой системы [1].

Опыт показывает, что особенно сильное влияние на чувствительность САУ, синтезированных методами МУ, может оказывать наличие нулей в передаточной функции ОУ от входа к управляемой координате. В [2] показано, что наличие нулей ограничивает возможное, с точки зрения обеспечения параметрической грубости, быстродействие замкнутой системы.

Наличие нулей тесно связано также с таким важнейшим свойством объектов, как их управляемость по состоянию, поскольку вырождение передаточных функций (в случае сокращения одинаковых нулей и полюсов) может приводить к его потере. Однако больший практический интерес представляет не наличие или отсутствие этого свойства у объектов управления, а то, что по аналогии со степенью устойчивости (значение действительной части ближайшего к мнимой оси полюса) его можно назвать степенью управляемости (расстояние между наиболее близкими нулями и полюсами).

Действительно, при близком расположении нулей и полюсов ОУ соответствующие переменные состояния становятся плохо различимыми, и для управления ими требуются значительные по величине воздействия противоположного знака, обеспечиваемые большими значениями параметров РС. Появление в САУ сильных положительных обратных связей является, безусловно, дестабилизирующим фактором, значительно повышающим ее чувствительность к параметрическим возмущениям.

Следует также отметить, что к аналогичному результату, даже для объектов минимального (второго-третьего) порядка [3] (при совпадении нулей и полюсов) могут приводить вычислительные ошибки при использовании программных комплексов (ПК), например, таких как МЛТЬЛБ.

Рассмотрим механизм появления больших значений параметров РС. Описание линейного одномерного ОУ в пространстве состояний имеет вид

Г sx(t) = Ах^) + Ви^),

[уСО = Сх(0,

где А, В и С - соответственно матрицы динамики, входа и выхода; х(/) - вектор переменных состояния; и(/), у(/) - сигналы входа и выхода.

Наличие у объекта свойства полной управляемости позволяет говорить о возможности построения САУ с управлением

и^) = из^) + Кх^)

на основе регуляторов состояния (матрица К) в виде безынерционных обратных связей между переменными состояния и входом, позволяющих придать корням характеристического полинома замкнутой системы

1^х^) = (А + ВК)х^) + Ви^),

|у(0 = Сх(0

заранее выбранное расположение.

Для исходного и заданного характеристических полиномов объекта

А^) = s + ^ + ••• + alS + ао и О^) = s + —lS +... + + ¿о

матрица К рассчитывается следующим образом: К = Кии—1, где

К = [ао — ¿о а1 — ¿1 ... ап—1 — ёп—1], и = [в АВ ... Ап—1в], и = [в АВ ... Ап—1в] и

" 0 1 . . о " " о"

0 о . . о о

А = , В =

0 о . . 1 о

_— ао — а1 . . — ап —1_ 1

Матрицу U называют матрицей управляемости Калмана [4] в естественных координатах и используют для оценки свойства полной управляемости объекта по вектору состояния. Согласно Калману, объект и-го порядка будет полностью управляем по состоянию, если ранг матрицы управляемости равен порядку объекта. Матрицы А и В описывают объект в канонической форме управляемости (нормальной канонической форме).

Необходимость обращения матрицы U в процедуре синтеза регулятора предполагает вычисление det(U). Очевидно, что при малых значениях (следствие наличия близких нулей и полюсов) неограниченно возрастают значения элементов матрицы U"1, что и является причиной появления больших коэффициентов в матрице ^

Возникает вопрос: какое увеличение элементов матрицы K (уменьшение det(U)) допустимо с точки зрения сохранения замкнутой системой свойства параметрической грубости? Ответ может дать только количественная оценка близости нулей и полюсов или степени управляемости объекта, в то время как метод Кал-мана, как и другие ранговые методы (например, определение управляемости по специальному определителю - результанту [5]), дает качественную («Да»-«Нет») оценку.

