CC BY
3618
ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
сингулярности ПОЛЯРИЗАЦИИ в ПУЧКЕ второй ГАРМОНИКИ, ВОЗНИКАЮЩЕМ ПРИ ОТРАЖЕНИИ
наклонно падающего эллиптически поляризованного гауссова пучка от
поверхности среды с пространственной
___ ____ .__________________.
дисперсией нелинейности
макаров Б. А., Пережогин И. А., Потравкин Н. Н.
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет, 119991 Москва Поступила в редакцию 22.04.2011
Найдены условия появления и исследована динамика поведения сингулярностей поляризации света (C-точек), возникающих в поперечном сечении пучка на удвоенной частоте, генерируемом в результате взаимодействия падающего эллиптически поляризованного гауссова пучка с поверхностью изотропной среды с пространственной дисперсией квадратичной нелинейности. Показано, что для слабо расходящегося пучка основного излучения существует такая его поляризация, при которой в центре пучка второй гармоники появляется C-точка. Изменение угла падения при фиксированном состоянии этой поляризации и малые вариации последней при фиксированном угле падения приводят к смещению с-точки из центра пучка второй гармоники.
Ключевые слова: генерация второй гармоники, эллиптически поляризованный свет, гауссов пучок, пространственная дисперсия, сингулярности поляризации.
PACS:42.65.Ky; 42.25.Ja_________________________________
содержание
1. Введение (18).
2. Анализ отраженного пучка (19).
3. Заключение (22).
Литература (22).
1. введение
Сингулярности поляризации светового поля — точки или линии в поперечном сечении распространяющегося пучка, где интенсивность одной из его ортогонально поляризованных компонент становится равной нулю, — являются предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований в линейной оптике (см., например, [1-12]). В одной из первых работ [1] была определена активно использующаяся в настоящее время терминология, согласно которой геометрическое место точек пространства, где распространяющееся излучение имеет циркулярную (линейную) поляризацию, стали называть С-линиями (^-поверхностями). Последние в плоскости поперечного сечения светового пучка становятся С-точками и С-линиями. В отличие от обычных оптических вихрей (или винтовых
фазовых дислокаций), где интенсивность «скалярного» поля равна нулю, изучаемых обычно в приближении неизменности поляризации распространяющегося излучения, С-точки, в которых не определена ориентация эллипса поляризации напряженности электрического поля электромагнитной волны, можно назвать «компонентными» оптическими вихрями. В их окрестностях возможны три типа морфологических распределений эллипсов поляризации светового поля, получивших в англоязычной, а затем и русскоязычной, литературе названия: “star”, “lemon” и “monstar” (см. [1-6]).
Позднее были исследованы условия образования и динамика развития сингулярностей поляризации в различных задачах линейной оптики. Среди них эволюция случайных векторных полей в изотропных средах [2], распространение лазерного излучения в двулучепреломляющих хиральных кристаллах [3], рассеяние света атмосферой земли [4], распространение оптических вихрей в двулучепреломляющих кристаллах [10, 11], когерентное взаимодействие ортогонально поляризованных бесселевых пучков [12]. Была установлена
1 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЕНСИТ
ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
сингулярности ПОЛЯРИЗАЦИИ 19
В ПУЧКЕ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
фундаментальная связь анизотропии параметров Стокса вблизи С-точек с их морфологией [5]. Интенсивно исследовались физические механизмы, приводящие к появлению сингулярностей в процессе распространения пучков, обладающих регулярным начальным распределением интенсивности и поляризации в неоднородных средах, световодах и лазерных резонаторах. отдельно следует отметить разработанные высокоэффективные экспериментальные методы детектирования световых пучков с точками сингулярности фазы и поляризации [7—10]. Подробный обзор этих и других работ приведен в [6]. Несмотря на известность и широкий спектр рассмотренных задач линейной сингулярной поляризационной оптики, исследование возникновения и динамики развития сингулярностей поляризации в нелинейно-оптических процессах практически отсутствует.
