CC BY
30
39. II'in V. A. How to express basis conditions for the equiconvergence with trigonometric series of expansions related to non-self-adjoint differential operators // Computer Math. Applic. 1997. 34. N 5-6. P. 641-647.
40. Крицков JI. В. О безусловной базисности систем корневых функций одномерного сингулярного оператора Шредингера // Диф. ур-ния. 1991. 27. № 8. С. 1446-1447.
41. Крицков Л. В. Распределение собственных значений сингулярных дифференциальных операторов на отрезке // Диф. ур-ния. 1993. 29. № 5. С. 773-779.
42. Крицков Л. В. Ограниченность кратностей для равномерно минимальных в ¿2 систем обобщенных экспонент // Докл. РАН. 1995. 341. № 4. С. 450-451.
43. Моисеев Е. И., Прудников А. П., Седлецкий A.M. Базисность и полнота некоторых систем элементарных функций. М.: ВЦ РАН, 2004.
44. Тихомиров В. В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряженного оператора Шредингера // Диф. ур-ния. 1983. 19. № 8. С. 1378-1385.
45. Тихомиров В.В. О безусловной базисности корневых векторов нагруженных операторов / / Диф. ур-ния. 1989. 25. № 2. С. 355-357.
46. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении // Диф. ур-ния. 2002. 38. № 3. С. 405-416.
47. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. М.: Наука, 1986.
48. Shishmarev I.A., N au m kin P.I. Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves // AMS Transi. Math. Monographs. 1994. 133.
49. Ill и ш m ар e в И. А. Асимптотика при t —> оо решений обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова // УМН. 1998. 53. № 4. С. 178.
Поступила в редакцию 16.06.04
А. А. Васин, Д. В. Денисов, В. В. Морозов,
ШКОЛА ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В МГУ
(кафедра исследования операций факультета ВМиК)
1. Введение. Исследование операций представляет собой направление прикладной математики, в котором изучают целенаправленные действия (стратегии) в различных сферах человеческой деятельности (таких, как военное дело, экономика, управление, проектирование сложных технических объектов и т.п.).
Основателем научной школы исследования операций в МГУ им. М.В. Ломоносова является Ю.Б. Гермейер (1918-1975). Благодаря его научному и педагогическому таланту в университете начиная с 60-х гг., была развернута подготовка специалистов по исследованию операций, изданы монографии и учебные пособия. Монографии Ю.Б. Гермейера [1, 2] определили научную деятельность не одного поколения исследователей и задают тон работе по сей день. В 1970 г. Ю. Б. Гермейер совместно с В. Г. Кармановым (1922-2003) создали кафедру исследования операций на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. В ее состав вошли С. А. Ашманов (1941-1994) и Э.Г. Давыдов (1933-1997). С. А. Ашманов, известный алгебраист, занимался вопросами математической экономики [3] и устойчивости задач линейного программирования [4]. Э.Г. Давыдов, исследователь с широким кругозором, изучал игры дуэльного типа [5], вопросы использования метода моментов и задачи оптимального распределения ресурсов на сетевых графиках [6].
В настоящее время научная школа насчитывает 12 докторов (П. С. Краснощеков, A.A. Белоли-пецкий, A.A. Васин, Ю.Г. Евтушенко, А. Ф. Измаилов, С. К. Завриев, Н. С. Кукушкин, Н.М. Новикова, Н.М. Попов, И. Г. Поспелов, Г. И. Савин, Ю.А. Флеров) и 10 кандидатов наук (Г. А. Белян-
1В подготовке статьи активное участие принимали И. И. Поспелова и А. Ф. Измаилов.
В. В. Федоров
кин, П. А. Васина, М.Р. Давидсон, Д. В. Денисов, O.P. Меньшикова, И. С. Меньшиков, В. В. Морозов, И. И. Поспелова, В.Ю. Решетов, М.Г. Фуругян). Ее признанным лидером является академик РАН П. С. Краснощеков, ведущий ученый в области создания моделей исследования операций, в частности распределенных моделей боевых действий и моделей коллективного поведения, а также систем автоматизированного проектирования. Его книга [7], написанная совместно с академиком РАН A.A. Петровым, переиздавалась в 1998, 2000 гг. и служит примером непростого искусства моделирования целенаправленных действий многих участников.
В 70-х гг. ученики Ю.Б. Гермейера и В. Г. Карманова В. В. Федоров (1946-2004), А. Г. Сухарев, В. В. Морозов, Д. В. Денисов, Д. А. Молодцов, В. А. Горелик, Н. С. Кукушкин, М.Г. Фуругян, A.A. Васин, A.B. Тимохов, O.P. Меньшикова, И. С. Меньшиков, Н.М. Новикова в качестве аспирантов занимались различными вопросами теории игр и исследования операций, теории и методов оптимизации. В дальнейшем все эти аспиранты стали известными специалистами в своих направлениях, докторами и кандидатами наук. В свою очередь уже их ученики развивают теорию и методы исследования операций, применяют методологию исследования операций в новых областях знаний.
