CC BY
67
СИНТЕЗ АДАПТИВНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ ХАОТИЧЕСКОИ
СИСТЕМЫ ДУФФИНГА
С.В. Арановский, Н.А. Николаев Научный руководитель - д.т.н., профессор А.А. Бобцов
С использованием процедуры синтеза адаптивного наблюдателя для хаотической системы Дуффинга решается задача восстановления неизвестного закодированного параметра. Данная задача, в отличие от известных аналогов, решается только по измерениям выходного сигнала хаотической системы, а также в условиях полной параметрической неопределенности.
1. Введение
Проблема построения адаптивных наблюдателей для нелинейных динамических систем находится в центре внимания в течение последних лет. Одна из причин подобного интереса состоит в возможности применения адаптивных наблюдателей для кодирования и передачи информации. Это одно из новых направлений передачи данных, когда информация кодируется в параметрах динамической системы «передатчика». Сигнал выхода этой системы передается «приемнику», в задачу которого входит восстановление неизмеряемых сигналов «передатчика» и параметров модели «передатчика». Структурная схема подобной системы приведена на рис. 1, где в - вектор параметров модели системы «передатчика», кодирующий передаваемую информацию; y -
передаваемый по каналу связи выход «передатчика»; в - оценка вектора в, вырабатываемая приемником.
Рис. 1. Структурная схема системы передачи данных
Особенно перспективным представляется использование хаотических динамических систем в качестве моделей «передатчиков», так как сигнал выхода хаотической системы, с одной стороны, имеет широкий частотный диапазон, а с другой стороны, решения подобных систем демонстрируют слабую зависимость от начальных условий, что повышает защищенность системы от несанкционированного восстановления информационной составляющей сигнала. В этом случае в задачу «приемника» входит построение адаптивного наблюдателя хаотической системы [1].
Для синтеза адаптивных наблюдателей обычно используется несколько групп методов [2, 3], большинство из которых основываются на возможности пассификации обратной связью модели системы «передатчика» в предположении, что эта модель имеет нулевую или единичную относительную степень. Другие решения предполагают доступность для измерения всего вектора состояния системы «передатчика» [4, 5]. В статье [6] было предложено решение, позволяющее синтезировать адаптивные наблюдатели для моделей «передатчика», имеющих высокую (выше единичной) относительную степень и не допускающих пассификацию обратной связью по выходу. Эти результаты основаны на использовании новой канонической формы нелинейных адаптивных наблюдателей, предложенной в [6].
Результат работы [6] был усилен в [7-9], где рассматривалась задача построения адаптивных наблюдателей по части переменных для неавтономных нелинейных динамических систем. Использование внешнего возбуждающего сигнала является одним из подходов к созданию хаотических режимов движения в нелинейных системах. Приме-
рами таких систем являются модель Дуффинга и модель брюсселятора [9, 10], демонстрирующие хаотическое поведение только в присутствии соответствующего гармонического возмущения. Распространение классических результатов на задачу построения адаптивных наблюдателей для неавтономных систем, во-первых, позволяет существенно расширить класс допустимых моделей для системы «передатчика», а, во-вторых, увеличивает защищенность системы от несанкционированного доступа.
В данной статье рассматривается задача синтеза адаптивного наблюдателя для хаотических сигналов, генерируемых хаотической системой Дуффинга. Суть этой задачи связана с выделением из хаотического сигнала полезной информации, передаваемой по каналу связи. В отличие от известных результатов (см., например, [9]), в данной статье будет рассмотрена задача синтеза наблюдателя только по измерению выходной переменной хаотического сигнала при полной параметрической неопределенности его модели.
2. Постановка задачи
Рассмотрим хаотическую систему Дуффинга, описываемую уравнением вида (см., например, [9])
у(г) + с у (г) + с2 у(г) - 0/(у) - ™(г) = 0, (1)
— 3
где С1, С2 и 0 - неизвестные числа, нелинейная функция /(у) = у , м>{г) = А sin(шг + ф) - неизмеримый гармонический сигнал.
