CC BY
3Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 66
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 62.534 (031)
Синтез асимптотически устойчивых движений гиростата переменной структуры
Безгласный С. П.*, Худякова М. А.**
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королева (национальный исследовательский университет), СГАУ, Московское шоссе, 34, Самара,
443086, Россия *е-mail: bezglasnsp@rambler.ru **е-mail: motya31087@list.ru
Аннотация
Решена задача о построении асимптотически устойчивых произвольно заданных программных движений гиростата переменной структуры. Решение получено синтезом активного программного управления, приложенного к системе, и стабилизирующего управления по принципу обратной связи. Управление построено в виде точного аналитического решения в классе непрерывных функций. Задача решена на основе прямого метода Ляпунова теории устойчивости с использованием функций Ляпунова со знакопостоянными производными.
Ключевые слова
гиростат, программное движение, знакопостоянная функция, функция Ляпунова, асимптотическая устойчивость
Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» (соглашение № 14 В 37.21.0203).
Введение
Задача по реализации управляемых пространственных движений твердых тел и системы твердых тел имеют важное прикладное значение и широко рассматриваются
авторами во многих работах, например [1]-[6]. В данной работе ставится и решается задача об определении управлений, реализующих и стабилизирующих произвольные заданные программные движения системы двух соосных тел (уравновешенного гиростата) с моментами инерции, зависящими от времени, относительно их общего центра масс. Решение проводится построением активного управления, приложенного к системе тел и представляющего собой совокупность программного управления и стабилизирующего управления по принципу обратной связи, реализуемых, например, двигателями малой тяги. Исследование программного движения сводится к анализу нулевого решения неавтономной системы и проводится на основе прямого метода Ляпунова [7]. Метод предельных систем [8] и его модификация [9] позволяют при использовании функций Ляпунова со знакопостоянными производными строить искомое управление в замкнутой аналитической форме в классе непрерывных функций.
Постановка задачи
Рассмотрим пространственное движение гиростата, представляющего собой систему двух связанных соосных тел: носитель Т массой щ и ротор Т2 с массой ш2. Точки О, О2 -
центры масс тел Т и Т2, точка О - общий для тел Т и Т2 центр масс; 1Х = ОО, 12 = 020 -
расстояния между центрами масс тел и их общим центром масс, где = 12т2.
Предполагаем, что значения осевых моментов инерции обоих тел могут зависеть от времени, характеризуя наличие подвижных частей конструкции или перемещения масс, не меняющие положений центров масс обоих тел, и, как следствие - центра масс всей системы.
Пусть О'^г]^ - абсолютная неподвижная система координат; ОаРу - подвижная система координат, оси которой во все время движения остаются параллельными осям системы О' (Кениговая); О ху - неинерциальная система координат, неизменно связанная с первым телом; Ох2х2г2 - система координат, жестко связанная со вторым телом таким образом, что оси Ог и Ог2 совпадают.
Тело Т2 вращается вокруг Т с произвольно заданной угловой скоростью а = а, направленной по оси Ог, где величина а = <т(1), задающая угол закрутки второго тела относительно первого, считается известной заданной функцией времени (Рисунок 1).
Рисунок 1. Гиростат
Пусть центр масс гиростата О движется согласно известному закону:
^ = ш л = л(;), С = С().
Будем исследовать сферические движения описанной механической системы относительно общего центра масс. Поставим задачу о реализации управляющими силами, прикладываемыми к системе, произвольно заданных (программных) движений гиростата и стабилизации этих движений.
Программным (желаемым) движением назовем пару (г (1), Г(1)), где г (1) -ограниченная, дважды кусочно-непрерывно дифференцируемая вектор-функция размерности п = 3, описывающая некоторое заданное вращательное движение гиростата относительно его центра масс О .
В общем случае функция г(1), задающая программное движение, может не являться решением системы дифференциальных уравнений, описывающих движения управляемой механической системы. Поэтому будем реализовывать программные движения, разделив управляющие воздействия на две группы: силы, реализующие программное движение, и силы, стабилизирующие его.