В [6] предлагается выполнять количественную оценку управляемости по величине значений элементов матрицы Г при описании объекта в диагональной канонической форме:

^хт^) = Лхт^) + Ги^),

1у(Т) = Бх-гСО,

где Л = M"1AM, Г = M"1B, F = CM, М - модальная матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы А, xT(t) - вектор переменных состояния в данной форме.

Недостатками данного способа являются невозможность его применения при кратных полюсах, отсутствие критерия малости значений элементов матрицы Г, зависимость последних от величины коэффициентов усиления звеньев ОУ, а также значительные вычислительные погрешности, возникающие при переходе к данной форме. Разумеется, желательно, чтобы количественная оценка степени управляемости была применима к любым ОУ, независимо от расположения их полюсов, и давала возможность четкого определения случаев высокой параметрической чувствительности САУ.

Известно, что потеря свойства полной управляемости является следствием вырождения передаточных функций (ПФ) объектов управления, что может происходить в двух случаях: при параллельном соединении звеньев с ПФ, имеющими

идентичные полюсы, и при последовательном соединении звеньев, в ПФ которых есть одинаковые нули и полюсы.

Рассмотрим несколько тривиальных примеров, представляющих интерес с методической точки зрения.

Поскольку привлечение матричного аппарата предполагает применение вычислительной техники для анализа и синтеза систем, в дальнейшем будем использовать возможности пакета прикладных программ Control System Toolbox ПК MATLAB ver. 5.2, ставшего достаточно распространенным.

Рис. 1

Пример 1. Оценим управляемость и синтезируем РС для объекта, структурная схема которого изображена на рис. 1.

ПФ от входа u(s) к выходу y(s) при K = 0,1 имеет вид

= y(s) = 0,|(s + 11) . u(s) (s + l)(s + 11)

Очевидно, что происходит сокращение нуля и полюса. Вычислим матрицу управляемости U = [в AB] и ее определитель. Для этого воспользуемся средствами комплекса MATLAB (функция ctrb):

-1 0 " " 1 " " 1 -1 "

, в = , и =

1 -11 0,1 0, - о

Легко увидеть, что определитель матрицы U равен нулю, и сделать вывод о неполной управляемости ОУ по вектору состояния, но использование ПК (функ________________________________________17

ция det) дает результат detU = —8,32 • 10 . Разумеется, его критическая оценка

позволит сделать вывод, аналогичный предыдущему. Но это можно выполнить только в том случае, если матрица управляемости получена и оценка ее достаточно проста.

Тот же ПК позволяет вычислить и значения элементов матрицы обратных связей К (функция acker), задавшись желаемыми значениями полюсов замкнутой системы. Выполним эту операцию, приняв их равными Si 2 = _20. Процедура

синтеза дает: K = [9,73 •lO16 _ 9,73 • 1017 ], не позволяя оценить промежуточный

результат - структуру матрицы U и значение ее определителя. Очевидно, что реализация подобного регулятора практического смысла не имеет.

Следует отметить, что оценка значений нулей и полюсов ПФ также не позволяет сделать конкретного вывода об отсутствии у объекта полной управляемости по состоянию. Для потери этого свойства необходимо, чтобы сокращаемый полюс в структуре находился после соответствующего нуля. В нашем примере перестановка звена с ПФ H(s) = 1/(s +1) в начало структурной схемы «возвращает» объекту управляемость. Поэтому в случае сложных структур с большим коли-

чеством связей определение управляемости корневым методом будет сопряжено со значительными трудностями.

Лишь переход к диагональной форме (матрица входа будет иметь вид

ГТ = [о 1,005]) позволит сделать вывод о неуправляемости одного из состояний.

и( s) 1 0.01 У( 5)

5 + 1 5 + 5

Рис. 2

Пример 2. Оценим управляемость и синтезируем РС для объекта, структурная схема которого изображена на рис. 2.

Матрица управляемости объекта

"1 - 0,1" "-1 0 " "1"

при А = , в =

0 0,01 0,01 - 5 0

и ее определитель det и = 0,01, а также отсутствие нулей в ПФ свидетельствуют

о полной управляемости объекта.

В свою очередь, вид матрицы входа диагональной канонической формы

ГТ = [- 0,0025 1] говорит о «плохой» управляемости одного из состояний.

