Построение программных движений двойного маятника переменной длины с подвижной точкой подвеса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62534 (031)

ПОСТРОЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ С ПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ПОДВЕСА

© 2012 С.П. Безгласный, С.В. Жаренков

Самарский государственный аэрокосмический университет

Поступила в редакцию 19.06.2012

В данной статье решена задача о построении асимптотически устойчивых произвольно заданных программных движений двойного маятника переменной длины с подвижной точкой подвеса. Решение получено синтезом активного программного управления, приложенного к системе тел, и стабилизирующего управления по принципу обратной связи. Управление построено в виде точного аналитического решения в классе непрерывных функций. Задача решена на основе прямого метода Ляпунова теории устойчивости с использованием функций Ляпунова со знакопостоянными производными. Ключевые слова: уравнения Лагранжа второго рода, программное движение, прямой метод Ляпунова, стабилизация движения, асимптотическая устойчивость.

ВВЕДЕНИЕ

Задачи по реализации управляемых пространственных движений механической системы имеют важное прикладное значение и широко рассматриваются авторами во многих работах, например [1-6]. В данной работе ставится и решается задача об определении управлений, реализующих и стабилизирующих произвольно заданные программные движения плоского двойного маятника переменной длины с подвижной точкой подвеса. Решение проводится построением активного управления, приложенного к системе тел и представляющего собой совокупность программного управления и стабилизирующего управления, осуществляемого по принципу обратной связи. Исследование программного движения сводится к анализу нулевого решения неавтономной системы и проводится на основе прямого метода Ляпунова [7]. Метод предельных систем [8] и его модификация [9] позволяет при использовании функций Ляпунова со знакопостоянными производными строить искомое управление в замкнутой аналитической форме в классе непрерывных функций.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим плоские движения вертолёта с грузом, прикрепленным на тросе, моделируемого двойным маятником переменной длины с подвижной точкой подвеса. Пусть вертолет имеет массу , и груз - массу ш2. Точки O, O2 есть

Безгласный Сергей Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент. E-mail: bezglasnsp@rambler.ru Жаренков Сергей Васильевич, студент. E-mail: sergey.zharenkov@gmail.com

центры масс вертолета и груза, точка О1 - точка крепления троса к вертолету; / - расстояние от центра масс вертолета до точки крепления троса, /2(/) - длина троса, изменяющаяся по заданному закону. Считаем, что трос не деформируется, нерастяжим и невесом. Тем самым имеем механическую систему - двойной маятник, представляющий собой математический маятник, закрепленный на твердом теле, совершающем плоские вращательные движения относительно подвижного центра масс.

Пусть ОХУ есть абсолютная неподвижная система координат. Движение центра масс вертолета (тела) в плоскости ОХУ описывается заданным законом: ь-ь^) вдоль оси ОХ и в-в(г) вдоль оси ОУ .

Исследуем плоские движения описанной механической системы. Поставим задачу о реализации управляющими силами, прикладываемыми к системе, произвольно заданных (программных) движений двойного маятника переменной длины с подвижной точкой подвеса и о стабилизации этих движений.

Программным (желательным движением) назовем пару (г (), г ()) ,где г () - ограниченная, дважды кусочно-непрерывная дифференцируемая вектор-функция, описывающая некоторое заданное движение механической системы.

Уравнения движения исследуемой системы составим в форме уравнений Лагранжа второго рода [10]:

£.{ дГ]_дГ - ^ !

& ^ Щ) дд '

В общем случае программное движение г () может не являться решением системы дифференциальных уравнений (1), описывающих дви-

жения управляемой механической системы. Поэтому будем реализовывать программные движения, разделив управляющие воздействия на две группы: силы, реализующие программное движение, и силы, стабилизирующие его.

2. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Пусть центр масс тела движется в плоскости OXY со скоростью (й,в^) , где символ ( )Т обозначает транспонирование. Положение вертолета относительно кениговой системы координат Oxy будет характеризоваться углом р, а положение троса - углом Щ, отсчитываемым от вертикали. Примем данные углы за обобщенные координаты и запишем кинетическую энергию системы:

T =1ml(i} +03) +~~I(P +~т21^р +m2l1l2 (t) pЩcos (р-Щ) +j m}l (t) Щ-

-тЦ2 (t) (sin (р-Щ) +mf(pvcai (р) +m^2 (t) yiixos (Щ) + +mkpesn(р) +mf2 (t) y£sm(Щ) +ml2 (t) isin(Щ) -mj2(t) ¿cos(Щ) +

+1 mjl (t) + 22 m (ii+?) ■

гюде /1 - момент инерции тела.

Величина T представима в виде суммы:

T = T2 + Т1 + T0, где

Т2 = 2ЧТА (, ч)Ч - квадратичная форма скоростей 4 , задаваемая симметричной матрицей А (, 4); Т = ВТ (, ч) Ч -линейная форма скоростей 4 , определяемая вектором-столбцом В (, 4); Т0 = Т0 (, 4) - скалярная функция.

С учётом структуры кинетической энергии уравнения (1) запишутся в следующем виде:

(

Aq + M +

дБ dBT U дБ дТ0

дхт дх

q + з7 + эЧ=Q (2)

(=i"2) .

с компонентами, вычисляемыми по формуле: 2 да. 1 2 dakj

j, k=1bqk j 2 j, k=1 дЧ j

Вектор обобщенных сил Q = Qe + Qc в правой части (2), представляет собой сумму внешних сил Qe, действующих на механическую систему, и управляющих воздействий Qc , определяемых в дальнейшем и являющихся совокупностью программных Qp и стабилизирующих Qs сил: Qc = Qp + Qs.

Ниже предполагаем, что движение исследуемой механической системы происходит без воздействия внешних возмущающих сил.

Вычислив слагаемые в левой части (2), получим уравнения движения в скалярном виде:

/р + micos(р( + шгфsin (р) -m2ljl2 (t)sin (р-щ) + 2m2l1l2 (t)Щcos(р-щ) + +ш21112Щ cos (р-щ) + m2l1l2 (t) Щ^т (р-щ) + т21р+ m2 gl1 sin (р) = Qp + QC,

m2l22 (t)Щ + m2l2 (t) icos(щ) + m2l2 (t)0sin(щ) + m2l1l2 (t) pcos(р-щ) --m2l1l2 (t) p2sm(р-щ) + 2m2l2 (t) l2 (t)Щ + m2gl2 sin(щ)= Q"p + Q;

3. ПОСТРОЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ И СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ ДВИЖЕНИЙ

Пусть необходимо, чтобы система совершала некоторое программное движение r (t), r (t).

Прямой подстановкой программного движения r (t) в систему (2) определим, как и в [6], управляющие силы, реализующие это движение:

Qp

-Ar + M (r, r) +

f

дБ

дчТ дч

дБТ}r дБ_<Т

r + д дч (3)

где через M = M (q, q) обозначен-вектор столбец

У

Подставив силы (3) в уравнения (2), имеем управляемую систему, для которой программное движение г (), г () является решением, но, вообще говоря, не является устойчивым. Возникает задача о его стабилизации, состоящая в определении стабилизирующих сил, которые обеспечат асимптотическую устойчивость исследуемого движения.

Сведем решение задачи о стабилизации программных движений к задаче о стабилизации нулевого решения неавтономной лагранжевой системы. Это позволит применить к задаче о стабилизации программных движений методы и результаты, разработанные для исследования устойчивости и стабилизации нулевого положения равновесия неавтономных систем [9].