Ставится задача синтеза наблюдателя, обеспечивающего восстановление неизвестного параметра 0 модели (1) (см., например, [9]).
Будем допускать, что измеряется только выходная переменная у (г) модели (1).
Также предполагается, что параметры хаотической системы (1) с^, с2, 0 , А, ш и ф являются неизвестными числами.
3. Синтез адаптивного наблюдателя
Для вывода основного результата перепишем модель (1) следующим образом:
(2)
у( г) = 1
а{ р)
0у3 + ^(г)
где полином а(р) = р 2 + с1 р + с2 и р = ё / ёг.
Переходя к изображениям Лапласа, для уравнения (2) имеем
ад = -----, (3)
5 + С^ + С2 Я + С^ + С2 Я + СцЯ + С2
где я - комплексная переменная, У (я ) = ь{у(г)}, ¥ ( я) = ь{/ (у(г))}, Ж (я) = ь{м(г)} -образы Лапласа, соответственно, функций у(г), / (у(г)) и ^(г), полином Б( я) обозначает сумму всех членов, содержащих ненулевые начальные условия. Преобразуем модель (3) следующим образом:
У(Я) = „ 0¥+ , +
222 Я + С\Я + С 2 Я + С\Я + С 2 Я + С\Я + С 2
( я +1)2 У ( Я) = а\ (Я)У (Я) + 0¥ ( Я) + Ж (Я) + ,
откуда
(я +1)2 (Я +1)2 (Я + 1)2 (Я + 1)2
2 2
где полиномы a^(s) = (s +1) - a(s) и a(s) = s + c^s + C2. Из уравнения (4) имеем
y (t) = -^^т y(t)+—y3 (t) +—^T w(t) + (p+1)2 (p+1)2 (p+1)2
(5)
где /(у) = у3 и (;) = Ь 1 ] ^ - экспоненциально затухающая функция време-
У [ (5 + 1)2
ни, определяемая ненулевыми начальными условиями.
_1] ОД
Пренебрегая экспоненциально затухающим слагаемым еу (;) = Ь
> + 1)2
произведем параметризацию модели (5). Для этого рассмотрим вспомогательные фильтры вида
Ш(;)=—у(;),
6(t) =
(Р +1) 1
2
ч2
y 3(t).
(р + 1У
Подставляя (6) и (7) в уравнение (5), получаем у(;) = а1( рШ;) + ^2(/) + и (;),
где функция и (;) =-1—— ) . Из уравнения (8) имеем
(Р +1)2
у(;) = 8($) + и (;), _
где функция 8( ;) = а1 (р)Ш ( 0 + ( 0. Рассмотрим фильтр (6)
Шх(о=у(;)=т+-
(6)
(7)
(8) (9)
(Р +1)'
(Р +1)'
1
■w (t),
(Р +1)
2
откуда
1
-w (t) = £(t)-■
1
(10)
(Р +1)2 (Р +1)2
Поскольку сигнал ) = А 8т(®; + ф), то в силу гурвицевости полинома (р +1) функцию и (;) можно представить следующим образом: и (;) = &■ б1П(®; + <),
2_ 2 _
р и(;) = _от б1п(®; + <) = 0и(;),
где 0 = _о>2.
Запишем последнее уравнение следующим образом:
(р +1)2 и (;) = р 2 и (;) + 2 ри (;) + и (;) = = 0 и (;) + 2 ри (;) + и (;) = (2 р +1) и (;) + 0и (;),
(р +1)2 и (;) = (2 р +1) и (;) + 0 и (;).