Процедура синтеза регулятора для 2 = -20 действительно дает достаточно большие значения элементов матрицы регулятора К = [- 34 - 22500], который, тем не менее, обеспечивает САУ свойство параметрической грубости.

Пример 3. Оценим управляемость и синтезируем РС для объекта, изображенного на рис. 3.

Очевидно, что при К = 10,5 налицо параллельное соединение звеньев с близкими полюсами.

Приведенные выше методы оценки управляемости дают следующие результаты: detU = -100, ГТ = [10 20] при

и( 5) 10 У(5)

5 + 10 20 і к

5 + К

Рис. 3

о о 1 "10" О О 1 О

А = , в = , и =

0 -10,5 20 20 - 210

свидетельствуя о полной управляемости объекта по состоянию и возможности построения системы управления на базе РС.

Принимая 2 = -50 , получаем следующие коэффициенты обратных связей: К = [- 320 15б]. Синтезированная САУ теряет устойчивость при увеличении коэффициента к2 всего лишь на 3 % от базового значения. Очевидно, что ее нельзя назвать не только грубой, но и работоспособной.

Приведенные примеры давали возможность визуально (по элементам матрицы и или по структуре объекта) оценить управляемость. Однако для более сложных ОУ сделать это аналогичным образом будет крайне трудно или невозможно. Привлечение перечисленных выше аналитических методов, как иллюстрируют те же примеры, не позволит корректно судить ни об управляемости по состоянию, ни о ее степени.

Рассмотрим подробнее оба случая возможной потери свойства управляемости в результате вырождения передаточных функций.

При наличии идентичных параллельных каналов потеря свойства полной управляемости происходит всегда. Следует отметить, что вычислительные средства в этом случае не дают погрешностей, приводящих к неправильным результатам, даже при достаточно высоких порядках систем (п = 10 и выше).

Применимость любого метода анализа зависит от того, насколько он трудоемок и понятен с физической точки зрения, поэтому в наших исследованиях ограничимся теми действиями над описанием ОУ, которые необходимы при синтезе регулятора и имеют ясную интерпретацию.

Рассмотрим зависимость количественного изменения detU от степени близости нуля и полюса ПФ при различном количестве последних.

Для системы, приведенной на рис. 3, оценим изменение detU при вариациях К с шагом 1 % от К = 10. Результаты приведены в табл. 1.

_____________________________________________________________________Таблица 1

К 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10 10,1 10,2

АК (%) 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

detU 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 - О

А ёеШ^ 0,16 0,2 0,25 0,33 0,5 1 ¥ 1

Ноль -9,65 -9,7 -9,75 ,8 - -9,85 ,9 - -9,95 -10 -10,1 -10,2

Очевидно, что значения ёе И убывают при сближении нуля и полюса, а также обладают симметрией относительно точки вырождения (К = 10).

Оценивая относительное приращение значения ёй И в виде

deШi+l - detUi

1+1 detUi

где і = АК, на каждом шаге изменения К (рис. 4, кривые 1), начиная от точки вырождения, можно сделать вывод о том, что с удалением нуля и полюса друг от друга значение А ёеШ^ уменьшается, следовательно, снижается чувствительность матрицы и, а значит и замкнутой системы, к вариации параметров.

Данная структура может входить в состав сложного ОУ, но и в этом случае (если нет более близких нулей и полюсов) результат будет таким же.

Рис. 4

При близости двух нулей и двух полюсов (трех нулей и трех полюсов) качественных изменений в характере зависимости Д ёеШ(Дж) не произойдет, изменятся лишь количественные показатели (рис. 4, кривые 2 и 3 соответственно).

Проведем аналогичное исследование системы, приведенной на рис. 1. Результаты представлены в табл. 2.

