Сглаживание эмпирических данных интегро-дифференциальными параболическими сплайнами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.1 В.И. Киреев

СГЛАЖИВАНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ

Семинар № 2

1. Вводные замечания ТЪ практике научных теоретиче--я-3 ских и экспериментальных исследований, в том числе при обработке данных, полученных при разведке и эксплуатации месторождений полезных ископаемых, используются математические методы сглаживания этих данных. Так, в учебном пособии П.С. Шпакова и В.Н. Попова [5] указано, что при проведении ответственных экстраполяций и в случае, когда имеется ограниченное количество исходных данных, или для более точного прогнозирования результатов используется аналитическое сглаживание на основе метода наименьших квадратов. В указанном пособии приведен пример сглаживания зависимости удельного расхода электроэнергии от глубины скважины, полученной при бурении, используется метод наименьших квадратов с помощью линейного и квадратичного полиномов, а также двухпараметрических (показательных) функций. Здесь также отмечен интегральный показатель (критерий) точности аппроксимации (сглаживания). Этим критерием является равенство сумм

площадей трапеций, образованных полигоном распределения до сглаживания и соответствующих сумм после сглаживания. Однако,

используемый обычно для

сглаживания метод наименьших квадратов, не учитывает вышеуказанного интегрального критерия. Поэтому для

решения таких задач целесообразно использовать сплайн-функции [1, 2, 3,

4].

В данном докладе для сглаживания экспериментальных данных, приведенных в пособии [5], использован параболический интегро-дифферен-циальный сплайн, предложенный автором в работе [2] (и других) и подробно изложенным в методическом пособии [3]. В данном методе интегральный критерий соответствия аппроксимирующей и аппроксимируемой функций является непосредственно условием согласования. В связи с этим сплайн-метод представляет несомненное преимущество по сравнению с традиционным методом наименьших квадратов.

2. Одномерные параболические ин-тегро-дифференциальные многочлены и локальные интегро-диффе-ренциальные сплайны

Интегро-дифференциальные сплайны 52 (х) основаны на использовании одномерных параболических многочленов

$2./(х) = Ц,,- + Эи(х - х1) + а,,:(х - х,)2 .

получаемых на каждом из отрезков [х, . х,+1 ]. Для их получения используется интегральное условие согласования (интегральная невязка) много-члена и аппроксимируемой функции f (х,) в совокупности с функциональными условиями согласования (условиями интерполяции):

ni+1

,x,+i) = J [S2,,(x)- f (x)]dx = 0

(2.1)

(2.2)

ЯБ^Іх,) = ^ (х,) - і(х,) = О (к = і, і +1), где хі - узлы сетки Д1 : а = х0 р х1 р....р хп = Ь, введен-

ной на отрезке [а, Ь].

После разрешения условий (2.1), (2.2) относительно коэффициентов а0іі, а^-, а1і, получается формула интерполяционного многочлена на отрезке [х,, х ,+і]:

о / ч х ,68 //+1 2Д

Би (х) = іі + ( —ТТ1-Т )(х - х,) +

”/+1 Т+1

+(-8^ + ЦАхх - х/)2, (2.3)

”+1 ”/+1

где

8/і+1 = //+1 - М+1, Ді = х,+1 - х,,

”+1 = х,+1 - х.

Если объединить Б2/(х) на всех частичных отрезках [х,,х,+1] (/ = 0,...., п -1), рассматривая их в качестве звеньев сплайна, то получится локальный интерполяционный параболический интегро-дифференциальный сплайн (ИД -сплайн) дефекта д = 2 на отрезке [а, Ь] , на котором задана аппроксимируемая функция:

S2., (X) = U S2,,(x)

(2.4)

Sj(i = 0....П) - погрешности ее измерений или вычисления.

Построим глобальный параболический ИД - сплайн S2(x) с узлами на

сетке Д1 , имеющий для f (x) е С[”Ь] (т > 3) погрешность аппроксимации ||S2(x) - f (x)|| = max|S2(x) - f (x), не пре-

11 11 xe[a,b ]' 1

вышающую O (H3) и удовлетворяющий условиям:

J S2(x) dx

I'

i = 0,1,

■1 (3.1)

- интегральному условию согласования, где интегралы //+1, входящие в правую часть (3.1), заданы или предварительно вычислены на всех частичных отрезках [х,, х/1 ], образуемых сеткой Д1, и

)(x f

'(p xi-1'xJ = S(p )(x)

|[x, ,x i+i] lx = xi ’

(3.2)

(p = 0.1; i = 1.2.....n -1)

3. Одномерные глобальные параболические интегро-дифференциаль-ные интерполяционные и сглаживающие сплайны.

