CC BY
72
2. ЛАЗЕРНЫЕ НАНОТЕХНОЛОГИИ
2.1. ФОРМИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПУЧКОВ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ НА ОСНОВЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ОДНООСНЫХ КРИСТАЛЛАХ
Хонина Светлана Николаевна, доктор физико-математических наук, профессор Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва; ведущий научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт систем обработки изображений РАН. khonina@smr.ru
Карпеев Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва; ведущий научный сотрудник Института систем обработки изображений РАН. karp@smr.ru
Алфёров Сергей Владимирович, кандидат физико-математических наук, инженер лаборатории НИЛ-97 Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва. alferov_s@mail.ru
Сойфер Виктор Александрович, член-корреспондент РАН, доктор технических наук, директор Института систем обработки изображений РАН; Президент Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва. soifer@ssau.ru
Аннотация: Проведено теоретическое и экспериментальное исследование формирования цилиндрических векторных пучков в двулучепреломляющих кристаллах в параксиальном и непараксиальном случаях. При острой фокусировке (в непараксиальном случае) вдоль оси кристалла формируются два фокуса, соответствующих обыкновенному и необыкновенному пучкам. При наличии вихревой фазы первого порядка у падающего на кристалл пучка c круговой поляризацией в одном из фокусов формируется радиально-поляризованное распределение, а в другом - азимутально-поляризованное. Данные результаты обобщены на случай формирования радиально и азимутально поляризованных лазерных пучков высших порядков. Натурные эксперименты проведены с кристаллом исландского шпата.
Ключевые слова: одноосный кристалл, цилиндрические векторные пучки, лазерные пучки высокого порядка, поляризационные преобразования
2.1. FORMATION OF CYLINDRICAL VECTOR BEAMS OF HIGH ORDER BASED ON POLARIZING TRANSFORMATIONS IN UNIAXIAL
CRYSTALS
Khonina Svetlana N., Doctor of Science in Physics and Mathematics, professor, Image Processing Systems Institute of the Russian Academy of Sciences, Samara State Aerospace University, Samara, khonina@smr.ru
Karpeev Sergey V., Doctor of Physics and Mathematics, Doctor of Science in Physics and Mathematics, professor, Samara State Aerospace University, Image Processing Systems Institute of the Russian Academy of Sciences, Samara. karp@smr.ru
Alferov Sergei V., PhD in Physics and Mathematics, Laboratory Engineer NIL-97, Samara State Aerospace University, Samara. alferov_s@mail.ru
Soifer Viktor A., Doctor of Science, academician of RAS. Image Processing Systems Institute of the Russian Academy of Sciences, Samara State Aerospace University, Samara. soifer@ssau.ru
Abstract: Theoretical and experimental investigations of the formation of cylindrical vector beams in birefringent crystals are implemented in the paraxial and nonparaxial cases. Two foci corresponding to the ordinary and extraordinary beams are formed by tight focusing (in nonparaxial case) along the axis of the crystal. The presence of the first-order vortex phase in circularly polarized incident beam allows to form in the crystal two foci with radial and azimuthal polarization. These results are generalized to the case of formation of radially and azimuthally polarized laser beams of higher orders. Experiments are carried out with a crystal of Iceland spar
Index terms: uniaxial crystal, cylindrical vector beams, laser modes of the high order, polarization transformatio
Введение
В связи с широким спектром приложений большое внимание исследователей привлекают цилиндрические векторные пучки (ЦВП), в особенности, пучки с радиальной и азимутальной поляризацией излучения.
ЦВП позволяют получать новые эффекты в таких областях как нелинейная оптика [1, 2], ближнепольная оптика [3], ускорение заряженных частиц [4-7], квантовая информация [8, 9], оптический захват и манипулирование микро- и нанообъектами [10, 11], в изображающих системах [12, 13], в микроскопии [14-16], при обработке материалов [17-21].
Для этих приложений необходимо уменьшение размера фокального пятна. При этом радиально-поляризованное излучение позволяет формировать наиболее компактное световое пятно благодаря мощной продольной компоненте электрического поля, а азимутально-поляризованное излучение обеспечивает формирование минимального по размеру светового кольца в связи с полным отсутствием этой компоненты [22-26].
Одним из способов уменьшения размера фокального пятна и усиления продольной компоненты является использование лазерных пучков высоких порядков [27, 28]. Наиболее удобным методом формирования лазерных пучков с произвольным амплитудно-фазовым распределением являются дифракционные оптические элементы (ДОЭ) [29, 30].
В оптике анизотропные вещества широко используются для преобразования пучков с однородной поляризацией в цилиндрические векторные пучки [25], причём как внутри, так и вне резонаторов. Во внутрирезо-наторных методах [31-33] двулучепреломляющие кристаллы выполняют функцию дискриминации мод, разделяя их либо поперёк [31], либо вдоль [32, 33] оптической оси. По принципу действия метод [31] похож на внерезонаторный метод интерферометрического сложения двух мод [34 - 36] с ортогональными плоскими поляризациями. Оптическая ось кристалла при этом расположена под углом к оптической оси резонатора.
Методы, описанные в работах [32, 33], реализуют продольное разделение мод вдоль оптической оси резонатора в двух фокусах. Оптическая ось кристалла при этом параллельна оптической оси резонатора. Для создания большей сходимости пучков в кристалле реализуется оптическая схема неустойчивого резонатора. Настройкой внутрирезонаторной диафрагмы можно добиваться выделения радиальной или азимутальной поляризаций. У данного метода также имеются внерезонаторные аналоги [20, 37]. В этих работах для создания сходящегося пучка в кристалле используется телескопическая система.