Ранее нами были получены [13] аналитические формулы, позволяющие полностью описать генерацию суммарной частоты от поверхности изотропной хиральной среды, возникающую при произвольной (некомпланарной) геометрии взаимодействия падающих на нее световых пучков с гауссовым распределением интенсивности. При их выводе учитывались пространственная дисперсия квадратичной нелинейности рассматриваемой среды, а также неоднородность ее приповерхностного слоя. Было показано, что состояние поляризации света меняется в поперечном сечении отраженного пучка на суммарной частоте, причем для типичных значений углов падения (не слишком малых и не слишком больших) в случае не жесткой фокусировки пучков эти изменения невелики в пределах центральной, яркой части пучка. Напротив, для малых и для больших углов падения (близких к случаю либо нормального, либо скользящего падения) изменение поляризации в поперечном сечении пучка на суммарной частоте становится очень сильными. При этом распределение интенсивности в нем заметно отличается от гауссова. Наши дальнейшие исследования показали, что при определенных значениях параметров падающего излучения и нелинейной среды в поперечном сечении пучка на суммарной частоте могут появляться С-точки и L-линии.
В настоящей работе приводятся результаты исследования условий появления и динамики поведения С-точек в поперечном сечении пучка на удвоенной частоте, возникающем при отражении падающего эллиптически поляризованного
гауссова пучка основного излучения от плоской поверхности изотропной среды с пространственной дисперсией квадратичной нелинейности, пространственная группа сим-метрии которой дада (симметрия поверхности да).
2. АНАЛИЗ ОТРАЖЕННОГО ПУЧКА
Поэтому связанный с тензором Х(2) (2ы;ы,ы) локальный квадратичный отклик ее объема отсутствует. Исходным для анализа является полученное в [13] выражение для напряженности электрического поля отраженной волны на суммарной частоте, появляющейся, если на плоскую поверхность изотропной гиротропной среды из вакуума падают эллиптически поляризованные световые пучки с гауссовым распределением интенсивности. В этом случае возникает нелинейная поляризация среды на суммарной частоте, обусловленная ее локальным и нелокальным откликами, а в приповерхностном слое — ток, пропорциональный произведению напряженностей электрических полей падающих волн [14, 15]. Нелинейная поляризация объема среды и поверхностные токи являются источниками излучения на удвоенной частоте. В результате возникает отраженная от ее поверхности волна, амплитуда и поляризация которой могут быть найдены из модифицированных граничных условий [14, 15]. Последние учитывают влияние тонкого приповерхностного слоя, симметрия которого отлична от симметрии толщи среды.
Из вышеупомянутых формул легко получить выражение для напряженности электрического поля отраженной волны на удвоенной частоте, в случае падения на среду одного эллиптически поляризованного монохроматического гауссова пучка, напряженность электрического поля Е1 в котором задается формулой:
Ej( х1? У1, zi, t)
f
ei +
V
ie™(ei -V) >
k
J
X
En
в( zi)
exp
X
x2 + y2
w2 P( zi)
m t + ikzi
(1)
Здесь Eg — амплитуда, о — частота, w — полуширина пучка, c — скорость света, Х= 2пс/о> = 2njk — длина волны, в(Z1) = 1 + 2iz1j(kw2), e® — единичный вектор, направленный вдоль оси z системы координат x1,y1,z1, связанной с падающим пучком (ось х1 лежит в плоскости падения).
РЕНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 1
20 МАКАРОВ В.А., ПЕРЕЖОГИН И.А., ПОТРАВКИН Н.Н.
ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
Перпендикулярный е*,1 комплексный вектор поляризации
е1 =
y/(1 - Mi)/2 exp(-/Ti)(^ + iе®) + у+у/(1 + Mi)/2 exp(i'Ti)(е® -iе(Ч) ;
(2)
Здесь е® и е(1) — единичные вектора, направленные вдоль осей х1 и y, M1 — степень эллиптичности эллипса поляризации света, W1 — угол поворота его главной оси, E1+ = Ex ± iEx — циркулярно поляризованные компоненты поля. Легко непосредственно убедиться, что M1 = (\Е1+\2 - \Е1\2)/ (\Е1+\2 + \E1\2), Tj = 0.5arg{E1+Ej_}, \e1\2 = 1. Параметр M1 меняется в диапазоне от —1 (циркулярная поляризация с левым вращением) до 1 (циркулярная поляризация с правым вращением), проходя через 0 (линейная поляризация), а W1 — от 0 до п (состояния 0 и п неразличимы). Подчеркнем, что формула (1) содержит также продольную со-ставляющую электрического поля. Ее наличие необходимо для выполнения в вакууме условия divE1 = 0, являющегося одним из уравнений Максвелла. Напряженность Е1 удовлетворяет этому условию в первом приближении по углу расходимости пучка (w >> Я).