Пусть аппроксимируемая функция f (х) задана в узлах Д1 с некоторой

погрешностью (fj = f (х,) ±е,)П=0 , где

- условиям непрерывности сплайна и его первой производной в узлах сетки Д1.

Параболический сплайн, удовлетворяющий условиям (3.1), (3.2) , имеет дефект д = 1 . Данный сплайн может использоваться для различных условий (3х случаев) задания исходной функции.

1) В случае, когда исходная (аппрок-

симируемая) функция на всем отрезке [а. Ь] задана не своими значениями f (х,), а значениями ее интегралов на частичных отрезках

[х,.х!+1] (х, . / = 0.1.....п - узлы сетки Д1):/ 0.12.12 .¡П-1.

2) В случае, когда исходная функция задана своими значениями в узлах х, и на всем отрезке [а, Ь] она имеет погрешности е,, не превышающие О (Н3) (это возможно, например, тогда, когда

i=0

эта функция рассчитана в численном эксперименте).

3) В случае, если исходная функция получена в физическом эксперименте и имеет большой разброс, т.е.

є і уу О (Н3) .Тогда данная методика представляет альтернативу методу наименьших квадратов (м.н.к.), а получающийся сплайн или метод называются сильно сглаживающими.

Вернемся теперь непосредственно к рассмотрению методики получения сплайн - функций применительно ко второму и третьему случаю сглаживания исходной функции.

Одномерные параболические интег-ро-дифференциальные сплайны основаны на многочленах Б2/ (х) (2.3). Записывая при р = 1 условие (3.2) для многочлена (2.3), получаем при фиксированном индексе і соотношение относительно сглаженных значений

/,-^ /і , }г+1 :

1 У „

Т /-1 + 2 Пг

V +1 Т+1 У

їі +1-----------/г+1 =

= 3

г НИ+ІІ1 ”}+1

2

(3.3)

Если это соотношение записать для всех внутренних узлов с индексами, = 1.2 ..... п -1 , то получается линейная алгебраическая система уравнений, которая позволяет при задании двух дополнительных (граничных) условий восстанавливать значения функций по известным интегралам /'+1 ( = 0 .... . п -1) .

В качестве этих дополнительных условий можно принять значения функций

/0 = /0, = / (для случая 2, либо случая

3) или интегральные соотношения, соответствующие квадратурным форму-

лам трапеций или парабол (для случая 1). Тогда методика слабого или сильного сглаживания состоит в следующем.

1). По заданным значениям fl в узлах х, рассчитываются интегралы по каждому из отрезков [х, . х,+1]

, = 0 . 1. ....п -1 и, таким образом, составляется таблица интегралов (интегральная функция)

Полученная интегральная функция используется в дальнейшем для получения новых (сглаженных) значений функций, по которым будут формироваться звенья сплайна. В случае, когда исходная функция задана с большим разбросом, то для получения интегральной функции необходимо предварительно сформировать полосу «разброса» исходной функции ^ = f (х, )±е , ограниченную двумя фун-кциями - “верхней“ уВ = f (х,) и «ниж-

ней» уН = f () (х,).

Далее на каждом из отрезков [х,.х,+1] , = 0.1.....п -1 по одной из

квадратурных формул (трапеций или парабол) вычисляются интегралы /■ +1(в) и /' +1(н) для функций уВ = f^ (х!) и уН = f (н)( х,) соответственно. Недостающие значения функций на линиях, ограничивающих “полосу разброса”, определяются путем дополнительной интерполяции. После этого по всем частичным отрезкам [х,. х,+1] находятся средние значения интегралов

/;+1 = 1 (/;+1(в) + /;+1(н)), , = 0.1....п -1.

Эти значения интегралов в совокупности и составляют интегральную функцию.