Среди результатов, полученных усилиями нескольких поколений представителей школы, можно отметить следующие:
— построены решения иерархических игр как в статике, так и для различных динамических постановок (см. обзор [8]);
— исследованы равновесия в играх с иерархическим вектором интересов или с другими "структурированными" функциями выигрыша [9-11] а также равновесия и ядра кооперативной теории в случае, когда интересы игроков определяются коалиционной структурой [12];
— создана теория антагонистических игр с векторными функциями выигрыша [47, 31, 32];
— исследована формальная постановка задачи анализа живучести многопродуктовых сетей как многокритериальной минимаксной задачи [16];
— исследована иерархическая схема принятия решений в процессе проектирования сложных технических объектов; разработан метод синтеза технических характеристик управляемого динамического объекта [13];
— разработаны минимаксные алгоритмы поиска экстремума функции при условии неопределенности в способе задания функции; аналогичные алгоритмы разработаны для задач численного интегрирования [14];
— предложен единый подход к конструированию численных методов полубесконечной и бесконечномерной негладкой выпуклой оптимизации, основанный на итеративном комбинировании метода штрафов и стохастических квазиградиентов при последовательном уточнении конечномерной аппроксимации; разработана схема итеративной регуляризации и выведены условия согласования управляющих параметров, гарантирующие сильную сходимость (с вероятностью 1) [16, 17];
— теоретически обоснована идея итеративной аппроксимации в процессе оптимизации; в результате построены оригинальные алгоритмы поиска седловой точки, решения двухэтапных стохастических и минимаксных задач, не только конечномерных, но и поставленных в произвольном гильбертовом пространстве, даны новые процедуры решения вариационных неравенств, в том числе негладких, а также выпуклых задач оптимального управления с фазовыми ограничениями и оптимального управления распределенными системами [18];
— исследованы множества исходов игр многих лиц, которые соответствуют ситуациям равновесия, возникающим в информационных расширениях игры [19, 20] или при ее повторении [21];
— изучены связи эволюционных моделей поведения с теоретико-игровыми принципами оптимальности [22];
— разработаны модели коллективного поведения с приложениями к социальной сфере [7, 23].
В последние 5-10 лет эти результаты были дополнены и уточнены следующими:
— разработаны метод обратной логической свертки [24] и субградиентные алгоритмы для построения решений в задачах векторной оптимизации на многопродуктовых сетях, для синтеза сетей с гарантиями живучести, для поиска динамических стратегий восстановления и при решении задач развития [25];
— получены результаты устойчивости смешанных равновесий по Нэшу в моделях популяционной динамики [26];
— исследованы задачи оптимизации налоговой системы [27], эндогенного формирования целевых функций субъектов [28] и моделирования несовершенной конкуренции на экономическом рынке [29].
За последние годы научная тематика школы существенно расширилась. В частности, большая доля работ связана с исследованием (моделированием и оптимизацией) сложных систем, имеющих сетевую, территориально распределенную структуру [30]. Кроме того, особое внимание уделяется теории принятия решений одновременно в условиях неполной информированности и наличия многих критериев [31, 32]. Также важное место в научных интересах коллектива занимает теория и разработка численных методов исследования операций. Постоянное вовлечение в круг интересов школы новых тем, не рассматривавшихся ранее другими исследователями, относится к хорошим традициям научной школы исследования операций.
2. Теория оптимизации. Важнейшее место в работах представителей данной научной школы занимает тематика задач оптимизации. Начало этой деятельности было положено в работах профессора В. Г. Карманова. Его учебник [34] был едва ли не первой книгой по данной тематике на русском языке и сыграл выдающуюся роль в становлении и развитии отечественной численной оптимизации. Своеобразие стиля и подхода к излагаемому материалу обеспечивают этому учебнику популярность у студентов и специалистов и по сей день. Впоследствии на кафедре были написаны другие монографии и учебные пособия по теории оптимизации [35-39]. Книга [35] помимо введения в численную оптимизацию содержит весьма полный и вместе с тем очень доступно изложенный курс конечномерного выпуклого анализа и теории оптимизации, который и по сей день читается для студентов кафедры. Сборник задач [36] по этому курсу содержит множество полезных фактов, порой неизвестных даже специалистам, которые часто обращаются к этой книге как к справочнику по теории оптимизации. В числе последних работ В. Г. Карманова — полученные в соавторстве с А. Ф. Измайловым и А. А. Третьяковым результаты о стабилизирующих свойствах градиентного метода для линейных приближенных схем.
