Симметризованные комбинации s-, p-, d-, f -спиноров для исследования электронной структуры физических систем Текст научной статьи по специальности «Химические науки»

УДК 530.145+539.2.01+541.10+548.12

симметризованные комбинации

8-, р-, а-, ^спиноров для исследования

электронной структуры физических систем

В. П. Смирнов

Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, Россия

smirnov36@mail.ru

Для изучения электронного строения молекул, кристаллов и наноструктур в локализованном базисе (линейные комбинации атомо-подобных орбиталей - ЛКАО метод) обычно используют атомо-подобные функции в-, р- и ¿-типа. Для повышения точности расчетов, а так же для расчета соединений с тяжелыми атомами, необходимо расширять базис путем включения в него атомо-подобных функций /-типа. При учете спин-орбитального взаимодействия базис должен состоять из произведений координатных функций на спиновые (из спиноров). В этой работе построены и приводятся в виде компактных таблиц симметризованные комбинации функций е-, р-, ¿-, и /-типа (со спиновыми множителями и без них) при симметризации по неприводимым представлениям обычных и двойных точечных групп с осями симметрии не выше шестого порядка.

Ключевые слова: точечные группы, двузначные представления точечных групп, симметризованный базис. 1. Введение

Одним из часто применяемых методов расчета электронной структуры молекул, кристаллов и наносистем является так называемый метод линейных комбинаций атомных орбиталей (ЛКАО метод). Это - вариационный метод, использующий в качестве базиса координатные функции атомного типа. При учете спин-орбитального взаимодействия координатные функции умножаются на спиноры. Для сокращения вычислительной работы базис симметризуют, учитывая частично или в полной мере симметрию исследуемой системы. До недавнего времени в базис включались как правило атомоподобные функции 5-, р-, и ^-типа. При расчете электронной структуры физических систем, содержащих атомы тяжелых элементов, необзодимо включение в базис атомоподобных функций f-типа. Расширение базиса функциями такого типа повышает точность расчета и для систем, не содержащих атомы тяжелых элементов. А неуклонно возрастающая производительность вычислительной техники делает возможным такое расширение базиса в ЛКАО вычислениях.

В этой работе приводятся линейные комбинации координатных функций 8-, р-, ¿-, и f -типа и ассоциированных с ними спиноров (8-, р-, ¿-, и f -спиноров), преобразующиеся по неприводимым представлениям (НП) точечных групп С3, Сп, Спь, СпН, Оп, Опа, ИпН (п ^ 6), Т, Тн, Та, О, Он, У, Ун и их двойным аналогам (по двузначным НП перечисленных групп). Координатные базисные функций НП (БФНП) р- и ^-типа часто приводят при таблицах характеров НП точечных групп (см., например, [5,8-13] (только для р-функций) и во многих других монографиях аналогичного содержания). Автору не известны публикации

по симметризованным координатным функциям /-типа и 8-, р-, й-, и /-спинорам (базисные спиноры НП - БСНП).

Что же касается обозначений НП точечных групп (однозначных и двузначных), то они одинаковы в подавляющем числе публикаций. Эта общепринятая система обозначений используется и в предлагаемой работе.

В разделе 2 обсуждается связь полиномов переменных х, у, г со сферическими функциями. В разделе 3 приведены таблицы координатных БФНП /- и (для полноты картины) 8-, р-, й-типа для всех перечисленных выше точечных групп. Раздел 4 содержит информацию по симметризованным линейным комбинациям 8-, р-, й-, и /-спиноров для некубических точечных групп в виде компактных таблиц. Аналогичная информация представлена в разделе 5 для кубических групп и группы икосаэдра У.

Из экономии места не включены в таблицы сведения, относящиеся к группам, имеющим структуру прямых произведений Ох1 и Ох С,, так как обозначения их НП такие же как в группах О, но с добавлением индексов д и и для групп Ох1 или штрихов ' и " для групп ОхС5, а четность полинома относительно инверсиии и отражения в горизонтальной плоскости легко определяется. Это группы:

S2 = Ci X I, s6 = -- Сз X I, C2h = C2 X I, C4h = C4 X I, C6h = C6 XI

= D2 X I, = D4 X I, D6h = D6 X I, D3d = D3 X I, D5d = D5 XI

Th = T X I, 0h- = О X I, Yh = = Y X I;

C3h - = C3 X a, C5h = C5 X Cs, D3h = D3 x a, D5h = D5 X Cs.

Эти же соотношения остаются верными и для соответствующих двойных групп, за исключением того, что двойные группы и не являются прямыми произведениями групп Б3 и Б5 на группу С8.

