Синергетический подход к проблеме анализа RR-интервального ряда Текст научной статьи по специальности «Математика»

дования прямо на месте. Какие-либо сложные методики анализа кардиограммы можно провести и апостериорно, обрабатывая записанные данные какой-либо программой (напр:. Монитор Холтера).

В настоящее время ведутся работы по совершенствованию данной системы в направлении регистрации электроэнцефаллограммы мозга, а также средства аудиовизуальной биологической обратной связи (БОС).

С.А.Синютин

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ АНАЛИЗА ЯЯ-ИНТЕРВАЛЬНОГО РЯДА

Первоначально понимание сложных систем (например таких, как биологические) было связано с представлением о том, что их невозможно описать при помощи математических моделей. Более того, долгое время жизнь рассматривалась как антипод неорганической природы. Сегодня, однако, происходит все более активное проникновение физических методов и подходов в биологию. Оказывается также, что основные формы кооперативного поведения, свойственные живым организмам, имеют свои аналоги среди неорганических систем. В работе X. Майнхардта [1] продемонстрированы механизмы эволюции и самоструктуриро-вания на примере роста моллюсков и улиток. Важнейшей моделью при этом является модель активатор - ингибитор двух антагонистических компонентов эволюции. Активатор приводит к ускорению течения процессов, часто с нелинейной положительной обратной связью, а ингибитор - к замедлению быстрого роста. Сложная игра этих двух противоположно направленных факторов, которую Майнхардт сравнивает с игрой в"кошки-мышки", имеет место в каждой локальной области растущих формообразований и приводит к удивительным узорам живого.

Наиболее очевидная особенность биологических систем заключается в том, что они способны к самоорганизации, т. е. спонтанному образованию и развитию сложных упорядоченных структур. Это не противоречит законам термодинамики, поскольку все живые биологические системы не являются замкнутыми и обмениваются энергией с окружающей средой. Энтропия, служащая мерой беспорядка, может уменьшаться в открытых системах с течением времени. Многие рассматривали в качестве примеров различные аспекты функционирования человеческого организма. Для нормального функционирования практически всех систем жизнедеятельности человека характерен некий промежуточный режим между хаосом и порядком, режим детерминированного хаоса. Дыхание человека, биение его сердца, кроветворение, ритмы сна и бодрствования, гормональные ритмы, психическое равновесие- для всех этих процессов свойственна определенная мера хаоса, необходимая для поддержания здоровья человека. К примеру, аритмия сердца опасна, но не менее опасны чрезмерно упорядоченные ритмы биения сердца, которые также свидетельствуют о его болезни. Слишком регулярно бьющееся сердце не способно гибко реагировать на изменяющиеся внешние условия, его адаптационные способности снижаются. Ученые приходят сегодня к заключению, что здоровье - это тонкий баланс между хаосом и порядком. Применяя теорию динамических систем к медицине, У. ан дер Хайден предложил и активно развивает понятие "динамическая болезнь". Человеческий организм является самовоспроиз-водящейся, самоподдерживающейся системой. Теории хаоса и нелинейной дина-

мики играют сегодня практическую роль в распознавании и лечении болезней, в частности, в предупреждении острых приступов болезней. Неслучайно на конференции присутствовали также врачи- психотерапевты. Вопрос заключается в том, сколько хаоса нужно человеку, чтобы оставаться здоровым; сколько хаоса может вынести человеческий организм, чтобы не заболеть; когда хаотические колебания нормальны, когда опасны.

Задача нелинейной динамики и синергетики состоит в нахождении и подробном исследовании тех базовых математических моделей, которые исходят из наиболее типичных предположений о свойствах отдельных элементов, составляющих систему, и законах взаимодействия между ними. Поскольку главным отличительным свойством изучаемых сред являются протекающие в них процессы самоорганизации, синергетику можно также рассматривать как общую теорию самоорганизации в средах различной природы. Термин «синергетика» (от греч. synergeia — совместное действие, сотрудничество) был предложен в начале 70-х годов немецким физиком Г. Хакеном.

В работе [2] Г. Хакена рассматривался вопрос об истории развития синергетики. В 1997 г. исполнилось 25 лет со времени проведения первого Международного симпозиума по синергетике. Этот симпозиум состоялся в 1972г. в замке Эльмау (Бавария) [3].

Однако начало синергетики и введение самого термина "синергетика" датируется раньше. Это начало было положено работой Г. Хакена и Р. Грехема по изучению излучения лазеров в 1968-70гг. Была установлена аналогия между генерацией когерентного излучения лазера вблизи порога возбуждения и фазовым переходом второго рода, и возникло понимание синергетических, кооперативных эффектов в процессах спонтанного формирования макроскопических структур, т.е. самоорганизации.