Т аблица 2

К 0,093 0,094 0,095 0,096 0,097 0,098 0,099 0,1 0,101 0,102

АК (%) 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

ёе И 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 -0,01 -0,02

А ёеШ^ 0,16 0,2 0,25 0,33 0,5 1 ¥ 1

Ноль -11,75 -11,64 -11,51 -11,42 -11,31 -11,2 -11,1 -11 -10,9 -10,8

Полюс -11

Очевидно, что и для этого объекта в случае близких нуля и полюса, при аналогичной вариации значений элементов схем, определяющих их взаимное расположение, будет наблюдаться такая же картина (рис. 4, кривые 1). Результат также не изменится и при включении данной структуры в более сложную.

Следует отметить, что последовательное соединение дает значительно большее разнообразие вариантов «взаимодействия» нулей и полюсов. Например, один ноль может быть близок с двумя полюсами или два нуля с двумя полюсами. Оба этих случая будут аналогичны близости двух нулей и двух полюсов для параллельного соединения (рис. 4, кривые 2). То же можно сказать и о большем количестве близких нулей и полюсов.

Важно, что на полученные результаты не влияет то, значение какого именно элемента матриц А или В варьируется. Необходимо только, чтобы от него за-

висело взаимное расположение нуля и полюса (нулей и полюсов), что легко оценить по структуре объекта управления. Более того, характер кривых не изменится, если выполнять вариации параметров с другим постоянным шагом.

Анализ полученных результатов показывает также, что для всех случаев

справедливо: АdetU1 = 2к - 1, где к - количество пар близких нулей и полюсов.

Таким образом, матрица и несет в себе достаточно информации, чтобы сделать вывод о степени управляемости объекта и, следовательно, о возможности получения грубых решений в рамках метода МУ.

Необходимым условием наличия у замкнутой системы свойства параметрической грубости будет выполнение следующего неравенства:

А detU =

detUl% - detUн

detUн

1

2к

(1)

где detUн , detUl% и к - значения определителей матрицы управляемости соответственно при номинальных параметрах и при вариации параметра на 1 %, а также количество пар близких нулей и полюсов. При этом, чем с большим запасом выполняется данное условие, тем выше степень управляемости объекта и тем грубее будет полученная замкнутая система. Если detUн , detUl% разного знака, это значит, что мы находимся в непосредственной близости от точки вырождения и полученные решения не будут обладать свойством параметрической грубости. Отметим также, что степень параметрической грубости будет снижаться при увеличении среднегеометрического корня желаемого характеристического полинома замкнутой системы.

Процедура оценки степени управляемости будет состоять в следующем:

1. Вычислить значение определителя матрицы управляемости объекта при номинальных параметрах.

2. Задать малую вариацию любого элемента матриц А или В, от которого зависит взаимное расположение нуля и полюса (нулей и полюсов).

3. Проверить выполнение условия (1).

При невозможности оценить, значение какого из элементов матриц А или В необходимо варьировать, например, при высокой сложности объекта управления, для получения достоверного результата следует последовательно изменить значения нескольких элементов.

Пример 4. Рассмотрим синтез регулятора состояния для объекта, приведенного на рис. 5.

<

Рис. 5

Матрицы объекта имеют вид 136

- 20 0 0 0 " "10"

1 -1 0 0 0

A = , B =

ê 20 20 -10 0 0

30 0 30 - 30 0

Вычисление нулей и полюсов дает соответственно (-1,707 и -29,293) и (1, -10, -20, -30). Налицо практически полное совпадение нуля и полюса, но опре-

о

делитель матрицы управляемости det и > = -9,6 • 10 показывает, что объект полностью управляем. Увеличение на 1 % значения элемента а44 и проверка условия (1) дают:

detU1% =-13,82 -10

8 41 т т - 13,82 -108 + 9,6 -108

8 A detU =----------- ------------î------------= 0,44,

^8

Л = 0,5 :

2

9,6 • 108 0,44 < 0,5,

что свидетельствует о возможности получения грубого решения.

Результат не изменится, если вариация а44 будет выполнена и в сторону уменьшения его значения:

detU1% =-5,47-108 , A detU =

- 5,47 -108 + 9,6 -108

8

= 0,43, 1 = 0,5

2

- 9,6 • 108 0,43 < 0,5.