В таблицах полиномы переменных х, у, г заданы в координатных системах, ось Z которых направлена по главной оси симметрии группы С или С (если она имеется), или по одной из осей второго (группа Т), четвертого (группы Т^ и О) или пятого (группа У) порядка.

2. Связь полиномов со сферическими функциями

Как решения однородного дифференциального уравнения (уравнения Лапласа) нормированные сферические функции определяются с точностью до фазового множителя. Определим нормированные так называемые присоединеные функции Лежандра Р/™(£) следующим образом

~ 1 Ж й1+т 1

рга) = мгРГИ) = М™^ (1 - 2 [е - \)1, о ^ т ^ I,

где М™ — нормировочный множитель:

Nm = ;(2/ + i)(/ -и)'

2(/ + |т|)!

К сожалению, в научной и учебной литературе в различных источниках выбор упомянутого фазового множителя сделан по-разному, как и расположение индексов I и т, характеризующих саму сферическую функцию Y (в, ф). Приведем несколько примеров

1- Yi^m (в, ф) = р\т][ (cos в) — ехр (гтф), —I ^ т ^ /;

\j2-K

по Л. Шиффу [1] и Л. И. Блохинцеву [2]. В этой работе использован именно этот выбор фазового множителя в определении сферических функций.

(_1)mpm (cos 0) о ^ т ^ l;

2- Ym (0,ф)= ^ ! ^2к

P¡m (cos 0) .— ехр(гтф), _l ^ т ^ _1; у2к

по А. Месси [3];

о лгт N J Р]П (cos 0) • cosтф, 0 ^ т ^ l;

3. Ylm (0,р)= \ Лт> _ '

I р '(cos 0) • sin |тф, _l ^ т ^ _1;

по И.Н. Бронштейну и К.А Семендяеву [4];

(_1)m-1 рш (cos 0) —Lexp(rnp), 0 ^ т ^ l;

4- YT (0,ф)= < i V2*

ilP¡n (cos0) .— ехр(гтф), _l ^ т ^ _1; у2к

по Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицу [5];

(_1)шРш (cos 0) exp (гтф), 0 ^ т ^ l;

5. YS> (e,v)= { р . l 1 ^

Pl 1 (cos 0) _ехр(гтр), _l ^ т ^ _1;

у2к

по Дж. Эллиоту и П. Доберу [6];

6. (0,ф) = (_1)mp|m| (cos 0) —Lexp^rnp), _l ^ т ^ l;

у2к

по Н. Мотту и И. Снеддону [7].

В этой работе речь идет только о s-, p-, d-, и f- координатных функциях и ассоциированных с ними спинорах. Для них связь нормированных (при интегрировании по углам) полиномов нулевой, первой, второй и третьей степеней со сферическими функциям Ylm = Ylm (0, ф) выражается следующим образом:

l = 0 : \ -1 = Yo,о = s0;

V 4к

I з

l = 1 : \ПТ z = fYi,o = Ро,

V 4-к

3 Yi,i + Yi i 3 Yu- Yi i

, x = r-=-= pi, \ — у = r-=-= p2;

4к у/2 РЪ V 4к У ^v/2

l=2:

ft, (3z2 _ r2) = r2Y2,o = do,

15 ( 2 2) 2 Y2,2 + y2,—2I / 15 2 Y2,2 — Y2,—2 ,

x _ у ) = r -^-= di, \ — xy = r -^-= d2;

16к ^ ^ ' V2 " V 4к ' ^v/2

15 2 Y2,i + Y2, — ii / 15 2 Y2,i Y2,— i ,

— xz = r -=-= d3, \ — yz = r -=-= d4;

4n V2 V in tV2

1 (x2 + y2 + z2) = ¿¿5;

v/4n

I = 3 : Y^m (5z3 — 3zr2) = r3 Y3,o = /о

/ 21 (r 2 2) 3 Y3,i + Y3, — i _ f / 21 2 2) 3 Y3,i~ Y3— i _ ,,

W- 5z — r x = r -=-= h, \ - 5z — r y = r -=-= /2,

V 32n v ; л/2 V 32n v ; У iJ2

105 ( 2 2) з Y3,2 + Y3—2_{ /105 з Y32 — Y3—2 _ f

x — y) z = r -^- = /3, \ — xyz = r -^- = /4,

16n v V2 V 4^ iv/2

\/Ж x (x2 — 3y2) = r3 Y3'3 +,-Y3'—3 = /5М/J^ y (3x2 — y2) = r3 Y3'3 ~Y3'—3 = /6. V 32n v У J у/2 V 32n У v У ; iv/2

' i^nz (x2 + y2 + z2) = ¿¿7, \f4~x (x2 + y2 + z2) = (¿8, y4~y (x2 + y2 + z2) = ¿9-

Полиномы d-, /- не могут быть выражены через функции Yl>m (в, ф) (не являются решениями уравнения Лапласа, не являются собственными функциями операторов квадрата углового момента и его проекции на выделенную ось). Роднит же их с полиномами d-,/-то, что они имеют одинаковую с ними степень. Функция d5 сферически симметрична, т.е. не зависит от углов сферической системы коорлинат, как s-функции, а /7, /8, /9 по угловой зависимости совпадают с р-функциями.