Вывод уравнений движения
Уравнения движения исследуемой системы составим в форме уравнений Лагранжа второго рода
d
Í дт\
dT
= Q. (2.1)
ydq) dq
dt
Положение системы координат Oxyz относительно Oa/Зу будем характеризовать углами Эйлера <р,щ,6, приняв их за компоненты вектора обобщенных координат qT = (р,щ,в), где символ ( )т обозначает транспонирование. Компоненты вектора абсолютной угловой скорости о^ = (p, q, r) носителя в системе Oxyz выражаются уравнениями Эйлера [10] и имеют вид:
p = <9cos^ + ^sin^sin#, q = -в sin р + cos p sin в, r = p + ^cose
Абсолютная угловая скорость второго тела в системе координат Oxyz дается вектором о2=(+(, а в системе координат Ox2y2z2 - вектором о2 = Г(( + (), где (cosa sin a 0^
Г =
V
- sin a cos a 0 0 0 1
есть матрица перехода от Oxyz к Ox2y2z2, остт = (0,0, a) .
Тогда кинетическая энергия системы примет вид:
T = 1 (m + m2)(i2 +Г]2 +С2) +1 (Ilz +12z)( + (Iiz +12z)cosвфу +1 [(Л* +12* cos2 ct +
+12y sin2 sin2 psin 9 + (Iiz + I2z) COs2 9 + (I2* - 12y sin + Iiy + 12* sln2 +
2
+I2y cos2 a) cos2 psin2 в]^2 + — [(Ilx - Ily)sin2psine + (I2x - I2y)cos2asin2psine-
+(12x cos 2P -12y) sin 2a sin в]^в + — [(I—x +12x cos2 a +12y sin2 a) cos2 P + (I1 y + +12x sin2 a + 12y cos2 a) sin2 P + 1 (I2y + 12x ) sin 2a sin 2Р]в' + 12zap + I2z^ cos в + —12z^
где 1Х = ('), 1у = I у ('), 4 = I ¡2 (') - главные моменты инерции тел Г, (* = 1,2), вычисляемые относительно общего центра масс О согласно теореме Гюйгенса-Штейнера через центральные главные моменты инерции тел I ы= 1^(1), I ¡у = ), 112= I ), (/ = 1,2) согласно равенствам:
Ьх = 4 + ^Л Ьу = Ку + Щ112> I1z = I1z .
Ах = 2х + т212 , ^у = 2у + т212 . ^ z = ^2 z •
1
Величина Г представлена в виде суммы: Г = ^ + Г + Г„, где ^ = 2 4 А('. 4)4 -
квадратичная форма скоростей 4, задаваемая симметричной матрицей А('. 4) = {а^} с элементами
а11 = I1z + I2z > а12 = a21 = 2(I1z + 12z )cos0, а13 = a31 = 0
a22 = (I1x + I2x c°s2 + I2y sin2 sin2 0 sin2 p+ + 12z ) CoS2 0 + (((I2x + 12y ) sin + ^ +
+I2x sin2 CT +12 cos2 <r) sin2 0 cos2 p,
a23 = a32 = (Ix -/у )sin0sin2p+ (I2x -12 )sin0cos2<rsin2p+ (I2x cos2p-12 )sin0sin2CT,
2
a33 = (I1x + 12x Cos2 + 12y sin2 Cos2 P+ (I1y + I2x sin2 + 12y Cos2 sin2 P+ 1 (12y +
+I2x )sin2 CTsin2 p.
T = BT (t, q)q - линейная форма скоростей q, определяемая вектором-столбцом B(t, q) с компонентами:
B1 = 12 2, B2 = I2zCTCos0, B3 = 0.