В работах В. В. Федорова и его учеников развивались численные методы максимина, в том числе методы штрафа и связанная с ними теория, а также стохастические методы оптимизации [40]. Чрезвычайно важным является предложенный В. В. Федоровым способ вывода классических необходимых условий оптимальности в задачах условной оптимизации с помощью снятия ограничений посредством штрафования. Впоследствии этот способ многократно использовался другими авторами в более сложных (неклассических) ситуациях, например для вывода тонких условий оптимальности второго порядка при отсутствии регулярности ограничений.
Важнейшее понятие, введенное В. В. Федоровым, — это так называемая метрическая регулярность (или /^-регулярность), состоящая в наличии линейной оценки расстояния от точки до допустимого множества, выраженной через невязку ограничений задачи оптимизации. Рассмотрим задачу математического программирования
/(ж) —т- min, х G D, (1)
D = {х G R" | F(x) = 0, G(x) <С 0}, (2)
где / : К" —> R — заданная функция, F : К" -^l'nG: R™ —> Rm — заданные отображения. Допустимое множество D этой задачи называется метрически регулярным в точке х G D, если существуют окрестность U точки х и число С > 0 такие, что
dist (x,D) iC С max{0, ||F(a:)|| , G^x),. ..,Gm(x)} Ух G U.
Данное свойство всегда имеет место при выполнении традиционных условий регулярности ограничений, и при этом именно оно требуется в целом ряде приложений, одним из которых является получение оценок скорости сходимости метода штрафных функций. Многие современные работы по теории и численным методам оптимизации так или иначе используют понятие метрической регулярности (см., например, [41] и цитированную там литературу).
Под регулярностью ограничений задачи (1), (2) в точке х G D может пониматься упоминавшаяся выше метрическая регулярность либо совпадение касательного конуса к множеству D в точке х с линеаризованным конусом
L(x) = G М" I F'(x)Z = 0, (с:(ж),0 ^ о Уг G А(х)},
либо более сильные условия такие, как условие Мангасариана-Фромовица, состоящие в линейной независимости векторов F'Ax), j = 1,...,/, G[(x), i G A(x), и существовании вектора £ G Rn такого,
ЧТО
= 0, (с:(ж),О<0 УгеА(ж).
Здесь А(х) = {г | С1{х) = 0} — множество индексов активных в точке х ограничений-неравенств. Однако существуют важные классы задач, в которых подобные условия не выполняются, что приводит к принципиальным трудностям. Условиям оптимальности для таких задач, а также эффективным численным методам для их решения много внимания уделяется в работах А. Ф. Измайлова и Д. В. Денисова (см. [37, 38] и цитированную там литературу). А. Ф. Измаилов занимается также вопросами теории чувствительности для задач оптимизации и вариационного анализа, а также ньютоновскими методами для последних.
Книга [39] представляет собой современный курс численных методов оптимизации. Основное внимание в этом курсе уделено методам общего назначения, ориентированным на решение гладких задач вида (1), (2) без какой-либо специальной структуры. Излагаются как классические методы, важные в идейном отношении, так и более изощренные новые алгоритмы, привлекающие в настоящее время наибольшее внимание специалистов и пользователей.
М.Р. Давидсон предложил прямо-двойственный метод агрегирования линейных ограничений мно-гопериодной задачи стохастического программирования [42]. На его основе разработан метод решения динамической задачи управления портфелем (с линейными ограничениями и квадратичной функцией полезности). Метод использует декомпозиционный принцип, позволяющий свести исходную многошаговую задачу к последовательности задач меньшей размерности. В динамической задаче стохастического программирования для бинарного дерева сценариев (двух возможных значений случайного фактора на каждом шаге принятия решений) теоретически обоснована аппроксимационная схема и доказана оценка вычислительной сложности (на порядок меньше по числу узлов сетки). Предложено использовать метод для расчета цен азиатского и других экзотических опционов. Для случая непрерывной вероятностной меры построены стохастические алгоритмы агрегирования ограничений для решения задачи поиска стохастической седловой точки при наличии ограничений, выполняющихся почти наверное, и исследована их теоретическая сходимость как в регулярном (сильно выпукло-вогнутом), так и в нерегулярном случаях.
Н.М. Новиковой в [43] предложен оригинальный алгоритм решения двухэтапных стохастических и игровых задач управления потоками в многопродуктовых потоковых сетях со случайными параметрами. Алгоритм базируется на применении метода потенциальных функций к двойственной задаче. Проведено обобщение алгоритма на линейные стохастические игровые задачи с рекурсией, а также линейные стохастические задачи с блочной структурой матрицы ограничений. Изучены постановки двухэтапных задач принятия решений с неизвестной (неточно или не полностью известной) функцией распределения случайных факторов. Получено нетривиальное обобщение теоремы Гермейера о виде экстремальных функций распределения (реализующих гарантированные оценки средних значений) при известных границах на конечное число моментов — для оцениваемых функций индикаторного типа, т.е. разрывных. Найдено явное решение задачи управления потоками в многопродуктовых сетях со случайной пропускной способностью, для которой известны математическое ожидание и ограничения на дисперсию.