Критерием границы между регулярной, но сложно организованной структурой и хаосом может служить устойчивость возникающих в процессе течения образований по отношению к малым возмущениям. Если такая устойчивость отсутствует, детерминированное описание теряет смысл, и необходимо использовать статистические методы.

В течение долгого времени представление о хаотических колебаниях ассоциировалось с допущением, что в системе необходимо возбуждение по крайней мере чрезвычайно большого числа степеней свободы. Однако, как показали многочисленные исследования, статистические законы, а вместе с ними и статистическое описание не ограничены только очень сложными системами с большим числом степеней свободы. Дело здесь не в сложности исследуемой системы и не во внешних шумах, а в появлении при некоторых значениях параметров экспоненциальной неустойчивости движения.

К настоящему времени разработаны методы классификации различных типов хаоса, найдены закономерности его развития, созданы методы, позволяющие отличить, например в эксперименте, хаос от белого шума и т. п. Более того, было обнаружено и строго обосновано, что сложное пространственно-временное поведение распределенных сред с громадным числом степеней свободы может быть адекватно описано нелинейными системами небольшой размерности.

Если малые возмущения начального условия с течением времени не нарастают (т. е. имеет место устойчивость), то поведение такой системы является предсказуемым. В противном случае процесс может быть описан только вероятностным образом. По существу именно эти соображения легли в основу современного представления о динамическом хаосе.

Как известно, математическим образом установившихся периодических колебаний является предельный цикл, а квазипериодических — инвариантный тор. И устойчивые циклы, и инвариантные торы являются аттракторами, поскольку в прямом смысле они притягивает все близкие траектории. Физически это означает, что при отклонении от таких колебаний (вследствие каких-либо воздействий) система спустя некоторое время вновь возвращается к ним, т. е. такое движение как бы притягивает. Если диссипативная система проявляет хаотические свойства, то математически это соответствует наличию в ее фазовом пространстве странного (иногда говорят хаотического) аттрактора. Данное понятие впервые было введено в известной работе Д. Рюэля и Ф. Такенса «О природе турбулентности» в 1971 г. и означало притягивающее множество, отличное от конечного объединения гладких подмногообразий.

В последнее время стало интенсивно развиваться новое направление в нелинейной динамике и синергетике, посвященное проблемам предсказуемости поведения хаотических систем, управления их динамикой и возможности подавления хаоса. Исследования показали, что оно имеет непосредственное отношение ко многим областям естественных наук, поскольку на этом пути удается найти подходы к таким важным и насущным приложениям, как обработка информации, скрытая связь, проблема самоорганизации, стабилизация неупорядоченных сокращений сердечной мышцы и дефибрилляция, искусственное создание когерентных структур в распределенных системах, обладающих пространственновременным хаосом, инженерия динамических систем и других.

Сердечная мышца (как и любая другая мышечная ткань) относится к так называемым возбудимым системам. Распространение волн в таких системах осуществляется посредством источника энергии, распределенного в ней. При подаче импульса в такую систему от места его приложения начинает распространяться возмущение — волна возбуждения. поступивший импульс, не затухая последовательно передается от элемента к элементу. Обычно после возбуждения каждый элемент не способен сразу же возбудиться вновь. Как правило, существует определенное «время релаксации», называемое периодом рефрактерности, во время которого элемент как бы восстанавливается. Это приводит, с одной стороны, к упорядоченному пространственному распространению волны возбуждения, а с другой стороны, при частой подаче импульсов (или при большом периоде реф-рактерности) часть из них окажется блокированной.

При описании ряда возбудимых сред часто прибегают к аппроксимации исходной системы совокупностью отдельных возбудимых элементов, локально взаимодействующих друг с другом. Каждый такой элемент способен находиться в одном из трех состояний — покоя, возбуждения и рефрактерности. Из состояния покоя элемент может перейти в возбужденное состояние, в котором будет находиться определенное время. Затем он переходит в состояние рефрактерности и только потом вновь в состояние покоя. Таким образом, переход в возбужденное состояние оказывается возможным лишь из состояния покоя. Хотя такая модель является определенным приближением, она очень хорошо воспроизводит основные явления в возбудимых средах, в том числе и в тканях сердца.

Предположим, что имеется однородная возбудимая среда, в которой все элементы обладают идентичными свойствами. Тогда частота возбуждения всех таких элементов будет одинаковой. Если некоторую область такой среды начать периодически возмущать, то в этой области возникнет источник концентрически расходящихся волн возбуждения. Такой источник называют ведущим центром или пейсмекером. Если в возбудимой среде есть два или несколько пейсмекеров,

316

то пейсмекер меньшей частоты генерации с течением времени подавляется пейс-мекером большей частоты. Иными словами, имеет место конкуренция между пейсмекерами. В идеальном случае через определенное время во всей среде останется только один пейсмекер. Кроме пейсмекеров, в возбудимых средах возможно появление иных источников возбуждения — спиральных волн, которые представляют собой «вращающиеся» спирали. Все спиральные волны имеют одинаковую частоту. Поэтому они всегда сосуществуют между собой, но гасят ведущий центр, являющийся более медленным автоволновым источником. Кроме того, спиральные волны представляют собой главный тип элементарных самоподдер-живающихся структур в однородных возбудимых средах.