2) Из трехдиагональной системы линейных алгебраических уравнений

/о = / 1

(3.4)

к

/-1 + 2

V кг +1 кг+1 У

к

г+1

= 3

/'

\

с /,+1

Ч_____+ Ч-\

Л2+1 Л,2 у

. ( , = 1.2....п -1) (3.5)

(3.6)

/о = /„

находятся новые (сглаженные) значения функции / (У = 0 . 1.... .п) , которые в

дальнейшем формируют параболический интегро-дифференциальный

сплайн дефекта д = 1 . В системе (3.43.6), все внутренние уравнения соответствуют уравнению (3.3), которое получено из условия непрерывности первой производной, а ^ и fn для первого и последнего соотношений выбираются, исходя из характера аппроксимируемой функции. В частности, в некоторых случаях они могут быть равными ^ и /п -исходным значениям функции у, = f (х,) в концевых точках.

Алгебраическая система (3.4)- (3.6) является трехдиагональной и, в силу диагонального преобладания, процесс ее решения является устойчивым.

3). Подставляя значения / и

8Ц+1 = I'+1 - / к+! в формулу (2.3), получим

с 68 у;1

к+1

2/1 (х - X,) +

+ (-

68/'

4+1

3Д/г+

к+1 у

(х - х , )2

По этой формуле на каждом отрезке [х, . х,+1 ] . , = 0 . 1 п -1 , находим

звенья сплайна 52 , (х).

4). На последнем этапе из полученных звеньев 52 . , (х) формируется параболический интегро-дифферен-

п-1

циальный сплайн 52 (х) = и $2 , (х)

,=0

4. Пример сглаживания зависимости удельного расхода электроэнергии от глубины скважины параболическим ин-тегро-дифференциальным сплайном В работе [5] приведен пример выбора оптимальной сглаживающей кривой для экспериментальной зависимости удельного расхода электроэнергии от глубины скважины. Аналитическое сглаживание в этой работе осуществляется методом наименьших квадратов с использованием степенных базисных функций

1 х х2 хт ~

многочленами первой и

второй степеней

(здх) = а + ах ). 52(х) = а + ах + ах2) ,

а также в виде двухпараметрических зависимостей 5 = а1 ах и 5 = ц ха . Для

исследования качества сглаживания взята функция, характеризующаяся данными, приведенными в таблице 3.1 пособия [5] (2-я и 3-я строки табл. 1).

Ниже для этой экспериментальной зависимости вычисляется сглаживающий параболический интегро-диффе-ренциальный сплайн. Все вычисления производятся в соответствии с вышеописанным алгоритмом построения сплайна .

1). Формируется табл. 1 с заданной сеточной функцией и интегралами, рассчитанными по квадратурной формуле

(3.7) трапеций /'+1 = ^(Ь + /м).

2) Формируется и решается система линейных алгебраических уравнений относительно сглаженных значений. В

+

І 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Хг 5,6 6,4 7,3 8,4 9,3 9,7 10,4 11,0 12,3 13,4

і 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,7 2,4 3,7 4,4

Л+1 0,8 0,9 1,1 0,9 0,4 0,7 0,6 1,3 1,1

/і+1 0,32 0,54 0,88 0,9 0,48 1,05 1,23 3,965 4,455

качестве линейной системы здесь используются уравнения (3.4)-(3.6), только вместо первого и последнего уравнений взяты более точные (см. работу [3]). Тогда первое и второе уравнения имеют вид:

,0 + ”^2- и = Т12 (2(Т1 +”2) + Т1 /0 +

Л2 Л1 + Л2 Т13

+1 /2) (і = 0)

Т22

1 * о/1 11 ;

і0 + 2(------I-) і 1 +-і2 =

Т1 Т1 Л/ Л2 2

=3#+щ» (і=1) '

Аналогично могут быть записаны и остальные уравнения. Выполняя подстановку соответствующих шагов Л, и

интегралов //+1, приведенных в табл. 1, получим систему алгебраических уравнений:

/1 +1,(8) і2 = 1,2392

1,25 Л + 4,7(2)Ґ2 +1,(1)Л = 3,5 ,

1,(1) Л + 4,(04) Л + 0,9(09) Ґ 4 = 4,(18),

0.9(09) /3 + 4, (04/ +1,(1/ = 5,5(15),

1, (1)^4 + 7,(2)/5 + 2,5 Л = 12,(3), (4.1) 2,5^5 + 7,8571 ^6 +1,4286 Л = 15,4286 , 1,4286 ^6 + 6,1905 Л +1,(6)^8 = 16,6786 ,

1.(6^7 + 4.8718 f8 + 0.7692 f9 = 17.2885 ,

0.76923 Л + 3.3566 Л + 0.9(09)^10 =

= 18.0839.