Весьма популярным становится преобразование бесселевых пучков в двулучепреломляющих кристаллах для создания необходимых поляризаций [38-40]. При этом получаются как радиальная и азимутальная [38], так и смешанные «спиральные» типы поляризаций [39]. В работе [38] для создания кольца с плоским волновым фронтом используются рефракционные аксиконы, а
после прохождения кристалла радиальная и азимутальная поляризации разделяются при помощи поляризационной призмы Волластона. Однако получить такими методами цилиндрические векторные пучки высших порядков не представляется возможным. Важным свойством цилиндрических векторных пучков высших порядков является обеспечение острой фокусировки [27, 28, 40, 41].
Наиболее удобной в плане формирования неоднородно-поляризованных пучков является схема [37], включающая формирователь оптического вихря, фокусирующий и изображающий объективы, двулучепре-ломляющий кристалл и регулируемую диафрагму. Освещающий лазерный пучок должен иметь круговую поляризацию, причём, изменяя её направление, либо знак фазового вихря, можно менять тип поляризации. В этой схеме нет принципиальных ограничений на порядок формируемых радиально или азимутально поляризованных мод. Возможность дискриминации мод высших порядков теоретически рассмотрена в работе [32], однако не предложено эффективных методов её реализации. Для формирования цилиндрических векторных пучков высших порядков требуется изначально формировать вихревые пучки высших порядков, что наиболее эффективно можно осуществить при помощи ДОЭ [29, 30, 42, 43].
В данной работе теоретически и экспериментально рассмотрено формирование цилиндрических векторных пучков в двулучепреломляющих кристаллах на основе использования гауссовых мод высших порядков. Показано, что в условиях слабой фокусировки, а также при отсутствии в освещающем пучке вихревой фазы формируемый кристаллом пучок всегда имеет смешанный тип поляризации. В режиме более острой фокусировки и при наличии в падающем пучке вихревой фазы имеет место разделение пучков на два фокуса с радиальной и азимутальной поляризацией, соответственно.
Натурные эксперименты проведены с кристаллом исландского шпата.
1. Распространение вихревых лазерных пучков вдоль оси кристалла
Рассмотрим одноосный кристалл, обладающий анизотропной диэлектрической проницаемостью (магнитная проницаемость изотропна), причём ось кристалла ориентирована вдоль оптической оси. В этом случае тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости, соответственно, следующий вид:
(1)
Для лазерных пучков с вихревой фазовой зависимостью:
I4 0 0 > ' 1 0 0N
N 0 0 t > ц = 0 1 0
,0 0 0 1V
E(r, Ф) =
(p \
V py
E (г )exp (/даф),
(2)
прохождение через одноосный кристалл параллельно его оси можно описать на основе разложения по плоским волнам [44]:
Em (р,е, г) = к2'2" ехр ('ш9) |
(г,9) -ЯСт (г, 9) ) -ХСт (г,9) ССт (г,9) I ехр[¡кгу, (а)] +
0 0 I
ССт (г, 9) ЯСт (г,9) га
■Ст (?, 9
С (?, 9) ж„ (?, 9)
га
ехР ['кгУ. (°)]
У2(<0
Ят (', 9)
(а) а¿а
(3)
(4)
Ст (г, 9) = -2- [." /ш+, (г) - е-'9 /т_, (г)], Я, (г, 9) = 2 [." /т+, (г) + .—/т-1 (г)],
ЯСт (г, 9) = 4[.'"/т+ 2(г) - е-'29/т-2 (0], ССт (г,9) = -4[2/т (г) - е'29/т+2 (г) - е-'29/т-2 (г)],
Жт (г, 9) = -4 [2 Jm (г) + е'29 /т+2 (г) + е-'29 /т-2 (г)], г = кра,
где
о (а)=лЯ-а2, т. (а)=^
Рт (а)= |Е(г)/" (кга)г^ ,
(5)
(6)
Е" (р, 9, г) =
к 2(-1)т
^е™9/т (кра) ру + /е'1"'-2'9/,2 (кра) (р, + фу ) - /.'(m+2)е/т+2 (кра) (р, - 'ру ]
х ехр [ 1кгуа (а)]] (а)а¿а
(7)
Е" (р, 9, г) =
к 2(-1)т
2."9(кра)р, - е (т-2)9/т_2(кра)(р, + р )- .' (т+2)9/,+2 (кра)(р, -р ) 2.' "9/т (кра)ру - е 'т-2)9/т-2(кра)(р, + 'ру )+ '.'ш+2)9/т+2(кра)(р, - ру
^^[.'<т-1>9/т-1 (кра)(р, + р ) - .' (т+1)9/т+1 (кра) (р, - р )] ехр [¿кгу. (а) (а) а ¿а
рг/й (кра) + /г (кра) [ р, соэ 29 + ру эт 29р ЕО (р, 9, г) = — | ру/0(кра) + /2(кра) [р, 30 29- ру соэ29] ехр [¡кгу0 (а)] * (а) а ¿а 2 0 0
(9)
Л
р/о (кра) - /2 (кра) [ р, соэ 29 + ру эт 29 ]
ру/о (кра) - /2(кра)[р, вт29- ру соз29] ехр [ ¡кгу. (а)] *0 (а) а ¿а
:0(р, 9, г) = — |
'-.т. (а)
^(кра) [ р, соэ 9 + ру эт 9 ]
(10)
При круговой поляризации падающего на кристалл излучения (р,, ру) = 1Д/2 (1, ±') общее поле будет следующим:
г,(р,9,г)Л _Г /0 (кра) Л
[ехр(гкгуО (а)) + ехр(гкгу. (а))]*0(а)а¿а +
' Е, (р, 9, г) к2 ™ ' /0 (кра) '
ЕШ=0± (р, 9, г) = Е, (р, 9, г) = - I 2 1 ±/0 (кра)
, Е, (р, 9, г) 0
к2 "г +Т I
/2 (к ра)ехр (±''29)|[ехр('кгуО (а))-ехр (гкгу. (а))] т/2 (кра)ехр (±''29)[ехр (гкгуО (а))-ехр (гкгу. (а))] *0(а) а ¿а. 2'£°а) / (кра)ехр(±г9)ехр(гкгу. (а))
'■.у. (а)
(р,, ру) - вектор поляризации падающего на кристалл пучка.