Для спиновых функций с проекциями спина ms = ±1/2 используются обозначения а и ¡3 (спиноры а и ¡3). Произведения s-, р-, d-, d-, /- и /-координатных функций на спиноры а и 3 называются s-, р-, d-, d-, /- и /-спинорами.

3. Базисные координатные функции НП точечных групп s-, р-, d- и /-типа

В таблицах этого раздела приведены линейные комбинации координатных функций /-типа, преобразующиеся по НП точечных групп и которые публикуются, по-видимому, впервые, но и s-, р-, d-типа. Это сделано для удобства пользования таблицами, когда вся необходимая информация собрана воедино в виде компактных таблиц. В качестве координатных s-, р-, d- /-функций могут быть не только атомоподобные функции, центрированные на атомах, но и их линейные комбинации, преобразующиеся по тем же НП.

ТАБЛИЦА 1. Симметрия координатных 8-, р-, й- и /-функций для точечных групп Сг, С8, С2, Сг^, Сз^, С, , Сб^, Бз, Бб, Бб, ^^ Б4^ Бб^

БФНП Сг С3 Сг С2v Сз, С4v С5v Сбv Бз Б4 Б5 Бб Бг^ Б44 Ббй

80 ад а а а а1 а1 а1 а1 а а1 а1 а1 а1 а1 а1 а1

Ро аи а" а а1 а1 а1 а1 а1 Ь1 аг аг аг аг Ьг Ьг Ьг

Р1 аи а' Ь Ь1 е е е1 е1 Ьз е е е1 е1 е е е1

р2 аи а' Ь Ьг е е е1 е1 Ьг е е е1 е1 е е е1

й0 ад а' а а1 а1 а1 а1 а1 а а1 а1 а1 а1 а1 а1 а1

й1 ад а' а а1 е Ь1 ег ег а е Ь1 ег ег Ь1 ег ег

й2 ад а' а аг е Ьг ег ег Ь1 е Ьг ег ег Ьг ег ег

йз ад а'' Ь Ь1 е е е1 е1 Ьг е е е1 е1 е ез еб

й4 ад а'' Ь Ьг е е е1 е1 Ьз е е е1 е1 е ез еб

/0 аи а'' а а1 а1 а1 а1 а1 Ь1 аг аг аг аг Ьг Ьг Ьг

/1 аи а' Ь Ь1 е е е1 е1 Ьз е е е1 е1 е е1 еб

/2 аи а' Ь Ьг е е е1 е1 Ьг е е е1 е1 е е1 еб

/з аи а'' а а1 е Ь1 ег ег Ь1 е Ьг ег ег аг ег е4

/4 аи а'' а аг е Ьг ег ег а е Ь1 ег ег а1 ег е4

/5 аи а' Ь Ь1 а1 е ег Ь1 Ьз аг е ег Ьг е ез ез

/б аи а' Ь Ьг аг е ег Ьг Ьг а1 е ег Ь1 е ез ез

ТАБЛИЦА 2. Симметрия 8-, р-, й- и /-функций для точечных групп Сз, С4,

С5? Сб? 84, Т, Т* О, У

БФНП Сз С4 Сб Сб 84 БФНП Т Та О БФНП У

80 а а а а а 8 а а1 а1 80 а

р0 а а а а Ь Ро г гг г1 Ро г1

Р1 - Р е« е(1) е(1) Р1 г гг г1 Р1 г1

Р1 + грг е(г) е(г) е? е(г) Рг г гг г1 Рг г1

й0 а а а а а йо ае е е йо к

й1 — гйг е(г) Ь е(1) е(1) ег Ь й1 ае е е й1 к

й1 + гйг е(1) Ь ^ е?' Ь йг г гг гг йг к

йз — гй4 е(1) е(1) е!1 е11) е(1) йз г гг гг йз к

йз + гй4 е(г) е(г) е? е(г) й4 г гг гг й4 к

/0 а а а а Ь /о г гг г1 /о гг

/1 — / е(1) е(1) е11) е11) е(1) >/3/1 — Л/5/5 г гг г1 л/3/з — л/2/б гг

/1 + / е(г) е(г) е1г) е1г) е(г) /3/г + л/5/б г гг г1 /3/4 + /2/б гг

/з — г/4 е(г) Ь е(1) е(1) ег а /4 а а1 аг /1 9

/з + г/4 е(1) Ь е(г) е(г) ег а /з г г1 гг /г 9

/б + г/б а е(1) е(1) Ь е(1) л/5/1 + г г1 гг л/2/з + л/3Д 9

/б — г/б а е(г) е(г) ег Ь е(г) /5/г — /3/б г г1 гг /2/4 — /3/б 9

а (о Т ( преобразуются по НП е^ и е® группы Т.

