Синтез диэлектрических систем на основе слоёв с меняющимся по толщине показателем преломления Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

СИНТЕЗ ОПТИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ С ГАРМОНИЧЕСКОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

К.В. Каряев, Э.С. Путилин

Рассмотрена возможность синтеза неоднородных покрытий с гармонической модуляцией показателя преломления и заданными спектральными характеристиками методом сопряженных градиентов. В качестве параметров использовались толщина неоднородного слоя, период модуляции и величина начального сдвига гармонической функции. Рассмотрен синтез покрытий, состоящих из одного или двух таких слоев. Предложено усовершенствование метода сопряженных градиентов за счет построения адаптивной сетки.

1. Введение

Многослойные оптические системы находят широкое применение в науке и технике [1]. Одной из важнейших проблем прикладной оптики остается синтез подобных многослойных систем, удовлетворяющих определенным критериям. В роли таких критериев могут выступать, например, спектральные и фазовые характеристики, лучевые свойства, критерии практической реализуемости покрытия.

Одним из наиболее перспективных численных методов синтеза без начального приближения остается метод игольчатых вариаций, предложенный для решения задач синтеза многослойных оптических систем А.Н. Тихонравовым [2]. Этот метод отлично зарекомендовал себя при синтезе покрытий, образованных слоями с чередующимися показателями преломления, и при синтезе покрытий, образованных материалами с тремя различными показателями преломления, для работы при наклонном падении излучения.

Задача синтеза неоднородных покрытий в настоящее время решается преимущественно Фурье-методами. Однако Фурье-методы, как правило, порождают системы с крайне сложным профилем показателя преломления, что предъявляет высокие требования к технологическому процессу, подчас не позволяя получить конструкцию системы, легко воспроизводимой на практике.

В данной работе предлагается подход к синтезу многослойных неоднородных покрытий на основе использования стандартных профилей показателя преломления с вариацией параметров неоднородности. Этот подход является естественным развитием формализации систем, образованных однородными слоями, что позволяет использовать разработанные методы многомерной оптимизации в ограниченной области и допускает применение метода игольчатых вариаций (с введением дополнительных условий на границах между слоями). С другой стороны, полученные конструкции покрытий, будучи описаны элементарными функциями, снижают требования к технологическому процессу при практическом изготовлении покрытий.

2. Математическая модель

2.1. Представление неоднородного слоя

В классической модели многослойного покрытия [1] показатель преломления каждого слоя считается постоянным (см. рис. 1):

П (z) = пг (1)

Мы рассмотрели неоднородные покрытия со слоями, показатели преломления которых меняются по гармоническому закону (см. рис. 2):

, n L + n L n iH + n LL . 2n(z'- zг(0))

ni (z') = —-- + —-- sin ——-—

г 2 2 Ázt (2)

z' = z - z.

При совмещении нескольких таких слоев показатель преломления покрытия может оказаться как непрерывной, так и кусочно-непрерывной функцией. В данной работе мы не накладывали ограничения непрерывности показателя преломления на границах между слоями.

2.2. Описание распространения света в покрытии

Для описания распространения света внутри покрытий использовался формализм характеристических матриц [1], причем характеристическая матрица каждого неоднородного слоя вычислялась как произведение характеристических матриц достаточно тонких

(0.25-2 нм) подслоев, каждый из которых считался однородным.

Согласно [1], амплитудные коэффициенты отражения и пропускания могут быть выражены через элементы характеристической матрицы покрытия следующим образом:

г = (т11 + тп Рь )Р1 - (т21 + т 22 Рь )

(т11 + т12Рь )Р1 + (т21 + т22Рь ) (3)

,=_2Р_. ()

(т11 + т12Рь )Р1 + (т21 + т22Рь )

Энергетические коэффициенты отражения и пропускания (отражательная и про-пускательная способности) вычисляются по следующим формулам:

Я = |г|2

Т = Р М2 . (4)

Рь

А = 1 - Т - Я

Отметим, что везде далее слои нумеруются от внешней среды (а не от подложки), а коэффициенты отражения и пропускания выражаются в относительных долях, а не процентах.

