CC BY
22
УДК 519.866:33+539.12
Симметрии Р, Т, С в нелинейных спинорных
уравнениях
Ж. Лошак
Фонд Луи де Бройля Франция, Париж, ул. Марсулан, 23
Пересматриваются симметрии Р, Т, С с точки зрения законов симметрии Пьера Кюри, исходя не из формальной ковариантности квантовой механики, а из экспериментальных законов электромагнетизма, позволяющих вывести соответствующие квантовые преобразования.
В линейном случае, для уравнения Дирака, подтверждаются законы Дирака для Р и С, но не для Т-инвариантности, которую следует заменить на «слабую Т-инвариантность», приобретающую у нас новый смысл.
В связи с этим определением подчёркивается различие между поведением электрического и магнитного зарядов. В нелинейном случае уделяется особое внимание Р, Т, С симмет-риям лагранжевых «кирально-инвариантных» уравнений типа Гейзенберга, Финкельштейна, Родичева и уравнения магнитного монополя, предложенного автором статьи. Все эти уравнения оказываются Р-, Т-, но не С-инвариантными, так что они нарушают РТС-теорему и не имеют пар «частица-античастица» с противоположными электрическими зарядами. Наоборот, остаются пары левых и правых магнитных монополей.
Наконец, оказывается, что все эти уравнения и, вообще говоря, все лагранжевы нелинейные уравнения приводят к резкому отклонению от квантовой теории. Они, конечно, не допускают суперпозицию волн и даже нарушают закон Планка. В пределе геометрической оптики они не содержат законы классической механики и даже, когда такие уравнения описывают распространяющиеся волны, последние нельзя рассматривать как волны де Бройля.
1. Законы Кюри и свойства симметрии
электромагнетизма
Кратко приведём, с несколькими дополнениями, рассуждения Пьера Кюри, основанные на его известных двух принципах [1]:
1. Если некоторые причины вызывают некоторые эффекты (следствия), элементы симметрии причин содержатся в этих эффектах.
И обратно:
2. Если некоторый эффект проявляет некоторую асимметрию, она должна содержаться в причинах, вызывающих этот эффект (следствие).
Мы поступим несколько иначе, чем Пьер Кюри, и начнём с преобразования электрического заряда, о чём у него не могла идти речь, поскольку он писал статью в 1894 году, до открытия электрона.
1.1. Пространственная и временная симметрии
электрического заряда
Пространство. Пусть в какой-то точке электролитической среды вектор плотности электрического тока j = pv направлен к электроду противоположного знака. Осуществим пространственную симметрию (отражение, инверсию) по отношению к плоскости, нормальной к току (рис. 1).
Как бы ни изменялись знаки электрических зарядов, знаки тока и электрода останутся противоположными. Поэтому при симметрии ток j будет направлен к
Рис. 1. Пространственная симметрии электрического заряда и тока
электроду, но окажется по отношению к нему с обратной стороны (рис. 1), так что вектор тока ] изменит направление. Но при этом знак скорости тоже изменится. Значит: при пространственной симметрии знак электрического заряда не меняется.
Время. Рассмотрим тот же электрод, с тем же направленным к нему током и осуществим симметрию времени (Кюри в своё время этого не рассматривал). Знаки электрода и тока опять остаются противоположными, и ток опять будет направлен к электроду. Но всё в пространстве останется неизменным. Только вектор скорости меняет направление, тогда как вектор тока не меняется. Значит: при обращении времени знак электрического заряда меняется
Заметим, что эти вопросы симметрии редко изучаются в книгах по электромагнетизму. Джексон [2] их изучает, но формально, и с уверенностью утверждает, без каких-либо аргументов: "Il is natural, convenient and permissible to assume that charge is a scalar under spatial inversion and even under time reversal ".
Что касается инверсии пространства, он прав, но что касается времени, он ошибся.
1.2. Пространственная симметрия электрического поля
Мы приведём рассуждение Кюри, воспользовавшись предыдущими результатами. Покажем, как можно вывести элементы симметрии электромагнитного поля при помощи чисто экспериментальных рассуждений: Кюри в своей статье даже не пишет ни одной формулы! Но дальше, ради простоты изложения, мы перейдём к более формальным рассуждениям.
Рассмотрим две заряженные параллельные круглые пластинки с электрическими зарядами противоположного знака. Их общая ось является осью вращения всей системы, и эта система не меняется при симметрии по отношению к плоскости, проходящей через ось (мы это можем утверждать, потому что мы уже знаем, что заряд при такой симметрии не меняется). Значит, электрическое поле на оси, рассматриваемое как следствие, содержит симметрию причины: это симметрия усечённого конуса.
Этот усечённый конус мог бы быть цилиндром. Но рассмотрим заряженную сферу, помещённую в однородное поле. Она испытывает силу в направлении поля, а сила не имеет плоскости симметрии, ортогональной к её направлению, т.е. к направлению поля. Отсутствие симметрии должно находиться в причине этой силы (второй принцип Кюри), то есть в самом поле. Заключение: электрическое поле имеет симметрию конуса (уже не усечённого), то есть полярного вектора.
1.3. Пространственная симметрия магнитного поля
Рассмотрим магнитное поле, созданное постоянным током в центре проводящего круглого витка. Плоскость витка является плоскостью симметрии:>-в«ачит, магнитное поле имеет плоскость симметрии, нормальную к своему направлению.
Однако ось симметрии у магнитного поля отсутствует, так как если прямой стержень движется ортогонально к своей длине, он имеет ось симметрии, параллельную скорости. Но поместим его в магнитное поле, нормальное к скорости — появится электродвижущая сила вдоль стержня, и ось симметрии исчезнет: значит, она отсутствовала в причине, т.е. в поле. Заключение: магнитное поле имеет симметрию вращающегося цилиндра, то есть аксиального вектора.
1.4. Пространственная симметрия магнитного заряда
Зарядим теперь предыдущие пластинки магнитными зарядами с противоположными знаками, что создаёт между ними магнитное поле, и осуществим симметрию по отношению к плоскости, параллельной к пластинкам и проходящей через их центр симметрии. При этом заряды меняются местами: мы ещё не знаем, меняется ли их знак или нет, но мы знаем, что при этом магнитное поле не меняется. Значит: при пространственной симметрии знак магнитного заряда меняется: магнитный заряд киральный.
Это знал уже Пьер Кюри, но мы увидим в части 2.2, что в квантовой механике этот закон остаётся верным, но выражается иначе. Резюмируем результаты об инверсии пространства:
Р : Е —> —Е; H H; е ->• е; g -д. (1)
1.5. Временная симметрия электромагнитного поля
Кюри этой задачей не занимался. В этом месте мы введём динамические законы, а именно силу Лоренца для электрических и магнитных зарядов [3]:
E+^vxH^; Fmasn. = S(H-^vxEj. (2)
Квантовая механика не может противоречить этим формулам, поскольку они появляются в пределе геометрической оптики.
Так как сила F Г-инвариантна (потому что F = 7717, где 7 — ускорение) и v меняет знак, получается:
Т : Е —> -Е; H —> H; е -е; gд. (3)
Мы, конечно, не согласны с Джексоном [2].
1.6. Р-, Т-, С-преобразования электромагнитного поля
К предыдущему добавим ещё зарядовое сопряжение, которое в классическом случае просто сводится к тому, что заряды меняют свой знак, а действующее на частицу поле не меняется. Соберём преобразования в одну систему:
Р : Е -Е; H —> H; е е; g -с -д,
Т: Е^-Е; H —> H; е-e-, g — g, (4)
С : Е Е: H —> H; е -е; g ->■ -д.
1.7. Преобразования электромагнитных потенциалов
Преобразования потенциалов выводятся из их определения:
1 яд
E = _VF-- —; H = rotA, (5)
с ot
Е — rotB; H = + (6)
Мы приводим не только лоренцевы потенциалы У и А, но и псевдопотенциалы (в тензорном смысле) ТУ и В магнитного монополя [3-6] (Внимание! Здесь В не индукция).
Из (4), (5) и (6) получим:
Р: А - А; V У; В —> В; IV -ТУ; е -* е; д -<?,
Т : А А; У —> -У; В —> -В; ТУ -»■ ТУ; е -е; д (7)
С : А —> А; У —> У; В -» В; ТУ —► ТУ; е -е; -д.
Следует ещё подчеркнуть следующее:
1. Так же, как и поля в (4), потенциалы считаются действующими на частицу и поэтому не меняются при С-преобразовании. Наоборот, поля, излучённые частицей, претерпевают С-преобразование.
2. Важно было установить Р- и Г-вариантности зарядов из физических соображений — потому что на этой вариантности основан выбор полярного вектора для представления электрического поля и аксиального вектора для представления магнитного поля. На этом основываются все другие законы симметрии, включая квантовые.
Ещё сам Кюри настаивал на том, что, анализируя электромагнитные взаимодействия, можно только сказать, что одно поле полярное, другое — аксиальное: только рассуждения, основанные на электролизе (как у нас), на пиро-или пьезоэлектричестве, могут указать, какое именно поле полярное и какое аксиальное.
В литературе вариантность электромагнитных полей и потенциалов всегда представляется не физическим, а формальным образом: именно в этом ошибка Джексона [2]. В томе „Релятивистская квантовая механика" курса Ландау и Лифшица вариантность потенциалов выводится из электродинамики. Их Г-вариантность (потенциалов) обратна нашей [7]. Зато наша вариантность согласуется с монографией „Релятивистский электрон Соколова и Тернова" [8] (только интерпретация несколько отличается).
3. Для полноты введём четырёхвекторы {У, А} и {ТУ, В}:
А„ = ( А;1У); = (ВлТУ). (8)
является дуальным тензором антисимметрического тензора третьего
ранга:
4. Преобразования (7) дают правильную вариантность для лагранжевых импульсов. Действительно, имеем:
Р = р + - А, £ = тс2 + еУ или: Р = р + -В, Е = тс2 + д\¥, (9) с с
что, благодаря (7), даёт правильные преобразования:
(для Р или Г): Р —► —Р; Е Е. (10)
2. Симметрия линейных уравнений
2.1. Р-, Т-, С-ИНВАРИАНТНОСТИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
Запишем уравнение Дирака:
Ъ (дц + Ам) V + ^ - 0 = хк,1сЬ), (П)
где — 4-потенциал Лоренца, определённый в (8), и:
•»-С •;). 4° о)- <,2)
где в к — матрицы Паули и / — двухмерная единичная матрица.
Далее будем употреблять представление Вейля, которое диагонализирует 75 и разделяет ф на киральные компоненты £ и г/:
¿V ГГ тт-1 1
ф -> иф = ; и = и-1 = -^(74 + 75). (13)
Уравнение Дирака приобретает следующий вид:
_ . е ,,, '
с I -т°С п
^+ 1 —г? = о,
,-тоС п
+ = о.
(14)
При установленных преобразованиях (7) легко проверить Р- и С-инвариантность уравнения при обычных преобразованиях Рака [9]:
Р: е-»е: хк -> -хк, х4 -> х4\ Ак~Ак, А4—> А4\ ф-у4ф, С : е —> -е; ф 72ф* = (Ф = ^+74)-
Но если ввести Т-вариантность Рака для ф с обращением заряда:
(15)
Г*: е —■> —е: хк -* хк, х4 -> -ж4; Ак ^ Ак, А4 —>-А4\
Ф -1717273^, (16)
то форма уравнения Дирака не сохраняется.
Если не менять заряда, то форма уравнения сохраняется, но такое преобразование уже нельзя рассматривать как обращение времени, поскольку оно не согласуется с (3) и (4).
Правильное преобразование (притом единственное) будет:
Т : с —> -е: хкхк, х4 —> -х4\ АкАк, А4—>-А4;
Ф^-ПзъФ*- (17)
Так, что Р-, Т-, С-инвариантности уравнения Дирака получаются при преобразованиях:
Р: е —> е; хк-хк, х4 -> х4; Ак-+-Ак, А4 -> А4; ф-> ^4ф, Т: е —> —е: хк хк, х4 -> -х4; АкАк, А4-^-А4: ф -» -'тиФ*,
С: е -> -е; ф -> ~{2Ф* = 121лФ {ф = ф+~14).
(18)
Это в точности те формулы, которые получают Соколов и Тернов [8], но, в отношении Т, другим способом. Они допускают Тцаса}1 под именем «сильного обращения времени» и пишут то же преобразование потенциалов, как наше, но формально и без обращения заряда. Это «сильное обращение» они умножают на С, что меняет знак заряда, и так получают С2ласа/г П°Д именем «слабого обращения времени». Оно сохраняет форму уравнения Дирака и точно равняется нашему (17). Но для нас преобразование (17) не «сильное», не «слабое», оно единственное, потому что продиктовано преобразованием заряда и потенциалов, которое исходит из опыта.
Тот факт, что обращение времени обязательно сопровождается обращением заряда, оправдывает утверждение Фейнмана:
Позитрон — это электрон, который идёт вверх (вспять) по течению времени.
Запишем теперь (18) в представлении Вейля:
Р : е -> е; х -х, * А —♦ -А, V —> V; $ <->
Г: е->-е; х — х, / А -> А, V —> -V; £-> V «2?/*,
С: е -е: £ —» -¡ваг/*: г) -*
(19)
Отсюда видно (это ещё разъяснится в случае магнетизма), что киральные компоненты поля меняются местами при преобразовании чётности и зарядовом сопряжении, но не при обращении времени.
Наконец, выясним смысл преобразования Рака, без обращения заряда:
TRaca.li е —> 4-е: хк -* хк, х4 -х4\ Ак Ак,
А4 -А4; у> -1717273^. (20)
Это просто преобразование СТ, с определением (17) для Т, т.е. закон сохранения, при котором электрон превращается в позитрон, который идёт вверх по времени и, значит, остаётся электроном. Но С меняет чётность, так что это не сам электрон, а его образ в зеркале.
2.2. Р-,Т-,С'- ИНВАРИАНТНОСТИ УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОГО
МОНОПОЛЯ
Запишем линейное уравнение монополя с зарядом д [3-6]:
-П^ц - 91ьВц)у = 0. (21)
Массовый член здесь отсутствует из-за киральной инвариантности уравнения, что влечёт за собой сохранение магнитного заряда [3-6]:
</>-> ехр (¡750/2); В, + Э,в. (22)
В представлении Вейля киральные компоненты подчиняются независимым уравнениям:
п о — _ 8 V В,] с = 0
'1 д V В) 7] = 0
Различие между электричеством и магнетизмом проявляется в различии между уравнениями [(11); (14)] и [(21); (23)]: у Дирака оператор заряда равен Е - еТ (I — единичная матрица) с одинаковыми собственными значениями, тогда как для монополя оператор равен С = д^ъ, с собственными значениями противоположных знаков (д и -д). & диагонализируется в представлении Вейля (13):
ис;и^ = 9иъи-1 = (24)
Видно, что псевдоскалярность магнитного заряда проявляется не в постоянной д, а в матрице 75 [3-6]. На это могла указать лишь квантовая механика, потому что киральность связана с поляризацией волны. Разные знаки зарядов +д и -д киральных компонент £ и 77 определяются не постоянной д (как думал Кюри), а собственными значениями оператора заряда б = 575.
Вернёмся к симметрии. Р-инвариантность (21) получается из:
Р: д —> д: хк -ж*, х4 -» х4; Вк -» Вк, IV -IV- ф 74^. (25)
То, что д не меняется, может казаться противоречащим (7), но в представлении Вейля имеем:
Р : д -> д\ хк ->■ -хк, х4 х4; Вк -> -Вк, В4 -* -В4: £ ??, (26)
так что киральные компоненты £ и т} и соответствующие собственные значения +5 и — д оператора С меняются местами согласно (7). Проведем теперь зарядовое сопряжение:
С : Ф->ЪФ*=ГПЪФ (Ф = Ф+Ъ)- (27)
В соответствии с этими формулами форма уравнения (21) сохраняется, но ещё раз подчеркнём, что зарядовая постоянная не меняется. Однако в представлении Вейля имеем:
С: д~* д\ £->-^2»?*; (28)
и опять киральные компоненты £ и 77 меняются местами. Наконец, для Т попробуем преобразование Рака:
Тяасак : 9 д\ Хк -* Хк, х4 -+ -ж4; -Вк,
в4 В4; ф —»■ -1Ъ121ъФ- (29)
Оно сохраняет форму уравнения монополя (21), и т.к. заряд д не меняется, можно подумать, что (29) согласуется с (7). Но это неверно, потому что в представлении Вейля:
Тпасак : 9 д; Хк ад, Ж4 ~Х4\ Вк -> --в*;,
(30)
и видно, что киральные компоненты меняются местами, но это противоречит (7), потому что магнитный заряд не должен меняться. Преобразование Рака здесь тоже следует отбросить. Правильным преобразованием будет:
Г: д-*д\ хк->хк, х4->-х4: Вк ->• -Вк, В4 -> В4;
ф -*• —17з71^*! (31)
или в представлении Вейля: Г: £ —► —Вк^-Вк, ТУ-* ТУ; £
77-^527/*. (32)
Киральность и заряд сохраняются, и можно теперь собрать все три преобразования в одну систему:
Р : дд: хк -> -хк, х4 -> х4: Вк Вк, В4 -В4; ф-ь-у^ф, Т : д д; хк^ хк, х4 -х4; Вк -Дь, В4: ф -> -^зъФ*, (33)
С:д->д-, фъФ* = Ъ^Ф (Ф=:Ф+74)-
В итоге можно сказать, что:
Р:д-+д; хк-хк, Ь Вк Вк, ТУ —ТУ; 77,
Т : з - д- хк -> < -» Вк - -Б*, ТУ ТУ; £ -н- -1в2£*; ту -> 52??*; (34) С-д-^д-, £-+-182 Г}*] Г} -+182?.
