CC BY
25
FOUNDRY PRODUCTION AND METALLURGY
3, 2019-
https://doi.org/10.21122/1683-6065-2019-3-118-125 Поступила 05.03.2019
УДК 699.531.433 Received 05.03.2019
СИЛОВОЙ РАСЧЕТ ПРОЦЕССА БРИКЕТИРОВАНИЯ ПОРОШКОВЫХ, СТРУЖКОВЫХ И ДРУГИХ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ
О. М. ДЬЯКОНОВ, Белорусский национальный технический университет, г. Минск, Беларусь, пр. Независимости, 65. E-mail: deaconco@mail.ru
Работа посвящена решению осесимметричной задачи теории прессования пористых тел с практическим применением в виде силового расчета металлургических процессов брикетирования мелкофракционных сыпучих материалов: порошковых, стружковых, гранулированных и другие отходов металлообработки. У таких материалов форма частиц (структурных элементов) не является геометрически правильной или вообще определимой. Это послужило основанием тому, что в основу решения была положена континуальная модель пористого тела. В результате приведения этой модели к двумерной пространственной модели получено замкнутое аналитическое решение методом совместного решения дифференциальных уравнений равновесия и энергетического условия пластичности Губера-Мизеса. В качестве рабочих гипотез приняты следующие допущения: радиальное касательное напряжение равно тангенциальному, коэффициент бокового давления равен относительной плотности прессовки. В силу того что задача решена в общем виде и в общей постановке, само решение следует рассматривать как методологическое применительно к любой схеме осе-симметричного нагружения. Получены трансцендентные уравнения деформационного уплотнения пористого тела как для идеального процесса прессования, так и с учетом сил контактного трения. В результате разработки метода решения этих уравнений выведены формулы для расчета локальных характеристик напряженного состояния прессовки, а также интегральных параметров процесса прессования: давления, усилия и работы деформации.
Ключевые слова. Металл, форма, частица, тело, плотность, пористость, пресс-форма, пуансон, матрица, очаг, деформация, элементарный, объем, тензор, напряжение, условие, пластичность, ось, симметрия, схема, контакт, нагружение, уплотнение, трение, реология, сопротивление, давление, усилие, работа, прессование, задача, континуум, модель, метод, расчет, система, уравнение, решение. Для цитирования. Дьяконов, О. М. Силовой расчет процесса брикетирования порошковых, стружковых и других сыпучих материалов /О. М. Дьяконов //Литье и металлургия. 2019. № 3. С. 118-125. https://doi.org/10.21122/1683-6065-2019-3-118-125.
FORCE CALCULATION OF THE PROCESS OF BRIQUETTING POWDER, CHIP AND OTHER BULK MATERIALS
O. M. DYAKONOV, Belarusian National Technical University, Minsk, Belarus, 65, Nezavisimosti ave. E-mail: deaconco@mail.ru
The work is devoted to solving the axisymmetric problem of the theory ofpressing porous bodies with practical application in the form offorce calculation of metallurgical processes of briquetting small fractional bulk materials: powder, chip, granulated and other metalworking wastes. For such materials, the shape of the particles (structural elements) is not geometrically correct or generally definable. This was the basis for the decision to be based on the continual model of a porous body. As a result of bringing this model to a two-dimensional spatial model, a closed analytical solution was obtained by the method of jointly solving differential equilibrium equations and the Guber-Mises energy condition of plasticity. The following assumptions were adopted as working hypotheses: the radial shear stress is equal to the tangential one, the lateral pressure coefficient is equal to the relative density of the compact. Due to the fact that the problem is solved in a generalform and in a general formulation, the solution itself should be considered as methodological for any axisymmetric loading scheme. The transcendental equations of the deformation compaction ofa porous body are obtained both for an ideal pressing process and taking into account contactfriction forces. As a result of the development of a method for solving these equations, the formulas for calculating the local characteristics of the stressed state of the pressing, as well as the integral parameters of the pressing process are derived: pressure, stress, and deformation work.