Как видно из (3), обыкновенный пучок соответствует ТЕ-моде, а необыкновенный - ТМ-моде.
Для удобства анализа перепишем выражение (3) отдельно для обыкновенного и необыкновенного пучков:
' 2.'"'/т (кра)р, + е (m-2,е/т-2(кра) (р, +'ру )+ е (m+2,е/т +2(кра) (р, -'ру )"
(8)
Как следует из в^1ражений (7) и (8) поперечные компоненты будут иметь ненулевое значение на оптической оси при трех значениях т = 0,2, -2 , в то время как продольная компонента, присутствующая только в необыкновенном пучке, будет иметь ненулевое значение на оптической оси при двух значениях т = 1, -1. Во всех
остальных случаях, т.е. при |ш| > 3 в кристалле будет
формироваться полый пучок, не имеющий в центральной части электромагнитной энергии. Из структуры выражений (7) и (8) также видно, что при круговой поляризации ру = ±'р, вид формируемого пучка будет зависеть от знака (направления) поляризации и знака (направления) вихревой фазы.
Рассмотрим далее более детально полученные выражения при |ш| < 2.
1.1. Отсутствие вихревой фазы т=0.
В отсутствии вихревой фазы (ш = 0) выражения (7) и (8) для обыкновенного и необыкновенного пучков принимают следующий вид:
(11)
Из (11) видно, что при круговой поляризации в поперечных компонентах имеет место вихревая фаза второго порядка, в продольной - первого порядка. Причём в изотропной среде, когда у. (а) = уО (а), вихревые особенности второго порядка исчезнут. Заметим, что в параксиальном случае, когда а ^ 0 : у. (а) ^ уО (а), ситуация будет аналогичная, т.е. влияние вихревых фазовых особенностей второго порядка будет отсутствовать.
Если падающее на кристалл излучение представляет собой обычный гауссов пучок с параболическим сходящимся волновым фронтом:
г ^ = ехр (-27) ехр Г-'к ) , (12)
где w - радиус гауссова пучка, /- фокусное расстояние сходящегося волнового фронта, то выражение (6) можно приближенно оценить, используя справочный интеграл [45]:
8 р
V1 8 р I % I 8 р ^
|,ехр (-р, )/^ (cx)dx = ехр | -Яе р > 0; Яе V > -2.
Из (13) для V = 0:
" 1 Г ¿2 )
|,ехр(-р,2,J0(cx)dx = 2"— ехрI -I • (14) Таким образом,
^0 (а=|ехр
(13)
1 'к
2\ ~ + /
2 | ч> /
, п \ 1 /"2 I к а1 м>2 /
/0 (кга)гаг =-- ехр1
/ + ¡^
Перепишем (15) в следующем виде:
* ( ) Г 1 ™2 ) Г а2 ) Г ' к">2а р0(а)=|к^оу - к/а \ехр I-^|ехр [' и/а
2(/ + 'км>2) Г
(15)
(16)
где а1, = 1/(^)2 +(^//)2.
Из выражения (16) следует, что пространственный спектр для функции (12) представляет собой гауссову
функцию с параболическим расходящимся фронтом. Основная энергия сосредоточена в низких частотах и становится более компактной с уменьшением фокусного расстояния / В этом случае выражения для собственных значений (4) можно представить в виде:
( ч I- , о I- . (17)
у°(а)и^-2/ёГ (а)Ил/ЕГ
Ненулевые значения на оптической оси связаны с первым интегралом в (11), который при р = 0 имеет следующий вид:
Em:,* (р=0, z)--
—J^exp(ikzyo (с)) + exp(ikzys (с)) ^0(a)cdc =
Em=°( z)=i - fw 1exp (kz^ Hexp V-
Em=°(z) = f ¿T - 1exp )) exp i-¿w
ik_ I
21/
ik_ I _w_
21/
[ e;=„( z) + Em=„(z)] (18)
^ J
;d с
(19а)
аd а
(19б)
Так как максимальное значение интегралов (19а) и (19б) будет достигаться при обнулении показателя второй подынтегральной экспоненты, то очевидно, обыкновенный и необыкновенный пучки будут фокусироваться на различных расстояниях:
г„ _ , г. = / е./^ . (20)
г/~ 1)2 / 1+(//**2 )2
Для достаточно больших размеров падающего пучка (м> - велико) получается простая зависимость:
и , и / е./^. (21)
Ниже приведены результаты моделирования фокусировки Гауссова пучка с круговой поляризацией в кристалле исландского шпата (е: = 2,75, ее = 2,21) с использованием выражения (11). Параметры расчёта были выбраны следующие: X = 0,6328 мкм, фокус сходящегося в свободном пространстве параболического фронта /= 30 мм, а радиус перетяжки Гауссова пучка варьировался в пределах от 0,15 мм до 2 мм.
На рис. 1 показано нормированное распределение интенсивности на оптической оси внутри кристалла при фокусировке Гауссова пучка различного радиуса, не имеющего вихревой фазы.