T = T (t, q) - скалярная функция, имеющая вид:
Т = !(|И1+ m2)(Í2 + ñ2 +^2) +112
С учетом структуры кинетической энергии уравнения (2.1) запишутся в виде:
... ЗА. ,dB dBT 3B дТ0 „
Aq + M + — q + (— -d—)q + — = Q, (2.2)
dt dq dq dt dq
где через M = M(q, q) обозначен вектор-столбец с компонентами, вычисляемыми по
формуле
з да, 1 JL, да,. —
м- 2 ,(i=1-3)
i,k=1 dqk 2 i,k=1 dqi
Вектор обобщенных сил Q = Q + Q в правой части (2.2) представляет собой сумму внешних сил Q , действующих на механическую систему, и управляющих воздействий Q , определяемых в дальнейшем и являющихся совокупностью программных Q и стабилизирующих Q сил: Q = Qp + Q .
Ниже предполагаем, что движение исследуемой механической системы происходит без воздействия внешних сил, то есть Q = 0 .
Построение программных и стабилизирующих управлений
Пусть необходимо, чтобы система совершала некоторое программное движение rт (t) = (p* (t), щ" (t), 0" (t)), где p* (t), щ" (t), 0" (t) - заданные функции времени, описывающие некоторое сферическое движение гиростата относительно его центра масс. Прямой подстановкой программного движения r (t) в систему (2.2) определим, как и в [11], управляющие силы, реализующие это движение:
дЛ
О = Лг + М (г (г), г (г)) + — г +
дг
дВ дВ
дд дд
г + дВ-Т
дг дд
(3.1)
Подставив силы (3.1) в уравнения (2.2), имеем управляемую систему, для которой программное движение г (г) является решением, но, вообще говоря, не является устойчивым. Возникает задача о его стабилизации, состоящая в определении активных сил, которые обеспечат асимптотическую устойчивость исследуемого движения.
Сведем решение задачи о стабилизации программных движений к задаче стабилизации нулевого решения неавтономной лагранжевой системы. Это позволит применить к задаче о стабилизации программных движений методы и результаты, разработанные для исследования устойчивости и стабилизации нулевого положения равновесия неавтономных систем [9].
Введем новые обобщенные координаты (отклонения) по правилу хт= дТ-гт (0 = (р-р* (г), ц-ц (г), в-в" (г)) .
В силу линейности замены и линейности оператора дифференцирования структура уравнений Лагранжа при переходе к уравнениям в отклонениях не изменится, и уравнения возмущенного движения примут вид:
Ах+Ы + Ы' +
дВ дВт
дх дх
х + Аг + Ы" +
дВ дВт
. дЛ . дЛ . дВ дТ „ „ г + — х + — г +---0 = Q* + Qn,
дг дг дг дх * р
дх дx
где через M,M" и M" обозначены соответственно квадратичная, линейная и нулевая по скоростям векторные формы с компонентами:
^ да,.,. 1 ^ дак
-X,X■ - 1
j,k=l дхк
Mг = Y—xkxl -1 у^-Шц, (г=1,3);
г к 1 2 дх к
м"=]Г
да1 . . —г-хкг, -
1 дх. к] 2
\ ±
да
к-
-,к=1 дхк
з да,
, Л хкг1 + ^
-,к=1 дхг - ,к
да - . .
—-гкх1 -1 дх. к 1 2
да
° -,к=1 дхг
1кгкх], (г = 1,3 );
1 ^ да,
M =Ет-Ъ -1 И-, (г =1,3).
-к=
^ дх,
■ -,к=
1 дхг
Задачу о стабилизации решим прямым методом Ляпунова с использованием функции Ляпунова, которую выберем в виде:
1
1
У(г, х, х) = — х'Сх + — х Лх,
2 2
(3.3)
где С - ограниченная неисчезающая постоянная симметричная матрица.