Отраженный пучок на частоте 2о будет распространяться под углом в к нормали к поверхности, равном углу падения пучка основного излучения. В системе координат xyz,, ось z2 которой совпадает с направлением распространения отраженного пучка второй гармоники, формула для поперечной составляющей Е± вектора напряженности его электрического поля однозначно следует из [13] и имеет вид:
. . п2El cos0
E( (Х2> У2> Z2> *) = ■
(1 + iz2 /1)
(
x exp
2(x2 + y2) v w2 (1 + iz2 / l)
(dieX2) + ^2еУ2)) +
d3 x2 + d4 У 2 (2) +
— 2iat + 2ikz~
+
У (1 + iZ2 /1)
= E(G] + E±
2
(NG)
(d5 X2 + d6 У2) ----------------1
(1 + iZ2 / l)
(2)
(2)
(3)
Здесь l = kw2/2, е(2) и е(^ — единичные вектора, направленные вдоль осей х2 и у2 (ось х2 лежит в плоскости падения). Достаточно громоздкие выражения для комплексных коэффициентов последовательно выводятся из формул ра-
3x2 ^ЗУ a3xX ^ЗуХ ^Зху
d.
боты [13] для коэффициентов a
x
x
У
и a . Для этого надо перейти в этих формулах от генерации суммарной частоты к ее частному случаю — генерации второй гармоники одним пучком. Иными словами необходимо положить в них Х2 = 0 и считать одинаковыми все соответствующие друг другу параметры, задающие падающие гауссовы пучки, а также углы, определяющие геометрию их взаимодействия. Кроме этого, надо учесть дополнительные соотношения, между компонентами тензора нелокальной квадратичной восприимчивости у(2(2ы;ы,ы) объема изотропной среды и между компонентами локальной квадра -тичной восприимчивости ее поверхности к((Ц (2о;о,о). Эти соотношения возникают из-за симметрии этих тензоров по перестановке двух индексов, принимающих значения x,y и %.
Явный вид комплексные коэффициенты d123456, зависящих от поляризации падающего пучка, угла падения в, показателей преломления среды на частотах о и 2о, а также от компонент тензоров ДД и Kjk , из-за громоздкости здесь не приводится. Заметим, что тензор , обеспечивающий вклад у((^1(2ы;ы,со)Е^2Е/ в материальное уравнение, в среде с симметрией имеет две независимые компоненты (у(2) и у(2)). При этом тензор с которым связаны входящие в модифицированные граничные условия поверхностные токи, имеет четыре независимых компоненты (к(2), к(2), кУЦ и к(2)). Численные значения величин, характеризующих нелинейность изотропных гиротропных сред, и обзор экспериментальных работ, где они измерялись, можно найти в [13, 16]. Для 5° < 0 < 75° и типичных значений нелинейных параметров таких сред, в яркой части пучка (при x y2 < w) отношения d345/d 2 ю Я [13]. Из-за этого при малых углах расходимости падающего пучка (w/Я > 10) негауссова составляющая Е]'0) в (3) пренебрежимо мала. Пучок на удвоенной частоте в пределах его центральной части будет практически однородно эллиптически поляризованным гауссовским пучком. Однако вклад Е('0) может превышать Е(^ (или становиться сравнимым с ней) при 0 > 75° и 0 < 5°. В этом случае распределения интенсивности и параметров поляризации M2(x2y2) = (\Е2+ \ 2 - \Е2 \2)/ (\Е2+\2 + \Е2\2) и Т2(х2,у2) = 0.5arg{E2+E'l}, где E2± = EL ± IEl , в плоскости поперечного сечения пучка второй гармоники становятся достаточно сложными.