1,0
0,5
/ 1 \ 1 |\ Гч 1 \
/ 1 / 1 / 1 ••• 1 1 1 1 / __^^ У 1 Ч 1 ч 1 1 1 \ V \ N.. '""¿"мм
20
40
60
80
100
Рис. 1. Распределение нормированной интенсивности на оптической оси внутри кристалла при т=0 при фокусировке Гауссова пучка радиусом 0,15 мм (точечная линия), 0,5 мм (пунктирная линия) и 2 мм (чёрная линия)
Как видно из рисунка, при малых размерах падающего пучка формируется один растянутый фокус. При увеличении радиуса падающего пучка увеличивается острота фокусировки, и в кристалле формируются два фокуса. Эти фокусы соответствуют обыкновенному и необыкновенному пучкам. По формуле (21) 1/ и 49,75 мм,
zef и 39,98 мм , что с хорошей точностью согласуется с результатами численного моделирования (рис. 1).
При слабой фокусировке разделения на обыкновенный и необыкновенный фокусы в кристалле не происходит [46]. В центральной части фокальной плоскости поляризация остаётся круговой, а по внешнему радиусу светового пятна является спиральной (линейная комбинация радиальной и азимутальной [19]). Эта область соответствует функциям Бесселя второго порядка в формулах (7) -(9).
При более острой фокусировке происходит разделение на обыкновенный и необыкновенный фокусы, причём в рассматриваемом случае первый фокус является необыкновенным (содержит продольную компоненту). Между фокусами в этом случае формируется световое кольцо. На рис. 2 приведены картины продольного и поперечного распределения в области фокусов.
в) 1=45 мм г):
Рис. 2. Фокусировка Гауссова пучка (т = 0) радиусом 0,5 мм: (а) продольная картина интенсивности и (б-г) поперечные картины в фокусах (радиус 0,025 мм) и между ними (радиус 0,05 мм).
Как видно из картины продольной интенсивности (рис. 2а) между двумя фокусами формируется кольцеобразное распределение. В поперечных картинах интенсивности стрелками отмечены локальные поляризационные состояния в каждом из фокусов и в кольце между ними (рис. 2б-г). В центрах фокусов поляризация остается круговой, что соответствует первому слагаемому в (11), однако на периферии фокусных пятен, где основное влияние определяется вторым слагаемым в (11), формируется линейная поляризация с цилиндрической симметрией. Кольцо между фокусами (рис. 2в) имеет спиральную (смешанную цилиндрическую) поляризацию.
Рассмотренные в данном разделе пучки не являются цилиндрическими, однако спирально-поляризованное излучение тоже имеет свои приложения [19, 20]. Для формирования таких пучков на основе фокусировки необходимо наличие в падающем на кристалл излучении вихревой фазовой сингулярности первого порядка.
1.2. Наличие вихревой фазы первого порядка
(т = 1)
При наличии в падающем на кристалл излучении вихревой фазы первого порядка выражения для обыкновенного и необыкновенного пучков (7) и (8) будут следующими:
( 2.геJ1<kра>р, -.-еJ1<kра^>(р, + 'ру)+ .г3еJ3<kра>(р, -'ру) 2.'./1<kра■>ру - '.-еJ1<kра>(р, + 'ру )-'.'^/^крг)(р, - 'ру )
ЕО рЛг) = - к-1
р [ 'кг То
а) IК {а)ас1а
(22)
2.'еJl<kра>р, + . 'еJ1<kра■>(р, + 'ру )-.'39/^кра)(р, -'ру )
/2) (р, - 'ру
к2 " 2.'еJ1<kра■>ру +'. 'еJ1<kра>(р, + 'ру) + г.'3^./з<kр£T>(pI -р
El<P,е,= -Т1 2—а г , .
[ Jо<kP£J> ( + р
V «-.Те (а хехр['кгу. (а)]К (а)айа
(23)
При круговой поляризации падающего на кристалл излучения результат будет существенно зависеть от направления поляризации. Интересный результат получается при «-» круговой поляризации (т.е. когда направление поляризации противоположно направлению оптического вихря):
•7 2 «>
1к Г 1
9 )
- I ^1
- соэ 9 0
Г )
/1(кра)соэ 9 / 1(к ра)э\п 9 'е„а
ехр
(24)
'.Те
/0(кра)
ехр['кгу. (а)]К (а)ас1а
Из выражения (24) видно, что обыкновенный пучок имеет азимутальную поляризацию, а необыкновенный пучок имеет радиальную поляризацию. При наличии в падающем на кристалл излучении достаточно сильно сходящегося волнового фронта вдоль оптической оси сформируются два отдельных фокуса с соответствующими цилиндрическими пучками.
На рис. 3 приведены картины продольного и поперечного распределения в области фокусов при фокусировке вихревого (ш=1) Гауссова пучка с «-» круговой поляризацией. Как видно, в этом случае первый фокус имеет «чистую» радиальную поляризацию, а второй - азимутальную. Между фокусами формируется световое кольцо со спиральной (смешанной) поляризацией.
б) 1=40 мм в) г=45 мм г) 1=50 мм
Рис. 3. Фокусировка вихревого Гауссова пучка (т = 1) радиусом 0,5 мм: (а) продольная картина интенсивности и (б-г) поперечные картины в фокусах (радиус 0,025 мм) и между ними
(радиус 0,05 мм). На основе такого метода средства дифракционной оптики [16, 17] позволяют формировать цилиндрические лазерные пучки любого типа. Например, на рис. 4 показана фокусировка пучка Гаусса-Лагерра (3,1).