4. Базисные спиноры НП некубических двойных точечных групп

ТАБЛИЦА 3. Симметрия з- и р-спиноров для двойных точечных групп С», С8,

С2> С2^9 С2, Сз, С4, С5, С6, Й4, Сз,, С4^, С5^, С6^

БСНП Сг а С2 С2^ Б2 БСНП Сз С4 С5 Сб 84 з Р С4^ С5^ С6^

за ад ё(2) ё(2) ё ё за ё(2) ё12) ё12) ё12) ё(2) е2 ё1 ё2 ё1

зР ад ё(1) ё(1) ё ё зр ё(1) ё11) ё11) ё11) ё21) ё2 ё1 ё2 ё1

р0а аи ё« ё(2) ё ё Роа ё(2) ё12) ё12) ё12) ё<11) ё2 ё1 ё2 ё1

РоР аи ё(2) ё(1) ё ё РоР ё(1) ё11) ё11) ё11) ё<2) ё2 ё1 ё2 ё1

Р1а аи е(2) е(2) ё ё (Р1 + %Р2)а Ь ё22) ё22) ё22) ёа) ё2 аё1 ё2 ёз ёз

Р1р аи е(1) е(1) ё ё (Р1 — ЪР2)Р ь ё21) ё21) ё21) ё22) аё1 ё2 ёз ёз

Р2а аи е(2) е(2) ё ё (Р1 — %Р2)а ё(1) ё11) ё11) ё11) ё<2) ё2 ё1 ё2 ё1

Р2р аи е(1) еа) ё ё (Р1 + ЪР2)Р ё(2) ё12) ё12) ё12) г1,) ё2 ё1 ё2 ё1

а(р1 + грг)а т г(Р1 — гр2)Р преобразуются по НП е1 ) и е[ ) группы Сз^.

ТАБЛИЦА 4. Симметрия з- и р-спиноров при классификации по НП двойных точечных групп Бз, Б4, Б5, Бб, Бз^, Б5^, Бг^, Б4^, Бб^

БСНП з Ю Б4 Б5 Бб Бз^ Б5^ Б2^ Б4^ Б6Й

за е2 ё1 ё2 ё1 ёз ёз ё1 ёз ё4

зр ё2 ё1 ё2 ё1 ёз ёз ё1 ёз ё4

Роа ё2 ё1 ё2 ё1 ё2 ё2 ё2 ё2 ёз

РоР ё2 ё1 ё2 ё1 ё2 ё2 ё2 ё2 ёз

(Р1 + гР2)а аё1 ё2 ёз ёз ё1 ё5 ё1 ё4 ё5

(Р1 — г'Р2)Р аё1 ё2 ёз ёз ё1 ё5 ё1 ё4 ё5

(Р1 — гР2)а ё2 ё1 ё2 ё1 ё2 ё2 ё2 ё2 ёз

(Р1 + г'Р2)Р ё2 ё1 ё2 ё1 ё2 ё2 ё2 ё2 ёз

а(Р1 + гр2)а ± г(р1 — гр2)[3 преобразуются по НП е^ и е12) группы Бз.

ТАБЛИЦА 5. Симметрия й-спиноров при классификации по НП двойных точечных групп Си С3, С2, , Б2, С4, 84, Б4,

БСНП Сг а С2 С2^ БСНП С4 84

йоа ад ё(2) ё(2) ё ё йо а ё12) ё(2) ё1 ё1

йоР ад ё(1) ё(1) ё ё йоР ё11) ё21) ё1 ё1

й1а ад ё(2) е(2) ё ё й1 а ё21) ё12) ё2 ё2

йф ад ё(1) е(1) ё ё йф ё(2) ё2 ё11) ё2 ё2

й2а ад ё(2) е(2) ё ё й2 а ё(1) ё2 ё12) ё2 ё2

й2р ад ё(1) е(1) ё ё й2р ё(2) ё11) ё2 ё2

й3а ад ё(1) еш ё ё (й3 + гй4)а ё(2) ё11) ё2 ё2

й;ф ад ё(2) е(2) ё ё (й3 — гй4)Р ё12) ё2 ё2

й4а ад ё(1) е(1) ё ё (й3 — гй4)а ё<11) ё(2) ё1 ё1

й4р ад ё(2) е(2) ё ё (й3 + гй4)Р ё<2) ё(1) ё2 ё1 ё1

ТАБЛИЦА 6. Симметрия й-спиноров при классификации по НП двойных точечных групп С3, С5, С6, С3^, С4^, С5^, С6^, Б3, Б5, Б6, Б 4^