1 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЕНСИТ
ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
Проведенные нами исследования показали, что параметры рассматриваемой нелинейной среды практически не влияют на динамику поведения право- и левополяризованных С-точек, появляющихся в центре отраженного пучка на удвоенной частоте. они возникают, если d1 = id2 или d1 = -id2
Е( NG)
'зависит от поперечных координат. Последнее выполняется практически всегда. Каждое из равенств d1 = id2 или d1 = -id или сводится к системе уравнений (по два уравнения в каждой системе для реальной и мнимой частей d12), которые решались численно для ряда фиксированных наборов значений параметров рассматриваемой среды. В результате для каждого угла падения определялись степень эллиптичности и угол поворота главной оси эллипса поляризации падающего излучения, при которых в центре пучка второй гармоники появляется С-точка. Это дало возможность для любого набора значений параметров нелинейной среды найти две пары зависимостей М1(в) и Ц1(в), при выполнении которых появляются право- либо левополяризованные С-точки. Типичные зависимости М1(в) (сплошные кривые) и Ц(в) (пунктирные кривые) приведены на рис. 1, построенном при п(ш) = 1.32, п(2ш) = L34, bJb1 = °.9, bJb1 = °.2, bJb1 = Д ыу(Хуу/ь1 = 1 и ыг{Усу/Ь1 = 1.25.
Топологический заряд появившейся С-точки
излучения М1 (сплошная линия, левая ось ординат) и Ц1 (пунктирная линия, правая ось ординат) от угла падения в1 при которых в центре пучка на удвоенной частоте возникает С-точка, с правой (1) или левой (2) поляризацией.
сингулярности ПОЛЯРИЗАЦИИ 21
В ПУЧКЕ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
падения и соответствующем изменении М1(в) и Ц1. Если он положителен, то тип С-точки может изменяться с “lemon”на “monstar”. Для фиксированного в небольшие вариации поляризации падающего излучения вблизи значений, отвечающих появлению сингулярности, не приводят к ее исчезновению, а лишь слегка изменяют ее расположение в поперечном сечении сигнального пучка. Это иллюстрирует рис. 2, четыре картинки которого (а— г) построены при в1 = 60°, п(ш) = 1.32, п(2ш) = 1.34, b/b1 = 0.9, b/b1 = 2.2, b/b1 = 0.37, оу{(ууу/Ь1 = 1 и о
Yxyxy/b1 = 1.25 и различных значениях М1 и Ц1.
На них показаны распределения поляризации излучения в поперечном сечении отраженного пучка второй гармоники. Эллипсы, построенные в различных точках картинки, центры которых имеют координаты х20), j20) , подобны эллипсам поляризации света в точках поперечного сечения пучка, имеющих такие же координаты. Точка на краю каждого из них задает направление вектора электрического поля в фиксированный момент времени, то есть определяет угол Ф 2 = arg {E2+ + E*2_ } . Для всех картинок вращение вектора напряженности электрического поля во всех точках поперечного сечения пучка происходит при вышеупомянутых значениях параметров против часовой стрелки. Картинка а
Рис. 2. Распределение поляризации излучения в отраженном пучке на удвоенной частоте при в = 60°, М1 = -0.433, Ц1 = 16.5° (а); в = 60°, М1 = -0.433, Ц = 20°(6); в = 60°, М1 = -0.5, Ц = 16.5°(в); в = 58°, М1 = -0.433, Ц = 16.5°(г). Точка сингулярности типа “lemon” отмечена белым крестом; эллипс в этой точке принимает форму окружности. В правом верхнем углу каждой картинки вставка, показывающая направление линий, касательных к главным осям эллипсов поляризации в малой окрестности С-точки.
РЕНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 1
22 МАКАРОВ В.А., ПЕРЕЖОГИН И.А., ПОТРАВКИН Н.Н.
ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
6:162-175.
5. Dennis MR. Polarization singularity anisotropy: determining monstardom. Optics Letters, 2008, 33:2572-2574.
6. Dennis MR. Polarization singularities in paraxial vector fields: morphology and statistics. Optics Communications, 2002, 213:201-221.
7. Angelsky OV, Mokhun II, Mokhun AI, Soskin MS. Interferometric methods in diagnostics of polarization singularities. Phys. Rev. E, 2002, 65:036602-036606.
8. Chen YF, Lu TH, Huang KF. Observation of Spatially Coherent Polarization Vector Fields and Visualization of Vector Singularities. Phys. Rev. Lett, 2006, 96:033901033904.
