Singular perturbation analysis for walls and gene regulatory network with delay Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Козякин B.C., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254. № 5. С. 1061-1064.

Abstract: The problem of Andronov-Hopff bifurcation in the case when the nonlinear parts of the system are discontinuous at the bifurcation point or in some its neighborhood is considered.

Keywords: bifurcation point; the problem of Andronov-Hopff bifurcation; non-smooth nonlinearities.

Шарафутдинов Ильдар Вакильевич старший преподаватель Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой Россия, Башкортостан, Стерлитамак sh_ildar_79@mail.ru

УДК 517.929

SINGULAR PERTURBATION ANALYSIS FOR WALLS AND GENE REGULATORY

NETWORK WITH DELAY 1

© I. Shlykova, A. Ponossov

Keywords: gene regulation; delay equations; singular perturbation analysis.

Abstract: The main result of the work provides a mathematical justification of the simplified analysis of gene regulatory networks under the present of delays. The emphases are put on sliding modes along one or more thresholds, which requires singular perturbation analysis.

We study the delay system

Xi = Fi(Zi,Zm) - Gi(Zi,Zm)xi

Zk = 'E(Vi(k),0k ,qk) (1)

yi(t) = (^ixi)(t), t ^ 0, i = 1,...,n, k = 1,...,m.

This system describes a gene regulatory network with autoregulation [1], [2], where changes in one or more genes happen slower than in the others, which causes delay effects in some of the variables. The functions Fi, Gi are affine in each Zk, Fi(Zi, ...,Zm) ^ 0, Gi(Zi, ...,Zm) > 0 for 0 ^ Zk ^ 1 (k = 1,..., m). Fi and Gi stand for the production rate and the relative degradation rate of the product of gene i, respectively, and xi denotes the gene product concentration. The input variables yi endow Equations 1 with feedbacks which, in general, are described by nonlinear Volterra ("delay") operators

1The present study was partially supported by the National Programme for Research for Functional Genomics in Norway (FUGE) in the Research Council of Norway and by the Norwegian Council of Universities’ Committee for Development Research and Education (NUFU), grant no. NUFUSM-2008/10229.

Ildar Sharafutdinov senior teacher

Sterlitamaksk State Pedagogical Academy named after Zainab Biisheva Russia, Bashkortostan, Sterlitamak sh_ildar_79@mail.ru

^ depending on the gene concentration xi(t). The delay effects in the model arise from the time required to complete transcription, translation and diffusion to the place of action of a protein. As in [1] we assume ^ to be integral operators of the form

(^ixi)(t) = Cxi(t) + ( Ki(t — s)xi(s)ds, t ^ 0, i = 1, ...,n,

J —(X

____ • uv—i

where Ki(u) = YZ=i C -vKi(u), lKi(u) = -(■--------— e—aiu, (v = 0, ...,p, i = 1, ...,n). The coefficients

vci are real nonnegative numbers satisfying YlP=o C = 1 and ai > 0.

Zk

Zk

( 0 if Vk < 0

Zk = v(m, 0k,qk) = i Vk/qk if Vk ^ 0

I vk/qk + ol/qk

for qk > 0. If qk = 0 then Zk becomes the unit step function.

To study (1) we apply the modification of linear chain trick method described in [1]. It helps us to remove the delay from the system and obtain the following equivalent system of ordinary differential equations

xi = Fi(Zi,..., Zm) — Gi(Zi,..., Zm)xi

i)i = ai ' vi + ai ' vi + aixi( ci + C) + Ci(Fi(Zi, ..., Zm) Gi(Zi, ..., Zm)xi)

2Vi = - ai -2 Vi + ai -3 Vi + ai xi -2Ci

(2)

pVi = —ai ■pVi + aixi ■pCi

Zk = ^(Vi(k),6k,qk), Vi = Vi, i = 1,... ,n, k = 1,...,m.

Vi ( i = 1 , ... , n)

its threshold values 6k, while the others stay away from their thresholds. Renumbering we can always assume that the singular variable is Vk. In the limit, i.e. as q = (qk,..., qm) ^ 0, we obtain that Vk = 6k and Zk (Vk) = 1 or 0 for k ^ 2.

Assume that (2) is equipped with the initial conditions x(t0,q) = x°(q), v(t0,q) = v°(q) and consider the wall W = {(x,v) : {vi = 6k}, Zk (Vk) = Bk, k ^ 2}, where x = (xk,..., xn), v = = (vk,...,vn), Bk is a Boolean variable associating to each Zk by Bk = 0 if Vk < 6k and Bk = 1 if Vk > 6k

We want to find the conditions when the solutions of the smooth problem (2) uniformly converge to the solution of the limit system for q = 0. To do this we use the singular perturbation analysis and V1 Z1 W

qiZi = v_i(v——1~^)(—ai^ l(Zl, ^, qi) + ai -2vi + aixi(°ci + b\) + (Ci(Fi(Zl, ZR) —

Gi(Zi, Zr)xi))

xi = Fi(Zi,ZR) — Gi(Zi,ZR )xi, (3)

lVj = —aj ■i vj + aj + aj xj(% + Cj) + Cj (Fj (ZU Zr) — Gj (Zi , ZR )xj) ( )

2vi = —ai ■2vi + ai -3vi + aixi ■2Ci

pv i = —ai ■p vi + aixi ■pCi, i = 1,...,n, j = 2,..., n.