1.8460 Л + = 11.1398 .

В системе (4.1) все индексы функций f,, составляющих каждое из уравнений, увеличены на единицу. Это сделано для того, чтобы систему (4.1) привести к виду

а ,-1- Р, Ъ + 7-, f,+1 = 8. а1 =710 = 0 , удобному для ее решения методом прогонки [3]. Из системы видно, что для всех внутренних уравнений выполняется условие преобладания диагональных элементов. В соответствии с методом прогонки в его прямом ходе вычисляются прогоночные коэффициеты Р . О, по формулам 7;

р =

в - -1

Оі = а -1 - 8 , і = 1,2,...9 Р-а р _1і

В процессе обратного хода искомые функции (сглаженные значения) вычисляются по формулам:

/10 = Ою ,

Л-1 = р=1 Л + Ом, і = 10,9....,2 .

Результаты расчетов прогоночных коэффициентов и сглаженных значений

/ занесены в табл. 2.

а в Г, 5 в Г,

1 0 -1 1(8) 1,2392 -1,(8) 1,2392 0,2965

2 1,25 -4,7(2) 1,(1) 3,5000 -0,4706 0,8263 0,4991

3 1,(1) -4,(04) 0,9(09) 4,(18) -0,2585 0,9278 0,6954

4 0,9(09) -4,(04) 1,(1) 5,5(15) -0,2920 1,2276 0,8994

5 1,(1) -7,(2) 2,5 12,(3) -0,3624 1,5903 1,1240

6 2,5 -,8571 1,4286 15,4286 -0,2055 1,6477 1,2865

7 1,4286 -6,1905 1,(6) 16,6786 -0,2826 2,4292 1,7573

8 1(6) -4,8718 0,7692 17,2885 -0,1748 3,0085 2,3774

9 0,7692 -3,3566 0,9(09) 18,0839 -0,2821 4,8941 3,6106

10 1,8460 -1 0 11,1389 4,3939 4,3936

3) Подставляя полученные значения fi , V/'+1 - f, hj+1 и в формулу (3.7), на каждом отрезке [х,, х,+1 ],

, = 0,1,...,9 находим звенья сплайна. При этом осуществляется возврат к исходному индексированию при формировании табл. 3.

В качестве примера ниже получается первое звено сплайна Б20) (х), для которого

а = Л = 0,2965, а = ^-V/10-—ДЛ . ^ ^ h2 ° ^

а2 =-^Т ^ + ^ Д ^

Выполняя соответствующие операции, для коэффициентов а1, а2 полу-

чим:

а (0,32 - 0,8 X 0,2965 )-

0,82 1 '

?

-—( 0,4991 -0,2965) = 0,2697 0,8

а, =—^ х 0,0828 +-^ х 0,0828 =

0,83 0,8 .

= -0,02063

Подставляя эти значения в (3.7), получим:

Б20)(х) = 0,2965 + 0,2697(х - 5,6) --0,02063(х - 5,6)2

Аналогично рассчитываются остальные звенья S2i 1 (х) , , = 1,...9 .

4) Из полученных в результате всех звеньев Б21 (х) формируется составная функция, представляющая параболический интегро-дифферен-

Б2(х) =

0,2965 + 0,2698(х - 5,6)- 0,02062(х -5,6)2,при 5,6 < х р 6,40 0,4991 + 0,236(4) (х -6,4)-0,02038(х -6,4)2, при 6,4 < х р 7,3 0,6954 + 0,1997(х -7,3) - 0,01294(х -7,3)2 ,при 7,3 < х р 8,4 0,8994 +0,1715(х - 8,4) +0,06673(х - 8,4)2 ,при 8,4 < х р 9,3 1,124 +0,3275 (х -9,3) + 0,1969 (х - 9,3)2 ,при 9,3 < х р 9,7 1,2865 + 0,4848(х - 9,7) + 0,2682(х - 9,7)2 , при 9,7 < х р 10,4 1,7573 + 0,8600(х -10,4) + 0,2892(х -10,4)2 при 10,4 < х р 11 2,3774 +1,2071 (х -11) -0,19882(х -11)2 при 11 < х р 12,3 3,6106 + 0,9731(х-12,3)- 0,2375(х-12,3)2 при 12,3 < х р 13,4

