CC BY
11
тора 1 полна в Ь2[0,\\. Зададим е>0. Тогда существует номер г и числа
ак , к = 1,2,...,г, такие, что |/ -
I
лемме 3 при q достаточно больших
< е . Пусть S = ^ Е(тк ). Тогда j
к=1
I/-vH/-i«*s>*
I!
Г г
2>*Ф* 2>*Ф* !
м
к = 1
*=1
< Е + СЕ .
Единственность разложения очевидна. Теорема доказана. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курдюмов В. П.. Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с многоточечным краевым условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2004. Выгг. 6. С. 80-82.
УДК 517.5
С. Ф. Лукомский
СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ - УОЛША В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА, БЛИЗКИХ К Z.x."
Пусть ф:[0,+ж) ->[0,+оо) - функция Орлича, т.е. возрастающая выпуклая непрерывная функция, такая, что lim ф(/)// = +» и lim (p(t)/t = 0,
t-*+x г-»+ 0
и пусть Lisp) - пространство Орлича, порожденное этой функцией, т.е.
Цф) = |/ е КОД): II /\\т= infjx > 0: * 1J J ■
Если ф удовлетворяет Д2 условию, т.е. 3/о,С>0, что Vi>i0 tp(2t) < С ■ cp(t), то [1] для частичных сумм Sm(f) рядов Фурье - Уолша функции / бДф) при некоторой постоянной С|(ф) справедливо неравенство
i! SJf) ||£(ф)< С,(ф)-1| / \\т, где ф(х) = xf^dt.
1 t
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 03-01-00390), гранта Президента РФ для поддержки ведупдах научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.374).
63
Нас будет интересовать случай, когда ф не удовлетворяет условию Д2.
Пусть ф: (ОД] (0,+оо) - функция Лоренца, т.е. непрерывная убывающая функция такая, что lim ф(/) = +ж и ф о ф е ¿(0,1). Определим нро-/->0+0
странства ¿(ф,ф), состоящие из тех / е ¿[0,1]. для которых конечна норма
II! / :::д<ху)-тг{>.> 0: ¿ф(|! f L v(r"}{) -11 ■
ТЕОРЕМА 1. 1) ¿(ф,ф) есть банахово пространство с нормой
Hrl!L(4>,V);
2) если ф е Д2, то Л(ф,ф)- сепарабельно.
ТЕОРЕМА 2. Если / б if ф, log-j, то существует постоянная
?
С(Ф,Ф) > 0, что || Sm(f)||Дф)< С(ф,ф)HI /|||i((PiV), где ф(х) = log- .
Доказательство теоремы 1. При доказательстве вместо ЦННцф.ч/) будем писать просто |||-j|j. Стандартным образом [2, с. 150] и используя выпуклость функции ф, убеждаемся, что |||-||| есть норма и ¿(ф.ф) есть линейное пространство. Для доказательства полноты достаточно \2, с. 142] проверить выполнение следующих свойств:
(B): если 0</„(i)T/(r) и sup|||/„ ¡||<+со,то /еЦф,у);
(C): если 0 < /„(/) t /(f) е£(Ф,¥), то ||| /„ М /1||.
Проверим условие (В). Можно считать, что sup||! fn |||=1. Из определения нормы |i| -11; следует, что
1ф(|] fm IL V(2-"))2-" < f>|¡1 fm ||„ v(2-")-i— V« < 1. (1)
н=1 n=I V Hl Jm III)
Поэтому V«,meN
Ф(|!/И11„¥(2"я))<2'! т.е. \\fm ||„<фЧ(2")/ф(2_п). Отсюда по теореме Леви
lim J1 fm(t)\n dt=]\fm{t)\n dt < (ф~! (2n)/ty(2~" )}*, m~*xo о
т.е. / e ¿„(0,1) при всех n e N, а значит, lim || fm ||n=|| f ||„. Из (1) следует,
,V
что £ф(|| fm IL М/(2 "))2~п < 1 OVeN). Переходя в этом неравенстве к
п—\
пределу при т —> ос и учитывая произвольность N, имеем
5>(i;/Ü„vK2-"))2 "<1. »=l
Отсюда следует, что f е ¿(ф,\j/) и || / ¡¡¡< 1, а значит, и ¡¡l/PsupiJI/JIH lim III/и 11!.
Проверим условие (Q. Пусть 0</m(/')T f (l) е Цц>,ц>). Можно считать, что :i|/;!|=l. Тогда |||/и 1||<] Значит, выполнено условие (8), и потому !!| /|i|<lim||(/m |||. Но ввиду монотонности верно и обратное неравенство III /|||ä lim |j| fm |||. Таким образом, условие (С) выполнено, и пространство 1(ф,\]/) - полное.
Пусть теперь ф е Л2. Для доказательства сепарабельности достаточно [2, с. 142] проверить выполнение условия (А): если fm (t) >1-0, то ||| fm\\\i 0. Для этого отметим, что при X =||| /j |||
Хф[|| f,n II« * £ф(|1 Л II« м/(2"!) 1У" *1 •
Но тогда Ц fm ф 1(2")||| /] HI /ф(2"), и по теореме Лебега о предельном переходе lim ||/m ||„=0 при всех weN. Снова применяя теорему Лебега,
ГП—Юо
находим, что при любом к > 0
Hm £ФГ||/и||п¥(2~")Л2-"=°-
m-+xH = l V Л У
Если выберем А, = — (ре N), то из фе Д2 следует, что 3т е N , что 1Р
¿fill fm iU Ч'(2-")Л 2-" Vro|/m L ф(2-"))2-я <1
и=1 V '«) n—i
при т>т0- Это означает, что Vw > т0 |{| fm |||<——, т.е. lim Ш/ш|||=0, и
2Р w—><»
теорема доказана.
Доказательство теоремы 2. Заметим, прежде всего, что норму ill 'llli(o) чо можно определить и для случая ф(?) = 1. Будем обозначать эту норму через ||| -|^(фЛ)- Покажем, что || / ||,:(ч,)< 4 /|||£(фДля этого проверим вначале, что /*(2")<41| /i|„. В самом деле
и/н;=1/*(о"л= £ 2j\ f(t)\ndt> j/"(2 '')jt 2 "-'/-(2
0 4=02-'-' 2"_1
откуда и следует требуемое неравенство. Но тогда при X = 4 ||j /|||Дфп
о V ) п-=й2-п-\ V а у И=1 \ л;
л-Л я. ^
Отсюда следует, что I! 41||/|||г(фЛ). Отметим, наконец [3, с. 12.?],
что частичные суммы ■$,„(/) ряда Фурье Уолша удовлетворяют неравен-
ст ву
№т<Л\\Р*-Ар\\ПР (Р2 2).
Поэтому
00 f 1 А 00 ( fii \
Id || Sm(t)II -V \2~" < Хф| + Ь-" <
Я=1 V «А.; Л=1 V л у
<2У(/||/|1я V(2-")^V"<1 при Л = 2Л|||/|||Цф >|Л,
и=! V А у
2
где v|/(x) = log—. Это означает, что р| 5,„(/)|!:Ц;, :)< .-1'¡|/, отсюда с
учетом ранее доказанного неравенства |j g41|| g |||х(ф.1> следует
ill Sm(f) ill«,,* Я A HI / |1!Дф, f V(jf) = log2 j,
и теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ CIШСОК
1. Finet С., Tkebuchavu G. E. Walsh - Fourier series and their generalizations in Orliez spaces // J. Mat. Anal. Appl. 1998. Vol. 221. P. 405 - 418.
2. Канторович Л. В., Актов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
744 с.
3. Голубое Б. И., Ефимов А. в., Скворцов В. А. Ряды преобразования Уолша. Тео рия и применения. М.: Наука. 1987. 344 с.