Поскольку и( ;) = у(;) _ 5(;), то
(р +1)2 (у( ;) _ 3(;)) = (2 р +1)( у( ;) _ 3(;)) + 0(у (;) _ 5(;)) =
= (Р + 1У
(2 р +1) (Р +1)2
(y( t) -S(t)) + ■
в
(Р +1)2
-(y(t) -s(t))
Из последнего уравнения получаем
* (г) = (у(г) -5(г)) =
(2 р + щ + ё^ + (-5(г)) + -
ё
(-5(г))
(р +1)2 (р +1)
(2 р +1 + 0)^1 + (-5(1)) + -ёт
(р +1)2 (р +1)2
(2р +1 + т +(-р 2 - 2р,-1) 5(г) + 5(г)
(-5( ))
(р + Г
[(2 р +1 + 0)^1 -5(г) + 5(г)],
где функция
(р + 1Г
(11)
5(г) 5(0 = р
2
(р +1)
(р +1)2
■5( г) -
ё
(р + 1У
■5( г) =
2 2 — р а!<р»й(,)-^Щ.ш-
ёё
(р+1)^
-&(г).
(р+1Г (р+1) (р+1)'
Проведем преобразования модели (11):
(г) + 5( г) = ^( г) + 5(г) - 2^ ( г) - £ ( г) = у( г) - 2^ ( г) - £ ( г).
Обозначим
z(t) = (г) + 5( г) = у( г) - 2^ (г) - £ ( г),
где в силу измеримости сигналов у(г), г) и ¿&\(г) функция г(г) также измеряется. Подставляя в (14) уравнение (12), получаем
(12)
(13)
(14)
г(г) = ё^( г) +
р а1(р) (р +1)2
£х( г) -
ёа1( р) (р +1)2
£х( г) +
+ 6(0 --ё- &(г) =,
(р +1) г
2
= ё
1-
а1 (р) (р +1)2
(р+1)
(р+1)2
-^2 (г) -ёё-
(р +1)2
-&(г) +
+*(г).
(р +1)
Учитывая, что а^ (р) = а^ р + ао, имеем
(15)
ё
^ 2 „ Л
р + 2 р +1 - а\ р - ао
(р +1)2
Ш = ё-
(р +1)2
-£х(г) +
+ (2ё - а^ё)-
(р +1)2
-£(г) + (ё-а оё)-
(р +1)'
-£х(г),
22 р (а1 р + ао) , (г) = а р %1(г) = аг
- £(г) + а о 2
(р +1)2 (р +1)2 (р +1)2
Подставляя (16), (17) в уравнение (15), получаем
-6(г).
(16) (17)
2
1
2
1
2
2 _ 2 _ 1
z(t) = (в + ao) — j-£(t) + в D—~(t) - вв--^2 (t) +
(p + 1)2 (p + 1)2 (p + 1)2
+ ai-^—т ä(t) + (2в - а^в) Р — £(t) + (Р +1)2 (Р +1)2
+ (в- аoв) 1 — £(t). (18)
(Р +1)2 Из уравнения (18) имеем
z(t) = ¥l(t в +Wl(t )в2 + ¥3(t )вз +W4(t )в4 + + ¥6(t в (19)
где неизвестные параметры
в =в + a0, в2 =в, в3 = -вв, в4 = a1, в5 = 2в-a1в, в6 = (в-a0в)
и известные функции
2 2 1
W\ (t) = —£ (t), ¥2 (t) ^2 (t) , ¥3 (t) =-2 ^2 (t) ,
(Р + 1)2 (Р + 1)2 (Р + 1)2
¥4(t) = -£—Г Ш, ¥5 (t) = -^гт, ¥б (t) = ^i(t).
(Р +1)2 (Р +1)2 (Р +1)2
Для оценки неизвестных параметров модели (19) будем использовать адаптивный наблюдатель вида
Z(t) = ¥1(t)§1 + ¥ 2(t)Ö2 + ¥s(t)03 + ¥ 4(t)Ö4 + ¥5(t)05 + ¥ 6(t)06, (20)
вг = k,¥, (tMt) = k,¥, (t- Z(t)), _ (21)
где постоянный коэффициент kj > 0, i = 1,6.
Легко показать, что адаптивный наблюдатель вида (20), (21) обеспечивает lim| z(t) - Z(t )| = 0, (22)
lim|ei -ei (t)| = 0. (23)
t I
4. Результаты моделирования
Произведем моделирование предлагаемой в статье схемы адаптивного восстановления неизвестного параметра в . Моделирования проводилось при следующих параметрах хаотической системы Дуффинга (1): q = -0,5 , C0 = 0, w(t) = 7sin(t) . Алгоритм настройки параметров имеет вид
^ = 18¥1(t)& -Z(t)), в2 = 14¥2(t)& -Z(t)), 0э = 14¥3(t)(j&1 -Z(t)),
^4 = 14¥4(t)& -Z(t)), в5 = 14¥5(t)(j&1 -Z(t)), вб = 14¥6(t)& -Z(t)). _
Результаты компьютерного моделирования для различных значений параметра в приведены на рис. 2-5. На рис. 2-3 приведены результаты моделирования для в = -0,5 . Из результатов моделирования видно, что ö2 ^ -0,5.
На рис. 4-5 приведены результаты моделирования при в = -0,75 . Из результатов моделирования видно, что ö2 ^ -0,75.
+ УЮ
д _I_I_I_I__I_I_I_I_
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Рис. 2. Результаты моделирования при ё = -о,5 . Фазовый портрет
л
Рис. 3. Результаты моделирования при ё = -о,5 . График функции 02 = 9
У®
Рис. 4. Результаты моделирования при ё = -о,75. Фазовый портрет
1.2
О 50 100 150 200 250 300
Рис. 5. Результаты моделирования при в =-0,75. График функции 02 = 0
Таким образом, результаты моделирования иллюстрируют работоспособность предлагаемой схемы адаптивной оценки неизвестного параметра в модели Дуффинга вида (1).
5. Заключение
С использованием адаптивного наблюдателя вида (20), (21) для хаотической системы Дуффинга решена задача восстановления неизвестного закодированного параметра в . Данный результат, в отличие от известных аналогов, предусматривает измерение только выходного сигнала хаотической системы, а также позволяет находить неизвестный закодированный параметр в в условиях полной параметрической неопределенности модели (1).
Литература
1. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. СПб: Наука, 2003.
2. Fradkov A.L., Nijmeijer H., Markov A. Adaptive observer-based synchronization for communications // Int. J. Bifurcations and Chaos. 1997. 10, 12, P. 2807-2814.
3. Markov A.Yu., Fradkov A.L. Adaptive synchronization of coupled chaotic system // Proc. Int. Conf. «Fractals and Chaos in Chemical Engineering», Rome, 1996, P. 153-154.
4. Fradkov A.L., Hill D. Exponential feedback passivity and stabilizability of nonlinear systems // Automatica, 1998, 6, P. 697-703.
5. Huijberts H., Nijmeijer H.,Willems R. System identification in communication with chaotic system // IEEE trans. Circ. Syst. - I. 2000. V. 47, P. 800-808.
6. Nikiforov V.O., Andrievsky B.R. Adaptive observers for nonlinear nonpassifiable systems with applications to signal transmittion // Proc. 41th IEEE Conf. Decision and Control, Las Vegas, 2002, 10-13 Dec.
7. Efimov D.V. Robust adaptive nonlinear partial observers for time-varying chaotic systems // Proc. IEEE CDC 2004, Atlantis, Paradise Island, Bahamas, 13-15 Dec.
8. Efimov D.V., Fradkov A.L. Adaptive partial observers with applications to time-varying chaotic systems // Proc. IUTAM symp. On chaotic dynamics and control of systems and processes in mechanics, Springer, 2005, P. 27-35.
9. Ефимов Д.В. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями. СПб: Наука, 2005.
10. Nikolis G., Prigogine I.R. Self-organization in non-equilibrium systems. Wiley, New York, 1977.