4 V, ЛШ
о,' V-
Г N %
1 I о 1 1
у/
V " /
б) 2=40 мм в) 2=45 мм г) 1=50 мм
Рис. 4. Фокусировка пучка Гаусса-Лагерра (3,1) с радиусом перетяжки 0,4 мм: (а) продольная картина интенсивности и (б-г) поперечные картины в фокусах (радиус 0,025 мм) и между
ними (радиус 0,1 мм). 1.3. Наличие вихревой фазы высоких порядков В общем случае при наличии в пучке вихревой фазовой зависимости т-го порядка выражения для обыкновенного и необыкновенного пучков (7) и (8) будут следующими:
' 2.'""/" (кра)р, + .'(m"21'/m-2 (кра)(р, + 'ру) + .'(m+2,'Jm,2 (кра) (р, -ру)" 2.•""/" (кра)р, +' .'(т-2)9/т-2 (кра)(р, + 'ру)).'<"2)9/,+2 (кра)(р,-1р,)
Е" (р,9,г) =
(-1)"к2
х ехр\[кгуо (а))]К, (а) айа,
Те1"1"/, (кра) р, - е ( Еет (р,е,г) = (-1) к | Т."1"/" (кра)ру -(т-
2 - а <m-l>'Jm
(25)
9/т-2 (кр°) (р, +'ру ) - .l("2)'■/m»2 (кр°) - р )
9 / т-2 (кр)(р, +'ру )+ '.'i'")'Jm^2 (кра)(р, - Фу) (кр°) (р, + 'ру )- .l(m*1)'■/m»1 (кр°) (р, -Ру )]
ч «У2 (а) х ехр ['кгу. (а) ] Кт (а) ас1а.
(26)
Как следует из выражений (25) и (26), в кристалле дополнительно появляются пучки с пониженной и повышенной на два порядка вихревой фазой. В случае круговой поляризации падающего на кристалл поля дополни-
0
тельно формируются пучки только с пониженной (для «-» круговой поляризации) или только повышенной (для «+» круговой поляризации) на два порядка вихревой фазовой сингулярностью.
Поперечные компоненты будут иметь ненулевое значение на оптической оси при трёх значениях т = 0 2,-2. Случай т=0 был рассмотрен в разделе 1.1. Варианты т=2 и т=-2 аналогичны, поэтому рассмотрим случай т=2 при «-» круговой поляризации (т.е. когда направление поляризации противоположно направлению оптического вихря):
E сГ(рЛг)
k2 m 4 1
^ П
f1J
i J0
(крс) jexp [ikzyo (с)]- exp [ikzye (ct)]Jf2
a)ada +
(
ei2äJ2 (kpu) |exp[ikzyo (с)] + exp [ikzye (<
2 m
— j -ieaeJ2 (kpa)^exp \ikzyo (с)] + exp [ikzye (
- 0
2sn;i
V
SJ2 (C)
e "J1(kpa)
F2 (;)cdc.
Для формирования цилиндрических векторных пучков высших порядков предложена оптическая схема, показанная на рис. 6.
(27)
Из выражения (27) следует, что в центральной части фокусов (соответствует первому слагаемому) сохраняется круговая поляризация, но она меняет направление, в то время как в периферийной части (соответствует второму слагаемому) также сохраняется и направление поляризации. Заметим также, что в отсутствии анизотропии первое слагаемое в (27) исчезает, и остаётся только второе, которое отвечает за формирование полого светового пучка с вихревой фазой второго порядка в поперечных компонентах.
На рис. 5 приведены картины продольного и поперечного распределения в области фокусов при фокусировке вихревого (т=2) Гауссова пучка с «-» круговой поляризацией.
11, лш
6) 1=40 мм в) :=45 мм
Рис. 5. Фокусировка вихревого Гауссова пучка (т= 2) радиусом 0,5 мм: (а) продольная картина интенсивности и (б-г) поперечные картины в фокусах (радиус 0,025 мм) и между ними
(радиус 0,05 мм). Из сравнения результатов, приведенных на рис. 2 и рис. 5, видно, что в фокусах формируются очень похожие распределения. Однако между фокусами картина для т=0 и т=2 существенно разная. В последнем случае на оси наблюдается ненулевая интенсивность. 2. Эксперименты
Рис. 6. Оптическая схема эксперимента
Эта схема представляет собой модификацию системы, предложенной в работе [37].
Плоская поляризация пучка лазера преобразуется в круговую поляризацию с помощью четвертьволновой пластинки и далее пучок расширяется в расширителе BE. Основным элементом оптической схемы является бинарный дифракционный оптический элемент DOE, который формирует вихревые пучки с заданными радиальными распределениями [47]. Бинаризация фазовой функции оптического элемента, формирующего вихревые пучки, выполнялась на основе метода частичного кодирования [48].
Пучок, прошедший DOE, фокусируются внутрь кристалла C с помощью объектива микроскопа L1. Далее увеличенные изображения распределений интенсивности внутри кристалла строятся объективом L2 на матрице ПЗС-камеры CCD. Для визуализации поляризационного состояния пучков служит поляризатор P во вращающейся оправе.
В оптической системе, собранной в соответствии с рис. 8, использовался He-Ne лазер и расширитель пучка в виде телескопической системы с фильтрующей диафрагмой в фокусе первого объектива. В качестве формирователей вихревых модовых пучков использовались бинарные амплитудные ДОЭ [47], изготовленные на лазерном фотопостроителе CLWS-200S [49]. Фокусирующий микрообъектив L1 имел фокус 40 мм и числовую апертуру 0,1. Расстояние от входного торца кристалла С до главной плоскости составляло 30 мм. Кристалл исландского шпата С размерами 8*8*15 мм был вырезан вдоль оптической оси. Для построения увеличенных изображений применялся объектив L2 с фокусом 50 мм.