Синтез РС для распределения Ньютона и среднегеометрического корня О0 =50 дает К = [- 13,90 - 2414 120.0 - 26.67]. Моделирование замкнутой системы показало, что устойчивость сохраняется при вариациях наиболее критичного параметра (коэффициента усиления последнего звена ОУ) до 50 %.

Выполним аналогичные вычисления для случая, когда исходное значение а44=29,2: ёеШн = 1,23• 108 и ёеШР/о = -2,76-108. Значение определителя изменило знак, поэтому вывод о высокой чувствительности САУ можно сделать уже на этом этапе. Дальнейшее исследование дает: АёеШ = 1,24 > 0,5, что подтверждает сделанный вывод. Математическое моделирование САУ в тех же условиях при К = [- 14 - 2186 - 297,5 - 243,7] показывает, что она становится неустойчивой при увеличении коэффициента усиления последнего звена ОУ на 10%.

Таким образом, предложенный критерий оценки степени управляемости объекта позволяет проанализировать возможность обеспечения свойства параметрической грубости на начальных этапах синтеза САУ.

ЛИТЕРАТУРА

Тарарыкин С.В, Тютиков В.В. Определение размерности вектора состояния при синтезе управляемых динамических систем // Изв. вузов. Электромеханика, 1995, №1-2, С. 69-74.

Тарарыкин С.В., Тютиков В.В. Робастные системы модального управления с полиномиальными регуляторами // Современные наукоемкие технологии в инженерной и управленческой деятельности («КомТех-2000»): Изв. ТРТУ. Тематический выпуск. Материалы Всероссийской НТК с международным участием. -Таганрог, 2001. С. 92-99. Медведев В.С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

1

2

4. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.

5. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. -М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1985.

6. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления: Пер. с англ. -М.: Маши-

ностроение, 1986.

Н.С. Амишим, И.Н. Булатникова, Н.Н. Гершунина АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ МИКРОПРОЦЕССОРНЫХ СРЕДСТВ В РОБОТОТЕХНИКЕ

Средства автоматизации на базе роботов и робототехнических систем развивались по двум путям: использование универсальных средств и создание специализированных систем.

Универсальность диктовалась математической сложностью задачи управления, необходимостью адаптации к разнотипному оборудованию и стремлением сократить сроки разработки [1,2].

Так появились системы программного управления, требовавшие предварительного программирования (позиционного или алгоритмического). Причем, простота программирования достигалась за счет сложности аппаратного обеспечения и наоборот.

Возникшее противоречие между аппаратным и программным обеспечениями сдерживало широкое внедрение робототехники в качестве средств высокого уровня автоматизации.

Это противоречие еще больше усилилось после появления микропроцессоров с их весьма (особенно в первый период) ограниченными вычислительными возможностями (разрядная сетка, объем памяти, упрощенный набор команд и т.д.).

Разрешение этого противоречия - в разработке особенного алгоритмического обеспечения, максимально адаптированного к микропроцессорной реализации основных вычислительных процедур, типичных для робототехнических систем.

В основе такого обеспечения лежит новый идеологический подход к микропроцессору как к инструменту кибернетическому, а не математическому.

Он позволяет построить вычислительный процесс не на основе аналитических выражений и алгоритмов, им соответствующих, а на основе цифрового моделирования перемещений (и положений - как накопленный результат) кинематических узлов (шарниров и кинематических пар) в трехмерном пространстве, с учетом их инерционности и кинематических ограничений [3,4].

Другая особенность применения МП в роботах - способность к встраиванию в аппаратуру [5] требует, чтобы алгоритмы моделирования могли допускать простую аппаратную реализацию, что также обеспечивается за счет (а можно сказать, создает предпосылки для) распараллеливания вычислительных процессов.

Прежде чем перейти к изложению принципов построения алгоритмов моделирования, отметим, что многие вычислительные задачи проще решаются геометрическим способом, чем, например, алгебраическим. К таким задачам относится задача построения треугольника по трем сторонам (т.е. трем числам, задающим длины его сторон).