БСНП С3 С5 Сб 3 Р С4^ С5^ С6^ Об 04^

йоа ё(2) ё12) ё12) ё2 ё1 ё2 ё1 ё2 ё2 ё1 ё3 ё3 ё3 ё4

йоР ё(1) ё11) ё11) ё2 ё1 ё2 ё1 ё2 ё2 ё1 ё3 ё3 ё3 ё4

(й1 + гй2)а ё(1) Ь ё32) ё2 ё2 Сё1 ё2 ё2 Сё1 ё2 ё2 ё1 ё4 ёб

(й1 — гй2)Р ё(2) Ь ё(1) ё3 ё2 ё2 Сё1 ё2 ё2 Сё1 ё2 ё2 ё1 ё4 ёб

(й1 — гй2 )а Ь ё(1) ё(1) аё1 ё2 ё3 ё3 аё1 ё3 ё3 ё1 ё4 ё1 ё2

(й1 + гй2)Р Ь ё(2) ё(2) аё1 ё2 ё3 ё3 аё1 ё3 ё3 ё1 ё4 ё1 ё2

(й3 + гй4)а Ь ё(2) ё(2) ё2 ьё1 ё2 ё3 ё3 ьё1 ё3 ё3 ё1 ё4 ё1 ё2

(й3 — гй4)Р Ь ё21) ё21) ьё1 ё2 ё3 ё3 ьё1 ё3 ё3 ё1 ё4 ё1 ё2

(й3 — гй4 )а ё(1) ё11) ё11) ё2 ё1 ё2 ё1 ё2 ё2 ё1 ё3 ё3 ё3 ё4

(й3 + гй4)Р ё(2) ё12) ё12) ё2 ё1 ё2 ё1 ё2 ё2 ё1 ё3 ё3 ё3 ё4

а (й\ — гй2)а т г(Л1 + гй2)[3 преобразуются по НП ё^ и ё12) групп С3у и Б3. ь (й3 + гй4)а т г(Л3 — гй4)[3 преобразуются по НП ё^ и ё12) групп С3у и Б3. с (й\ + гй2)а т (Л\ — гй2)[3 преобразуются по НП ё^ и ё® групп С5у и Б5.

ТАБЛИЦА 7. Симметрия /-спиноров при классификации по НП двойных точечных групп Си С3, С2, , С6, Сз^, , Бз, Б6,

БСНП Сг С3 с2 С2^ б2 БСНП с6 С3, С6^ Бз б6 Бз^

/0а аи е(2) е(2) е е /0 а е12) е2 е1 е2 е1 е2

/о3 аи е(1) е(1) е е /о3 е11) е2 е1 е2 е1 е2

/1а аи е(1) е(1) е е (/1 + г/2)а е22) а е1 ез ае1 ез е1

/Ф аи е(2) е(2) е е (/1 - г/2)3 е21) а е1 ез ае1 ез е1

/2 а аи е« е(1) е е (/1 - г/2)а е11) е2 е1 е2 е1 е2

/23 аи е(2) е(2) е е (/1 + г/2)3 е12) е2 е1 е2 е1 е2

/за аи е(2) е(2) е е ( /з + г/4)а е(2) е3 е2 е2 е2 е2 ез

/з3 аи е(1) е(1) е е (/з - г/4)3 е(1) е3 е2 е2 е2 е2 ез

/4а аи е(2) е(2) е е (/з - г/4)а е(1) е2 Ье1 ез Ье1 ез е1

/43 аи е(1) е(1) е е ( /з + г/4)3 е(2) е2 Ье1 ез Ье1 ез е1

/5а аи е(1) е(1) е е /5 а е(1) е3 е2 е2 е2 е2 ез

/53 аи е(2) е(2) е е /53 е(2) е3 е2 е2 е2 е2 ез

/6а аи е(1) е(1) е е /6 а е(1) е3 е2 е2 е2 е2 ез

/63 аи е(2) е(2) е е /63 е(2) е3 е2 е2 е2 е2 ез

а (/1 + г/2)а Т ii.fi - г/2)3 преобразуются по НП е^ и е1 ) (е1 )) группы Сз¥ (Б3) ь (/з - г/4)а Т г(/з + гД)3 преобразуются по НП е^ (е12)) и е12) (е^) группы Сз¥ (Б3).