9. O’Holleran K, Flossmann F, Dennis MR, Padgett MJ. Methodology for imaging the 3D structure of singularities in scalar and vector optical fields. J. Opt:. A: Pure Appl. Opt., 2009, 11:094020-094026.
10. Egorov YuA, Fadeyeva TA, Volyar AV The fine structure of singular beams in crystals: colours and polarization. J. Opt. A Pure Appl. Opt, 2004, 6:217-228.
11. Flossmann F, Schwarz UT, Maier M, Dennis MR. Polarization Singularities from Unfolding an Optical Vortex through a Birefringent Crystal. Phys. Rev. Letters, 2005, 95:253901-253904.
12. Bogatyryova GV, Felde KV, Polyanskii PV, Soskin MS. Nongeneric Polarization Singularities in Combined Vortex Beams. Opt:. Spectr., 2004, 97(5):782-789.
13. Makarov VA, Perezhogin IA. Transversal structure of a sum-frequency beam generated from the surface of a chiral medium. J. Opt. A: Pure Appl.. Opt, 2009, 11:074008-074018.
14. Golubkov AA, Makarov VA. Boundary conditions for an electromagnetic field on the surface of linear and nonlinear crystals: allowance for weak spatial dispersion and near surface nonuniformity of optical properties at the intermedium boundary. J. Russian Laser Research, 1996, 17:480-489.
15. Golubkov AA, Makarov VA. Material equation for the polarization current on the surface of media with weak spatial dispersion. Laser Phys, 1996, 6:1015—1020.
16. Makarov VA, Perezhogin IA. Generation of reflected second-harmonic light beam with inhomogeneous transversal distribution of polarization from the surface of chiral medium by normally incident gaussian beam. Optics Communications, 2008, 281:3906-3912.
построена при в = 60°, M1(60°) = -0.433 и 1У1(60°) = 16.5° Поэтому точка сингулярности типа “lemon ” находится в ее центре. Она отмечена белым крестом. В правом верхнем углу картинки — вставка, показывающая направление линий, касательных к главным осям эллипсов поляризации в малой окрестности точки сингулярности. Картинки б, в и г построены при значениях в, М1 и W1 слегка отличающихся соответственно от 60°, -0.433 и 16.5°. Во всех трех случаях точки сингулярности типа "lemon” сдвигаются от центра пучка. Заметим, что изменение М1, W1 и в по отдельности сдвигают ее вдоль разных направлений. Это связано с тем, что EJx2yf) непрерывно зависит от параметров падающего излучения, поэтому любые их малые вариации не приводят к резкому изменению поляризации светового поля в пучке на удвоенной частоте. На вставках в эти картинки показаны направления линий, касательных к главным осям эллипсов поляризации в малых окрестностях С-точек.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в отраженном пучке на удвоенной частоте, появляющемся в результате взаимодействия наклонно падающего эллиптически поляризованного гауссова пучка с поверхностью изотропной среды с пространственной дисперсией квадратичной нелинейности возможно появление сингулярностей поляризации — С-точек. Условия их появления для слабо расходящихся гауссовых пучков основного излучения позволяют сделать вывод о существовании такой его поляризации, при которой в центре отраженного от среды пучка второй гармоники появляется C-точка. Изменение угла падения, при фиксированном состоянии этой поляризации падающего излучения, и малые вариации последней, при фиксированном угле падения, вызывают смещения С-точки из центра пучка второй гармоники.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nye JF. Lines of Circular Polarization in Electromagnetic Wave Fields. Proc. Royal. Soc. Lond., 1983, 389A:279-290.
2. Berry MV, Dennis MR. Polarization singularities in isotropic random vector waves. Proc. Royal. Soc. Lond, 2001, 457A:141-155.
3. Berry MV, Dennis MR. The optical singularities of birefringent dichroic chiral crystals. Proc. Roya.. Soc. Lond, 2003, 459A:1261-1292.