Функция (3.3) является положительно определенной. Ее производная в силу системы (3.2) записывается равенством:
(дБ дБтЛ
- + -
д* д*
dV 1 .т(дЛ дА . | . .j ,т , — = — *т I — + —- r * + * C* + * (-M -dt 2 | дг д*
дА. дБ дТ0 1
--r--+ —0 - Ar + - N + Q ),
дг дг д* 2 c
где символом N обозначен вектор-столбец с компонентами
* - M''-
f дБ дБт ^
чд*т д* j
дА
r--* -
дг
N = Z
j,k=1
дг
'*k*j
^ дау —л
-L^r*k*j, (i = 1,3 )•
j,k=l o*k
Определим стабилизирующее управление равенством:
Q =-C* - D*+M" +
дБ дБТ
д* д*
. дБ дТ ,.. дА .
r +---0 + Ar + — r,
дг д* дг
где матрица D является ограниченной и неисчезающей и выбирается из условий:
d0E < D(г, q) < djE, (0 < d0 < d - сошг); дА 1 дА . Т дА т ^
+о TTr - r ТГ + L + D)-aoE, (0 <«о -consi).
2 дг 2 д* д* Тогда производная функции (3.3) имеет оценку
dV .т. 1 дА 1 дА . .Т дА г ц.2ц
■-1' ■ - —-+l+D)*<-a * д* 11 11
■ = - * (--+--~ r - r'
dt 2 дг 2 д*
и является отрицательно определенной функцией по скоростям. Для обоснования асимптотической устойчивости программного движения воспользуемся теоремой из [9], развивающей метод функций Ляпунова и позволяющей использовать функции Ляпунова не со знакоопределенной, а со знакопостоянной производной. Множество {Х = 0} не имеет
решений предельной к системе управляемого движения гиростата системы, кроме нулевого решения х = Х = 0. Таким образом, на основе теоремы из [9] имеем асимптотическую устойчивость исследуемого программного движения.
Вычислив правые части (3.4), имеем стабилизирующие управления в скалярном виде:
Qs(=-c11 *1 - d11*1 - sin2(*1 + ( )sin2(*3 +9 )(I1* +(12y - 12* ) sin2 CT +
+ (12 * +12 y)(cos2 ct- sin 2ct)- I1y) + у 9* sin( *3 + 9" )(-2(Iu +12 г) -
-2cos2(*1 +q> )(I1* -I1y + 2(I2* -12y)cos2CT) + 212*Sin2CTSin2(*1 + q')) -
(12y -12*) cos2 CT) +
+I1CT + I1CT + (( + cos(*з + 9")) (Iu +12z) + (q* + cos(*з + в")) (I1Z +1 2z);
- 1в*2 sin2(*1 + qq )(Iy -1* +1 112* -112y I sin2 ct
j
• 2
sin <J +
QW = C22X2 - d22x2 + Vp' sin 2(X1 + 4>') sin2 (x3 + 9)(/1x - I1 у + (I2x - I2у ) C0S 2< --(12x + 12у ) Sin 2<) + p"9" Sin(X3 + 9)(2(/1x - I1y ) C0S 2(X1 + Ч>') + 2(12x - 12у ) C0S 2< X
x cos2(x + p*) + 2/2x sin2<sin2(x + p*) - 2(/lz + /2z)) -y*9* Sin2(x3 + 9*)(Sin2(x + p*) x
x(/1x + I2x COS2 < + 12у sm2 < - (/1z + 12z ) + (/1 у + (I2x + I2у ) Sin 2< + I2
+12у COs2 <)cos2(x1 +p )) + 9"2 COs(x3 +9 )(sin2(x1 +( ) ( (I1x - I1 у ) + (I2x - 12у )cos2<) +
+ (/2x C0S2(x1 + P* ) - 12у )sin 2< + (12z< + 12z< + 2p(I1z + 12z )) COs(x3 + 9 ) -
/2<9* sin(x3 +9") + W*(sin2(x3 +9") ((/lx + /2x cos2 < + /2y sin2 <)sin2(xl + p*) +
+ ((I2x + I2у ) Sin 2< + I1 у + I2x Sin2 < + I2у COS2 < C0S2(x1 + p))+ (/1z + 12z) C0S2(x3 + 9")) + + 9" Sin(x3 + 9 )((/1x - I1 у + (I2x - I2у ) C0S 2< sin 2(x1 + p ) + (I2x C0S 2(x1 + p") -