Для задач оптимизации в бесконечномерном пространстве, не являющихся сильновыпуклыми, в том числе для постановок, возникающих при сведении стохастических игровых задач с рекурсией к оптимизационным в случае бесконечного множества значений случайного фактора, предложена схема итеративной аппроксимации, комбинированная с методом агрегирования ограничений при использовании регуляризации по Тихонову. Доказана сильная сходимость полученного в результате применения данной схемы алгоритма. Проведено сравнительное тестирование предложенного алгоритма, а также метода, использующего штрафование ограничений, и стохастического метода внешних аппроксимаций решения задач полубесконечной оптимизации на примере класса тестовых задач упругопластического кручения стержня [16, 17].
Различными аспектами численной оптимизации, и в частности вопросами устойчивости методов оптимизации по отношению к влиянию помех, занимается С. К. Завриев [44].
3. Многокритериальная оптимизация. Оптимальное проектирование сложной технической системы на стадии формирования ее облика предполагает решение задачи многокритериальной оптимизации. В роли критериев здесь выступают технические характеристики системы, а в роли стратегий — векторы конструктивных параметров. В конце 70-х гг. при разработке системы автомати-
зированного проектирования (САПР) появилась необходимость аппроксимации в метрике Хаусдорфа множества Парето многокритериальной задачи. В. В. Морозовым [48] продемонстрирована возможность такой аппроксимации с использованием сверток векторного критерия. Статья [48] дала начало новому направлению в многокритериальной оптимизации под названием "метода сверток" (см., например, [27]). Впоследствии указанная задача аппроксимации была решена в более общем предположении, когда значения критериев вычисляются с ошибками. При этом приближение множества Парето может осуществляться не только в пространстве критериев (оценок), но и в пространстве стратегий [45, 46].
Качество функционирования многопродуктовой сети определяется вектором критериев — одновременно пропускаемых по сети заявок пользователей [15]. Если предполагается, что исходные пропускные способности дуг сети могут неконтролируемо уменьшаться в заданных пределах, то возникает многокритериальная задача в условиях неопределенности. При этом различают два типа задач: игровые и стохастические — в зависимости от того, являются пропускные способности сети неопределенными или случайными факторами.
Для таких задач Н.М. Новикова [47] предложила новую концепцию векторного минимакса. На ее основе в [31] удалось не только дать единую классификацию существующих в литературе разных определений, но и придумать два типа (в зависимости от содержательной трактовки неопределенности) определений значения максимума для точечно-множественных отображений. Ранее это значение не вводилось, однако именно оно дает способ адекватно определить понятия многошагового векторного максимума в стохастическом случае и минимакса в игровом. В результате был получен аналог формулы Беллмана для кратного векторного минимакса [32]. Указанный подход применен для решения многокритериальных игровых и стохастических задач управления потоками в многопродуктовых сетях. Проведен теоретический анализ ряда модельных игровых и стохастических постановок (см. [15] и диссертацию И. И. Поспеловой).
4. Автоматизация проектирования. Начиная с середины 70-х гг. школой академика П. С. Краснощекова с позиций теории исследования операций разрабатывается математический подход к проектированию сложных технических объектов. Основы этого подхода были заложены в работах П. С. Краснощекова, В. В. Морозова и В. В. Федорова [48-52].
В 1977 г. В. В. Федоров создал методику математического описания множества компоновочных схем самолета, что дало возможность перейти к более эффективному способу их предварительного проектирования. Было показано, что компоновочная схема американского истребителя Е-15 принадлежит границе Парето в рамках разработанной модели. С практической точки зрения этот результат означал, что можно создавать самолеты, по летно-техническим характеристикам не уступающие американским.
П. С. Краснощеков и В. В. Федоров в [48, 51] формализовали иерархическую структуру процесса проектирования: от внешнего проектирования, где формулируются цели создания нового технического объекта и устанавливаются требования к его функциональным характеристикам, до внутреннего проектирования, которое разделяется на этапы предварительного, эскизного и рабочего проектирования. На каждом этапе (уровне) проектирования объект с разной степенью детализации характеризуется конструктивными параметрами, на которые накладываются ограничения компоновочной схемы и которые оцениваются с помощью векторного критерия технических характеристик. На основе построенной схемы осуществлена декомпозиция задачи внешнего проектирования2.
В. А. Вязгин предложил метод синтеза технических характеристик управляемых динамических систем (к которым относятся летательный аппарат, робот-манипулятор, электрическая цепь и т.п.), а также метод последовательного анализа вариантов, предназначенный для проектирования таких систем [13].
В. В. Морозов занимался постановкой и решением задач, связанных с оптимизацией подсистем самолетов. Им был предложен метод оптимальной балансировки самолета при перекачке топлива [54], а также метод минимизации веса гидравлической и электрической подсистем, имеющих структуру дерева, при выполнении требуемых условий их функционирования [55].