2.3. Метод синтеза

Для оценки качества покрытия, для которого задана целевая спектральная характеристика энергетического коэффициента отражения Я (Л), использовался целевой функционал в следующей форме:

р(п(*)) = NЕ Ч [(*), 4) - Я(Лк)] (5)

Ж к=1

В рамках поставленной задачи мы считали для каждого слоя показатели преломления п н и п^ заданными. Тогда, с учетом выражения (2), для Ж-слойного покрытия с

гармонической модуляцией показателя преломления в слоях формула (5) перепишется в виде

F(dbz{0), Azb...,dN,zn0), AzN) = N2W[[, z!U), Azb...,dN,zAzN,Xk) -R(Xk)

N k=l

(6)

где d1- геометрическая толщина слоя; z10), Azi - параметры слоя в соответствии с (2).

В силу специфики структуры рассматриваемого класса покрытий прежде всего интересен вопрос применимости методов многомерной оптимизации [3], например, класса методов типа спуска. Нами для оптимизации характеристик покрытия использовался метод сопряженных градиентов.

Градиент целевой функции (6) вычислялся по приближенным формулам

dF = F (..., dt, z г(0), az, ,...) - F (di, zi(0), Azi,., dN, zn0), azn )

1

N ¿

(0) , z(0)

(7)

ddi d i - d i

dF F (.. -, d,, z г(0), Az,.,, .) - F (d1, z10), Az1,. d z (0) Az )

dz(0) zo - z,(0)

dF _ F (.., ■, d t, z ,(0), äz; ,. .) - F (d1, z<0), Az1,. d z (0) Az ) N N N

öAz i Az i - Az i

Как известно, эти методы требовательны к выбору начального приближения. Нами рассматривались два класса задач: синтез просветляющих покрытий и синтез зеркал. Соответственно, были выбраны два различных начальных приближения:

• для просветляющих покрытий - слой, составляющий один период гармонической функции,

• для зеркал - слой, состоящий из нескольких (порядка 10) полупериодов гармонической функции.

Естественными условиями для задачи многомерной оптимизации являются условия вида:

d > 0. (8) Учет этих условий производился на каждом шаге алгоритма оптимизации путем удаления всех слоев покрытия, для которых оно не выполнялось.

Выражения (4)-6) позволяют применять метод сопряженных градиентов (или любой иной метод типа спуска) для оптимизации покрытий указанной структуры. Отметим, однако, что в общем случае методы типа спуска обеспечивают нахождение только локального минимума.

3. Результаты и обсуждение

3.1. Неоднородные просветляющие покрытия

Для иллюстрации возможностей синтеза неоднородных просветляющих покрытий была поставлена задача просветления границы воздуха с оптически плотным материалом (п0 = 1, пь = 1.96) в диапазоне 400-700 нм. Для формализации условий была задана сетка с шагом 10 нм в диапазоне 380-710 нм. В каждом узле сетки требовалось

полное просветление (К=0). В качестве начального приближения было выбрано покрытие толщиной 360 нм со следующим распределением показателя преломления (см. рис. 2):

п( г) = 1.67 + 0.29б1п

2п(г - 90) 360

(9)

Спектральная характеристика коэффициента отражения для данного покрытия приведена на рис. 3. Фактически - это покрытие, обеспечивающее максимумы отражения (величиной 0,10-0,11) на длинах волн 400 нм и 600 нм. Целевая функция составляет для него 5.75 -10-3, а среднеквадратичное отклонение спектральной характеристики отражательной способности от требуемой (являющееся среднеквадратичным коэффициентом отражения) - 0.076.

Рис. 2. Профиль показателя преломления исходного покрытия для задачи просветления.

Рис. 3. Коэффициент отражения исходного покрытия (рис. 2) для задачи просветления

в диапазоне 400-700нм.

В соответствии с (6), мы имеем трехмерное пространство параметров оптимизации. В результате оптимизации методом сопряженных градиентов было получено покрытие толщиной 145.5 нм со следующим распределением показателя преломления (см. рис. 4):

2п( г + 88.33)

п( г) = 1.67 + 0.29вт-

(10)

229.31

Спектральная характеристика синтезированного покрытия приведена на рис. 5. Видно, что коэффициент отражения во всей области не превышает 0,02 и имеет мини-

мум около 530 нм. Целевая функция составляет для него чуть более 1 -10-4, а среднеквадратичный коэффициент отражения - чуть более 0.01.