12у ) Sin 2<) + 2p (1 1z + 12z ) C0S(x3 + 9) + W ((I1x + 12x C0s2 < + (12у - I2x ) < Sin 2< +
+/ 2y sin2 <)sin2(x + p*)sin2(x3 +9*) + (/z + / 2z)cos2(x3 + 9') + ((2 (/2х + /2y )<cos2< +
+ (1 2 x + 12 у - 12 у< + 12 x<) Sin 2< + 1 1у + 12 x Sin2 < + I2 у C0s2 < C0s2( x1 + P^ )sin2( x3 + 9 ) + + (/z + /2 z )C0S2(x3 +9* )) + 9" Sin(x3 +9* )((/1x - /1 у + (/ 2 x - / 2 у ) COS 2< - 2<(/2x - / 2 у )sin2<) X
x sin2(x +p") + (/2x cos2(x +p') - / 2y)sin 2< + 2<(/2x cos2(x + p*) - /2y )cos2<);
Qs9 = -C33 x3 - d33 x3 - 1 W2 Sin 2( x3 + 9 )(sin2( x1 + p" )(/1x + 12 x C0^ < + I2 у Si^ <) - (/1z + I2 z ) +
+ ((12x + 12у ) Sin 2< + I1 у + 12x Sin2 < + 12у C0S2 <) C0S2(x1 + p*)) + p W Sin(x3 + 9)(2(/1z + I2z ) +
+2(/lx -/ )cos2(x +p") + 2(/2x -/2 )cos2<cos2(x +p")-2/2xsin2<sin2(x +p*)) +
+ p*9* Sin 2(x1 + p")(/1 у - I1x + (12у - 12x ) C0S 2< + 1 (/2x + I2у ) Sin2 <) + W "/2z< Sin(x3 + 9) +
+ W Sin(x3 + 9 )((/1x - 11у + (/2x - I2у ) C0S 2<) Sin 2(x1 + p" ) + (I2x C0S 2(x1 + p" ) - 12у ) Sin 2<) +
+9*((/\x + /2x COS2 < + /2y sin2 <)C0S2(x + p') + (/Ху + /lx sin2 < + /2y COS2 <)sin2(x + p*) +
+ 1 (I2у + I2x ) Sin2 (x1 + p" ) Sin2 < + W Sin(x3 + 9 )(sin 2(x1 + p" ) (1 1x - 1 1у + (1 2x - 12у ) C0S 2< -
-2<(I2x - I2у ) Sin 2< ) + (I2x C0S 2(x1 + p") - 12у ) Sin 2< + 2< (I2x C0S 2(x1 + p") - I2у ) C0S 2<) +
+ 9 ((I1x + 12x C0S2 < + 12у Sin2 < + (12у - 12x ) < Sin 2<) C0S2 (x1 +p' + (11у + I2x Si^ < +
+12у C0s2 < + (12x - 12у ) < Sin 2< + 1 ((/2у + 12x ) Sin2 < + <(I2у + 12x ) Sin 2< )) Sin2 (x1 + p'));
Для иллюстрации полученн^1х результатов проинтегрируем численно с помощью математического пакета Maple 10 уравнения движения построенной управляемой механической системы при следующих значениях параметров и построениях. Для определения моментов инерции гиростата носитель моделируем прямым круговым однородным цилиндром массы щ = 495 кг радиуса r = 1 м и высоты h = 1 м. Переменность структуры носителя моделируем отрезком массы m = 5 кг длины l = 0.5 м, центр масс
которого шарнирно закреплен на носителе в точке О, этот отрезок вращается вокруг точки О по закону а = 0.17. Угол а отмеряется от оси О2 в плоскости Ос против часовой стрелки. Ротор моделируем прямым однородным цилиндром массы шг = 300 кг высоты к2 = 0.5 м, основанием которого является эллипс с полуосями а2 = 0.8 ми Ъ2 = 1 м. Расстояния между центрами масс примем = 0.3 м, /2 = 0.5 м. Тогда для моментов инерции имеем выражения:
5 5 5 ,
1„(7) = 210 + —со820.17, (0 = 210 + — 11г(Г) = 247.5+ —ип20.1,
4 (0 = 156.25, 12у () = 129.25, /2, (Г) = 123 . Кроме того при выполнении расчетов принято, что <г(г) = 7; с1 = 100, (г = ]); с = 0, (г Ф ]); й г] = 500, (г = ]); й г] = 0, (г Ф ]).