Н.М. Поповым в [53] был рассмотрен декомпозиционный метод к решению оптимизационных задач в САПР, основанный на использовании нескольких вычислительных моделей критерия эффективно-
2Идея этой декомпозиции была высказана П. С. Краснощековым летом 1975 г. на Всесоюзной школе по автоматизации проектирования.
сти. Идеи этого подхода использованы также в численном интегрировании при построении квадратурных формул с двумя моделями вычисления подынтегральной функции.
Внедрение этих методов позволило значительно расширить возможности конструирования и перейти от проектирования на основе "прототипа" к оптимизации проекта из большого числа альтернативных вариантов. Они были использованы для решения практических задач проектирования маневренных летательных аппаратов, в частности самолетов СУ-27 и его модификаций.
Исследования в области САПР проводились коллективом ученых, в который наряду с заслуженными профессорами входили и молодые ассистенты, аспиранты и студенты. На основе результатов этих работ были защищены докторские (В. А. Вязгин, Н.М. Попов, А.Г. Перевозчиков), кандидатская (М.В. Абрамова) диссертации.
За создание второй очереди САПР в КБ им. П. О. Сухого в 1981 г. П. С. Краснощекову, В. А. Вяз-гину, В. В. Морозову, В. В. Федорову и другим разработчикам была присуждена премия Совета Министров СССР. Промежуточный итог деятельности школы в области теоретических основ создания САПР был подведен в монографии В. А. Вязгина и В. В. Федорова [13].
5. Моделирование поведения. Важным направлением научной работы школы является разработка принципов математического моделирования сложных систем, а также создание моделей конкретных взаимодействий с участием людей.
Математическое моделирование поведения является предметом теории игр, а также таких дисциплин, как экономика, социология, этология. За последние 30 лет это направление интенсивно развивалось: сформировались такие разделы, как теория повторяющихся и динамических игр, игр с неполной информацией, теория контрактов, эволюционная теория игр. В области приложений были созданы новые модели развивающейся экономики, налогового регулирования, политической конкуренции, теория аукционов, боевых действий и др. Школа П. С. Краснощекова внесла крупный вклад в эти исследования. Основные принципы и ряд конкретных моделей были сформулированы в книгах Ю. Б. Гермейера [1, 2], докторской диссертации П. С. Краснощекова, монографии [7]. При этом важнейшими новыми концепциями являлись следующие:
— учет в моделях иерархического характера взаимодействий в социальных системах, различия между субъектами в доступной информации и в способах принятия решений;
— разработка методов агрегирования, т.е. перехода от микроописания взаимодействий к соотношениям, связывающим макропараметры системы. В частности, развитие методов механики сплошной среды применительно к описанию социальных взаимодействий;
— разработка различных моделей массового (коллективного) поведения с учетом его ограниченной рациональности и подражательных механизмов.
Опираясь на эти результаты, следующее поколение исследователей продолжило разработку данного направления.
Важные результаты о связи эволюционных моделей поведения с теоретико-игровыми принципами оптимальности были получены в монографии [22] и докторской диссертации (1990) A.A. Васина. В последние годы (с 1998 г.) продолжались интенсивные исследования в этой области. Академик П. С. Краснощеков в [7] разработал модель коллективного поведения и ее приложение к задаче формирования трудового коллектива и к прогнозу поведения избирателей, находящихся под воздействием СМИ. Эта тема получила дальнейшее развитие в работе A.A. Васина и Ю.В. Сосиной [23]. Международное признание получили результаты А. А. Васина относительно решения по доминированию повторяющихся игр [22], устойчивости смешанных равновесий в моделях популяционной динамики [26, 56], оптимизации налоговой системы в условиях отклонения от налогов, эндогенного формирования целевых функций субъектов и моделирования несовершенной конкуренции на экономическом рынке [29]. Н.С. Кукушкин [10, 11] разрабатывает условия существования равновесий по Нэшу, а также устойчивых в более сильном смысле исходов стратегических игр, не основанные на ранее известных теоремах о неподвижной точке, в частности свободные от ограничений, налагаемых предположениями о выпуклости. Г. А. Белянкин [57] занимается исследованием игровых моделей в страховании.