Введем новые обобщенные координаты (отклонения) по правилу х = q — r (tВ силу линейности замены и линейности оператора дифференцирования структура уравнений Лагран-жа при переходе к уравнениям в отклонениях не изменится, и, аналогично [11], уравнения возмущенного движения примут вид:

AX + M + M' +

f

дB дB

т

дxт дx

X + Ar + M' +

f

+

дB дB

т

дxт дx

t—т = Q + Q

r + дt дq Qs +Qp, (4)

где через М, М' и М'' обозначены соответственно компоненты квадратичной, линейной и нулевой по скоростям векторных форм:

_2 . да 1 2 да , —\

М = У-^кх, — Т-'кх, ((-1,2);

, 1 да 11 да, 1 да 11 да , —\

К- У—г -2 У—Г - -1 У—- ((-и);

" А

2 J,k=1 дxl

2 ài„ . . 12 ài

rr —t z.

' ^дт k J 2

J,k=1 Щ 2

J,k=1 дX

J,k=1A i =12);

2fk=1 дxl

Задачу о стабилизации решим прямым методом Ляпунова с использованием функции Ляпунова, которую согласно [11] выберем в виде:

V (t, X, X ) =1 xTCx +1 xT Ax v ' 2 2

(5)

Функция (5) является определенно-положительной. Ее производная в силу системы (4) записывается равенством:

V -1 у ( дА -дАг ] х - ^ - хт Г_м /ю Л ] х -М-(дВ -дВ. 1 г -

dt 2 j д дГт

дA дЛ дB дтО „ 1 r ^ --X--r--+—- — Ar +- N+Q

д д д дг 2

дГт дX

д^ дГ

где символом N обозначен вектор-столбец с компонентами

((=1'2 );

Qs =—Cx —Dx +M" +

f

дB дB

т

дxт дx

r +

дB дтО дA ^ ^ „

+---- + — r + Ar + Q

дt д-x дt

(б)

где матрицы C и D являются ограниченными и неисчезающими и выбираются из условий:

c0 E < C = const < cJE, (0< c0 < cj - const) d0E < D (t, q) = const < dJE, (0 < d0 < dj - const) dA

2D+—>a0E, (0 <a0 - const) dt

Тогда производная функции (5) имеет оценку

( 1 aA

а

--+ D X <--Ц\Ш < О

2 даJ. .А дai

N. = S —JX,X. — S —,(-X,X. , ( ^ дг k J ^ дг k J

J,k =1 UXi J,k =1UXk

Определим стабилизирующее управление равенством:

dV __ .

dt ~ 2 dt ) 2

и является определенно-отрицательной функцией по скоростям. Таким образом, на основе теоремы об асимптотической устойчивости из [9] имеем асимптотическую устойчивость исследуемого программного движения.

Вычислим слагаемые правой части (6) и получим стабилизирующие управления в скалярном виде:

Qp = Q + Q =_спХ + djjX + 2m1l1l1 (t )у/2 sin ((p + xí_w _ x2) + +3m2lJ2 (t)yf' cos(p + xi _x2) + m2l1ücos(p + x) + +m2ll0sin (p + x)—m2l1l2 (t)sin (p + xi_y:" _ x2)_ _m2lipvsin (p + x) + m2l( 6 cos (p + x1) — —m2l1l2 (t) p cos (p + х1—щ— x2) +1¡ p + mJlp + +m2lil2(t)w cos(p + x1 — yr* — x2);

Q = Q + Q =—C22x2 + d22x2 — ^m^k () p2 sin (p+ x—y— x2) +

+2m2l1l2 (t)p cos(p + x —y — x2) + 2m2l2 (t)wcos( + x2) +

+2m2l2 (t) 6 sins ( + x2) + 4m2l2 (t) l2 (t)p +

+m2l2 (t)vcos (yr* + x2) + m2l2 (t)6sin ( + x2) —

—m2l2 (t) y/vsm (yr* + x2) + m2l2 (t) iy*6cos (y/ + x2)

+m2l1l2(t)p cos(p' + x—W — x2) + m2l22(t)y ;

Отметим, что при выборе программного и стабилизирующего управлений предложенным способом, заданные движения реализуются при любых законах движения точки подвеса маятника O: v = v(t), 6 = 6(t) .