ТАБЛИЦА 8. Симметрия /-спиноров при классификации по НП двойных точечных групп С4, §4, С4^, Б4, Сз, С5, С5^, Б5, В5Н, Бб^

БСНП с4 84 С4^ б4 б2^ БСНП Сз с5 С5^ б5 б5^ б4^ ■в 6 ю

/0а е12) е11) е1 е1 е2 /0а е(2) е12) е2 е2 е2 е2 ез

/о3 е11) е12) е1 е1 е2 /о3 е(1) е11) е2 е2 е2 е2 ез

(/1 + г/2)а е22) е21) е2 е2 е1 (/1 + г/2) а ь е22) ез ез е5 е4 е5

(/1 - г/2)3 е21) е22) е2 е2 е1 (/1 - г/2)3 ь е21) ез ез е5 е4 е5

(/1 - г/2)а е11) е12) е1 е1 е2 (/1 - г/2)а е(1) е11) е2 е2 е2 е2 ез

(/1 + г/2)3 е12) е11) е1 е1 е2 (/1 + г/2)3 е(2) е12) е2 е2 е2 е2 ез

/за е(1) е2 е(2) е2 е2 е2 е1 ( /з + г/4) а е(1) ь ае1 ае1 е1 е1 е1

/з3 е(2) е2 е(1) е2 е2 е2 е1 (/з - г/4)3 е(2) ь ае1 ае1 е1 е1 е1

/4а е(1) е2 е(2) е2 е2 е2 е1 (/з - г/4)а ь е(1) е2 ез ез е5 е4 е5

/43 е(2) е2 е(1) е2 е2 е2 е1 ( /з + г/4)3 ь е(2) е2 ез ез е5 е4 е5

(/5 - г/6)а е(2) е2 е(1) е2 е2 е2 е1 (/5 - г/6)а е(2) ь Ье1 Ье1 е1 е1 е1

(/5 + г/6)3 4» 44 е2 е2 е1 (/5 + г/6)3 е(1) ь Ье1 Ье1 е1 е1 е1

(/5 + г/6)а е11) е12) е1 е1 е2 (/5 + г/6) а е(2) е(1) е2 ез ез е4 ез е6

(/5 - г/6)3 е12) е11) е1 е1 е2 (/5 - г/6)3 е(1) е(2) е2 ез ез е4 ез е6

а (/з + г/4)а Т (/з - 1/4)3 преобразуются по НП е11) (ё12)) и е1 ) (е1 )) группы С5у (05). ь (/5 - г/б)а ± (/5 + г/б)Р преобразуются по НП е^ (ё12)) и е1 ) (е1 )) группы С5у (05).

5. Базисные спиноры НП кубических двойных точечных групп и группы У

В этом разделе структура таблиц иная, так как оказалось невозможным составить одинаковые линейные комбинации спиноров для всех групп этого раздела. Поэтому для каждой группы составлена отдельная таблица. Первый столбец таблицы содержит символы НП двойных точечных групп (в скобках указаны их размерности), а во втором столбце приведены преобразующиеся по ним линейные комбинации спиноров. Партнеры по представлению разделены запятыми, а независимые базисы, если их несколько, разделены точками с запятой.

ТАБЛИЦА 9. Симметрия 8-, р-, й-, /- спиноров для двойной точечной группы Т НП Базисные спиноры НП группы Т

ё(2) 8оа, 8оР; /4а, /4Р; роа + р + гр2)Р, РоР — (р1 — Ф2)а; й2а + (гй3 + й4)Р, й2Р + (гй3 — й4)а;

л/8/о а + [- ^3(/1 + г/2) + ^(Д — г/б)]Р, л/8/оР + [л/3/ — г/2) — /5/ + г/б]а;

/8/3а + [-/5(/1 — г/2) - /3(/5 + г/б)]Р,

_ /8/3Р + [/5(/ + г/2) + у/3(/5 — г/б)]а;_

#(1)(2) 2роа — [(1 + гл/Эр + (/3 + г)р2]Р, 2роР + [(1 + г/3)р1 — (/3 + г)р2]а; (йо — гй1)а, (йо — гй1 )Р;

2й2а — [(л/3 + г)й3 + (1 + г/3)й4]Р, 2й2Р + [—(/3 + г)й 3 + (1 + гл/3)й4 ]а;

/32/оа + {/3[(1 + г/3) /1 + (/3 + г)/2] — /5[(1 + г/3)/5 — (/3 + г)/б]}Р, /32/оР — {/3[(1 + г/3/ — (л/3 + г)/2] — /5[(1 + г у/3)/5 + (/3 + г)/б]}а;