Наиболее интересными результатами за этот период были следующие:
— доказана неустойчивость поведения в повторяющихся конфликтных ситуациях, дано описание методов формирования желательных норм поведения за счет введения малых штрафов или поощрений [21];
— доказана асимптотическая неустойчивость смешанных равновесий для широкого класса эволюционных и адаптивно-подражательных моделей [26, 56];
— в работе [58] построена модель аукциона функций предложения для сетевого рынка и найден метод вычисления оптимальных (по Нэшу) стратегий производителей для этой модели. На этой основе получены оценки ожидаемого отклонения цены аукциона от цены конкурентного равновесия и снижения общественного благосостояния по сравнению с конкурентным равновесием. Такой подход позволяет получить более надежные оценки и разработать рекомендации по регулированию рынка с целью сокращения потерь общественного благосостояния. Вычисления по данным Центрального экономического района России показывают, что при типичной эластичности спроса цена для олигополии с пятью компаниями может оказаться в несколько раз больше, чем цена конкурентного равновесия;
— работы [27, 59] посвящены разработке модели налоговой системы и расчету оптимальных правил поведения налоговых проверок. В них рассматриваются основные составляющие этой комплексной задачи: определение структуры налогов и налоговых ставок, обеспечивающих желательный объем доходов бюджета; задача оптимизации налоговых ставок и стратегии аудита для налога на прибыль и подоходного налога; проблема оптимальной организации налоговой инспекции и стимулирование ее работников. Особенностью предлагаемых моделей является учет возможности уклонения от налогов, случайных ошибок налогоплательщиков и коррупции во взаимодействии инспекторов с налогоплательщиками;
— в работе [57] рассмотрена конфликтная ситуация между страховщиком и страхователем, возникающая при заключении договора долгосрочного страхования в части его возможного расторжения. Страховщик может назначить как штраф за досрочное расторжение договора, так и бонус (дополнительную сумму сверх установленной договором) в зависимости от года, на котором договор расторгается. В работе находятся оптимальные стратегии обоих игроков.
Другое традиционное для нашей школы направление анализа конфликтных ситуаций относится к исследованию игр со связанными ограничениями. Новыми этапами здесь стали:
— разработка концепции равновесия (в частности равновесных цен) при наличии связанных ограничений, возникающих в том числе за счет сетевой структуры системы;
— построение численных схем и методов решения экстремальных задач большой размерности для расчета равновесных цен аукционов в сетевых системах.
Классические игровые задачи предполагают, что множества стратегий игроков не зависят от действий их партнеров. В противном случае ограничения оказываются связанными и несправедливы обычные теоремы существования равновесия. Такая ситуация возникает при определении равновесной цены аукциона. Штрафование связанных ограничений вносит элемент произвола в исходную постановку, существенно влияя на равновесные цены.
В отличие от этого подхода планируется исследовать игровую специфику наличия связанных ограничений по разработанной нами ранее общей методологии, но в применении к задаче о поиске равновесной цены с целью выработки правил аукциона, адекватно (справедливо) учитывающих системные ограничения и формирующих цены, отражающие необходимость "расшивания" узких мест. Отдельной проблемой при анализе правил аукциона является определение "рыночной силы" участников — их возможности влиять на цену рынка. Здесь новым моментом исследования является допущение "неявных" коалиций, когда игроки не используют побочных платежей и, следовательно, не могут формально обвиняться в сговоре.
Указанные игровые задачи моделируются с помощью трактовки коалиции как единого игрока с векторной функцией выигрышей, и в этом случае мы можем использовать формализм теории игр с векторными критериями, параллельно разрабатываемый для общего класса задач.
В настоящее время в связи с возрастающим распространением во всем мире электроэнергетических и газовых аукционов растет интерес и к теоретическим исследованиям соответствующих игр как моделей, описывающих возможное поведение участников. Поведенческие аспекты стали особенно важны после неожиданно резкого взлета цен на электроэнергию в Калифорнии из-за якобы "нерыночных" — неконкурентных действий участников без видимого сговора между ними. Поэтому в [30] начато формальное исследование возможности применения полученных для сетевых систем и для многокритериальных игр результатов к практической задаче анализа функционирования рынка электроэнергии.
Важным направлением в работе научной школы является организация регулярных международных конференций по исследованию операций (в 1996, 1998, 2001, 2004 гг.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.
2. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.
3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.
4. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.
5. Давыдов Э.Г. Методы и модели теории антагонистических игр. М.: Изд-во МГУ, 1978.
6. Давыдов Э.Г. Исследование операций. М.: Высшая школа, 1990.
7. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2000.
8. Кононенко А.Ф., Новикова Н.М. Обзор развития игр Гермейера // Программное оборудование и вопросы принятия решений. М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 201-210.
9. Гермейер Ю.Б., Вате ль И. А. Игры с иерархическим вектором интересов // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1974. № 3. С. 54-69.
10. Kukushkin N.S. Potential for binary relations and systems of reactions. Moscow: Computing Centre of the RAS, 2000.
11. Kukushkin N.S. Perfect information and potential games // Games and Economic Behevior. 2002. 38. P. 306-317.
12. Кукушкин H.C., Меньшиков И.С., Меньшикова О.Р., Морозов В. В. Исследование игр с распределением ресурсов // Программное обеспечение и модели исследования операций. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 126-144.
13. Вязгин В. А., Федоров В. В. Математические методы автоматизированного проектирования. М.: Высшая школа, 1989.
14. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М.: Наука, 1989.