Появление нескольких источников возбуждения в сердечной мышце в настоящее время связывается с опасными нарушениями нормальной работы сердца — аритмией. При большом числе аномальных источников наступает фибрилляция.

Допустим, что в некоторой среде имеются только основной и дополнительные ведущие центры. Тогда даже такая простая ситуация в зависимости от частоты поступления импульсов и времени рефрактерности может привести к очень сложному поведению среды. В частности, может наблюдаться квазипериодиче-ская и хаотическая динамика. Таким образом, возникновение только одного паразитного пейсмекера для возбудимой системы способно привести ее к спонтанному поведению.

Много более опасное нарушение сердечного ритма — фибрилляция — обусловлено появлением множества небольших волн в сердечной ткани. Этот процесс может развиваться вследствие нескольких причин. Одна из них заключается в появлении периодической стимуляции участков миокарда. В этом случае фибрилляции возникают после прекращения стимуляции в среде с переменным рефрактерным периодом. Если же по тем или иным причинам в сердце поступил импульс в критической фазе (во время рефрактерного периода желудочков), то он сгенерирует волну, пересекающую зону рефрактерности. Тогда концы волны возбуждения могут закручиваться, давая начало спиральным волнам, вращающимся в противоположных направлениях.

Современные методы выведения сердца из состояния фибрилляции являются очень жесткими. Развитие нелинейной динамики и синергетики позволило понять, что такое силовое воздействие вовсе необязательно. Часто вполне достаточно слабых электрических воздействий непосредственно на сердечную мышцу. Если в среде имеются спиральные волны с противоположными направлениями вращения, то, подбирая фазу и частоту внешнего воздействия, можно добиться движения центров двух волн навстречу друг другу и их аннигиляции. Теперь слово за тщательными экспериментальными исследованиями.

Известно, что показатели вариабельности сердечного ритма являются информативными для оценки напряжения сердечного ритма при стрессе, инфаркте миокарда и других патологических состояниях [5]. Обычно при оценке вариабельности или сложности сердечного ритма применяется параметрическая статистика и спектральный анализ. Вместе с тем установлено, что до 85% в спектре мощности кардиоинтервалограммы составляют непериодические хаотические компоненты, имеющие фрактальную природу [6]. Поэтому в последнее время интенсивно исследуются характеристики фрактальности сердечного ритма как возможного индикатора поведения независимых нелинейных осцилляторов, принимающих участие в формировании сердечного ритма [7, 8]. Этот компонент может быть охарактеризован фрактальной размерностью временного ряда FrD, которая,

317

в определенном смысле, отражает сложность представленной серии данных. Предполагается, что FrD сердечного ритма в большей степени связана с влиянием парасимпатической и, в меньшей степени, симпатической части вегетативной нервной системы .

Изменение степени детерминированного хаоса в структуре ритма сердца связывается с повышенным риском внезапной сердечной смерти. Уменьшение FrD наблюдалось во время критических состояний у больных с тяжелой сердечной недостаточностью и после трансплантации сердца [8], причем снижение сложности процесса изменения сердечного ритма коррелировало с нарастанием тяжести процесса. У больных сахарным диабетом отмечено достоверное снижение FrD по сравнению со здоровыми людьми [7] и положительная корреляция снижения FrD и степени вегетативной дисфункции.

Исходя из сказанного, целью данного исследования является изучение информативности фрактальной размерности временного ряда как показателя сложности процессов формирования сердечного ритма.

Для определения фрактальной размерности временного ряда интервалов между двумя сердечными сокращениями (кардиоинтервалограммы) использовался дисперсионный метод, предложенный в работе Bassingthwaihgte et al., который состоит в следующем.

Используется временной ряд из N=2M отсчетов. На первом шаге из N=2M отсчетов вычисляется коэффициент вариации CV(1),% с использованием всех N значений временного ряда. Затем каждые 2 соседних отсчета усредняются и для вновь полученного временного ряда длиной N/2 вычисляется CV(2). На следующем шаге усредняются 2 отсчета из полученного на предыдущем шаге ряда длиной N/2 и вычисляется CV(3) и т. д. Данный процесс усреднения двух соседних отсчетов в пределах зерна укрупнения временной шкалы и расчета CV(i) для вновь модифицированного ряда производится M-1 раз до достижения ряда, состоящего только из 2 отсчетов, каждый из которых - результат усреднения первой или второй половины временного ряда. Затем строится в логарифмических шкалах график зависимости CV(i) от размера зерна укрупнения временной шкалы. Вычисляется тангенс угла наклона A(tgA) прямой регрессии для отмеченных точек оси X. Фрактальная размерность временного ряда FrD=1-tgA.