Заметим, что толщина покрытия уменьшилась почти в два с половиной раза, а период - более чем в полтора раза. Начальная фаза синусоиды, как и следовало ожидать, изменилась на почти противоположную.

При попытке использовать в качестве начального приближения слой, состоящий из нескольких периодов гармонической функции, данное оптимальное решение не было достигнуто. Применение метода сопряжены градиентов приводило к попаданию в локальный минимум, соответствующий заданному количеству периодов гармонической функции, а среднеквадратичный коэффициент отражения, как и следовало ожидать, был выше оптимального.

п ' 2.00

1.80

1.60

1.40

1.20

1.00

0.80

0.60

0.40

0.20

0.00

0

36

72

108

144

180

216

252

288

324

360 z

Рис. 4. Профиль показателя преломления полученного покрытия для задачи просветления

Рис. 5. Коэффициент отражения полученного покрытия (рис. 4) для задачи просветления

в диапазоне 400-700нм

Таким образом, синтез методом сопряженных градиентов позволяет получать просветляющие покрытия при использовании в качестве начального приближения неоднородного слоя, составляющего один период гармонической функции. Важно, что начальное приближение может и не удовлетворять условиям просветления для данной области. Отметим, что полученное покрытие обладает лучшими характеристиками, чем хорошо известный класс неоднородных просветляющих покрытий, образованных полупериодом синусоиды [4].

3.2. Неоднородные зеркальные покрытия

Для неоднородных зеркальных покрытий были попытки решить два класса задач: расширение зоны высокого отражения и сдвиг зоны высокого отражения. Вообще говоря, обе задачи имеют практическое значение как для реоптимизации конструкций, полученных аналитическими методами, так и для восстановления истинной структуры покрытия с учетом погрешностей, внесенных при изготовлении покрытия (например, методами вакуумного напыления).

Расширение зоны высокого отражения неоднородных зеркальных покрытий. Для иллюстрации возможностей расширения зоны высокого отражения неоднородных зеркальных покрытий была поставлена задача расширения зоны высокого отражения зеркального покрытия на подложке из кварцевого стекла ( п0 = 1, пь = 1.52 ).

Исходное покрытие состояло из одного неоднородного слоя толщиной 4144 нм, составлявшего 14 периодов гармонической функции (неоднородный аналог 28-слойного зеркала с однородными слоями равной геометрической толщины [5]) с центральной длиной волны 1060 нм (см. рис. 6). В диапазоне 950-1200 нм это покрытие имеет коэффициент отражения более 0.9 (см. рис. 7). Задача состояла в расширении зоны высокого отражения до диапазона 900-1200 нм с получением наибольшего отражения в данном диапазоне.

Рис. 6. Профиль показателя преломления исходного покрытия для задачи расширения

зоны высокого отражения

Для формализации условий была задана сетка с шагом 20 нм в диапазоне 8801220 нм. В каждом узле сетки требовалось полное отражение (К=1). Исходный неоднородный слой был разбит на два логических слоя по 7 периодов:

т (г) = 1.79 + 0.4Ып-

296

296 . (11) 9 7Г7

п2( г) = 1.79 + 0.4Ып-

296

Целевая функция составляет для исходного покрытия 0.13, а среднеквадратичное отклонение спектральной характеристики отражательной способности от требуемой (являющееся среднеквадратичным коэффициентом пропускания) - 0.37.

После этого был запущен процесс оптимизации. В соответствии с (6), мы имеем шестимерное пространство параметров оптимизации. В результате оптимизации методом сопряженных градиентов было получено покрытие толщиной 4202 нм (I слой -2127 нм,

II слой - 2075 нм) со следующим распределением показателя преломления (см. рис. 8):

/л ,„л п -.1 • 2п(г + 26.61)

п (г) = 1.79 + 0.4Ьт—---

312.37

П2( г) = 1.79 + 0.4ЫП2п( г - 3491)

245.04

Рис. 7. Коэффициент отражения исходного покрытия (рис. 6) для задачи расширения зоны высокого отражения в диапазоне 800-1300нм.

