CC BY
14
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6, вып. 1. С. 9-21.
УДК 517.977.58 DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16101
СЕТОЧНЫЙ АЛГОРИТМ
ПОСТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ С УЛУЧШЕННОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ ГРАНИЦЫ
А. А. Зимовец", А. Р. Матвийчукь
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург, Россия "[email protected], [email protected]
Множества достижимости являются мощным инструментом математического моделирования. В статье предлагается новый сеточный алгоритм построения множеств достижимости нелинейных управляемых систем. Основная идея предложенного алгоритма состоит в том, чтобы вычислять граничные точки с максимально возможной точностью. Такой подход позволяет также улучшить точность численного решения некоторых задач управления. В качестве примера в статье приводится описание метода конструирования приближённого решения задачи оптимального по быстродействию управления системой RTAC. Эта система используется для сравнения различных методов синтеза управляющих воздействий. Мы реализовали предложенный в статье алгоритм с помощью языка программирования C+—h и библиотеки OpenMP и провели численное моделирование рассмотренного примера. В результате мы построили оптимальное по быстродействию управление для системы RTAC.
Ключевые слова: оптимальное управление, множество достижимости, сеточный метод, RTAC, TORA.
Введение
Одной из важных задач теории управления является задача построения множеств достижимости управляемых систем, так как эти множества используются в качестве опорной конструкции для решения некоторых задач управления. Это такие задачи, как задача о сближении управляемой системы с целевым множеством в заданный момент времени, задача об оптимальном быстродействии, задача обвода препятствий и прочие задачи. При этом многие управляемые системы описываются достаточно сложными дифференциальными уравнениями, поэтому универсального метода построения точного множества достижимости не существует. В связи с этим широкое развитие получили методы приближённого построения множеств достижимости. Как правило, такие методы базируются на переходе к дискретному представлению времени и пространства, а точность этих методов оценивается по величине хаусдорфова расстояния между точным множеством достижимости и построенным (см., например, [1; 2]).
В настоящей работе предлагается сеточный алгоритм приближённого построения множеств достижимости нелинейных управляемых систем, в котором граничные точки множества достижимости хранятся с точностью представления чисел на
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 18-01-00221.
ЭВМ. Как оказалось, этот алгоритм позволяет сформировать лучшие опорные конструкции для решения ряда задач управления по сравнению с другими сеточными алгоритмами (например, [3; 4]). В частности, одной из таких задач является задача оптимального быстродействия, решение которой разобрано на примере известной системы RTAC.
Система RTAC (Rotational/Translational ACtuator), носящая также название TORA (Translational Oscillator with a Rotational Actuator), представляет собой упрощённую модель для исследования резонансных явлений, возникающих при движении космического аппарата с двойным вращением (см. [5]). Эта система приобрела широкую известность после того, как коллектив учёных в работе [6] опубликовал описание стенда, реализующего заложенную в системе динамику, а также предложил использовать задачу стабилизации этой системы в качестве тестового примера для сравнения различных методов синтеза управляющих воздействий. Так, в работах [7-9] авторы сравнивают между собой целый ряд регуляторов, сконструированных в основном при помощи метода бэкстеппинга (называемого ещё методом обхода интегратора) и свойств пассивности. В работе [10] предложен способ конструирования регулятора, обеспечивающего Ь2-устойчивость системы по отношению к внешним возмущениям, основанный на идее разложения в ряд решения уравнения Гамильтона — Якоби — Айзекса. В работе [11] предложена методика конструирования регулятора, основанная на представлении системы в виде дробно-линейной модели (Linear-Fractional Representation, или сокращённо LFR) и последующем определении параметров регулятора при помощи решения линейных матричных неравенств. Такой подход позволяет проектировать регулятор с заданными характеристиками, например, с ограничением на максимальную величину управляющего воздействия. Отметим также, что некоторые авторы рассматривают в своих работах не только различные вариации исходной задачи, но и другие задачи теории управления. Например, в работах [12; 13] построены регуляторы, управляющее воздействие которых зависит только от угла поворота эксцентрика, а в работах [13; 14] решается задача слежения регулируемых выходов за определённым эталонным сигналом. При этом потребность в экспериментальной проверке разрабатываемых методов решения задач управления привела к тому, что тестовые стенды для системы RTAC стали появляться по всему миру (см., например, [15-18]).
1. Основные обозначения и определения
Пусть на промежутке времени [t0,$], t0 < $ < то, задана управляемая система
dx
- = f (t,x,u), x e Rn (1)
Здесь u — вектор управления, удовлетворяющий включению u e P, где P — компакт в евклидовом пространстве Rp.
Предполагается, что для системы (1) выполнены следующие условия.
Условие 1. Вектор-функция f (t,x,u) определена и непрерывна на множестве [t0, $] х Rn х P, и для любой ограниченной и замкнутой области D в [t0, $] х Rn существует такая постоянная L = L(D) e (0, то), что
||f (t,x*,u) — f (t,x*,u)|| ^ L ||x* — x*|| , (t,x*,u) и (t,x*,u) из D х P.
Условие 2. Существует такая постоянная ß e (0, то), что
||f (t,x,u)|| ^ ß(1 + ||x||), (t,x,u) e [t0,$] х Rn х P.