2.1. Слабая фокусировка
Вначале исследовался случай объединённого фокуса. Для этого из оптической схемы убирался расширитель пучка BE. Диаметр пучка, попадающего в микрообъектив L1, в этом случае получается около 1 мм. На рис. 7 приведены соответствующие экспериментальные результаты. Приведены картины без поляризатора и с различными положениями поляризатора, из которых следует, что сформированный пучок имеет поляризацию, близкую к азимутальной, но с дополнительным углом поворота.
Рис. 7. Фокусировка Гауссова пучка (т=0) радиусом 1 мм без поляризатора (а) и с различными положениями поляризатора: 45° (б), 90° (в), 135° (г), 180° (д).
Эти результаты находятся в качественном соответствии с результатами моделирования, приведёнными в разделе 1.1 (рис. 2).
Такая поляризация является результатом линейной комбинации радиальной и азимутальной поляризаций и позволяет при острой фокусировке формировать световое пятно с плоской верхушкой за счёт достижения баланса между продольной и поперечными компонентами [50, 51].
2.2. Более острая фокусировка
Эксперименты проводились при наличии расширителя ВЕ. Сначала Гауссов пучок диаметром 4 мм из расширителя направлялся непосредственно во входной зрачок микрообъектива Ь1.. Вихревая фаза в этом случае отсутствовала.
В табл. 1 показаны экспериментальные и соответствующие им численные результаты более острой фокусировки Гауссова пучка с вихревой фазой. Вихревая фаза вносилась соответствующим бинарным ДОЭ с несущей [43, 47, 52], и в данной серии экспериментов использовался пучок с вихревой фазой первого порядка.
Анализ полученных распределений подтверждает формирование азимутальной и радиальной поляризаций в разных фокусах, а также формирование поляризации смешанного типа между двумя фокусами. Действительно, вокруг каждого из фокусов видны расфокусированные распределения, соответствующие другому фокусу, имеющему ортогональный тип поляризации.
Некоторые искажения, наблюдаемые в фокусах, обусловлены двумя причинами. Во-первых, при преломлении сходящегося сферического пучка на плоской поверхности входного торца кристалла форма волнового фронта искажается. Оценка показывает, что максимальное отклонение волнового фронта от исходной сферы может достигать 30Х на краях. Соответственно искажается и функция рассеяния точки, по которой, собственно говоря, и строится изображение в фокусе. Но влияние этого фактора на расфокусированные изображения значительно меньше, что и видно на распределениях интенсивности. Второй фактор связан с динамическим диапазоном ПЗС, который не позволяет качественно показать на одном кадре распределения интенсивности в фокусе и вокруг него. Перепад интенсивностей таков, что в центре наблюдается насыщение, и картина сильно искажается.
Таблица 1
Фокусировка вихревого Гауссова пучка (т = 1) радиусом
4 мм (приведены экспериментальные картины и соответствующие численные результаты)
Основной целью исследований было формирование цилиндрических векторных пучков высших порядков, так как это способствует уменьшению размера фокального пятна [27, 28]. Для формирования моды Лагерра-Гаусса (3,1) с вихрем использовался соответствующий ДОЭ [43, 47, 52].
Полученные результаты для одного и того же положения поляризатора приведены на рис. 8. Видно, что теперь система колец наблюдается и вокруг каждого из фокусов. Причём вокруг фокуса с радиальной поляризацией кольца поляризованы азимутально, а вокруг фокуса с азимутальной поляризацией - радиально.
Преломление сферического волнового фронта на поверхностях кристалла, искажающее функцию рассеяния точки в наибольшей степени сказывается на мелких деталях, которые присутствуют в центральной части рисунков 8а,в. В расфокусированных изображениях, где нет мелких деталей и не происходит эффекта насыщения на ПЗС-матрице, качество и степень поляризованно-сти пучка соответствуют результатам моделирования.
Рис. 8. Фокусировка вихревого пучка Лагерра-Гаусса (3,1) радиусом 4 мм с поляризатором 0°: в первом фокусе (а), между фокусами (б) и во втором фокусе (в)
Заключение
В данной работе численно и экспериментально рассмотрены два основных режима формирования цилиндрических векторных пучков в двулучепреломляющих кристаллах - с одним совмещённым фокусом и с двумя фокусами.
Показано, что в режиме слабой фокусировки обыкновенный и необыкновенный пучки смешиваются, формируемый пучок имеет смешанный «спиральный» тип поляризации.
В режиме более острой фокусировки формируются два выраженных фокуса. При этом если исходный пучок не имеет вихревой фазы, получаются спиральные типы поляризаций, при наличии вихревой фазы в одном из фокусов получается чистая радиальная, а в другом -чистая азимутальная поляризации.
Данные результаты обобщены на случай формирования радиально и азимутально поляризованных пучков мод высших порядков. В частности, в случае фокусировки пучка Гаусса-Лагерра (3,1).
Разработана и реализована оптическая система для формирования радиально и азимутально поляризованных Гауссовых мод различных порядков. Для формирования мод высших порядков с вихревой фазой использовались бинарные ДОЭ.
Проведённые натурные эксперименты с кристаллом исландского шпата экспериментально подтвердили результаты моделирования.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ 1307-00266 и 14-02-97033р_поволжье_а).