4. Berry MV, Dennis MR, Lee Jr RL. Polarization singularities in the clear sky. New Journal of Physics, 2004,
1 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЕНСИТ
LASER PHYSICS
23
Макаров Владимир Анатольевич,
д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой общей физики и волновых процессов, действительный член РАЕН МГУ им. М.ВЛомоносова, физический факультет, Москва 119991 Ленинские горы, 1, корп. 7, тел. +7 495 939 1225, [email protected].
пережогин Игорь Анатольевич,
к.ф.м.н, научный сотрудник МГУ им. М.ВЛомоносова, физический факультет Москва 119991 Ленинские горы, 1, корп. 7, тел. +7 495 939 0000, [email protected].
Потравкин Николай Николаевич,
аспирант
МГУ им. М.ВЛомоносова, физический факультет Москва 119991 Ленинские горы, 1, корп. 7, тел. +7 495 939 0000.
POLARIZATION SINGULARITIES IN THE SECOND HARMONIC BEAM APPEARING IN REFLECTION OF OBLIQUE INCIDENT ELLIPTICALLY POLARIZED GAUSSIAN BEAM FROM THE SURFACE OF A MEDIUM WITH SPATIAL DISPERSION OF NONLINEARITY
Makarov V. A., Perezhogin I. A., Potravkin N. N.
Lomonosov Moscow State University, Physics Department,
Leninskie Gory, 1, b. 7, 119991 Moscow, Russian Federation [email protected].
The conditions of the appearance and the dynamics of the behaviour of the polarization singularities (C-points) originating in a cross-section of the beam at double frequency generated by reflection of the elliptically polarized Gaussian beam from the surface of isotropic medium with spatial dispersion of the quadratic nonlinearity have been studied. It is shown for the case of small divergence angle of the incident beam, that there exist special polarization state of this beam resulting in the C-point appearance in the center of the second harmonic beam. Slight variations of the angle of incidence of the fundamental beam when its polarization state is fixed or, otherwise, variations of the polarization at fixed angle of incidence result in a shift of the C-point from the center of the second harmonic beam.
Keywords: second harmonic generation, elliptically polarized light, Gaussian beam, spatial dispersion, polarization singularities.
PACS: 42.65,Ky: 42.25.Ja
Bibliography - 16 references Received 22.04.2011
RENSiT, 2011, 3(1):18-24_________________________________________________________________________
РЕНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 1
LASER PHYSICS
24 MAKAROV VA., PEREZHOGIN I.A., POTRAVKIN N.N.
REFERENCES
1. Nye JF. Proc. Royal. Soc. bond, 1983, A389:279-290.
2. Berry MV, Dennis MR. Proc. Royal. Soc. Lond, 2001, A457:141-155.
3. Berry MV, Dennis MR. Proc. Royal. Soc. Lond., 2003, A459:1261-1292.
4. Berry MV Dennis MR, Lee RL. New Journal of Physics, 2004, 6:162-175.
5. Dennis MR Optics Letters, 2008, 33(22):2572-2574.
6. Dennis MR. Optics Communications, 2002, 213(4-6):201-221.
7. Angelsky OV, Mokhun II, Mokhun AI, Soskin MS. Phys. Rev. E, 2002, 65(3):036602-036606.
8. Chen YF, Lu TH, Huang KF. Phys. Rev. Lett, 2006, 96(3):033901-033904.
9. O’Holleran K, Flossmann F, Dennis MR, Padgett MJ. J. Opt. A: Pure Appl. Opt., 2009, 11(9):094020-094026.
10. Egorov YuA, Fadeyeva TA, Volyar AV. J. Opt. A: Pure Appl Opt, 2004, 6(3):217-228.
11. Flossmann F, Schwarz UT, Maier M, Dennis MR. Phys. Rev. Letters, 2005, 95(25):253901-253904.
12. Bogatyryova GV, Felde KV, Polyanskii PV, Soskin MS. Opt. Spectr., 2004, 97(5):782-789.
13. Makarov VA, Perezhogin IA. J. Opt. A: Pure Appl. Opt, 2009, 11(T):074008-074018.
14. Golubkov AA, Makarov VA. J. Russian Laser Research, 1996, 17:480-489.
15. Golubkov AA, Makarov VA. Laser Phys, 1996, 6:10151020.
16. Makarov VA, Perezhogin IA. Optics Communications, 2008, 281:3906-3912. 1
1 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЕНСИТ
