CC BY
30
УДК 681.516.35:517.938
СИГНАЛЬНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
О. В. Стукач
Томский политехническийуниверситет
Предложено новое понятие сигнально-параметрической инвариантности нелинейной системы управления и определены условия инвариантности параметров отклика системы к амплитуде входного сигнала. Рассмотрена связь классической и параметрической инвариантностей систем. Получены соотношения для расчета дефекта инвариантности и рассмотрены способы его уменьшения. Обсуждена возможность оптимизации систем управления по критерию сигнально-параметрической инвариантности.
Проблема инвариантности систем к возмущающим воздействиям была впервые поставлена в теории автоматического управления в связи с необходимостью повышения точности работы систем автоматического регулирования [1, 2]. Под инвариантностью понимают свойство системы противостоять возмущающему воздействию. Если отклик системы не зависит от возмущения, то такая система абсолютно инвариантна, и ошибка авторегулирования равна нулю. Если это свойство выполняется приближенно, то инвариантность системы относительна. В многочисленных работах по теории инвариантности были получены условия независимости реакции системы от возмущающего воздействия и фазовых координат, а также найдены условия физической реализуемости. Хороший обзор этих исследований сделан, например, в работах [3, 4].
Однако классическая теория инвариантности осталась незавершенной, поскольку в ней рассматривается только независимость отклика от возмущений [4, 5]. Это ограничивает класс решаемых задач и означает в большинстве случаев обеспечение помехоустойчивости. В зарубежных работах, появившихся значительно позже отечественных, решение задачи инвариантности рассматривается как поиск обратной связи, компенсирующей возмущение, т. е. еще более узко [6, 7]. Не устоялась терминология: например, не получивший развития термин “инвариантность до е” менее удобен, чем употребляемая в этом же смысле “относительная инвариантность”. В работах по параметрической инвариантности, т. е. исследованию чувствительности отклика системы к изменению ее внутренних параметров, показано, что в случае линейных систем задача обеспечения параметрической инвариантности сводится к задаче сигнальной инвариантности, т. е. инвариантности к внешним возмущениям. Но абсолютно не исследованным оказалось свойство неизменности параметров отклика или фазовых координат системы от каких-либо параметров воздействий. Назо-
вем это внешней, сигнально-параметрической инвариантностью и покажем, что она имеет гораздо большее значение, чем инвариантность в классическом смысле, причем для систем самого различного назначения.
Цель работы заключается в определении сигнально-параметрической инвариантности нелинейных систем управления и условий инвариантности параметров отклика системы к амплитуде воздействия.
Известно, что свойством абсолютной параметрической инвариантности обладают линейные системы. Форма их нормированного отклика не зависит от параметров воздействия. Реакция нелинейных систем в общем случае зависит от параметров воздействия. И поскольку на практике часто используются линеаризованные системы, можно попытаться найти приближение параметров нелинейной системы к линейной. Очевидно, это приведет к улучшению характеристик системы, поскольку система, оставаясь нелинейной, приобретает другое, не менее важное, свойство сигнально-параметрической инвариантности.
Воспользуемся идеей работы [2] и запишем уравнение состояния системы в виде:
с откликом
Щ) = I от-,
і — 1
(1)
(2)
где х{ — фазовые координаты; х? — их производные по времени I; Е — амплитуда входного воздействия /(Р); п — число фазовых координат или порядок системы; а~ — нелинейные функции или коэффициенты; , g. — коэффициенты. Система (1) инвариантна в классическом
ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 2 • 2006
47
смысле, если ее отклик не зависит от хотя бы одного возмущающего воздействия:
D(P) = inv[/(P)].
Назовем систему (1) сигнально-инвариантной, если хотя бы один параметр её отклика не зависит хотя бы от одного параметра воздействия. Например, соотношение v = inv[ Е ] характеризует инвариантность перерегулирования i к амплитуде воздействия. Очевидно, устойчивая линейная система параметрически инвариантна. Параметры нелинейной системы в общем случае зависят от параметров воздействия, поэтому величину
є = max\\G(t)
E
Gi (t)\\/E -
min
(З)
назовем дефектом инвариантности нелинейной системы, который показывает, насколько параметр отклика 8(Р) нелинейной системы отличается от параметра отклика 81 (Р) линеаризованной системы. Дефект инвариантности н дает количественную оценку того, насколько неинвариантным к амплитуде воздействия Е является отклик 8(Р), поэтому соотношение (3) пригодно для оптимизации систем по критерию инвариантности. Непосредственное вычисление дефекта инвариантности связано с решением системы (1). Для практических целей, однако, требуется лишь оценка (3), что дает возможность сравнивать системы по критерию сигнально-параметрической инвариантности. Очевидно, целью оптимизации нелинейной системы является уменьшение дефекта инвариантности.
Определим условие инвариантности перерегулирования нелинейной системы к амплитуде единичного импульсного воздействия 1(Р). Отклик (2) системы по окончании переходного процесса
п
^ = X ОТ с*,.
У = 1
Для устойчивой системы он может быть найден в результате решения системы уравнений (1) при а^= 0. Введем функцию перерегулирования
8,(0 = х (0/х те(0 - 1. (4)
Подставляя функцию (4) в уравнение (1), находим
X (А..8; + В..8) = 0, , = !Тп . (5)
у = 1
Продифференцируем по Е систему (5) и поменяем местами независимые операции д/дЕ и р = д/дР. Получим:
X Ар + 8} дА../д8у + В^/дЕ = 0, , = т. (6)
У = 1
Система (6) линейна относительно д8/дЕ, поэтому для инвариантности перерегулирования по условию дЗ^дЕ = 0 требуется равенство нулю определителя, полученного вычеркиванием -го столбца и первой строки из определителя системы (6). Абсолютная инвариантность будет достигаться в случае нулевого определителя системы (6), а это возможно только для линейной системы.
Рис. 1. Зависимость отношения перерегулирования нелинейной системы к перерегулированию линеаризованной от амплитуды воздействия
Рис. 2. Зависимость отношения времени фронта импульса нелинейной системы к времени фронта импульса линеаризованной от амплитуды воздействия
В качестве примера рассмотрим уравнение инвариантной системы:
ax" + bx sinx + x = E.
()
Проведем численную оптимизацию отношения перерегулирования импульсного отклика нелинейной системы (7) к перерегулированию линеаризованной системы (без нелинейности 8тх) по критерию инвариантности к амплитуде входного импульсного воздействия. Результаты численных расчетов представлены на рис. 1 (штриховые кривые — неоптимизированная система, сплошные — оптимизированная). Горизонтальная линия соответствует линейной системе. В результате оптимизации дефект инвариантности уменьшился. На рис. 2 показано полученное отношение времён фронтов импульсов, которое не оптимизировалось и поэтому оказалось не самым лучшим. На рисунках отмечены точки пересечения кривых для нелинейной и линейной систем с линейной, в которых инвариантность становится абсолютной. Это условие может быть получено из равенства нулю определителя системы (6) и для данного примера имеет вид
а + Ъ 8шх + 1 = Е.
Характерно, что этим условием нельзя воспользоваться без оптимизации. Из примера видно, что применение принципа инвариантности усложняет оптимизацию систем, так как одновременно требуются контроль
48
CONTROL SCIENCES № 2 • 2OOE
качества переходного процесса и обеспечение сигнально-параметрической инвариантности. В отличие от задачи компенсации внешних возмущений в классической теории управления реализация принципа сигнально-параметрической инвариантности имеет свои особенности. Например, в классической теории управления доказано, что принцип инвариантности основан на физическом явлении компенсации возмущения с помощью двух каналов передачи сигнала. Сигнально-параметрическая инвариантность возможна и в одноканальной нелинейной системе, поскольку оптимизацией параметров системы всегда можно добиться относительной инвариантности с допустимой точностью. Поэтому реализация условий относительной инвариантности улучшает качественные показатели систем и позволяет проектировать системы с новыми свойствами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Щипаное Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. — 1939. — № 1.
2. Лузин Н. Н., Кузнецов П. И. К абсолютной инвариантности и инвариантности до s в теории дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР. — 1946. — Т. 51, № 4. — С. 247—250; № 5. — С. 331—334.
3. Менский Б. МПринцип инвариантности в автоматическом регулировании и управлении. — М.: Машиностроение, 1972. — 248 с.
4. Theory of Sensitivity in Dynamic Systems, An Introduction — Mansour Eslami, Reviewed by E. N. Rosenvasser and R. M. Yusupov // IEEE Trans. on Automatic Control. 1999. — Vol. 44, N 5. — P. 1101—1103.
5. Aranda-Bricaire Е., Kotta U. Generalized Controlled Invariance for Discrete-Time Nonlinear Systems with an Application to the Dynamic Disturbance Decoupling Problem // IEEE Trans. on Automatic Control. 2001. — Vol. 46, N 1. Р. 165— 171.
6. D'Alessandro P., De Santis Е. Controlled Invariance and Feedback Laws // IEEE Trans. on Automatic Control. — 2001. — Vol. 46, N 7. P. 1141—1146.
7. Isidori A., KrenerA., Gori-Giorgi C., Monaco S. Nonlinear decoupling via feedback: A differential geometric approach // IEEE Trans. on Automatic Control. — 1981. — Vol. 26, N 2. — P. 331—345.
в (3822) 26-02-99
E-mail: tomsk@ieee.org
Web: http://ieee.tusur.ru/ru/pages/stukach.htm □
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ "УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ"
Первая из предполагаемой серии конференций проводимых Институтом проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук совместно с рядом ведущих научно-исследовательских институтов и вузов. Предполагается обсудить теоретические основы и практические проблемы управления инновациями.
Основные проблемы, которым будет посвящена конференция:
9 инновации и новое качество экономического роста;
9 научно-техническая информация как хозяйственный ресурс и как фактор производства;
9 управление технологической структурой производства на предприятии;
9 макроэкономические предпосылки инновационных процессов;
9 инновации и цикличность экономической динамики;
9 человеческий капитал, его формирование и использование;
9 институциональные аспекты стимулирования инновационных процессов;
9 национальная инновационная система России;
9 инновационный потенциал российских регионов;
9 моделирование и прогнозирование инновационных процессов;
9 инновационная политика государства;
9 стратегия инновационного развития России.
В рамках конференции пройдут Первые друкеровские чтения "Информационная экономика и современные концепции менеджмента", посвященные памяти Петера Друкера (1909—2005), выдающегося ученого, специалиста в области институциональной экономики, менеджмента и управленческого консультирования.
Место и время проведения — 13—15 ноября 2006 г., Москва, Институт проблем управления РАН. Предполагается публикация сборника тезисов докладов к началу конференции. Регистрационный взнос — 700 руб. Оплата производится по прибытии на конференцию.
Текущую информацию о конференции можно найти на сайте ИПУ РАН: www.ipu.ru.
Все контакты между Оргкомитетом и участниками осуществляются только по электронной почте:
lnnovConf@mail.ru или tas2006@ipu.ru.
ПРОБЛЕМЫ УПPAHЛEHИЯ № 2 • 2OOE
48