х01 = 0.004, Х01 = 0.002
Начальные условия были взяты: х02 = 0.005, Х02 = 0.003 . Программное движение было
х03 = 0.005, Х03 = 0.003
выбрано следующее: р* (7) = 7, (7) = —, 0* (7) = — .
6 4
На рисунках 2-4 показаны изменения отклонений, на рисунках 5-7 представлены соответственно изменения скоростей отклонений с течением времени для уравнений возмущенного движения системы при реализации выбранного программного движения, стабилизированного управляющими силами.
Рисунок 2 - График отклонения x (t )
Рисунок 3 - График отклонения x2 (t )
Рисунок 4 - График отклонения x3 (t )
Рисунок 5 -График скорости Xj (t )
Рисунок 6 - График скорости х2 (/)
Рисунок 7 - График скорости х3 (7) Заключение
В работе решена задача о синтезе и стабилизации программных движений гиростата относительно его центра масс. Получено множество управлений, стабилизирующих многообразие произвольно заданных программных движений гиростата с моментами инерции, зависящими от времени. Управление было построено аналитически в явном виде в классе непрерывных функций. Исследуемая задача решалась на основе прямого метода
Ляпунова теории устойчивости с использованием функции Ляпунова со знакопостоянной производной.
Полученные в работе результаты развивают и обобщают соответствующие результаты из работ [11-14] и другие по двум направлениям: во-первых, использованная функция Ляпунова со знакопостоянной производной позволила построить управление существенно проще без слагаемых третьего порядка малости по отклонениям; во-вторых, задача решалась для гиростата с переменными моментами инерции.
Список литературы
1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б, Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1989. 447 с.
2. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 359 с.
3. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. Л.: Судостроение, 1980. 375 с.
4. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. 352 с.
5. Раушенбах В.В., Токарь В.И. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974. 589 с.
6. Асланов В.С., Дорошин А.В. Стабилизация спускаемого аппарата частичной закрутки при осуществлении неуправляемого спуска. Космические исследования. 2002. Т. 40 No 2. С. 193-200.
7. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 301 с.
8. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary equations // J. Differ. Equat. 1977. V. 23. P. 216-223.
9. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ 1984. Т.48. Вып.2. C. 225-232.
10. Маркеев А.П. Теоретическая механика: учеб. для вузов. Издание второе, дополненное. М.: ЧеРо, 1999. 572 с.
11. Bezglasnyi S.P. The stabilization of program motions of controlled nonlinear mechanical systems // Korean J. Comput. Appl. Math. 2004. V. 14, № 1-2. P. 251-266.
12. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 316 с.
13. Андреев А.С., Чудинова И.А. К задаче об ориентации спутника относительно произвольной системы координат // Ученые записки УлГУ. Сер. Фундаментальные проблемы математики и механики. 2001. № 1. Стр. 3-11.
14. Безгласный С.П., Мысина О.А. О реализации одноосной и трехосной ориентации составного тела // Вестник СамГУ. Естественно-научная серия. 2011. № 2 (83). Стр. 80-90.