15. Малашенко Ю. Е., Н о в и к о в а Н.М. Модели неопределенности в многопользовательских сетях. М.: Эдиториал УРСС, 1999.
16. Davidson M.R. Stochastic constraint aggregation method for convex semi-infinite problems // Trierer Forschungsberichte. Mathematik/Informatik. 1997. 17. P. 1-20.
17. Завриев С. К., Новикова Н.М., Федосова А. В. Стохастический алгоритм решения выпуклых задач полубесконечной оптимизации с ограничениями равенствами и неравенствами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 4. С. 30-35.
18. Давидсон М.Р., Новикова Н.М. Итеративная аппроксимация для задач выпуклой оптимизации с операторными ограничениями в гильбертовом пространстве // ЖВМиМФ. 2000. 40. № 5. С. 659-670.
19. Кукушкин Н.С., Морозов В. В. Теория неантагонистических игр. М.: Изд-во МГУ, 1984.
20. Васин А. А., Гурвич В. А. Коалиционные ситуации равновесия в метаиграх // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1980. № 3. С. 38-44.
21. Vasi n A. A. The folk theorem for dominance solutions // Intern. J. of Game Theory. 1999. 28. P. 15-24.
22. Васин А. А. Модели динамики коллективного поведения. М.: Изд-во МГУ, 1989.
23. Васин А. А., Соси на Ю.В. Об оптимальном распределении информационных ресурсов в избирательной кампании // Матем. моделир. 2004. 16. № 8. С. 24-38.
24. Смирнов М.М. Метод обратной логической сверки. М.: ВЦ РАН, 1996.
25. Новикова Н.М. Решение некоторых стохастических задач оценки допустимости многопродуктовой сети // ЖВМиМФ. 1998. 38. № 5. С. 749-769.
26. Vasin A. A. On stability of mixed equilibrium // Nonlinear Analysis. 1999. N 38. P. 793-802.
27. Васин А. А., Васина П. А. Оптимизация налоговой системы в условиях уклонения от налогов. Роль ограничений на штраф. М.: Российская программа экономических исследований, 2002. Сер. Научные доклады. № 01/09.
28. Васин А. А. Модели эндогенного формирования целевых функций // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. 9. № 2. С. 274-292.
29. Vasin A. A. Price competition in oligopoly: the condition of convergence to and deviation from wal-rasian equilibrium // Intern. J. of Mathematics. Game Theory and Algebra. 2003. 13. N 1. P. 15-29.
30.Давидсон M.P., Догадушкина Ю.В., Крейнес E.M., Новикова Н.М., Удальцов Ю. А., Ширяева Л. В. Математическая модель конкурентного оптового рынка электроэнергии в России // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2004. № 3. С. 68-80.
31. Новикова Н. М., Поспелова И. И. Многокритериальные задачи принятия решений в условиях неопределенности. М.: ВЦ РАН, 2000.
32. Новикова Н.М., Поспелова И. П., Семовская А. С. Кратный векторный минимакс // ЖВМиМФ. 2000. 40. № 10. С. 1451-1463.
33. No vi ко va N.M., Pospelova 1.1. Multicritarial decisión making under uncertainty // Math. Prog. 2002. 92. N 3. P. 537-554.
34. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2000.
35. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.
36. Ашманов С. А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1991.
37. Измаилов А.Ф., Третьяков А. А. Факторанализ нелинейных отображений. М.: Наука, 1994.
38. Измаилов А. Ф., Третьяков А. А. 2-регулярные решения нелинейных задач. Теория и численные методы. М.: Физматлит, 1999.
39. Измаилов А.Ф., Со л од о в М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2003.
40. Федоров В. В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.
41. Иоффе А.Д. Метрическая регулярность и субдифференциальное исчисление // УМН. 2000. 55. № 3. С. 103-162.
42. Davidson M.R. Primal-dual constraint aggregation, with application to stochastic programming // Annals of Operations Research. Applied Mathematical Programming and Modelling IV. Berlin: SpringerVerlag, 1999.
43. Новикова Н.М. Решение некоторых стохастических задач оценки допустимости многопродуктовой сети // ЖВМиМФ. 1998. 38. № 5. С. 749-769.
44. Завриев С. К. Стохастические градиентные методы решения минимаксных задач. М.: Изд-во МГУ, 1984.
45. Нефедов В.Н. Методы регуляризации многокритериальных задач оптимизации. М.: МАИ, 1984.
46. Попов Н.М. Об аппроксимации множества Парето методом сверток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1982. № 2. С. 35-41.
47. Воробейчикова О.А., Новикова Н.М. Векторный минимакс со связанными ограничениями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1996. № 4. С. 45-48.
48. Краснощеков П. С., Морозов В. В., Федоров В. В. Декомпозиция в задачах проектирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1979. № 2. С. 7-17.
49. Краснощеков П.С., Морозов В.В., Федоров В. В. Внешнее проектирование в условиях неопределенности // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1979. № 3. С. 15-27.