Список литературы:
1. Sato S. and Kozawa Y. Radially polarized annular beam generated through a second-harmonic-generation process // Opt Lett.- 2009. - Vol. 34(20). - P. 3166-3168
2. Ishaaya A.A., Vuong L.T., Grow T.D., and Gaeta A. L., Self-focusing dynamics of polarization vortices in Kerr media // Opt. Lett. -2008. - Vol. 33. - P.13-15
3. Chen W. and Zhan Q. Realization of an evanescent Bessel beam via surface plasmon interference excited by a radially polarized beam // Opt. Lett. - 2009. - Vol. 34. - P. 722-724.
4. Cicchitelli L., Hora H., and Postle R. Longitudinal components for laser beams in vacuum // Phys. Rev. A - 1990. - V. 41. - P. 3727-3732.
5. Salamin Y.I. Electron acceleration from rest in vacuum by an axicon Gaussian laser beam // Phys. Rev. A. - 2006. - V. 73. - P. 043402.
6. Karmakar A., Pukhov A. Collimated attosecond GeV electron bunches from ionization of high-Z material by radially polarized ultra-relativistic laser pulses // Laser Part. Beams - 2007. - V. 25 (3). - P 371-377.
7. Бочкарев С.Г., Попов К.И., Быченков В.Ю. Вакуумное ускорение электронов релятивистски-сильным остросфокусиро-ванным лазерным импульсом радиальной поляризации // Физика плазмы. - 2011. - Т. 37, № 7. - С. 648-660
8. Gabriel C., Aiello A., Zhong W., Euser T.G., Joly N.Y., Banzer P., Fortsch M., Elser D., Andersen U.L., Marquardt Ch., Russell P. St. J., and Leuchs G. Entangling different degrees of freedom by quadrature squeezing cylindrically polarized modes // Phys. Rev. Lett. - 2011. - Vol. 106. - P. 060502.
9. Barreiro J.T., Wei T.C., and Kwiat P.G. Remote preparation of single-photon "hybrid" entangled and vector-polarization states // Phys. Rev. Lett. - 2010. - Vol. 105. - P. 030407.
10. Zhao Y.Q., Edgar J.S., Jeffries G.D.M., McGloin D., and Chiu D.T. Transient optical spin-to-orbital angular momentum conversion in a strongly focused beam // Phys. Rev. Lett. - 2007. -Vol. 99. - P. 073901.
11. Wang X.L., Chen J., Li Y.N., Ding J.P., Guo C.S., and Wang H.T. Optical orbital angular momentum from the curl of polarization // Phys. Rev. Lett. - 2010. - Vol. 105. - P. 253602.
12. Biss D.P., Youngworth K.S., and Brown T.G. Dark field imaging with cylindrical-vector beams // Appl. Opt. - 2006. - Vol. 45. - P. 470 -479.
13. Lu F., Zheng W., and Huang Z. Coherent anti-Stokes Raman scattering microscopy using tightly focused radially polarized light // Opt. Lett. - 2009. - Vol. 34. - P. 1870-1872.
14. Torok P. and Munro P.R.T. The use of Gauss- Laguerre vector beams in STED microscopy // Opt. Express - 2004. - Vol. 12. - P. 3605 -3617.
15. Bokor N., Iketabi Y., Watanabe T., Daigoku K., Davidson N., and Fujii M. On polarization effects in fluorescence depletion microscopy // Opt. Commun. - 2007. - Vol. 272. - P. 263-268.
16. Khonina S.N. and Golub I. How low can STED go? Comparison of different write-erase beam combinations for stimulated emission depletion microscopy // J. Opt. Soc. Am. A. -2012. - Vol. 29, No. 10. - P. 2242-2246.
17. Niziev V.G., Nesterov A.V. Influence of beam polarization on laser cutting efficiency // J. Phys. D: Appl. Phys.- 1999. - Vol. 32.-P1455-1461.
18. Meier M., Romano V., and Feurer T. Material processing with pulsed radially and azimuthally polarized laser radiation // Appl. Phys. A. - 2007. - Vol. 86. - P. 329-334.
19. Kraus M., Ahmed M.A., Michalowski A., Voss A., Weber R., and Graf T. Microdrilling in steel using ultrashort pulsed laser beams with radial and azimuthal polarization // Optics Express. -2010. - Vol. 18, No. 21. - P. 22305.
20. Venkatakrishnan K. and Tan B. Generation of radially polarized beam for laser micromachining // Journal of Laser Micro/Nanoengineering. - 2012. - Vol. 7, No. 3. - P. 274-278
21. Hnatovsky C., Shvedov V.G., Shostka N., Rode A.V., and Krolikowski W. Polarization-dependent ablation of silicon using tightly focused femtosecond laser vortex pulses // Optics Letters. -2012. - Vol. 37, No. 2. - P. 226-228.
22. Dorn R., Quabis S., and Leuchs G. Sharper focus for a radially polarized light beam // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Vol. 91. - P. 233901.
23. Kozawa Y. and Sato S. Dark spot formation by vector beams // Opt. Lett. - 2008. - Vol. 33. - P. 2326 - 2329
Sato S. and Kozawa Y. Hollow vortex beams // J. Opt. Soc. Am. A. - 2009. - Vol. 26. - P. 142-146.
24. Zhan Q. Cylindrical vector beams: from mathematical concepts to applications // Advances in Optics and Photonics. -2009. - Vol. 1. - P. 1-57.
25. Khonina S.N. and Golub I. Enlightening darkness to diffraction limit and beyond: comparison and optimization of different polarizations for dark spot generation // J. Opt. Soc. Am. A. - 2012. - Vol. 29, No. 7. - P. 1470-1474.
26. Kozawa Y. and Sato S. Sharper focal spot formed by higherorder radially polarized laser beams // J. Opt. Soc. Am. A - 2007. -Vol. 24. - P. 1793-1798.