Рис. 8. Профиль показателя преломления полученного покрытия для задачи расширения зоны высокого отражения

Рис. 9. Коэффициент отражения полученного покрытия (рис. 8) для задачи расширения зоны высокого отражения в диапазоне 800-1300 нм

Спектральная характеристика отражения синтезированного покрытия приведена на рис. 9. Видно, что коэффициент отражения во всей области превышает 0,94. Целевая функция составляет для него чуть более 6 -10-4, а среднеквадратичный коэффициент пропускания - чуть менее 0,025.

Заметим, что толщина покрытия почти не изменилась (~1,5%), а периоды двух слоев изменились на 5-20%. За счет изменения периодов гармонической функции, определяющей показатель преломления в слоях, очевидно, и произошло расширение зоны высокого отражения зеркала. Особый интерес представляет тот факт, что показатели преломления двух слоев оказались «сшиты» (разница показателей преломления на стыке составила ~0.04). Фактически это означает сохранение свойства непрерывности исходного покрытия.

Другая важная особенность (в отличие от синтеза однослойных покрытий) - изменение числа периодов покрытия: 6.81 периодов для первого слоя и 8.47 периодов для второго слоя. Из этого наблюдения следует важный вывод: расширение зоны высокого отражения возможно только в известных пределах. Эти пределы определяются количеством периодов исходного покрытия и контрастом минимального и максимального показателей преломления. Так, для использованных в данной задаче материалов максимальная зона высокого отражения каждого неоднородного слоя определяется соотно-

X

шением для относительной ширины: —— = 1.26. С учетом выбранного количества пе-

х а

риодов коэффициент отражения в этой зоне больше 0.9. Зона отражения, для которой Я>0.99, имеет относительную ширину 1.23. Таким образом, с учетом свойства сохранения числа периодов покрытия, попытка синтезировать покрытие с относительной шириной 1.45 и более (например, для диапазона 800-1200нм) при выбранном начальном приближении обречена на неудачу - скорее всего, в результате получится узкополосный фильтр. Однако при увеличении числа слоев можно создавать покрытия с относительной шириной, достигающей 1.58 и более при использовании более чем двух муль-типериодических неоднородных слоев.

Сдвиг зоны высокого отражения неоднородных зеркальных покрытий. Для иллюстрации возможностей синтеза неоднородных просветляющих покрытий была поставлена задача сдвига зоны высокого отражения зеркального покрытия на подложке из кварцевого стекла ( п0 = 1, пь = 1.52 ).

В качестве начального приближения было выбрано то же покрытие, что и в предыдущей задаче (см. рис. 6). В диапазоне 950-1200нм это покрытие имеет коэффициент отражения более 0.9 (см. рис. 7). Задача состояла в сдвиге зоны высокого отражения в область 900-1100нм.

Для формализации условий была задана сетка с шагом 20 нм в диапазоне 9001100 нм. В каждом узле сетки требовалось полное отражение (Я=1). Исходный неоднородный слой был задан следующей формулой:

2П

п^) = 1.79 + 0.4Ып-. (13)

296

После этого был запущен процесс оптимизации. В соответствии с (6), мы имеем трехмерное пространство параметров оптимизации. Выяснилось, что в силу наличия у исходного покрытия побочного максимума отражения, отстоящего всего на 100 нм от границы основной зоны отражения, лобовой поиск минимума не позволяет достигнуть требуемого сдвига. Очевидно, что для решения задачи нужно, прежде всего, уменьшить период гармонической функции. График целевой функции вдоль соответствующей координаты приведен на рис. 10. Видно, что наличие побочного максимума отражения создает побочный локальный минимум целевой функции, который, как показывает численный эксперимент, не преодолевается оптимизацией по равномерной сетке.

Рис. 10. Зависимость целевой функции от величины периода гармонической функции неоднородного слоя для задачи сдвига зоны высокого отражения. Исходное значение

А* = 296

Для решения задачи был использован метод «временных условий». Временные условия используются для равномерного сгущения сетки и вычисляются методом линейной интерполяции по исходной сетке. После этого задается максимальное допустимое отклонение А коэффициента отражения для всех длин волн Як, и часть временных условий, удовлетворяющих неравенству

< А.