50. Краснощеков П.С., Морозов В.В., Федоров В. В. Проектирование технических систем многоцелевого назначения // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1979. № 4. С. 5-10.
51. Краснощеков П.С., Морозов В.В., Федоров В.В. Последовательное агрегирование в задачах внутреннего проектирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1979. № 5. С. 5-12.
52. Краснощеков П.С., Морозов В.В., Федоров В.В. Внутреннее проектирование технических систем в условиях неопределенности // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1982. № 2. С. 56-62.
53. Краснощеков П.С., Морозов В.В., Попов Н.М., Федоров В. В. Иерархические схемы проектирования и декомпозиционные численные методы // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 80-89.
54. Морозов В. В., Ларионова Е.А. Об одном алгоритме решения задачи балансировки // Системное програмирование и модели исследования операций. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 205-211.
55. Морозов В. В., Ларионова Е.А. О проектировании гидравлических сетей с использованием стационарного режима // Программно-аппаратные средства и математическое обеспечение вычислительных систем. М.: Изд-во МГУ, 1994. С. 122-127.
56. Васин А. А., Богданов А. В. Модели адаптивно-подражательного поведения. I. Связь с равновесиями Нэша и решениями по доминированию. II. Устойчивость смешанных равновесий // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2002. № 1. С. 102-111; № 2. С. 97-103.
57. Белянкин Г. А., Семенов А.Ю. Определение системы оптимальных штрафов и вознаграждений за досрочное расторжение договора смешанного страхования жизни // Труды Первой Всесоюзной конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Ч. I. Красноярск: Красноярское книжное изд-во, 2002. С. 12-20.
58. V asi n A., Durakovich N., V asi n а P. Cournot equilibrium and competition via supply functions / / Game Theory and Applications. N.Y.: Nova Science Publishers, 2003. 9. P. 181-191.
59. Marhuenda F., Vasin A., Vasina P. Taxation of firms under incomplete information. Moscow: New Economic School, WP N 2003/040.
Поступила в редакцию 10.05.04
Ю. В. Прохоров, В. Ю. Королев, В. Е. Бенинг
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РИСКА, ОСНОВАННЫЕ НА СМЕШАННЫХ ГАУССОВСКИХ МОДЕЛЯХ1
(кафедра математической статистики факультета ВМиК)
Введение. Развитие современной математической теории риска, основанной в первую очередь на результатах и методах теории вероятностей и математической статистики, имеет не только вполне естественное серьезное теоретическое значение, но и огромную практическую важность. Это обусловлено в первую очередь насущной необходимостью решения на практике большого числа конкретных задач, связанных с анализом рисковых ситуаций, т.е. определением как размера возможных потерь, так и самой возможности потерь критического, например катастрофического, уровня. Рисковые ситуации чрезвычайно разнообразны. Они могут возникать в самых разных областях человеческой деятельности и могут иметь самые разные последствия — от больших материальных потерь и человеческих жертв при недооценке риска землетрясений, ураганов, наводнений или других природных катаклизмов большой силы при проектировании зданий или защитных сооружений до значительных материальных и финансовых потерь при недооценке риска резких колебаний экономических или финансовых показателей (курсов валют, цен акций и др.). В настоящее время в связи с развитием компьютерных информационных систем оформляется новая область теории риска, охватывающая задачи, связанные с анализом информационных рисков.
Многие классические методы оценки риска, разработанные, как правило, в конце XIX — первой половине XX в., основаны на предположении о том, что параметры, характеризующие рисковые ситуации, имеют нормальное распределение. Однако, к сожалению, зачастую применение классических методов приводит к недооценке риска. Причины иногда имеющей место несостоятельности нормальных моделей могут быть разными. К примеру, если возможность и размер потерь в тех или иных рисковых ситуациях вычисляются на основе статистических данных, накопленных за определенное время, то, как мы убедимся ниже, существенную роль будет иметь то обстоятельство, является или нет поток событий, в результате которых накапливаются статистические данные, однородным. Другими словами, стремится ли отношение количества зарегистрированных в течение определенного интервала времени событий к длине этого интервала времени к некоторому числу с течением времени. Если такое сближение указанного отношения с некоторым числом имеет место, то нормальные модели могут давать адекватные результаты. Однако если такое сближение не наблюдается и указанное отношение сильно колеблется, оставаясь случайным (т.е. непредсказуемым), то нормальные модели неадекватны и приводят к весьма существенной недооценке риска. Как мы увидим, вместо ожидаемого в соответствии с классической теорией нормального закона в подобных ситуациях (например, если упомянутое выше отношение ведет себя как гамма-распределенная случайная величина) могут возникать, скажем, функции распределения ущерба типа распределения Стьюдента с произвольно малым
1 Работа поддержана грантами РФФИ 02-01-00949, 02-01-01080, 03-01-00428, INTAS 03-51-5018.
