Сходимость алгоритма полного интуиционистского нечеткой кластеризации C-средних Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сходимость алгоритма полного интуиционистского нечеткой кластеризации

С-средних

Зунг Тхи Тху Нгуен

Аннотация— В этой статье рассматривается сходимость метода полной интуиционистской нечеткой кластеризации ^средних (СИСМ). Метод польной интуиционистской нечеткой кластеризации ^средних на основе модификации целевой функции, учитывающей интуиционистский индекс нечеткости, является более эффективным методом модификации метода интуиционистской нечеткой кластеризации ^средних. Целевой функцией алгоритма кластеризации является серия итераций Пикара в соответствии с обновлением матрицы принадлежности и центров кластеров. Обычно для решения проблемы сходимости последовательностей Пикара используются теоремы о неподвижных точках, классическим случаем которых является теорема о сокращающемся отображении. Последовательности Пикара, основанные на методе нечеткой кластеризации С-средних алгоритм (ЕСМ), не позволяет проверить свойство контракции в основном из-за двухкомпонентной композиционной природы одной итерации. Поэтому в этой работе, рассматривается сходимость метода полной интуиционистской нечеткой кластеризации ^средних с помощью теоремы Цангвилла, Итерационная последовательность, создаваемая алгоритмом метода полной интуиционистской нечеткой кластеризации ^ средних, заканчивается в локальном минимуме или седловой точке, или, в крайнем случае, содержит под последовательность, которая заканчивается в локальном минимуме или седловой точке целевой функции алгоритма полной интуиционистской нечеткой кластеризации ^средних.

Ключевые слова—Полная интуиционистская нечеткая кластеризация С_средних, теорема Цангвилла, сходимость.

I. Введение

В настоящее время алгоритмы кластеризации значительно развиваются и могут быть разделены на два типа: жесткая кластеризация и нечеткая кластеризация. По сравнению с традиционным алгоритмом жесткой кластеризации, алгоритм нечеткой кластеризации имеет хорошую производительность кластеризации и лучшие навыки стали горячей области исследований [1], [2], [3], [4], [5], [6]. Нечеткий алгоритм кластеризации ^ средних (FCM) является наиболее популярным и широко используемым. Целевой функцией алгоритма кластеризации является серия итераций Пикара в

Статья получена 20 декабря 2023.

Нгуен Тхи Тху Зунг, аспирантка, Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого (e-mail: [email protected]; ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9206-5968).

соответствии с обновлением матрицы принадлежности и центров кластеров. Обычно для решения проблемы сходимости последовательностей Пикара используются теоремы о неподвижных точках, классическим случаем которых является теорема о сокращающемся отображении [1], [7], [8], [9]. Последовательности Пикара, основанные на FCM алгоритм, до сих пор сопротивлялись усилиям в этом направлении, в основном из-за двухкомпонентной композиционной природы одной итерации, которая не позволяет проверить свойство контракции. Поэтому доказательство сходимости алгоритма предлагаемого метода может быть преобразовано в доказательство сходимости получения оптимального решения вышеуказанной целевой функции итерационным методом. Бездек доказал, что итерационная последовательность, генерируемая алгоритмом FCM, или существование подпоследовательностей, сходящихся к локальному минимуму объективной функции, основано на теореме Зангвилла [10], [11], [12], [13]. Наряду с этим, алгоритм интуиционистской нечеткой кластеризации C-средних (IFCM) является комплексной формой FCM, более точно моделирующей реальность за счет учета степени колебаний, которые часто существуют в реальности из-за недостатка или неконкретной или неопределенной информации. Метод полной интуитивной нечеткой кластеризации C-средних (CIFCM) является более эффективным методом модификации метода IFCM [14], [15], [16], [17], [18], [19]. В этой статье рассматривается сходимость метода полной интуиционистской нечеткой кластеризации ^средних. С помощью теоремы Цангвилла итерационная последовательность, создаваемая алгоритмом CIFCM, заканчивается в локальном минимуме или седловой точке, или, в крайнем случае, содержит подпоследовательность, которая

заканчивается в локальном минимуме или седловой точке целевой функции алгоритма кластеризации.

II. Теоретические основы

A. Математическая основа метода полной интуиционистской нечеткой кластеризации С-средних.

Предположим, в s-мерном пространстве Rs, имеет п элементов X = {Хг,Х2,...,X¿,...,Хп}, разделенных на с кластеры с центрами кластеров с матрицей V Е Vcn, состоящей из центров кластеров

V = [V-t,V2,...,Vj,...,Vc}. Полная принадлежность i-го

элемента к с кластерам определяется как = 1.