Антимонополь — это не монополь, идущий вверх (вспять) по течению времени, а его образ в зеркале.
Монополь с постоянной не является античастицей монополя с зарядом +д, а какой-то «другой частицей».
3. Билинейные тензорные формы и инвариантные
выражения
3.1. Билинейные формы
Далее нам понадобятся билинейные спинорные формы:
= ф-ф:, ^ = гф-у/лФ; =
Е^ = -гфу^ъФ-, = -1фъф, (35)
где .(?! — релятивистский инвариант, [22 — псевдоинвариант, — вектор, ЕЙ — псевдовектор и М^ — антисимметричный тензор. В представлении Вейля получим:
+ /22 = 1(£+77-77+0; + Я2 = Ц£+г,)(п+£),
Ь = {^4, Л} = Ш+£ + г]+г})-(£ЫУ+г)+зг)},
= {Г4, Е} = {!(£+£ - 77+7?), "
м^ = {.и;4..\/,,} = {($+577 - 17+80, + Т?+<Ь
Здесь появляется пара киральных изотропных векторов [3-6]:
- Ч^}; ^ = ЙЧ V+87,}, (37)
которые (как мы дальше увидим) меняются местами под действием Р и С и удовлетворяют соотношениям:
Т— Ец X^ Уд;
, п2\ (38)
Из известных равенств Паули-Кофинка [10-14] вытекает, что все скаляры, получаемые при свертке тензоров, сводятся к и 1?2:
~~ ТцТ¡л = ЕцЕ^ — + I?2; Тц.Ер = О,
(оУ)
— Е„] ЕцМ^и — Дг^; JцMlJ,l/ = ЕцМци = <?1 «Л,,
=> = + -С?!); - ^(Я? + Г22).
3.2. р-, г-, с-симметрии билинейных форм
При помощи формул предыдущего параграфа и с учётом (18), (19), (33), (34) получаем табл. 1.
Здесь потенциалы внешние. Они представляют падающую волну и поэтому С-инвариантны. Наоборот, «излучённые потенциалы» меняют знак при С-преобразовании, что вытекает из табл. 1 и из следующих определений:
Лтг 4-7Г 4-7Г 47Г
ПА = —еЛ; П№ =—дЕл: ПВ = — дЕ. (40)
с с с с
С учётом табл. 1 рассмотрим дифференциальные части лагранжиана Дирака Ьх) и лагранжиана монополя Ьм'-
Ь0 = Не (¿Ш + ^А^) Ф} =
гае = (Э —) — (- 3).
Таблица 1
Свойства симметрии физических величин
Величина Р Т с
ф 1\Ф -Пз7УФ* 72 Ф*
11 Ы* -\S2lf
77 => £ 32Т]*
ХА => П у4
X => -У -X У
п х4
У -X -У X
</4 Л ■к
Л => -л -Л л
г4 => А
£ и -Е -г
О]
-Пч — -~2
е => е —е —е
9 9 9 9
У => V -V V
А =» -А А А
=» -IV W И"
В => В -В В
Ьм = 1гс - =
где [а] = (3^)-(<-0).
Полный лагранжиан дираковского электрона будет следующим:
Ье = Ьр + = Ьо + Ьск0фф = Ьр + Нско(£+г] + (43)
а полный лагранжиан монополя запишется в виде:
Ьт=Ьм, (44)
поскольку массовый член Ьт отсутствует. Симметричные свойства лагранжианов отражены в табл. 2.
Таблица 2
Симметричные свойства лагранжианов
Лагранжиан Р Т С
Ь0 Ьп Ьв -Ьр
Ьс = Ь о + Иск о]?! Ье Ьс -Ье
¿т = Ьм => Ьм Ьм
4. Нелинейные уравнения 4.1. Предварительные замечания
Наши замечания касаются двух вопросов: как уравнение Дирака удовлетворяет принципам квантовой теории и как оно согласуется с классической механикой? Начнём с закона Планка. Напишем плотность энергии:
дЬ ,ч г, дЬ
д^-Ф) дуо^)
дЬ № + + + (45)
В силу (11) Ь = 0 и по формулам (41) и (43) имеем:
и- - ^>дгф - Ш) = | - + (ту+э^ - '.)■!/' ц!} • (46)
Для стационарного решения
ф = е-^(г) (47)
плотность энергии запишется в виде
ю = = + (48)
и для нормированной волны полная энергия равняется
Е = Пи. (49)
Это доказывает, что закон Планка содержится в уравнении Дирака.
Теперь найдём длину волны де Бройля и изучим классический предел. Запишем плоскую волну в представлении Вейля (14):
£ = ае1(^-к'г): ц = , (50)
где и, к, а, Ь — постоянные (а и Ь — спиноры). Получим:
— + э ■ к ) а + кф — 0.
I \ (51)
— - в ■ к) Ь + Коа = 0.
Приравнивая определитель к нулю, находим:
^ =к2 + Ко; и) = 2жи] (52)
где и — частота, Л — длина волны, п — единичный вектор.
Умножим фазу волны (50) на К и учтём закон Планка (49). Фаза примет следующий вид:
Ш-Кк-т = Ег- П • г, (53)
А
и соотношение дисперсии (52) запишется так:
^)2+гп1с\ (54)
Но плоская волна отвечает, конечно, пределу геометрической оптики, так что если подставить:
А=Л (55)
Р
мы одновременно определим длину волны де Бройля, импульс Лагранжа и, используя (54), перейдём к релятивистскому уравнению Гамильтона-Якоби:
Е\2
р2 + т20с2. (56)
Итак, мы показали, что уравнение Дирака удовлетворяет всем условиям, но при этом мы несколько раз использовали линейность уравнения:
1. Чтобы найти закон Планка, лагранжиан должен равняться нулю, что следует из линейности уравнения. Кроме того, таким образом находится только плотность энергии, но чтобы перейти к самой энергии, следует ещё интегрировать по пространству. Последнее требует существования нормировки, что вновь связано с линейностью.
Правда, до сих пор линейность была не совсем обязательна: однородности уравнения нам пока достаточно, но в дальнейшем этого условия будет мало.
2. Действительно, чтобы можно было говорить о классическом пределе квантовой механики и о волне де Бройля, необходимо, чтобы (52) было общим соотношением дисперсии волн. Только тогда равенство (55) обретает нужный смысл и выражение (52) совпадает (с точностью до множителя Н2) с соотношением для энергии (56).
Всё это верно для уравнения Дирака просто потому, что итерация уравнения Дирака даёт уравнение Клейна-Гордона, которое, в свою очередь, построено на основе (56), так что совпадение не случайно, а заранее предопределено.
В нелинейном случае соотношение (56) сохранится, поскольку оно содержится в релятивистской механике. Но ясно, что в общем случае соотношения (52) мы не получим. Так, легко видеть, что если мы наугад (и даже не наугад) выберем какой-то нелинейный лагранжиан, мы не обнаружим ни одного из предыдущих свойств: ни закона Планка, ни волны де Бройля, ни предельного перехода к классической механике.
К этому следует добавить, что принцип суперпозиции, который играет основную роль в квантовой механике (в частности, во взаимодействиях), конечно, нарушится.
Это означает, что когда мы пишем нелинейный лагранжиан, то исходное волновое уравнение будет приводить к отклонению от принципов квантовой механики и даже от соответствия с классической механикой.
Можно сказать, что нелинейной квантовой механики вообще не существует и что нелинейное уравнение всегда говорит о чём-то другом, например, о структуре частиц, но мы здесь вступаем на чужую землю. Если уравнение не выводится из лагранжиана, всё ещё более усложняется (речь тогда идёт о необратимых явлениях, таких как квантовые переходы).
4.2. Выбор лагранжиана
Мы ограничимся случаем, когда дифференциальная часть остаётся неизменной и меняется только массовый член. С этой целью мы показали в части 3.1, что все скаляры (без производных) выражаются через и П2. По формулам части 3.2 с (41) по (44) массовый член всегда будет типа Ъ), где Р — скалярная
функция. Например, в случае частицы с зарядом (электрона) имеем:
Ье = 10 + П2) = П {фъ + ф + Р(Г215 Д>) |. (57)
Приведём несколько примеров выбора Р (используется табл. 1):
Таблица 3
Несколько примеров выбора
Вид F P T С
F = Пг (Дирак) +F +F ~F
+F +F +F
F = Of ^ +F +F -F
F = G{f2u fa)fh (G > 0) ^ +F +F -P
F = F{Q\ + J?f) +F +F +F
F — Q\ + { =-{хф1^ф){\ф^цф) \ \ = (хфъъШ^Ъ!^) J +F +F +F
F = Пг{22 -F -F 4-F
4.3. кирально-инвариантные уравнения
Мы уделим особое внимание одному классу уравнений, которые часто встречаются в литературе. Они выделены условием киральной инвариантности (22).
В глобальной форме (9 — const) эта инвариантность известна как «калибровка Тушека» и была введена в теорию элементарных частиц (Тушек [15], Паули [16], Гюрши [17], Гейзенберг и др. [18]; см. также сборник статей [19]). В локальной форме (когда в - 6(r,t)) её электромагнитный и геометрический смысл был изучен автором данной статьи в работах [3-6], краткое изложение которых дадим ниже.
В представлении Вейля (22) принимает вид фазовых преобразований с обратными знаками у спиноров £ и ту.
£ _ ei0/2C; rj - e"l9^2rj. (58)
При этом тензоры без членов типа £,+т] не меняются:
Хц —► Хц-. Yfj. —> Уц] JM —► J/j,', Sfj. —► Lfj,. (59)
Все другие испытывают поворот на угол 0. При этом также поворачивается «киральная плоскость» {/2Ь i?2} (она «киральна», потому что — релятивистский инвариант, a i?2 - псевдоинвариант):
(П'А _Ycos0 -sin0\ тл \Q'J ~~ \sind cos в ) \П2)
Если в этой плоскости определить полярные координаты (где р — инвариант, а ¡3 — псевдоинвариант):
р= ^ += 2^+Г?)(77+0; /? = агс*ал^, (61)
то преобразования (22) и (58) приводятся к вращению {/^.Г^}:
+ (62)
Кирально-инвариантные уравнения получаются из лагранжианов, которые инвариантны при вращениях киральной плоскости. Это означает, что массовый член зависит только от радиуса-вектора:
Р{П1,П2) = Р + = Р (г^+т^+о) = ПР)- (63)
Добавим, что дифференциальная часть дираковского лагранжиана (41) не является кирально-инвариантной, тогда как лагранжиан (42) монополя инвариантен. Мы здесь не будем останавливаться на электромагнитных свойствах, основанных на локальном законе (22), и отправим читателя к работам [3-6]. Теперь обсудим некоторые специальные уравнения.