На первом этапе алгоритм был опробован на модельных данных в виде последовательности значений функции времени f(t), представляющих собой композицию детерминированных (гармонических и постоянных) составляющих и сигнала датчика псевдослучайных чисел. Графики серии I имеют разные функциональные зависимости, но одинаковые средние значения и коэффициенты вариации. Графики серии II отражают зависимость коэффициентов вариации CV(t),% от размера t зерна укрупнения временной шкалы, представленных в логарифмическом виде.

На втором этапе исследования были проанализированы кардиоинтервало-граммы 35 клинически здоровых лиц (16 мужчин, 19 женщин). Запись данных производилась в течение 10 мин., в положении обследуемых сидя, не менее чем через 2 часа после еды, в интервале от 10 до 13 часов дня. Регистрировалась ЭКГ во II стандартном отведении с частотой дискретизации 200 Г ц. Цифровые данные передавались в персональный компьютер IBM, где записывались на жесткий диск и обрабатывались в режиме off-line с помощью разработанного пакета программ на языке Delphi. Из аналогового ЭКГ-сигнала выделялся импульсный сигнал сердечного ритма, соответствующий пороговой точке на нисходящем колене зубца R.. Переход к равномерной временной шкале кардиоинтервалограммы произво-

318

дили с помощью линейного взвешивающего алгоритма. Для дальнейшей обработки использовался массив данных за 512 секунд. Такое число отсчетов достаточно хорошо отражает фрактальную размерность сердечного ритма [6].

Распределение FrD сердечного ритма в группе обследованных имеет несимметричный характер в интервале FrD от 1,08 до 1,35. Мода распределения находится в интервале 1,10-1,15, средняя величина - 1,170,06 (Msd).

Сравнительный анализ данных серии I показывает, что традиционно используемый для оценки характеристик вариации сердечного ритма коэффициент вариации не позволяет с достаточной достоверностью разделить сигналы с различной динамической структурой.

Это можно сделать на основе вычисления фрактальной размерности, которая с практически достаточной точностью обеспечивает такое разделение. Кроме того, сопоставление численных значений FrD показывает, что реальный сигнал ритма сердца, полученный с биообъекта, занимает хорошо выраженное промежуточное положение между детерминированным и чисто стохастическим сигналом, что, по-видимому, свидетельствует об адекватности модели детерминированного хаоса применительно к описанию процессов формирования сердечного ритма у человека. Нахождение FrD сердечного ритма здоровых людей в интервале 1,0-1,5 свидетельствует о наличии в системе его регуляции памяти, с помощью которой имеющаяся в течение определенного предыдущего периода времени тенденция поддерживается в течение некоторого последующего периода времени (свойство персистентности). При патологических состояниях усиление этого свойства, вероятно, связано с повышением жесткости управления сердечным ритмом и проявляется снижением фрактальной размерности кардиоинтервалограммы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mainzer К. Thinking in Complexity. The Complex Dynamicsof Matter, Mind, and Mankind. 3rd rev, andenlarget ed. Berlin, Springer, 1997.

2. MainhardtН. Wie Schnecken sich in Schale werfen.Berlin, Springer, 1997. Издание на немецком языке вышло после быстро раскупленного английского варианта этой книги.

3. Synergetics. Proceedings of a Symposium on Synergetics, Elmau 1972./ Ed. by H.Haken. Stuttgart,B.G.Teubner,1973.

4. Haken H., Graham R. Synergelik - Die Lehre vom Zusammenwirken. I I Umschau. 1971, vol. 6, S. 191.

5. Баевский Р.М., Кириллов О.И., Клецкин С.З. Математический анализ изменений сердечного ритма при стрессе. М., 1984. С. 62-76.

6. Yamamoto Y., Hughson R.L. On the fractal nature of heart rate variability in humans: effects of data length and beta-adrenergic blockade. // Am-J-Physiol.- 1994 Jan -266(1 Pt 2).- R40-9.

7. Yeragani V.K., Srinivasan K., Vempati S., Pohl R., Balon R. Fractal dimension of heart rate time series: an effective measure of autonomic function // J-Appl-Physiol.-1993 Dec - 75(6).- P. 2429-38.

8. Signorini M.G., Cerutti S., Guzzetti S., Parola R. Non-linear dynamics of cardiovascular variability signals // Methods-Inf-Med.- 1994 Mar - 33(1).- Р. 81-84.