Матрица принадлежности 0 = \fiij] е Усп, Ь = 1, п, У = 1, с. Пусть множество = [0 е Усп]- множество интуиционистских нечетких с-разбиений X. Степень неопределенности первоначально вычисляется вычисляются из интуиционистского нечеткого дополнения Ягера, как:

П;

= 1 -hj- (1 -ßtja)1/а (1)

Где а >0. В предлагаемом алгоритме интуиционистской нечеткой кластеризации целевая функция }т. (М^сх Яс>!) ^ Я, которая должна быть минимизирована, имеет следующий вид:

]т = ъи^и&ц + УПц )та2(Х1, %)(2) Где т - коэффициент нечеткости. В предлагаемом методе используется евклидова мера расстояния, т. е.

,У]) = (хц - у^)2 + ••• + (х1к - д]к)2+...+(х1з -

^)2(3)

Использован метод множителей Лагранжа для минимизации целевой функции при условии ограничения Е^Ду = 1. Лагранжиан Ь(т,Л) строится на основе целевой функции и ограничения следующим образом:

Ь(т,Л) = + упц)" ^(Х,, -

- 1) (4)

Дифференцируем уравнение (5) относительно множителей Лагранжа Л^ и по параметру принадлежности Ду, потом приравняем их нулю следующим образом. В результате получается итерационная формула для значения принадлежности Ду следующим образом:

Ду =-+ УТ]=1*1]) - УЩ]; (5)

гйт-1

ZU

где z = Тогда,

центр вычислена как:

1 -7 + Yfiij (а-1)(1 -ßijaY

кластера Vj = Vj2,.

Vjk.

.. Vjd )

л = Zf[ßij+Y-YßirY(1-ßija)1/a]mxi; j Zj[ßij+Y-YßirY(1-ßija)1/a]m '

(6)

(0*, У*^) является локальным минимумом ]т. Для этого необходимо уточнить оператор Тт.

Соответственно, пусть:

Р. Я™ ^ М1/с, Р(У) = Р(Уи %.....Ус) = и = \flij] (8)

где элементы 0 = \Ду\ = Р(У) вычисляются по (6) с расстоянием (4)

Пусть

С. М1Гс ^ Я™, С(0) = У = (У1, У2.....Ус) (9)

где векторы У^ е Я5 вычисляются по (7) при 1 < ]' < с.

Используя F и С, интуиционистские нечеткие алгоритмы кластеризации можно указать в нескольких эквивалентных формах:

и(к) = (Р ° С)(и(к-1)) =...= (Р °С)(к)(и(0)У; (3*)

V(к) = (в о Р)(У(к-1)) =...= (в о Р)(к)(У(0)); (4*)

Единственное различие между (3*) и (4*) заключается в том, как инициализировать алгоритм с О(0 е М^с или 7(0) е ЯС!:; любая форма представляет собой вычислительную технику, используемую для (надеемся) оптимизации }тф, У). Наша цель ниже - доказать, что эта стратегия теоретически обоснована. Чтобы продолжить, мы должны модифицировать Тт таким образом, чтобы он генерировал последовательности Пикара одновременно в 0 и V. Мы определяем оператор }т- (Щс х ЯСБ) ^ (М^с х ЯСБ) следующим образом:

im = °А1

Где

По поводу условий (6 - 7) сделаем несколько замечаний:

1) Уравнение (6, 7) необходимо, но недостаточно для того, чтобы (0*, 7*)было локальным минимумом ]т,

2) При у ^ 0 алгоритм постепенно приближается к

+

алгоритму FCM, при т ^ 1 к алгоритму К-шеаш. Доказана сходимость этих двух алгоритмов.

3) Интуиционистские нечеткие алгоритмы кластеризации представляют собой итерацию Пикара по циклу, определенному (6-7).

Таким образом, мы определяем составной оператор Т-т. ^ с условиями (6-7) по

и(к)= Тт(0(к-1)) =...= (Тт)(к)(0(0)); к = 1,2,...

Вопрос, который мы пытаемся решить ниже, заключается в том, сходится ли итерационная последовательность (Тт)(к)(0(0)) к (0*), так что

А^. М1Гс х ЯС5 ; А1(и, У) = в (и);

А2. ЯС5^М1/С х Я5С; А2(У) = (Р(У), V).

Явно записывая действие ]т на (0,7), пусть (и, V) обозначает Б(0, У); тогда:

(и, у) = ]т (0, У) = (А2°А1 )(0, У) = л2(А1ф, V)) = А2(С(0)) = (Р(С(0)), С(0)) = (Р о в ф), вф))

В частности, свойства итерационного алгоритма }т зависят от композиции А2 ° Аг, которая, в свою очередь, лежит в Р ° С и С, а значит, в конечном счете, в Р и С, определенных в (8), (9) через (6), (7), соответственно. Мы подчеркиваем это, поскольку анализ ниже зависит именно от этого разложения.

В. Теорема Зангвилля

В данной работе для доказательства сходимости алгоритма, использующего уравнения (6-7), используется теорема Зангвилла о сходимости. Согласно теореме Зангвилла о сходимости итеративных

последовательностей, объективная функция J является убывающей.

Эта задача является многоцелевой задачей оптимизации с ограничениями. Если итерационная формула функции имеет строгие локальные точки минимума, то сходимость алгоритма доказана. 1.

Теорема Зангвилля:

Пусть f: Df<zRm^R-.

S = {х* Е Df: f(x*) < f(y)Vy Е В0 (x*, r)} B0(x*,r) = {yE Rm: Ух* - y\\ < r]

A: Df ^ Df - итерационный алгоритм, xk+1 = A(xk); к = 0,1,...

ЕСЛИ:

(+) Существует непрерывная функция д: Df ^ R, такая, что:

(*) д - функция спуска для {A, S} (**) A непрерывна на Df \S

(++) итерационные последовательности {А(хк): к = 0,1,2,...; х0 Е Df} с ^содержатся в компактном множестве К £ Df для произвольногох0 Е Df,

ТО: для каждой итерационной последовательности [хк], порожденной A, мы имеем либо [хк] заканчивающуюся на решении х* Е S, либо 3 подпоследовательность {xkj} с [хк] так, что{xkj} ^ х* Е S.

Теорема для функции спуска: д: Df ^ R является функцией спуска для {А, 5] если: +) д непрерывно на Df; +) x*£S^ д(А(х*)) < д(х*); +) х* Е S ^ д(А(х*)) <д(х*).

C. Необходимо доказательство сходимости предложенного метода

Пусть Jm:(Mifc х Rcs) ^ (Mifc х R™), где Jm определяется по (3)

5 = {(U*, V*): Jm(U*, V*) < Jm(U, V), V(U, V) Е B0((U*, V*), г)}

Где В0 (U*, V*) = {(U, V) Е {Mifc х Rcs)}

ЕСЛИ: выполняются следующие условия,

(C1)]т - функция спуска для {От,5]

(C2) Jm непрерывна на (Mifc х Rcs)

(C3) итерационные последовательности

{(Jm)kФ(0),V(0)): к = 0,1,2,-..; (U(0),V(0))

Е (MifC х Rcs)}

содержатся в компактном множестве (MifC х [conv(X)]c) в (Mifc х Rcs).

ТО для каждой итерационной последовательности (0(0), в(и(0))) Е М1/с х [сопр(Х)]с, мы имеем:

- либо {]т(^Ф(0^, V(0))} заканчивается в локальном минимуме (0*, V*),

- либо {]ти)Ф(0). ^(0))} содержит подпоследовательность, такую, что {¡т(]к) ф(0), ^(0))} ^ (0*, V*), локальный минимум ]т при ]к ^ да.

Таким образом, необходимо доказать леммы С1, С2 и С3. Сначала нам нужно доказать предложения П1 и П2.

Предложение 1: Если ^ R, 'ф(О) = ]тф, V),

где V Е )ся, то 0* Е является строгим

локальным минимумом функции тогда и только тогда, когда 0* вычисляется по уравнению (6), 0* = Рф).

Предложение 2: Если Rcs ^ R, 4>Ф) = 1тФ> V), где

0 Е , Тогда V* является строгим локальным минимумом тогда и только тогда, когда V* ,1 <]'< с вычисляется через (7), V* = С(0).

Лемма С1: пусть 5 = {(0*, V*)-.]тф*, V*) < ]т(0, V)}, У(0,V) ЕВ0((0*,V*),г)._То }т - функция спуска для {ат, 5].

Лемма С2: ]т непрерывна на (М^с х Rcs).

Лемма С3: Пусть [сопр(Х)]с - с-кратное декартово произведение выпуклой оболочки X, и пусть ф(0), в(0(0))) - начальная точка итерации с , причем 0(0) Е М1Гс и V(0) = Сф(0)). Тогда )(к)ф(0), V(0)) Е ^¡/с х [сопр(Х)]с, где х [сопр(Х)]с является

компактным в х Rcs.

Мы предположили, что т >1, у ^ 1, рассмотрим следующие свойства:

(1) ^ Е [0,1]; I = ,]■ = 1^. (7)

(2) Сумма каждого столбца и должна быть положительной, т. е. > 0, ] = 1, с. (8)

(3) Сумма каждой строки и должна быть равна 1, т. е.!,1]^^] = 1,1 = 1, п. (9)

Б. Доказательство сходимости предложенного метода

Доказательство предложения 1.

Необходимая часть: Мы должны минимизировать *ф, используя ограничения-уравнении (8), (9) и (10). Полагая р.^ = , VI,у. Тогда уравнения (8) и (9) в

совокупности представляются уравнением = 1,

1

1 <] <п. И имеет л^ = 1 - - (1 - ю??)«.

Пусть Ш = и, используя метод множителей

Лагранжа, рассмотрим расслабленную минимизацию ф(0), опуская уравнение (9). Тогда, Ь(Ш,X) быть лагранжианом, заданным выражением:

n с

L(W, À) = 2

i=1 j=1

wr,

1

+ y{1 - W?J - (1 - )â)j d\(Xi,Vj)

n 1С

™ïj - 1

1=1 \]=1

Если 'ф минимизируется в точке (№*, Л*), то градиент в обоих наборах переменной должен быть равен нулю. Поэтому:

дЪ(№*Х)

= 0,1 <i<n; (10) = 0, 1 <i<n, 1 <j<c. (11) a3L. =0 Ю Щ=1< = 1 (5*)

dXt dL(W'X) dwij

От (11) Ю dL(w'X) - rn^ vn ,„l От (12) ^

dL = dwij

2m(wlj + yn)r

2wtj

+ YI -2Wij + 2wla-1. (1 -wïff

dl(Xi, ^)

-2Àiwij = 0

wl +

yû, = (±y-1\2 (1 -у + ywïrl-(1 -

-1

1,4 „ Лт-1

wï?y )dï(Xi, Vj)\ (6*) От (5*) и (6*) получает:

1

(¿л™-1 =

хт)

= (1+ у %=1 Иц) ZU [2 (1 - 7 + Ywïr2-(1

wH;)^-1)dl(xi, Vj )

Подставив (7*) в (6*), получим:

ï

w,

где z

z'dm-1

Zj=1z*dm-1

(1 + YZj=1nij)-ynij ;

= (1 -y + ywïUï. (1 -wïfy-1)"

К ¡H ш

Из уравнения (8*), получаем п различных собственных

*

значений матрицы Гессе Иь (и ), каждое из которых имеет кратность с. Следовательно, Иь (и *)— диагональная матрица.

Поскольку каждое 5 ц > 0 при 5 = 1, ^ = ] , то

5й5 ш

Иь (и*)— положительно определенная матрица с

главными диагональными элементами больше 0 и недиагональными элементами, равными 0. Таким образом, она удовлетворяет достаточному условию. Следовательно, и* — строгий локальный минимум V*.

(Ч. Т.Д)

Доказательство предложения 2.

Поскольку минимизация по ИСБ является неограниченной задачей, необходимость (7) следует из требования, чтобы 7у.ф(у*) исчезало для каждого ]'. Эквивалентно, направленные производные ('V'*, у) по V] исчезают в V* в произвольных направленияху е ЯБ,у Ф в. Пусть Ь е И, и определим V/:

(О = Щ* + гу) = Т1=1(рц + упц)т \\Х1 -

(у; + ^)\\2;

□

и " "

'(t) = + Yûij) (xî - Vf - ty>xi - Vj - ty)

Î=1

где (z,z) = \\z\\2- внутреннее произведение на Rs.

n m

d^j(t)

dt

= X (flij + Y^ij) (-y, xi - Vj* - ty)

i=1

+ (Xi - v* - ty, -y) = -2 \S(fiij + Y^ij )m(y, Xi - v; - ty)

vî=1

(7*) dhj(0)

dt

= V(v;,y) = -2(ZU(fiij + Y^ij)m(y, Xi -

Как видно, что z* = z и оттуда получает ßtj = wï

Достаточная часть: Мы рассмотрим матрицу Гессеса Нь (0*), которая является функцией от 0, рассчитанной при 0 = 0*. Взяв частную производную второго порядка по {м/Л }

4mWjd1(m- + gp*Тгщ- 2wtjg +2gvf"1(a1- vff"']+ + 4md2(v?2 + gp*)m1+ 4mgw2a"2(2a +1)d2(1 - vc2a)1/a- 4mgd2- 211

вслучае s= i, t= j

впротивномслучае (8*)

V;)) = 0; 1 <]<С.

Таким образом, необходимо для каждого ]', чтобы:

(а) (у,Ъи&ц + упц)т(х1 - V*)) = 0; Vy е ^,у Ф в

Поскольку (а) может быть нулем для произвольного у Ф в тогда и только тогда, когда его второй аргумент является нулевым вектором, из условия (7) вытекает и необходимость установлена. Хотя достаточность (7) можно установить, вычислив собственные значения ^^ (V*), Гессиана матрица размер (сб х сб) при V*, полезно привести другое доказательство. Пусть у = (У1, у ......Ус), У] е я5, Vjи сед.

Тогда определим

а(1) = ^(9* + ьу) = Ъи^и&ч + У*иТ N - V* -

Тогда

1

]Xt) = ysyj-2(ßij + ^Xi - - tyj)

i=l j=l

И

□ "(0 = УГ[НФ(У* + ty)]y

ne rn

= ^^ 2(ßij + Y*ij) &, У])

î=I j=i

Таким образом, при t = O мы находим, что Чу Ф в Е Rcs,

+

(Ч. Т. Д)

Доказательство леммы 2:

G = (Gii, Ui2,.. ., и es

): Rc

Rc

где Gij: Rcn — R определяется через (7) как

Gij (U) =

Zïïflij + Y- Yflij - 7(1 - ßtja )1/a]m Xt

= Vn

Gij (0) =

Bg (U ) Си (U)

является коциентом двух непрерывных скалярных полей для всех 1 <1<с; 1 <]'< п. Ввиду ограничения (9), Сц (0) никогда не исчезает, поэтому также непрерывенV¿,у. Поэтому Сив свою очередь А1, непрерывны на всех своих доменах. ПосколькуЛ 2 (Ю = (р(У), V), достаточно показать, что F - непрерывная функция (сб) переменных {У^}. F - векторное поле с разрешением по (сп) скалярным полям,

(b) п"(0) = yT[H^(V*)]y = 2 (zUhlW2 ffi=i(fii. Y*ij )m)]

Для у Ф в, из (b) и ограничений > 0 следует,

что h"(0) > 0, т.е. H^(V*) положительно определена. Таким образом, (7) достаточно, и V* является строгим локальным минимумом *ф.

(Ч. Т. Д)

Доказательство леммы 1:

Видно, что }т является суммой произведений функций типа {у^\\у\\2}, {у ^ ут], поэтому непрерывна на х Rcs. Далее, предположим, что (0, V) & S. Тогда:

Jm(Om(U, V)) = Jm(A2 oAi(U, V)) = Jm(F(G(0)), G(U))

Jrn(Dm(U, V)) < Jm(U, G(U)) (по предложению 1)

Jm(Om(U, V)) < Jm(0, V) (по предложению 2)

Наконец, если (U, V) Е S, то в приведенном выше аргументе равенство преобладает.

где Ftj : Rcs

Pu (V) =

F = (Fii, F.......Fcn): R^-R™

— R определяется через (6) как

-2

" " " '-1 f \

—2 С1 + Y Zcj=i nij) - Yiïij = ßi.

где Z :

1 -7 + Yfiu(a-i)(l -fiua)~a

-i m—1

Поскольку любая нормальная функция (униформенно) непрерывна, имеем

{V} ^ — V} У} непрерывна V/;

{||Хг -Ц^ ||*г - Ц-2/(т-1)] непрерывна V};

образом, Fij (V)

коциент двух непрерывных

Поскольку 5т = А2° А1, а композиция непрерывных функций снова непрерывна, достаточно показать, что А1 и А2 непрерывны обе. Поскольку А1(0, V) = й(0), ^непрерывен, если непрерывен С. Чтобы убедиться, что С непрерывно в (сп) переменных {р^}, заметим, что С - векторное поле, разрешаемое (сб) скалярным полем, скажем

а сумма непрерывных функций непрерывна; таким ^ -

Ец(У)

скалярных полей для всех 1 < ]' < с; 1 <1<п. Ввиду нашей общей гипотезы, что йц = - У^У > 0, V], I непрерывна. Поэтому ¥, и в свою очередь А2, непрерывны на всех своих областях. Таким образом, 5т = А2° А1 непрерывно на М^с х Rcs. (Ч. Т. Д)

Доказательство леммы 3:

Пусть выбрано 0(0) Е М1/с. Тогда V(0) = вф(0)) вычисляется по (6) так, что

^ (0)= 1 <1<с.

-(0) -(0) ,„ ,(0)а.7 Pij >+Y-YV-ij-Y(.i-V-ij ' У

Пусть

Ра =-

1 <Кп.

Ввиду ограничений (8) и (9) должно быть так, чтобы 0 < р^ < 1Vi,]и поэтому V]

+ г-гРц-г(1 -Аца )1/а\

Теперь ^ (Дц + у- уР-ц - Г (1 - Ац " )1/а )т}

непрерывно, {(А^ )т ^ + у- гк] - Y(1 -

)1/а)т-хк]} непрерывно, и сумма непрерывных функций непрерывна; таким образом,

Ъ (0)= ^Рц* i=i

При

m

I»« = I

W+ KjO {=i\Z=1(ßf+ уп^У

=1

МОО

Таким образом, Vj, Vj(0) 6 conv(X), и поэтому V(0) 6 [conv (X)]c. Продолжая рекурсию, мы знаем, что U(1) = F(V(0)) 6 Mifc по (7), и тогда V(1) = G(U(1)) 6 [conv(X)]c c по тому же аргументу, что и выше. Таким образом, каждый итерат принадлежитМус х

[conv(X)]c. Заметим, что если V(0) является инициализацией функции Зт, то мы можем выбрать 7(0) 6 Rcs\[conv(X)]c, но U(0) = F(V(0)) 6 Mifc, так что V(k) = G(0(k)) 6 [conv(X)]cVi > 1.

Чтобы убедиться, что х [conv(X)]c компактен, заметим, что X конечен, каждый Хк 6 Химеет конечные компоненты, поэтому диаметр X = diameter(conv(X)) ограничен. Поскольку conv (X) - это выпуклая оболочка конечного числа генераторов, она замкнута.

Таким образом, conv(X) замкнута и ограничена в Rs. По обобщенной теореме Гейне-Бореля conv(X) компактна, а значит, [conv(X)]c также компактна. Аналогичный во всех отношениях аргумент (MtfC = conv(Mco)), устанавливает компактность MtfC. Таким образом, Mifc х [сопу(Х)]скомпактен. (Ч. Т. Д).

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе доказано, что интуиционистский нечеткий C-средних сходится. С помощью теоремы Цангвилла итерационная последовательность, создаваемая алгоритмом CIFCM, заканчивается в локальном минимуме или седловой точке, или, в крайнем случае, содержит подпоследовательность, которая заканчивается в локальном минимуме или седловой точке целевой функции алгоритма кластеризации

Благодарности

Выражаем благодарность учёным и исследователям в рассматриваемой области, предложившим эффективное направление прогнозирования временных рядов, которое является основой для разработки новых улучшений, предложенных в этой работе.

Библиография

[1] Т. Т. З. Нгуен and Л. В. Черненькая, "Нечеткая модель второго типа прогнозирования временных рядов с хедж-алгеброй и алгоритмом генетической оптимизации," International Journal of Open Information Technologies, vol. 12, no. 1, pp. 10-20, 2024.

[2] Т. Т. З. Нгуен and Л. В. Черненькая, "Фаззификация в моделях прогнозирования нечетких временных рядов," Журнал Известия Тульского государственного университета - Технические

науки (ТулГУ, г. Тула), vol. 8, no. Системный анализ, Управление и обработка информации, pp. 337-346, 2023.

[3] M. S. Abu, L. E. Aik, and N. Arbin, "A theorem for improving kernel based fuzzy c-means clustering algorithm convergence," AIP Conf Proc, vol. 1660, 2015, doi: 10.1063/1.4915677.

[4] James C. Bezdek, Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms.

[5] J. Bezdek, "Fuzzy Mathematics in Pattern Classification," Cornell University, Ithaca, New York, 1973.

[6] L. A. Zadeh, "Fuzzy Sets," Information and control, vol. 8, pp. 338-353, 1965.

[7] Т. Т. З. Нгуен and Л. В. Черненькая, "Эвристическая нечеткая модель прогнозирования высокого порядка с хедж-алгеброй," in Системный анализ в проектировании и управлении, 2023.

[8] P. T. M. Phuong, P. H. Thong, and L. H. Son, "Theoretical Analysis of Picture Fuzzy Clustering: Convergence and Property," Journal of Computer Science and Cybernetics, vol. 34, no. 1, pp. 17-32, 2018, doi: 10.15625/1813-9663/34/1/12725.

[9] G. Gan and J. Wu, "A convergence theorem for the fuzzy subspace clustering (FSC) algorithm," Pattern Recognit, vol. 41, no. 6, pp. 1939-1947, 2008, doi: 10.1016/j.patcog.2007.11.011.

[10] Нгуен Тхи Тху Зунг and Л. В. Черненькая, "Дискретизация в моделях прогнозирования нечетких временных рядов," Журнал Известия Тульского государственного университета -Технические науки (ТулГУ, г. Тула), vol. 8, no. Системный анализ, Управление и обработка информации, pp. 296-304, 2023, doi: 10.24412/20716168-2023-8-296-297.

[11] Т. Т. З. Нгуен and Л. В. Черненькая, "Модель Прогнозирования Эвристических Нечетких Временных Рядов Высокого Порядка, Основанная На Хедж-Алгебраическом Подходе Часть 2," Журнал Известия Тульского государственного университета - Технические науки (ТулГУ, г. Тула), vol. 9, no. Системный анализ, Управление и обработка информации, 2023.

[12] Т. Т. З. Нгуен and Л. В. Черненькая, "Системный анализ в управлении развитием территориальных комплексов вьетнама," in В сборнике: Системный анализ в проектировании и управлении. сборник научных трудов XXV Международной научной и учебно-практической конференции, СПБ, 2021, pp. 346-352.

[13] Q. M. Danish Lohani, R. Solanki, and P. K. Muhuri, "A convergence theorem and an experimental study of intuitionistic fuzzy c-mean algorithm over machine learning dataset," Applied Soft Computing Journal, vol. 71, pp. 1176-1188, 2018, doi: 10.1016/j.asoc.2018.04.014.

[14] Нгуен Тхи Тху Зунг and Васильевна Черненькая Людмила, "Модель Прогнозирования Эвристических Нечетких Временных Рядов Высокого Порядка, Основанная На Хедж-Алгебраическом Подходе Часть 1," Журнал Известия Тульского государственного университета - Технические науки (ТулГУ, г. Тула),

vol. 9, no. Системный анализ, Управление и обработка информации, 2023.

[15] C. Wu and N. Liu, "Suppressed robust picture fuzzy clustering for image segmentation," Soft comput, vol. 25, no. 5, pp. 3751-3774, 2021, doi: 10.1007/s00500-020-05403-8.

[16] Y. Pu, W. Yao, and X. Li, "EM-IFCM: Fuzzy c-means clustering algorithm based on edge modification for imbalanced data," Inf Sci (N Y), vol. 659, no. January 2023, p. 120029, 2024, doi: 10.1016/j.ins.2023.120029.

[17] A. K. Varshney, P. K. Muhuri, and Q. M. D. Lohani, Density-based IFCM along with its interval valued and probabilistic extensions, and a review of intuitionistic fuzzy clustering methods, vol. 56, no. 4. Springer Netherlands, 2023. doi: 10.1007/s10462-022-10236-y.

[18] C. Wu and Z. Kang, "Robust entropy-based symmetric regularized picture fuzzy clustering for image segmentation," Digital Signal Processing: A Review Journal, vol. 110, p. 102905, 2021, doi: 10.1016/j.dsp.2020.102905.

[19] Dung Thi Thu Nguyen, A Complete Intuitionistic Fuzzy C-Means Clustering Method, International Journal of Open Information Technologies, vol. 12, no. 7, pp. 97-104, 2024.

Convergence of the complete intuitionistic fuzzy C-means clustering algorithm

Dung Thi Thu Nguyen

Abstract—This paper discusses the convergence of the complete intuitionistic fuzzy C_means clustering method (CIFCM). The complete intuitionistic fuzzy C-means clustering method based on the modification of the target function considering the index hesitance is a more efficient method to modify the intuitionistic fuzzy C_means clustering method. The target function of the clustering algorithm is a series of Picard iterations according to the updating of the membership matrix and cluster centers. Usually, fixed point theorems, of which the contracting mapping theorem is a classical case, are used to solve the convergence problem of Picard sequences. Picard sequences based on the fuzzy clustering method C-means algorithm (FCM) does not allow to verify the contraction property mainly due to the two-component compositional nature of one iteration. Therefore, in this paper, the convergence of the complete intuitionistic fuzzy C_means clustering method is examined using Zangwill's theorem, The iterative sequence generated by the algorithm of the complete intuitionistic fuzzy C-means clustering method ends at a local minimum or saddle point, or, at most, contains a sub-sequence that ends at a local minimum or saddle point of the target function of the complete intuitionistic fuzzy C_means clustering algorithm

Keywords—Complete intuitionistic fuzzy C_means clustering, Zangwill theorem, convergence.

References

[1] T. T. Z. Nguen and L. V. Chernen'kaja, "Nechetkaja model' vtorogo tipa prognozirovanija vremennyh rjadov s hedzh-algebroj i algoritmom geneticheskoj optimizacii," International Journal of Open Information Technologies, vol. 12, no. 1, pp. 10-20, 2024.

[2] T. T. Z. Nguen and L. V. Chernen'kaja, "Fazzifikacija v modeljah prognozirovanija nechetkih vremennyh rjadov," Zhurnal Izvestija Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta - Tehnicheskie nauki (TulGU, g. Tula), vol. 8, no. Sistemnyj analiz, Upravlenie i obrabotka informacii, pp.

337-346, 2023.

[3] M. S. Abu, L. E. Aik, and N. Arbin, "A theorem for improving kernel based fuzzy c-means clustering algorithm convergence," AIP Conf Proc, vol. 1660, 2015, doi: 10.1063/1.4915677.

[4] James C. Bezdek, Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms.

[5] J. Bezdek, "Fuzzy Mathematics in Pattern Classification," Cornell University , Ithaca, New York, 1973.

[6] L. A. Zadeh, "Fuzzy Sets," Information and control, vol. 8, pp.

338-353, 1965.

[7] T. T. Z. Nguen and L. V. Chernen'kaja, "Jevristicheskaja nechetkaja model' prognozirovanija vysokogo porjadka s hedzh-algebroj," in Sistemnyj analiz v proektirovanii i upravlenii, 2023.

[8] P. T. M. Phuong, P. H. Thong, and L. H. Son, "Theoretical Analysis of Picture Fuzzy Clustering: Convergence and Property," Journal of Computer Science and Cybernetics, vol. 34, no. 1, pp. 17-32, 2018, doi: 10.15625/1813-9663/34/1/12725.

[9] G. Gan and J. Wu, "A convergence theorem for the fuzzy subspace clustering (FSC) algorithm," Pattern Recognit, vol. 41, no. 6, pp. 1939-1947, 2008, doi: 10.1016/j.patcog.2007.11.011.

[10] Nguen Thi Thu Zung and L. V. Chernen'kaja, "Diskretizacija v modeljah prognozirovanija nechetkih vremennyh rjadov," Zhurnal Izvestija Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta - Tehnicheskie nauki (TulGU, g. Tula), vol. 8, no. Sistemnyj analiz, Upravlenie i obrabotka informacii, pp. 296-304, 2023, doi: 10.24412/2071-6168-2023-8-296-297.

[11] T. T. Z. Nguen and L. V. Chernen'kaja, "Model' Prognozirovanija Jevristicheskih Nechetkih Vremennyh Rjadov Vysokogo Porjadka, Osnovannaja Na Hedzh-Algebraicheskom Podhode Chast' 2," Zhurnal Izvestija Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta - Tehnicheskie nauki (TulGU, g. Tula), vol. 9, no. Sistemnyj analiz, Upravlenie i obrabotka informacii, 2023.

[12] T. T. Z. Nguen and L. V. Chernen'kaja, "Sistemnyj analiz v upravlenii razvitiem territorial'nyh kompleksov v'etnama," in V sbornike: Sistemnyj analiz v proektirovanii i upravlenii. sbornik nauchnyh trudov XXV Mezhdunarodnoj nauchnoj i uchebno-prakticheskoj konferencii, SPB, 2021, pp. 346-352.

[13] Q. M. Danish Lohani, R. Solanki, and P. K. Muhuri, "A convergence theorem and an experimental study of intuitionistic fuzzy c-mean algorithm over machine learning dataset," Applied Soft Computing Journal, vol. 71, pp. 1176-1188, 2018, doi: 10.1016/j.asoc.2018.04.014.

[14] Nguen Thi Thu Zung and Vasil'evna Chernen'kaja Ljudmila, "Model' Prognozirovanija Jevristicheskih Nechetkih Vremennyh Rjadov Vysokogo Porjadka, Osnovannaja Na Hedzh-Algebraicheskom Podhode Chast' 1," Zhurnal Izvestija Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta -Tehnicheskie nauki (TulGU, g. Tula), vol. 9, no. Sistemnyj analiz, Upravlenie i obrabotka informacii, 2023.

[15] C. Wu and N. Liu, "Suppressed robust picture fuzzy clustering for image segmentation," Soft comput, vol. 25, no. 5, pp. 3751-3774, 2021, doi: 10.1007/s00500-020-05403-8.

[16] Y. Pu, W. Yao, and X. Li, "EM-IFCM: Fuzzy c-means clustering algorithm based on edge modification for imbalanced data," Inf Sci (N Y), vol. 659, no. January 2023, p. 120029, 2024, doi: 10.1016/j.ins.2023.120029.

[17] A. K. Varshney, P. K. Muhuri, and Q. M. D. Lohani, Density-based IFCM along with its interval valued and probabilistic extensions, and a review of intuitionistic fuzzy clustering methods, vol. 56, no. 4. Springer Netherlands, 2023. doi: 10.1007/s10462-022-10236-y.

[18] C. Wu and Z. Kang, "Robust entropy-based symmetric regularized picture fuzzy clustering for image segmentation," Digital Signal Processing: A Review Journal, vol. 110, p. 102905, 2021, doi: 10.1016/j.dsp.2020.102905.

[19] Dung Thi Thu Nguyen, A Complete Intuitionistic Fuzzy C-Means Clustering Method, International Journal of Open Information Technologies, vol. 12, no. 7, pp. 97-104, 2024.