Для иллюстрации полученных результатов проинтегрируем численно с помощью математического пакета Maple уравнения движения построенной управляемой механической системы при следующих значениях параметров:

l1 = 1.5, l2 (t) = 0.5 + 0.2 sin ^2j, I1 = 1000' m2 = 100,

c11 = c22 = 25, c12 = с 21 = 0, d11 = d22 = 75, d12 = d21 = 0.

Программное движение было выбрано следующее:

Рис. 2. Отклонение хг

0.02-

0.01

-0.01 -

-0.02 -

-0.03 -

-0.04-

Рис. 4. Скорости отклонения X1 (t)

* Я „г- ■ t

р =—V 0.5 sin I —

2 I 10

* „ у = 0.

Начальные условия были взяты:

Xoi = 0.3, X02 = 0.2,

X01 = 0.01,

X02 = -0.06.

На рис. 2-3 показаны изменения отклонений от программного движения, на рисунках 4-5 представлены соответственно изменения скоростей отклонений с течением времени для уравнений возмущенного движения двойного маятника. Приведённые графики иллюстрируют асимптотическую сходимость отклонений.

=0) 1

0.15-

х2 0.10 -

0.05 -

'*Г'Ч' 'I 1 I-—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I-Г-

100 150 200

Рис. 3. Отклонение х2 [t )

f*1 IN^VT^ I *i 1 I I 1 1 1

50 100 150 200

-0.01 -I -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06-J -0.07 -0.0&--о.да-

Рис. 5. Скорости отклонения X2 (t)

Результаты работы развивают и обобщают соответствующие результаты из [5, 6, 11] и могут быть использованы при моделировании ро-бототехнических систем, в приборостроении и технике.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1989. 447 с.

2. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 359 с.

3. Галиуллин А.С., МухаметзяновИ.А., МухарлямовР.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. 352 с.

4. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. Л.: Судостроение, 1980. 375 с.

5. Смирнов ЕЯ, Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 316 с.

6. Bezglasnyi S.P. The stabilization of program motions of controlled nonlinear mechanical system // Korean J. Comput. Appl. Math. 2004. V. 14, № 1-2. P. 251-266.

7. Руш Н., Абетс П., Лаула М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 301 с.

8. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary equations // J.Differ. Equat. 1977. V. 23. P.216-223

9. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ 1984. Т. 48. Вып.2. С. 225-232.

10. МаркеевА.П. Теоритическая механика: учеб. для вузов. Издание второе, дополненное. М.: ЧеРо, 1999. 572 с.

11. Безгласный С.П., Худякова М.А. Стабилизация программных движений уравновешенного гиростата // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып 4. С. 31-38.

CONSTRUCTION OF THE PROGRAMMED MOTION OF DOUBLE PENDULUM OF VARIABLE LENGTH WITH FIXED POINT OF SUSPENSION

© 2012 S.P. Bezglasnyi, S.V. Zharenkov

Samara State Aerospace University

In this article the problem of constructing asymptotically stability arbitrarily given program motions of the double pendulum of variable length with a moving point of suspension is solved. The solution is obtained by synthesis of the active program control applied to the system of bodies, and the stabilizing control on the principle of feedback. Control is done in the form of an exact analytical solution in the class of continuous functions. The problem is solved by direct method of Lyapunov stability theory with Lyapunov's functions with constant sign of the derivatives.

Key words: Lagrange's equations of the second kind, program motion, Lyapunov's direct method, stabilization of motion, asymptotic stability.

Sergey Bezglasnyi, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor. E-mail: bezglasnsp@rambler.ru Sergey Zharenkov, Student. E-mail: sergey.zharenkov@gmail.com