/32/3а + {/3[(1 + г/3)/5 + (/3 + г)/б] + /5[(1 + г/3) /1 — (/3 + г)/2]}Р, /32/3Р — {/3[(1 + г/3)/ — (л/3 + г)/б] + /5[(1 + г/3) /1 + (/3 + г)/2]}а; #(2)(2) 2роа +[(—1 + ^/3)р1 + (/3 — г)р2]Р, 2роР + [(1 — г/3)р1 + (/3 — г)р2]а; (йо + гй1)а, (йо + гй1)Р;

2й2а + [(/3 — г)й3 — (1 — г/3)й4]Р, 2й2Р + [(/3 — г)й 3 + (1 — г/3)й4]а;

/32/оа + {/3[(1 — г/3) /1 — (/3 — г)/2] — /5[(1 — г/3)/5 — (/3 — г)/б]}Р, л/32/о Р — {/3[(1 — г/3)/1 + (/3 — г)/2 ] — /5[(1 — г/3)/5 — (/3 — г)/б]}а;

/32/3а + {/3[(1 — г/3)/5 — (/3 — г)/б] + /5[(1 — г/3) /1 + (/3 — г)/2]}Р, /32/3Р — {/3[(1 — г/3/ + (/3 — г)/б ] + /5[(1 — г/3)А — (/3 — г)/2]}а;

ТАБЛИЦА 10. Симметрия 8-, р-, й-, /-спиноров для двойной точечной группы Т НП Базисные спиноры НП группы Т

61(2) во«, 8оЗ; /4«, /4З; У^/з« + [-л/5(/1 - г/2) - л/3(/5 + г/6]З,

+ [^5(/1 + г/2) + ^3(/5 - г/6]«; 62(2) (р1 - гр2)« - роЗ, (Р1 + гр2)3 + Ро«; й2« + г(й3 - гй4)З, й2З + г(й3 + гй4)«;

^8/о« + [-^(/1 + /2) + ^5(/5 - гД]З,

_ у^/оЗ + [л/3(А - г/2) - >/5(/5 + г/6]«;_

#(4) р1« + роЗ, Р1З - Ро«, (Р1 + 2гр2)« - роЗ, (Р1 - 2гр2)З + Ро«; йо«, йоЗ, й1«, й1З;

2й2« - г(й3 - гй4)З, 2й2З - г(й3 + гй4)«, (й3 - гй4)«, (й3 + гй4)З;

^32/о« + [^3(/1 + г/2) - ^5(/5 - г/6)]З, у^/оЗ + [^л/3(/1 - г/2) + л/5(Д + г/6)]«,

[л/ЗД + г/2) - л/б(/5 - г/6)]«, [л/ЗД - г/2) - л/б/ + гД)]З;

л/32/з« + [^5(/1 - г/2) + ^3(/5 + г/6)]З,

у^/зЗ + [-л/5(Л + г/2) - л/3(/5 - г/6)]«,

[л/5(А - г/2) + у/3(/5 + г/6)]«, [л/б/ + г/2) + л/3(Д - гД)]З;

ТАБЛИЦА 11. Симметрия 8-, р-, й-, /-спиноров для двойной точечной группы О

НП Базисные спиноры НП группы О

61(2) 8о«, 8оЗ; ро« + (р1 + гр2)З, роЗ - (р1 - гр2)«;

/8/о« + [-/3(/1 + /2) + /5(/5 - г/6]З,

_ У8/оЗ + [л/3(А - г/2) - л/5(Д + г/6]«_

е2(2) й2« + г(й3 - гй4)З, й2З + г(й3 + гй4)«; /4«, /4З;

/8/з« + [-/5(/1 - г/2) — /3(/5 + г/6]З,

_ у^/зЗ + [л/5(А + г/2) + у/3(/5 - г/6]«_

#(4) ро« - р1З, роЗ + р1«, ро« + (р1 - 2гр2)З, роЗ - (р1 + 2гр2)«; йо«, йоЗ, й1«, й1З;

(2й2« - (гй3 + й4)З, (2й2З - (гй3 - й4)«, (й3 - гй4)«, (й3 + гй4)З;

/32/о« + [/3(/1 + г/2) - /5(/5 - г/6)]З,

л/32/о З + [—л/3(/1 - г/2) + л/5(/5 + г/6)]«,

[л/3(/1 + г/2) - л/5(/5 - г/6)]«, [л/3(Л - г/2) - л/5(Д + гД)]З;