27. Khonina S.N., Alferov S.V., Karpeev S.V. Strengthening the longitudinal component of the sharply focused electric field by means of higher-order laser beams // Optics Letters. - 2013. - Vol. 38(17). - P. 3223-3226.
28. Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements / V.A. Soifer, V.V. Kotlyar, N.L. Kazanskiy, L.L. Doskolovich, S.I. Kharitonov, S.N. Khonina, V.S. Pavelyev, R.V. Skidanov, A.V. Volkov, D.L. Golovashkin, V.S. Solovyev, G.V. Usplenyev. - Ed. by V.A. Soifer. - New York: John Wiley & Sons, Inc., 2002. - 765 p.
29. Computer Design of Diffractive Optics / D.L. Golovashkin, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, V.S. Pavelyev, S.N. Khonina, R.V. Skidanov. - Ed. by V.A. Soifer.
- Cambridge: Woodhead Publishing Limited, 2012. - 896 p.
30. Oron R., Blit S., Davidson N. and Friesem A.A. The formation of laser beams with pure azimuthal or radial polarization / // Applied Physics Letters. - 2000. - V. 77, Issue 21. - P. 33223324.
31. Machavariani G., Lumer Y., Moshe I., Meir A., Jackel S., and Davidson N. Birefringence-induced bifocusing for selection of radially or azimuthally polarized laser modes, Applied Optics. -2007. - V. 46. - P. 3304-3310.
32. Yonezawa K., Kozawa Y., and Sato S. Compact laser with radial polarization using birefringent laser medium // Japanese Journal of Applied Physics. - 2007. - V. 46. - P. 5160-5163.
33. Tidwell S.C., Ford D.H. and Kimura W.D. Generating radially polarized beams interferometrically // Applied Optics. - 1990. - V. 29. - P. 2234-2239.
34. Passilly N., de Saint Denis R., Ait-Ameur K., Treussart F., Hierle R. and Roch J.-F. Simple interferometric technique for generation of a radially polarized light beam // J. Opt. Soc. Am. A. -2005. - V. 22(5). - P. 984-991.
35. Khonina S.N., Karpeev S.V. Grating-based optical scheme for the universal generation of inhomogeneously polarized laser beams // Applied Optics. - 2010. - V. 49(10). - P. 1734-1738.
36. Fadeyeva T., Shvedov V., Shostka N., Alexeyev C., and Volyar A. Natural shaping of the cylindrically polarized beams // Optics Letters. - 2010. - V. 35(22). - P. 3787-3789.
37. Loussert C. and Brasselet E. Efficient scalar and vectorial singular beam shaping using homogeneous anisotropic media // Optics Letters. - 2010. - V. 35. - P. 7-9.
38. Fadeyeva T.A., Shvedov V.G., Izdebskaya Y.V., Volyar A.V., Brasselet E., Neshev D.N., Desyatnikov A.S., Krolikowski W., and Kivshar Y.S. Spatially engineered polarization states and optical vortices in uniaxial crystals // Optics Express. - 2010. -V. 18(10). - P. 10848-10863.
39. Хонина С.Н., Волотовский С.Г., Харитонов С.И. Особенности непараксиального распространения гауссовых и бесселевых мод вдоль оси кристалла // Компьютерная оптика. - 2013.
- Т. 37, № 3. - С. 297-306
40. Tian B. and Pu J. Tight focusing of a double-ring-shaped, azimuthally polarized beam // Opt. Lett. 36, 2014-2016 (2011).
41. Khonina S.N., Karpeev S.V. Generating inhomogeneously polarized higher-order laser beams by use of DOEs beams // Journal of the Optical Society of America A. - 2011. - V. 28(10). -P. 2115-2123.
42. Khonina S.N., Karpeev S.V., Alferov S.V. Polarization converter for higher-order laser beams using a single binary diffractive optical element as beam splitter // Optics Letters. - 2012.
- V. 37(12). - P. 2385-2387.
43. Хонина С.Н., Волотовский С.Г., Харитонов С.И. Периодическое изменение интенсивности модовых лазерных пучков при распространении в анизотропных одноосных кристаллах // Известия Самарского научного центра РАН. - 2012. - Т.14, № 4.- С. 18-27.
44. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. - М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 752 с.
45. Хонина С.Н., Карпеев С.В., Алфёров С.В. Теоретическое и экспериментальное исследование поляризационных преобразований в одноосных кристаллах для получения цилиндрических векторных пучков высоких порядков // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 2. - С. 171-180.
46. Карпеев С.В., Хонина С.Н., Казанский Н.Л., Моисеев О.Ю. Формирование поляризационно-неоднородных лазерных пучков высокого порядка на основе пучков с круговой поляризацией // Компьютерная оптика. - 2011.- Т. 35, № 2. - С. 224230.
47. Khonina S.N., Balalayev S.A., Skidanov R.V., Kotlyar V.V., Paivanranta B., Turunen J. Encoded binary diffractive element to form hyper-geometric laser beams // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2009. - V. 11. - P. 065702 (7pp).
48. Kazanskiy N.L. Research & education center of diffractive optics // Proceedings of SPIE. - 2012. - V. 8410. - P. 84100R.
49. Zhan Q., Leger J.R. Focus shaping using cylindrical vector beams // Optics Express. - 2002. - V. 10, Issue 7. - P. 324-331.
50. Hao B., Leger J. Numerical aperture invariant focus shaping using spirally polarized beams // Optics Communications. - 2008. -V. 281. - P. 1924-1928.
51. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Lautanen J., Honkanen M., Turunen J. Generating a couple of rotating nondiffarcting beams using a binary-phase DOE // Optik.- 1999. -Vol. 110, No. 3. - P. 137-144.