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi 5,6 6,4 7,3 8,4 9,3 9,7 10,4 11,0 12,3 13,4

fi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,7 2,4 3,7 4,4

f пар 0,4155 0,4151 0,5304 0,8378 1,2256 1,4373 1,8061 2,2927 3,4040 4,5441

ар 0,1155 -0,085 0,1696 0,0622 0,1256 0,1373 0,1661 -0,1073 -0,296 0,1441

f идс 0,2965 0,4991 0,6954 0,8994 1,1240 1,2865 1,7573 2,3774 3,6106 4,3936

Sudc 0,0035 0,0009 0,0046 0,0006 -0,024 0,0135 -0,057 0,0226 0,0894 0,0064

циальный сплайн:

Не трудно проверить, что полученный сплайн удовлетворяет условиям согласования со значениями функции f i, приведенными в последнем столбце табл. 2, и он удовлетворяет условию непрерывности во всех внутренних узлах х,.

3. Анализ численных результатов аппроксимации зависимости для удельного расхода электроэнергии от глубины скважины

В учебном пособии [5] проведена аппроксимация зависимости удельного расхода электроэнергии от глубины скважины. Установлено, что из четырех аппроксимационных формул

f(х) = а, + ах, f(х) = а, + а,х + а3х2,

f(x) = а, ах , f(x) = а, ха2 наилучшей оказалась парабола

^ар (х) = ,132 - 0,905х + 0,076х2.

Отбор функции производился по мини-

9 А

муму суммы ^ , где 5 = fj - f, - от-

,=0

клонению рассчитанных f, значений от исходных значений fl. В табл. 3

приведены результаты сравнения результатов аппроксимации рассматриваемой функции параболическим интег-ро-дифференциальным сплайном и вышеуказанной параболой, оптимальной в

9

смысле min і S2 .

i=0

Здесь использованы обозначения:

f пар - результаты аппроксимации параболой, полученной методом наименьших квадратов, fидс - результаты сплайн-аппроксимации. Из сопоставления результатов видно, что интегро-дифференциальный сплайн точнее учитывает локальные свойства аппроксимируемой функции. Действительно, среднеквадратичные погрешности получаются равными

¿(S)i = 0,2353, а ¿(S*)i = 0,0097 .

i=0 i=0

Приведенные суммы непосредственно входят в формулу для критерия согласия (значимости) - Пирсона, кото-

рый для подобного типа наблюдений вычисляется по формуле:

х2 = -V і (f - f i )2,

a i=0

где a2 = D2 (D - дисперсия).

1. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. Новосибирск: Наука, 1980.

2. Киреев В.И. Интегро-дифферен-циальный метод приближения функций алгебраическими многочленами // Вычислительные технологии. Новосибирск, ИВТ СО РАН т.2, №6, 1993.

3. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М.: Высшая школа. 2004.

4. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике : Наука, 1976.

5. Шпаков П.С., ПоповВ.Н. Статистическая обработка экспериментальных данных. М.: Издательство МГГУ, 2003.

— Коротко об авторах

Киреев В.И. - доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Вычислительные машины», Московский государственный горный университет.

--------------------------------------------- © А.М. Валуев, 2006

УДК 622.271 А.М. Валуев

КОМБИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ БОРТА КАРЬЕРА В ЗАДАЧАХ ГОДОВОГО И СРЕДНЕСРОЧНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

Семинар № 2

Для моделирования горных работ используют три основных типа моделей: блочные, секторные и контурные [1]. В работах автора [1,2] показано, что блочные модели в их современном виде, имея достоинство приближенной передачи произвольной формы карьера, в то же самое время достаточно грубы для описания карьера с той степенью детализации, которая требуется для годового и среднесрочного планирования, причем погрешность передачи формы не

может быть существенно снижена при каком угодно уменьшении размеров блоков. Секторная модель предложена И.Б. Табакманом [3] специально для задач годового планирования, при ее применении расчет объемов горных работ, массы полезного ископаемого и его компонентов выполняется достаточно удобно. Линейная форма большинства соотношений модели выгодна для решения оптимизационных задач. Однако при значительном изменении направле-