/32/з« + [/5(/1 - г/2) + /3(/5 + г/6)]З,

у^/зЗ + [-л/ЗД + г/2) - л/3(/5 - г/6)]«,

[л/5(А - г/2) + у/3(/5 + г/6)]«, [л/5(/1 + г/2) + у/3(/5 - г/6)]З;

ТАБЛИЦА 12. Симметрия 8-, р-, й-, /-спиноров для двойной точечной группы У

НП

ёх(2)

ё2(2)

У(4)

i(6)

Базисные спиноры НП группы Y

soß; püa + (pi + ip2)ß, Poß - (Pi - ip2)a;

V5(/i + if2)a - Ь/2(/з + i/4) + v/3(/5 - i/e)]ß, V5(/i - i/2)ß + [л/2(/з - i/4) + v/3(/5 + i/e)]«5

(pott - Piß), (poß + Pia), Po« + (Pi - 2ip2)ß, Poß - (Pi

2doa + >/3(d3 + id4)ß, 2doß -V3(d з - id4)a,

2(di - id2)a - (d3 - id4)ß, 2(di + id2)ß + (d3 + id4)a;

2ip2)a;

v^3doa - (d3 + id4)ß, \/3doß + (d3 - id4)a, (di + id2)a, (di - id2)ß,

(di - id2)a + 2(d3 - id4)ß, (di + id2)ß - 2(d3 + id4)a; /oa, /oß, (V3/3 -/2/5)«, (V3/3 - V2/5>ß,

(/3/4 + ^/е)«, (/3/4 ^v/2/e)ß; (/i - ih)a, (/i + i/2)ß,

[^(/3 + i/4) + V3(h - i/e)]a, Ь/2(/з - i/4) + л/3(/5 + i/e)]ß, V5(/i + i/2)tt + [л/2(/з + i/4) + ^(/5 - i/e)]ß, V5(/i - i/2)ß - [л/2(/з - i/4) + >/3(/5 + i/e)]a;

Литература

[1] Шифф Л. Квантовая механика. — Москва: Изд. иностранной литературы, 1959. —475 с.

[2] Блохнцев Д.И. Основы квантовой механики. — Москва—Ленинград: Изд. технико-теоретической литературы, 1949. — 588 с.

[3] Мессиа А. Квантовая механика, том 2. — Москва: «Наука», 1979. — 584 с.

[4] Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. — Москва: «Наука», 1986. — 544 с.

[5] Ландау Л.Д., Лифшиц И.М. Квантовая механика. — Москва: «Наука», 1963. — 703 с.

[6] Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике, том 1. — Москва: «Мир», 1983. — 366 с.

[7] Мотт Н., Снеддон И. Волновая механика и ее применения. — Москва: «Наука», 1966. — 428 с.

[8] Фларри Р. Группы симметрии. Теория и химические приложения. — Москва: «Мир», 1983. — 396 с.

[9] Баличева Т.Г., Лобанева О.А. Электронные и колебательные спектры неорганических и координационных соединений. — Ленинград: Изд-во Ленинградского университета, 1983. — 119 с.

[10] Эварестов Р.А., Смирнов В.П. Методы теории групп в квантовой химии твердого тела. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1987. — 376 с.

[11] Evarestov R.A., Smirnov V.P. Site Symmetry in Crystals. Theory and Applications. — Berlin: Springer-Verlag, 1993. — 275 p.

[12] Эварестов Р.А., Смирнов В.П. Локальная симметрия в молекулах и кристаллах. — Санкт-Петербург: Издательство С.-Петербургского университета, 1997. — 372 с.

[13] Bilbao Crystallographic Server // URL: http://www.cryst.ehu.es/cryst/

SYMMETRIZED COMBINATIONS OF s-, p-, d-, f-SPINORS FOR STUDY OF ELECTRONIC STRUCTURE OF PHYSICAL SYSTEMS

V.P. Smirnov

Usually, atom-like functions of s-, p- and d-type (linear combinations of atom-like orbitals -LCAO method) are used for study of electronic structure of molecules, crystals end nano-objects. It is necessary to enlarge the basis by including atom-like functions of f-type for more precise calculations and for study of compounds with heavy atoms. Taking into account the spin-orbit interaction, the basis ought be composed by the products of coordinate and spin functions (or spinors). Symmetrized combinations of s-, p-, d-, f-type functions are built and presented in this article (with and without spin multiplier) by means of compact tables. The symmetrization is made according to irreducible representations of usual and double point groups with axes up to six order.

Keywords: point groups, two-digit irreducible representations of point groups, symmetrized basis.

Vyacheslav Smirnov - National Research University of Information Technologies, Mechanics, and Optics, St. Petersburg, Russia, Professor, D.Sc., smirnov36@mail.ru