(14)

Я(^, г10), А*,,..., , 40), Л ) - Я (Як )

удаляется. Таким образом, оптимизация проводится итерационно в два шага: на первом вычисляется сгущенная сетка, на втором производится нахождение минимума целевой функции на данной сетке. Использование А = 0.40 и пяти «временных» условий на каждом шаге исходной сетке позволили достигнуть требуемого сдвига зоны высокого отражения.

Рис. 11. Профиль показателя преломления полученного покрытия для задачи сдвига

зоны высокого отражения

В результате оптимизации данным методом было получено покрытие толщиной 4144 нм со следующим распределением показателя преломления (см. рис. 11):

2п( г + 4.34)

п( *) = 1.79 + 0.4Ып-

(15)

277.15

Спектральная характеристика синтезированного покрытия приведена на рис. 12. Видно, что коэффициент отражения во всей области превышает 0,99. Целевая функция

составляет для него чуть более 5 -10 6, а среднеквадратичный коэффициент пропускания - чуть более 0,002.

К. А

.00^-*-1-'-'-'-'-1-<-^-■-—-->

800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 х

Рис. 12. Коэффициент отражения полученного покрытия (рис. 11) для задачи сдвига зоны высокого отражения в диапазоне 800-1300 нм

Отметим, прежде всего, сохранение геометрической толщины покрытия и требуемое изменение периода гармонической функции. Таким образом, описанное усовершенствование (по существу, введение «адаптивности») метода оптимизации позволило решить требуемую задачу.

Однако при увеличении требуемого сдвига возможно попадание в локальный минимум даже усовершенствованного метода оптимизации, а также его «блуждание» между двумя соседними локальными методами.

Заключение

В ряде частных случаев возможно использование методов многомерной оптимизации для синтеза покрытий с требуемыми спектральными характеристиками. Основной проблемой остается проблема выбора начального приближения. Другие проблемы, возникающие при решении данной задачи, в целом аналогичны проблемам синтеза неоднородных оптических покрытий: отсутствие методов глобальной оптимизации и невозможность менять количество параметров, определяющих структуру покрытия.

С другой стороны, ряд специфических особенностей позволяет надеяться на возможность создания аналога метода игольчатых вариаций для неоднородных покрытий, что позволит снять проблему выбора начального приближения.

Применение параметризованных неоднородных слоев позволяет в ряде практически важных случаев успешно проводить синтез и реоптимизацию покрытий.

Важным практическим значением обладает тот факт, что синтез неоднородных покрытий с использованием методов многомерной оптимизации является значительно более ресурсоемким по сравнению с синтезом однородных покрытий.

При синтезе просветляющих покрытий с гармонической модуляций показателя преломления методы многомерной оптимизации позволяют варьировать и период модуляции, и толщину покрытия.

При синтезе зеркал с гармонической модуляций показателя преломления методы многомерной оптимизации позволяют варьировать период модуляции, но практически не позволяют варьировать общую геометрическую толщину покрытия.

Для задачи сдвига области высокого отражения при синтезе зеркал алгоритмы типа спуска часто попадают в локальные минимумы, связанные с побочными максимумами отражения. Введение «временных» условий и адаптивной неравномерной сетки

позволяет в ряде случаев успешно решать эту проблему. Однако этот подход требует

дополнительных вычислительных ресурсов.

Литература

1. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. Москва, 1970.

2. Sh. Furman and A.V.Tikhonravov. Basics of optics of multilayer systems. Editions Frontiers, Gif-sur Yvette, 1992, 242 p.

3. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. Киев, 1983. 512 с.

4. Майа Х. Неоднородные оптические покрытия (исследование возможностей метода совместного осаждения диэлектрических плёнок при вакуумном испарении), Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук, 1999.

5. Karyaev K.V., Putilin E.S. Spatial distribution of electric energy in multilayer and inhomogeneous dielectric mirrors. // Advances in Optical Thin Films. Proc. of SPIE. V.5250