4.4. Общее уравнение магнитного монополя
Киральная калибровка запрещает прибавлять к лагранжиану (42) линейный массовый член, но можно, конечно, к нему прибавить нелинейный член типа (63). Получим:
Ьт — 1\с
+ (¿[й] + V + ■ (¿[V] - ¿в) г, + 1Р(р)|. (64)
Соответствующее уравнение запишется так:
(я 9 п \ / , < 4^1-175^2 , „ , ч (Щр)
7д ^ ~ ТЪВЦ -Ф + к{р) .ф = 0; к(р) = ——, (65)
v кс / + ¡71 с1Р
а в представлении Вейля:
(66)
Это общее спинорное уравнение магнитного монополя [3-6]. Оно сохраняет изотропные токи (37) левого и правого монополя. Уравнение сохраняет магнитный заряд, что неверно для уравнения Дирака (хотя бы в общем случае [20]). Уравнения (65) и (66) имеют слишком много симметрий и поэтому не могут описывать электрон, даже с подходящим взаимодействием (41).
Теперь рассмотрим два частных случая.
4.5. Кубическое уравнение
Это уравнение соответствует массовому члену четвёртой степени в лагранжиане (64) при отсутствии внешнего поля:
= Yx - ■ MS + V+\[dt]v + ■ [V]r? ± il2p2^j , I = const. (67)
Интересно написать уравнение в разных видах, эквивалентных друг другу в силу (39):
lßdßi) т Ф)ъ1/г'Ф = 0, (68а)
lßd,,4> ± = 0, (68b)
± 12[фу> — 7ь{'Ф15'Ф)}'Ф = 0, (68с)
-§-S-V(±2U2(rj+On = 0;
СЛ (68d)
с at
Первое уравнение было предложено Гейзенбергом [18,21] (он ввёл постоянную ±12), а второе — Финкельштейном и др. [22], оба — в теории элементарных частиц (см. сборник [19]). То же уравнение было найдено Родичевым [23] в качестве спи-норного уравнения в пространстве с кручением. Автор настоящей статьи показал, что это уравнение является частным случаем уравнения монополя и установил, что кручение пространства связано с магнетизмом [3-6]. Наконец, (68(1) эквивалентно другим уравнениям (68) и является частным случаем (66).
4.6. Однородный случай
В (64) и в (66) возьмём:
F(p) = ко р; к(р) = ко = const. (69)
Уравнение (66) сохранит свой вид, но с к0 = const. Запишем его с электрическим взаимодействием:
(70)
Это — однородное уравнение степени единица, и поэтому оно имеет нормированные решения. Далее мы увидим, что у него есть решения (но не все!) с классическим дисперсионным соотношением (52). Для этих решений волна де Бройля определена. Но мы увидим, что в этом уравнении нет пар частица-античастица.
4.7. Симметрия
Сравним табл. 2 и табл. 3. Видно, что дифференциальные части Ьр и Ьм являются Р- и Т-инвариантными, но С-преобразование меняет их знак. Значит, чтобы уравнение было Р-. Т- или С-инвариантным, функция Р должна иметь симметрию Ьо и Ьм.
Из первой строки табл. 3 тотчас же видно, что уравнение Дирака Р-, Т-, С-инвариантно. Но из последующих строк заключаем, что это не так часто встречается. Последняя строка указывает даже на какого-то «маленького монстра», который нарушает все три симметрии. Это странное уравнение имеет, однако, «нормальный вид», похожий на (68с):
чЛФ + ~ШФ)ъ + (ФъФ)}Ф = 0. (71)
Если требовать, чтобы уравнение обладало одной из трёх симметрий, то это сильно ограничивает вид функции Р. Это ограничение может противоречить другому требованию.
Например, как видно из табл. 3, киральная инвариантность влечёт за собой Р-и Т- инвариантности, но не совместна с С. Это означает, что уравнения типа Гейзенберга или типа монополя не удовлетворяют СРГ-теореме.
Отсутствие С-инвариантности в уравнении не исключает существования энергий обоих знаков, но эти состояния не будут соответствовать парам частица-античастица, как это было в уравнении Дирака. На самом деле могут даже существовать пары в силу Т-инвариантности: в том смысле, что один элемент пары движется вниз по течению времени, а второй — вверх. Но пары, определённые зарядовым сопряжением, не те же самые, что пары, определённые Т-инвариантностью: в первом случае элементы пары обладают обратными кираль-ностями, но движутся в одном направлении по времени, тогда как во втором случае они одной и той же киральности, но движутся в противоположных направлениях по времени.
4.8. Знак частоты в киральных уравнениях
Следует отличать знак частоты от знака энергии, потому что в нелинейном уравнении частота стационарного решения может не определять энергию.