Keywords. Metal, shape, particle, solid, density, porosity, mold, punch, matrix, focus, deformation, elementary, volume, tensor, stress, condition, plasticity, axis, symmetry, scheme, contact, loading, compaction, friction, rheology, resistance, pressure, effort, work, pressing, problem, continuum, model, method, calculation, system, equation, solution. For citation. Dyakonov O. M. Force calculation of the process of briquetting powder, chip and other bulk materials. Foundry production and metallurgy, 2019, no. 3, pp. 118-125. https://doi.org/10.21122/1683-6065-2019-3-118-125.
_ё к лге к г^гшр пт к
-3, 2019
Пористые тела образуют порошковые, стружковые, гранулированные и другие сыпучие металлические материалы, которые в силу классификации по химическому составу и размерам частиц (структурных элементов) следует отнести к разряду структурно-неоднородных материалов. В большинстве случаев форма частиц не является геометрически правильной или вообще определимой, из-за чего ставится под сомнение возможность применения к ним контактно-дискретной модели деформационного уплотнения. Гораздо более предпочтительным в таких случаях является применение сжимаемой континуальной модели с реологической характеристикой (пределом текучести), определяющей сопротивление металла деформированию.
Решение осесимметричной задачи теории прессования пористых тел предполагает определение локальных характеристик напряженного состояния прессовки по координатам, а также интегральных параметров: давления, усилия и работы деформации. В качестве модели пористого тела принимаем сплошное сжимаемое жесткопластическое тело с пределом текучести а^. Процесс брикетирования пористой заготовки 1 проводим в жесткой матрице 2, опирающейся на пружину 3 (рис. 1). Матрица 2
перемещается со скоростью верхнего пуансона 4, при этом нижний пуансон 5 остается неподвижным. Боковая поверхность прессовки, по форме представляющей собой тело вращения, в любой фиксированный момент осесимметричного нагружения описывается уравнением R = R(z). Силовой расчет производим без учета сил контактного трения.
В работе приняты следующие обозначения:
И0, Hk - начальная и конечная высота прессовки; h - текущее значение высоты прессовки; Дh - путь деформирования; R - радиус прессовки в заданном сечении г; р - текущее значение плотности; Pk -предельное значение плотности беспористого брикета; 5 = р / Pk - относительная плотность прессовки; 50, dk - начальное и конечное значения относительной плотности; р = 1 -5 - относительная пористость; а^ - предел текучести металла; k - константа пластичности; f - коэффициент трения.
Для любой точки очага деформации дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрических координатах записываются следующим образом:
Рис. 1. Технологическая схема прессования пористого тела в подвижной матрице
да, дт„
аг -Ор
дг дг дг„ да„
= 0,
= 0.
дг дг г Условие пластичности Губера-Мизеса имеет вид
\2 / \2 , ч 2
(аг -ар) + (ар-О ) +К -аг )2 + 64 =2а2.
(1) (2)
(3)
Элементарный объем прессовки с компонентами тензора напряженного состояния показан на рис. 2. В условиях осесимметричного нагружения в меридиональных плоскостях, проходящих через ось г (плоскостях р), касательные напряжения равны нулю. Компоненты напряжений не зависят от координаты р.
Согласно условию полной пластичности Хаара-Кармана [1], когда течение металла в радиальном направлении ограничено стенкой матрицы, а в тангенциальном кинематически запрещено вследствие симметричного разграничения в плоскостях р, можно принять, что При этом нормальное радиальное напряжение аг прямо
а =а
р-
пропорционально плотности прессовки и в пределе при 5 = 1 достигает значения а [2-4]:
аг =аф=5а г.
(4)
Рис. 2. Элементарный объем очага деформации с компонентами тензора напряжений
В условиях всестороннего неравномерного сжатия материала, т. е. значительного преобладания шаровой составляющей тензора напряжений над девиаторной, зависимость между нормальным осе-
120 /
FOUNDRY PRODUCTION nND М€ТПИи!ЮУ
3, 2019-
вым и нормальным радиальным напряжениями линейная. Относительная плотность прессовки 5 практически равна коэффициенту бокового давления.
Относительная плотность так же, как и путь деформирования или время, является общим переменным параметром процесса прессования, но для рассматриваемого фиксированного момента выступает как константа при расчете напряженного состояния.
С учетом допущения (4), закона парности касательных напряжений тгг = тгг = т и обозначения а г = а система уравнений (1)-(3) запишется следующим образом:
да дт
5— + — = 0, дг дг
дт да
— +--
дг дг
= 0,
(5)
(6)
(1 -5)2 а2
-3т2 =а2. (7)
Условие пластичности (7) устанавливает следующую взаимозависимость между компонентами тензора напряжений:
а = —-у/
Р
а2 -3т2,
т = -
Я
3
Л
2 2 2 а - Р а .
(7.1)
(7.2)
Для последующих расчетов составим таблицу производных от этих выражений, используя известное в математике понятие взятия производной от неявно заданной функции. С учетом (5)
тт„
р^
а2 - 3т2
3т
"А
(7.3)
тт г
а = —
Л
а2 - 3т2
3т
та
73
р2ааг
Л
2 2 2 а - Р а
т, = —
73
р 2ааг
4
= -5а,
2 2 2 а - Р а
(7.4)
(7.5)
(7.6)
Здесь а (г, г), т (г, г) - искомые напряжения (функции независимых координат г, г) при заданной относительной плотности прессовки 5.
Геометрическая интерпретация условия пластичности
Условие пластичности (7) геометрически интерпретируется как окружноь радиусом каждой точке которой соответствует напряженное состояние, вызывающее и поддерживающее пластическое течение металла. На рис. 3 оси а, г повернуты на 90°, т. е. условно показаны в плоскости номинального сечения. Каждой точке очага деформации (допустим это будет точка А с координатами г, г) соответствует искомый тензор напряжений а, т (точка В на окружности пластичности) с проекциями на оси напряжений 73 т и ра. Углы прямоугольного треугольника ОВС (назовем его треугольником пластичности) определяются из следующих соотношений:
.ра . л/3 т 73т а = а1гат—, р = а1гат-= агС£-,
а а ра
Бокодая поверхность прессоОки
Окружность пластичности
а
Р = П.
2
(8)
Рис. 3. Геометрическая интерпретация условия пластичности
3
Ё г: ГГ^ К ГСШТМЭТГГС гт
3, 2019
/121
На оси симметрии г касательное напряжение т равно нулю (г = 0, т = 0) по всей высоте прессовки при любой степени деформации сжатия. При этом нормальное напряжение с, согласно условию пластичности (7), имеет максимальное значение: с = — с . По мере удаления от оси г в радиальном направ-
Р
лении (0 < г < Я) с уменьшается, а т возрастает. Эти параметры достигают своих экстремальных значений при г = Я. Соответственно угол а треугольника пластичности ОВС изменяется в пределах от п /2 до 0, а угол Р - от 0 до п / 2 . Сумма этих двух углов равна п / 2, что, так же, как и уравнение (7), является математическим выражением условия пластичности. На боковой поверхности прессовки при г = Я в радиальном направлении есть напряжение, но нет деформации. По мере увеличения относительной плот-
•ч/з
ности (80 <8 < 1) с^<х>, в то время как т не может превысить величины ттах = .
Уравнение деформационного уплотнения
Для определения напряженного состояния пористого тела первое и второе слагаемые уравнения (6) представим в виде функции т и ее производной тг с использованием выражений (7.1), (7.2), (7.3), (7.5):
л/3
Р 2ссг
4-
2 2 2 с. - Р с
Р ^ - 3т2 38 т
Уравнение (6) запишем в виде
р ^с2 - 3т2 ёт 3
ё т
38 т ёг р^с2 - 3т2 Разделяя переменные и интегрируя, получаем
-т = 0.
р>/3 ¡V
73
- т
38
ё т- й I
ё т
-- ¡ёг = 0,
,73
- т
р № - 3т2 38 т
(
у[3р у/3 \ . >/3 т г
--1--а1гат---= С .
38 р
(8)
или с учетом (7.1)
где
—+уР-- = С,
ют г
л/3р л/э . >/3 т
у =--1--, Р = а1тат-,
38 р сs
38
ю = -
2 '
(9)
Постоянную интегрирования С найдем из начальных и граничных условий. В момент начала пластической деформации на поверхности контакта прессовки с верхним пуансоном, т. е. при г = h = И0, г = Я,
касательное напряжение достигает величины, равной константе пластичности: т = k = с . Как следует из условия (7), нормальное напряжение обращается в нуль: с = 0. Таким образом,
С = уП-И0. 2 Я
Решение (9) принимает следующий вид:
с
г п И0
—+ур-- = у---^.
ют г 2 Я
(10)
2
т
122 /
FOUNDRY PRODUCTION AND METALLURGY
3, 2019-
Граничные условия удовлетворяются подстановкой в (11) значения R = R(z). Для цилиндрической матрицы R = const, для конической R = R + z tg a , где R0 - радиус матрицы у ее основания; a - угол наклона образующей конуса.
Уравнение (11) представляет собой уравнение деформационного уплотнения пористого тела, связывающее воедино все параметры процесса. Для определения напряжений с и х это уравнение необходимо решать совместно с условием пластичности (7), т. е. подстановкой выражений (7.1), (7.2):
рюх
73с
4
2 2 2 - Р с
z п Hq
-уР — =
r 2 R
z п H о
Ур =У т" о . r 2 R
(12)
(13)
Уравнения (11)—(13) являются трансцендентными, функции а(г,г) и т(г,г) заданы в неявном виде. Их решение возможно лишь численным методом. Тем не менее, эти уравнения представляют собой замкнутое решение осесимметричной задачи теории прессования пористых тел при условии пластичности Губера-Мизеса.
Частные выражения условия пластичности в уравнении деформационного уплотнения
Первое слагаемое уравнения (6) представим в виде функции а и ее производной а г с использованием выражений (7.3), (7.5), (7.6):
х„ = —
73
Р2ссг
73р2
сх,
с2с.
Уравнение (6) запишем в виде
2 2 2 с. — Р с
35
4
2 2 2 с. — Р с
35 с2 — ~2-2 '
р с
35
d с d с х
— + - = 0.
- р2с2 dz dz
Разделим левую и правую часть равенства на т с подстановкой выражения (7.2):
35 с2 — р2с2 х dz х
1 d с 1 d с 1
--+--+ - = 0,
73р
35
d с 73 1
(г, У
-с
V
^+1 = о. dz r
-с
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
73р
35
I-
с^ с
'с. *
-с
_7з ^
d с
|Ч у I р)
гuz п
■ + J — = 0,
r
-с
73р
35
• рс
- arcsin —
'с. |
I р )
-с
73 . рс z
--arcsin--ь — = C,
(
73р 73
35 р
\
• рс
arcsin--
73р2
35
i
,+z=с,
2 2 2 r - рс r
-3, 2019
или с учетом (7.2), (8)
/123
ya- —+ - = C. (14)
ют r
Постоянную интегрирования С, как и в предыдущем случае, найдем из начальных и граничных ус-
Тз
ловий, т. е. при z = h = H0, r = R. В момент начала пластической деформации т = k = —с s, с = 0, С = H0/R. Решение (14) принимает следующий вид: 3
ya-^- + - = H°. (15)
ют r R
Сопоставляя уравнения (11), (15), приходим к выводу, что эти уравнения представляют собой одно и то же уравнение, выраженное в одном случаем углом b (11), а во втором - углом a (15) (рис. 3). Если сложить их левые и правые части, то получим условие пластичности (7), выраженное углами a, b:
• "J3 т . рс п
arcsin--barcsin— =b+a=—. (16)
Cs Cs 2
Уравнение (15) можно получить также из уравнения (11) простой заменой угла b углом a: b = п / 2 - a.
Присутствие в уравнении деформационного уплотнения тригонометрических функций углов треугольника пластичности есть следствие того, что нормальное и касательное напряжения с и т жестко связаны между собой алгебраической зависимостью (7).
Определение напряженного состояния пористого тела.
Решение трансцендентных уравнений
Для определения напряжений с и т с помощью простейших формул воспользуемся особенностями осесимметричного нагружения. Для этого вновь обратимся к рис. 3. Номинальное сечение прессовки так же, как и круг пластичности, имеет форму круга радиусом R. Рассматриваемая точка A лежит на окружности радиусом r. Пересечение последней с диагональю OB треугольника пластичности OBC дает точку B', которая имеет те же координаты z, r и находится в том же напряженном состоянии, что и точка A. Проекция радиуса r (OB') на ось r (совпадает с осью напряжений т) дает отрезок r' (OC') и образует координатный треугольник OB'C'. Прямоугольные треугольники OBC и OB'C' с равными углами a, b геометрически подобны, следовательно:
73 т r' рс y/r2 -(r ')
— = — = sin b = m, — =
r сs
с л/3 л/3 с г 2 V3
- = —.т--^, с = —V1 -m , т = т—с. (17)
т р tg b pb р з
Для расчета напряжений с и т по формулам (17) достаточно найти величины угла b и коэффициента m. Подставим соотношение с / т из (17) в (11). После несложных пребразований получаем квадратный трехчлен, из которого определяем угол b, а затем и коэффициент m:
ab2 + bb + c = 0, b12 = -Ь ±Л/Ь2 - 4aC , (18)
2a
где
r— п H о z . a = уюр; b = - K юр; c = V3 ; K = y---- + — ; m = sin p.
2 R r
Коэффициент m является сложной функцией координат точек очага деформации, относительной плотности прессовки и предела текучести деформируемого металла при заданном температурно-скоростном режиме прессования.
Система уравнений (4), (17), (18) представляет собой замкнутое аналитическое решение уравнения деформационного уплотнения пористого тела (11). Помимо расчета и анализа локальных характеристик напряженного состояния прессовки, эти уравнения позволяют определить интегральные параметры процесса прессования: давление, усилие и работу деформации.
124 /
FOUNDRY PRODUCTION RND МСТШШ^У
3, 2019-
Силовой расчет процесса брикетирования
Построение силовых диаграмм и определение работы деформации связано с определением средне-интегральной величины давления на поверхности контакта прессовки с верхним пуансоном при г = h, R = Rk. Среднее давление без учета сил контактного трения рассчитывается по формуле:
*(- >—- Тз >
Чг =
Чг (5) ^ = ± (аг + Тгг) йБ = Л^Т^ +
^ 55 0 ^ р
й пг =
2а „
м Р^1 V +4 0 ^р 3 .
(19)
ну
гйг.
По результатам численного интегрирования (19) строится диаграмма прессования (5), с учетом того что р = 1 - 5 .
Здесь необходимо заметить, что пластическая деформация металла не наступает при нулевом значении среднего по площади контакта давления прессования. В начале процесса среднее давление имеет строго определенную величину, которая была учтена при определении начальных и граничных условий и которую можно рассчитать по формуле (19).
Формула для расчета усилия прессования имеет вид
р = ЧгБ = 2па41 -V1 -т2 + т^3-
гйг.
(20)
Влияние сил контактного трения
Силовые параметры процессов брикетирования сыпучих материалов в значительной степени зависят от трения боковой поверхности прессовки о стенку матрицы, которое возникает при наличии их относительного перемещения. На рис. 4 показаны графики скоростей перемещения: I - матрицы 2 (скорость матрицы 2 равна скорости V перемещения верхнего пуансона 3), II - частиц металла 1 по высоте прессовки h, III - матрицы 2 относительно прессуемого металла 1. Скорость частиц металла по высоте прессовки уменьшается от максимального значения V до нуля, т. е. матрица, движущаяся с постянной скоростью V, обгоняет прессуемый металл. Следовательно, результирующая сила бокового трения всегда направлена в сторону действующего усилия прессования, что свидетельствует об эффективности технологической схемы, приводит к значительному снижению сопротивления деформированию и работы деформации (энергетических затрат).
Среднеинтегральная величина нормального бокового давления определяется следующим образом:
1 к 1 к
Чг = ТХ[аг (г) + ^ (г)]= Т| [5а(г) + *(г)]= п 0 п 0
(21)
л/3
В соответствии с законом Амонтона-Кулона удельная сила трения прямо пропорциональна боковому давлению:
л/3 >
, аsf к|5 г-2 л/3
* = fqr = -р-| -V1 -т2
(22)
Рис. 4. Графики скоростей перемещения по высоте прессовки: I - матрицы 2; II - частиц металла 1; III - матрицы 2 относительно прессуемого металла 1
А КГГ^ К ГГСГШР НТКг
/125
-3, 2019
Сила бокового трения равна произведению удельной силы трения на площадь боковой контактной поверхности прессовки:
о
Усилие прессования пористого тела в подвижной матрице с учетом сил контактного трения рассчитывается по формуле:
р = р - F =
F = tSr = 2nRas/j|4V1-m+m 3
(23)
2nJ — д/l -ц2 + rdr -2nR/J —-y/l—+
p 3
3
/
0
(24)
Путь деформирования и относительная плотность прессовки связаны между собой зависимостью: DJ = Hо - Hyd • Соответственно выражения для определения текущего значения работы деформации и полной работы имеют вид:
DJ 5
Л = J P (DJ ) d (DJ )= J P (5) d 5, (25)
0 5о
Я,-Я
Л = J Р (ЛJ) d(Dh) = Jp(5) dS. (26)
о S,
Выводы
1. В результате применения континуальной модели к силовому расчету процесса брикетирования пористых тел получено замкнутое аналитическое решение осесимметричной задачи методом совместного решения дифференциальных уравнений равновесия и условия пластичности Губера-Мизеса. В силу того что задача решена применительно к телам вращения в общем виде и в общей постановке, само решение следует рассматривать как методологическое при любой схеме осесимметричного нагружения.
2. Получены уравнения деформационного уплотнения пористого тела как для идеального процесса прессования, так и с учетом сил контактного трения.
3. Разработан метод расчета локальных характеристик напряженного состояния прессовки по координатам очага пластической деформации и интегральных параметров процесса прессования: давления, усилия и работы деформации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хаар А. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах /А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности: сб. ст. М., 1948. С 41-56.
2. Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды / Д. Д. Ивлев // Прикладная математика и механика. 1958. Т. 22. Вып. 1. С 90-96.
3. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. М.: Физматлит, 1966. 232 с.
4. Роман О. В. Теоретический анализ зависимости давления на стенки матрицы от плотности прессуемого материала / О. В. Роман, В. Е. Перельман // Порошковая металлургия: материалы IX Всесоюз. конф. по порошковой металлургии, май 1968 г. Рига, 1968. C. 73-79.
REFERENCES
1. Haar A. K, Karman T. Teorii naprjazhennyh sostojanij v plasticheskih i sypuchih sredah [Theories of stress in plastic and bulk media]. Teorijaplastichnosti = Plasticity theory. Moscow, 1948, pp. 41-56.
2. Ivlev D. D. Ob obshhih uravnenijah teorii ideal'noj plastichnosti i statiki sypuchej sredy [On general equations of the theory of ideal plasticity and static medium]. Prikladnaja matematika i mehanika = Applied Mathematics and Mechanics, 1958, vol. 22, vyp. 1, pp. 90-96.
3. Ivlev D. D. Teorija ideal'noj plastichnosti [The theory of perfect plasticity]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1966. 232 p.
4. Roman O. V., Perel'man V. E. Teoreticheskij analiz zavisimosti davlenija na stenki matricy ot plotnosti pressuemogo materiala [Theoretical analysis of the dependence of pressure on the matrix walls on the density of the material being pressed]. Poroshkovaja metallurgija: materialy IX Vsesojuznaja kon/erencija po poroshkovoj metallurgii, maj 1968 g. [PowderMetallurgy: Materials IX All-Union Conference on Powder Metallurgy, May 1968]. Riga, 1968, pp. 73-79.