Consider Equation (3) with the initial conditions

x(t0,q)= x°(q), Zi(t0,qi) = Z0(qi), 1vi(t0,q) = 6i, v(t0,q) = (vir,v2, ...,vn) = v0(q), (4)

where v1r = (2vi,3vi, ...,pvi)

Let q go to 0 and consider the corresponding reduced system

Zl(1Q (—aidi + ai ■2vi + aixi(°ci + hi) + %i(Fi(Zi,Br) —

Gi (Zi,Br)xi)) =0

Xi = Fi(Zi,BR) — Gi(Zi,BR)Xi,

%vj = —aj Лvj + aj \ + ajxj(hj + hj) + %(Fj(zi, BR) — Gj(zb BR)xj) ( )

2Vi = —ai ■2Vi + ai -3Vi + aixi ■2hi

pVi = —ai ■p Vi + aixi ■phi, i = l,...,n, j = 2,

where Br = (B2,Bm) with the initial conditions x(t0, 0) = x0(0), v(t0, 0) = v0(0).

Theorem 1. Suppose that W is an attractive wall (or an attractive part of the wall) and the limit initial point belongs to W, i.e. (x0(q), v0(q)) ^ (x0(0), v0(0)) £ W as q 0. Denote by Zi =

= Zi(xi,2vi), 0 < Zi < l a unique solution of the first equation in (5).

Then there exists T0 > t0 such that

lim x(t,q) = x(t, 0), lim v(t,q) = v(t, 0), t £ [t0,T0], (6)

g^0 g^0

the convergence is uniform in t £ [t0,T0], where x(t, 0^ v(t, 0) satisfy the system xi = Fi(Zi, Br) — Gi(Zi, BR)xi,

vj = —aj лvj + aj -2vj + ajxj(hj + hj) + %(Fj(zi, Br) — Gj(zi, BR)xj)

2Vi = —ai ■2Vi + ai -3Vi + aixi ■2%i (7)

pVi = —ai ■p Vi + aixi ■phi, i = 1,...,n, j = 2,n.

with the initial conditions (4).

Moreover, we have lim Zi(t,qi) = Zi, a ^ t ^ T0, the convergence is uniform on any [a,T0], qi—^0

a > t0 ■

Theorem 1 gives us opportunity to extend the solution along an attractive part of a wall, moreover this extension is unique and satisfies (7). Also, according to the formulas (6), we get the convergence

q - 0

REFERENCES

1. Shlykova I., Ponosov A., Shindiapin A., and Nepomnyashchikh Yu. A general framework for stability analysis of

gene regulatory networks with delay, Electron // J. Diff. Eqns. 2008. V. 2008. No. 104. P. 1-36.

2. Plahte E. and Kj0glum S. Analysis and generic properties of gene regulatory networks with graded response

functions j j Physica D. 2005 V. 201, No”. 1-2. P. 150-176.

Аннотация: В данной работе дано математическое обоснование замещения общей модели генных сетей с запаздыванием более простой задачей, которая не содержит запаздывания. Доказана правомерность применения анализа сингулярных возмущений для полученной проблемы, показано, что этот метод позволяет значительно упростить анализ поведения траекторий вдоль сингулярных областей.

Ключевые слова: регулировка генных сетей; уравнения с запаздыванием; анализ методов сингулярных возмущений.

Irina Shlykova

post-graduate student

Norwegian University of Life Sciences

Norway, Aas

e-mail: irinsh@umb.no

Шлыкова Ирина Викторовна аспирант

Норвежский университет естественных наук Норвегия, Ос e-mail: irinsh@umb.no

Arcady Ponossov

doctor of phys.-math. sciences, professor Norwegian University of Life Sciences Norway, Aas e-mail: arkadi@umb.no

Поносов Аркадий Владимирович д. ф.-м. н., профессор Норвежский университет естественных наук Норвегия, Ос e-mail: arkadi@umb.no

УДК 512.8

КЛАССЫ ОКРЕСТНОСНЫХ СИСТЕМ, ПОЛУЧЕННЫХ НА ОСНОВЕ СЕТЕЙ

ПЕТРИ

© А. М. Шмырин, И. А. Седых

Ключевые слова: идентификация; сети Петри; окрестностные системы.

Аннотация: Введены классы динамических четких и нечетких по значениям и окрестности окрест-ностных моделей сетей Петри, функционирующих как в четком, так и в нечетком времени.

В работе получены модели окрестностных систем на основе наиболее распространенных классов сетей Петри, которые наследуют некоторые свойства сетей Петри. В связи с этим окрестност-ные модели, полученные на основе сетей Петри, являются недетерминированными динамическими окреп нос! iii4.mii системами [1-4].

Следующей особенностью окрестностных систем, полученных на основе сетей Петри, является их слоевая структура, причем каждый слой представляет собой некоторую окрестность.

Для увеличения возможностей сетей Петри, являющихся сугубо стохастическими, предложена методика детерминизации соответствующих окрестностных систем путем ввода меры недетерминированности. Мера недетерминированности позволяет регулировать стохастичность окрест-ностной системы за счет ограничений на количество активных слоев. Изменяя меру недетерминированности, можно менять меру стохастичности окрестностной системы. Это позволяет приблизить моделируемые процессы к реальным, которые являются в большей степени детерминированными [1].

Кроме того, в работе введены окрестностные системы с приоритетами, в которых всем слоям приписаны приоритеты (или веса), позволяющие регулировать конфликтные ситуации, возникающие в результате функционирования окрестностной системы, полученной на основе сетей Петри.

В окрестностных системах, полученных на основе классических сетей Петри, время соответствует номеру такта функционирования системы. Для моделирования процессов в реальном времени в работе рассматриваются также окрестностные системы, полученные на основе временных сетей Петри, функционирующие как в четком, так и нечетком времени.