Рассмотрим плоскую волну в кирально-инвариантном уравнении (65) при отсутствии внешнего поля:
£ = ае^-к-г>; л = 'г). (72)
Замечаем большое различие по сравнению с линейным случаем: фазы обоих спиноров могут быть разными. В результате получаем систему:
+ б • к^ а + к(р)
[73)
Комбинируя оба уравнения, находим соотношение [3-6]:
(£ - *2) (£ - *'2) -2 -к ■к') «!<»>+=<«>
Отсюда видно, насколько далека эта формула от линейного случая (52) и что она не имеет никакого отношения к классической механике. В этой теории есть волны, но нельзя сказать, что это волны де Бройля, потому что нельзя отождествить Нк с импульсом Лагранжа р. Такая идентификация возможна только в одном частном случае, когда фазы £ и г] равны между собой и (72) приводится к (50). Тогда (74) принимает классический вид:
со2
= к2 + к2{р); (А:=\/к2). (75)
Однако такое сходство кажущееся, потому что к(р) зависит от амплитуд а и ft (за исключением однородного случая (70), когда к(р) = ко = const ). Но даже в однородном случае совпадение имеет место только для специальных решений. Вернёмся к общему случаю и введём угол между к и a+so :
a+(s • k)a = (a+a)kcosa (потому что (a+a)2 = (o+sa)2). (76)
Тогда получим из (73) соотношения:
к,{р)~ = -а+а + /ccosaj = -b+b + fc'cosc/) , (77)
где скобки имеют знак, обратный знаку к(р).
В частном случае равных фаз £ и rj, когда выполняется (75), соотношение (77) предписывает знак частоты (здесь со = и ).
В несколько более общем случае, когда к = ек = ±к, придадим следующий вид соотношению (74):
о. . ило' ,2 , [и ш'\ \р) = +ек\--£~)
(е = ±1; е' = ±1; к = к =
(78)
и обсудим два случая: 1. е = г' = 1. Тогда к' = к и получаем:
^(р) = [-с-к)(^ + к), (79)
откуда вытекают две возможности:
- - fc > 0 и — + fc > 0: (80а)
с с
--к < 0 и — + к<0. (80Ь)
с с
Как видно из (77), в случае (80а) существуют углы а, совместимые с к{р) < 0, а в случае (80Ь) — углы а, совместимые с к(р) > 0. В первом случае хотя бы одна частота является положительной, а во втором хотя бы одна частота является отрицательной. Частоты обоих знаков возможны, но без сопряжения. 2. е = —1; с' = ±1(к' = —к) (киральные компоненты распространяются в противоположных направлениях):
= (с + £,/С) (^с+£'к) ' (81)
что даёт в случае а,' = а/:
- =е[к + е'К(р)]: (е,е' = ±1). (82)
с
Поскольку мы располагаем постоянными к, а и амплитудой одного спинора, видно, что оба знака частоты возможны, но тоже без сопряжения.
Мы видим на этих простых примерах насколько дисперсионные соотношения (79) или (82) далеки от классического случая. Подчеркнём, что это верно как для нелинейного уравнения монополя, так и для уравнения Гейзенберга.
4.9. Знак энергии
Вернемся к выражению (45) плотности энергии. Так как мы сохранили линейную дифференциальную часть (41) или (42), формула (45) упрощается:
У-1 = ~ дгф-ф) ~ (83)
Но если взять, например, общий случай (57) заряженной частицы и записать уравнения Лагранжа:
( е \ дР
е \ - дР
(84)
из них получим:
(85)
Выражая Р через П\ и 1?2, найдём:
+ + + = (86)
Внесём теперь (57) и (86) в (83) для стационарной волны:
{ дР дР \ ш = Пыф^ф + Ггс I П1 — + - Р) ■ (87)
В случае кирального уравнения (63) получим:
и- = Ни>ф+ф + Ггс ~ ■ (88)
В общем случае, как и в киральном, видно, что член в скобках исчезает для функции F, однородной степени единица по и Тогда представляется, что энергия подчиняется закону Планка. Но это неверно, потому что:
— Во-первых, мы называем «стационарной волной» волну типа (47), т.е. частный случай, в котором обе киральные компоненты £ и г/ поля ф имеют одинаковую частоту.
— Во-вторых, (87) или (88) дают только плотность энергии, а из неё полная энергия получается, только если волна нормирована, что возможно только в однородном случае. И даже тогда первое возражение остаётся верным.
Что касается знака энергии, то «Планко-образный» член в (87) или (88) меняется при Т- или С-преобразовании, но это имеет смысл, если только уравнение Т-или С-инвариантно, а мы знаем, например, что киральные уравнения не являются С-инвариантными. Но в общем случае о втором члене этих формул ничего сказать нельзя.
Однако можно рассуждать иначе и задать себе такой вопрос: нельзя ли вывести, из существования пар условие, накладываемое на лагранжиан и на допустимые решения? Такое правило может ввести какое-то новое квантование.
5. Заключение
То, что мы изложили в этой работе, подтверждает замечания, сделанные в части 4.1, а именно, что квантовая механика по своей сущности линейна и что нелинейность выводит за её рамки. Это неудивительно, если принять во внимание, что, в конце концов, она исходит из гармонического осциллятора, из линейной теории волн и из интеграла Фурье. Кроме того, мы увидели, каким образом нелинейность нарушает симметрии даже с кажущимися очень симметрическими членами.
Всё это иллюстрирует парадоксальное, но далеко идущее замечание Р. Тома: «Вопреки распространённому мнению, квантовая механика менее общая, чем классическая».
Пытаться выйти за рамки квантовой механики, выискивая наугад новые нелинейные уравнения, мало надёжно. Только выявление новых физических принципов и их подходящих математических выражений может к чему-то привести. Луи де Бройль в этом не сомневался и вскоре перестал подбирать нелинейные модели, потому что убедился в том, что даже в качестве моделей они никак не могут привести к «настоящему» уравнению.
Некоторый новый подход он предложил в своей «Термодинамике изолированной частицы», которая исходит из обобщения его первоначальной идеи, приведшей его к открытию волновой механики: представить в виде единого принципа экстремальные принципы физики, т.е. принципы Ферма, Мопертюи и Карно (иными словами, оптику, механику и термодинамику равновесных процессов). Отклоняясь от этих предельных случаев, найдём, как известно, в одном направлении, волновую механику, а в другом направлении есть надежда (но пока только надежда) выйти на теорию необратимых микроскопических явлений, т.е. обнаружить субструктуру квантовой теории.1
Наконец добавим, что наша работа опубликована в более полном виде [25,26].
Литература
1. Curie P. Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique // Journal de physique. — Vol. III. — 1894. — P. 393. — Sur la posibilité d'existence de la conductibilité magnétique et du magnétisme libre, id p.415. Переиздано в: Annales de la Fondation Louis de Broglie, 1994, Vol. 19, №3, p. 137.
2. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — Second edition. — N.Y.: John Wiley & Sons, 1975.
3. Lochak G. Advanced Electromagnetism (Foundations, Theory and Applications) / Ed. by T. W. Barrett, D. M. Grimes. — Singapore: World Scientific Publishing Compagnv, 1995.
4. Lochak G. // Ann. Fond. L. de Broglie. - Vol. 8. - 1983. - P. 345.
5. Lochak G. // Ann. Fond. L. de Broglie. - Vol. 9. - 1984. - P. 5.
6. Lochak G. // 5. International Journal of Theoretical Physics. — Vol. 24. — 1985. — P. 1019. — Conrib. to: Information, Complexity and Control in Quantum Physics, A. Blaquière, S. Diner and G. Lochak, ed., Springer, Wien, N.Y., 1987.
7. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1968.
8. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. — М.: Наука. 1974.
9. Racah G. // Nuovo Cimento. - Vol. 14. - 1937. - P. 322.
10. Pauli W. // Annales de l'I.H.P. - Vol. 6. - 1936. - P. 109.
11. Kofink W. // Annalen der Physik. - Vol. 30. - 1937. - P. 91.
12. Kofink W. // Annalen der Physik. - Vol. 38. - 1940. - Pp. 421,436,565,583.
13. de Beauregard О. С. // J. Math. Pures et Appl. - Vol. 22. - 1943. - P. 85. -Ann. Fond. L. de Broglie. - Vol. 14. - 1989. - P. 342.
14. Takabayasi T. // Progress of Theoret. Phys., Suppl. - Vol. 4. - 1957. - P. 1.
1 Начало этой теории, с библиографией, было недавно опубликовано в курсе лекций де Бройля [24]
15. Touschek В. Nuovo Cimento. - Vol. 5. - 1957. - P. 1281.
16. Pauli W. // Nuovo Cimento. - Vol. 6. - 1957. - P. 204.
17. Gürsey F. // Nuovo Cimento. - Vol. 7. - 1958. - P. 411.
18. W. Heisenberg, H. Dürr, H. Mitter et al // Zs. Naturforschung. — Vol. 14a, H. 5/6. - 1959. - P. 441.
19. Нелинейная квантовая теория поля. Сборник статей / под ред. Д. Д. Иваненко. — М.: Изд. иностранной литературы, 1959.
20. Lochak G. // Ann. Fond. L. de Broglie. - Vol. 17. - 1992. - P. 203.
21. Heisenberg W. // Conférence Internationale sur les Hautes Energies (Genève). — 1958.
22. Finkelstein R., Levier P. L., Ruderman M. // Phys. Rev. — Vol. 16. — 1951. — P. 326.
23. Rodichev V. /. // Soviet Physics JETP. - Vol. 13. - 1961. - P. 1029.
24. de Broglie L. Diverses questions de mécanique et de thermodynamique classiques et relativistes. — Berlin, Heidelberg: Springer, 1995.
25. Lochak G. // Ann. Fond. L. de Broglie. - Vol. 22, Partie I. - 1997. - Pp. 1-22.
26. Lochak G. // Ann. Fond. L. de Broglie. - Vol. 22, Partie II. - 1997. - Pp. 187-217.
UDC 519.866:33+539.12
Symmetries P, T, С in the Nonlinear Spinor Equations
G. Lochak
Fondation Louis de Broglie 23, rue Marsoulan, Paris, 75012, France
The approach to the symmetries P, T, С, within the framework of Pierre Curie symmetry laws, is suggested, the former being based not on the formal covariance of quantum mechanics but on the experimental laws of electromagnetism, implying the correspondent quantum transformations.
In the linear case, for the Dirac equation, the Racah laws for P- and C-symmetries are restored with the exclusion of T-invariance, though the latter one takes a new sense in our scheme and should be changed to the so-called "weak T-invariance".
This new definition of symmetries being taken into account, we emphasize the difference in the behavior of the electric and magnetic charges.
In the nonlinear case the main attention is paid to the P-, T-, C- symmetries of the La-grangian "chiral-invariant" equation of the Heisenberg-Finkelstein-Rodichev type and that suggested by the author for the magnetic monopole. All those equations appear to be P- and T-invariant, but not C-invariant, thus the PTC-theorem being broken and the pairs "particle -and antiparticle" endowed with the electric charges of different signs, do not exist. Nevertheless, the pairs of left-right magnetic monopoles still survive.
Finally, it turns out that all the equations mentioned above and more general Lagrangian nonlinear equations imply strong violation of the quantum theory. Certainly, they do not admit the wave superposition and also violate the Planck law. In the framework of geometric optics these equations do not keep the classical mechanics laws, and moreover, the propagating waves described by these equations cannot be viewed as the Broglie waves.