Условие 3. Множество Р(¿,х) = / (¿,х, Р) = {/(¿,х,м): и € Р} выпукло при любых (¿,х) € [го,0] X Ега
Здесь и далее ||х|| — норма вектора х в евклидовом пространстве. Напомним некоторые определения.
Определение 1. Множеством достижимости X(¿*,£*,х*) в момент времени ¿* системы (1) с начальным условием х(£*) = х* (¿0 ^ ¿* < ¿* ^ х* € Кга) будем называть множество всех точек х* € Кга, для которых существует решение х(£) системы (1), порождённое допустимым управлением м(£), такое, что х(£*) = х* и х(Г) = х*.
Под допустимым управлением u(t), t G [t0,$], мы понимаем измеримую по Лебегу вектор-функцию u(t) G P, t G [t0,$]. Отметим, что при условиях, которые наложены на систему (1), множество достижимости X(t*,t*,x*) системы (1) есть в то же время и множество достижимости дифференциального включения (д. в.)
^ G F(t,x), ж(^) = ж*. (2)
dt
Символом X(t*,t*,X*), где X* — компакт в евклидовом пространстве Rn, мы будем обозначать множество X(t*,t*,X*) = У X(t*,t*,x*), т. е. множество всех
x*ex*
точек ж* G Rn, в которые в момент t* G [t *,$] приходит управляемая система (1) (д. в. (2)) под воздействием всевозможных допустимых управлений u(t), t G [t *,t *], отправляясь в момент t из множества X .
Определение 2. Интегральной воронкой X(t *,ж *), t * G [t0,$], системы (1) (д. в. (2)) будем называть множество всех позиций (t *, ж *) G [t *, $] х Rn, для которых существует решение x(t) системы (1) (д. в. (2)) с начальным условием x(t*) = ж *, удовлетворяющее равенству x(t *) = ж *.
Полагаем также, что X(t *,X*) = (J X(t *,ж *), где X* — компакт в Rn.
X* ex*
Определение 3. Множеством разрешимости W(Р,ж*), t* G [t0,$], системы(1) (д. в. (2)) будем называть множество всех тех начальных позиций (t , ж ) G [to, t ] х Rn, для которых существует решение ж^) системы (1) (д. в. (2)) с начальным условием ж^ *) = ж *, удовлетворяющее равенству ж^ *) = ж *.
Полагаем W(t *,X *) = \J W(t *,ж *), где X * — компакт в Rn
x*ex *
Определение 4. Хаусдорфовым расстоянием d(X*,X *) между компактными множествами X* и X * в Rn называется величина
d(X*,X *) = max{h(X*,X * ),h(X *,X*)},
где h(X*,X *) = max min ||ж* — ж *|| — хаусдорфово отклонение множества X* от
X*ex* x*ex*
множества X .
2. Алгоритм приближённого построения
множеств достижимости управляемых систем
В настоящее время существует несколько различных подходов к приближённому построению множеств достижимости. Предлагаемый в данной работе алгоритм опирается на работы [1; 2; 4] и базируется на следующих принципах:
• дискретизация промежутка времени [t0, $] разбиением Г = (t0, ti,... , tN = $} и фазового пространства Rn сеткой Л^ с шагом h, а также аппроксимация множества P конечным набором точек Pq;
• последовательное построение приближённых множеств достижимости с продвижением от начальных моментов времени разбиения Г к конечным;
• аппроксимация множеств достижимости при помощи точек в фазовом пространстве;
• ограничение количества аппроксимирующих множество достижимости точек при помощи сетки Л^.
Для описания алгоритма введём ещё несколько определений. Пусть Xh — множество точек в пространстве Rn, состоящее из некоторого количества узлов сетки Л^
Определение 5. Соседними узлами сетки Лh будем называть узлы, расположенные в одной ячейке сетки Л^ Два узла сетки Лh будем называть непосредственными соседями, если они расположены в одной ячейке сетки Лh и соединены линией сетки
Лh.
Определение 6. Точку xh G Xh будем называть внутренней точкой множества Xh, если все её непосредственные соседи также принадлежат множеству Xh. Множество всех внутренних точек множества Xh будем называть внутренностью множества Xh и обозначать int Xh.
Определение 7. Точку xh G Xh будем называть граничной точкой множества Xh, если у неё есть хотя бы один непосредственный сосед, не принадлежащий множеству Xh. Множество всех граничных точек множества Xh будем называть границей множества Xh и обозначать ÖXh.
Определение 8. Окрестностью узла xh сетки Лh будем называть множество всех тех точек пространства Rn, для которых узел xh является ближайшим узлом сетки Л^
Опишем алгоритм приближённого построения множества достижимости системы (1) в момент времени $ с начальным условием x(t0) = x0, x0 G X0.
Алгоритм построения множества достижимости:
1. Построить множество X0 = Л(X0, h).
2. Цикл 1: для каждого i от 0 до N — 1 выполнить.
3. Цикл 2: для каждой точки x* G Xj выполнить.
4. Цикл 3: для каждого вектора управления u* G Pq выполнить.
5. Вычислить x* = ode(f,tj,ti+1,x*,u*).
6. Вычислить xh = Л^*, h).
7. Если x* G Sj+1, то построить Sj+1 = Sj+1 U{x*}.
8. Если xh G Yj+1, то построить Yj+1 = Yj+b U{xh}.
9. Конец цикла 3.
10. Конец цикла 2.
11. Цикл 4: для каждой точки xh G öYj+1 выполнить.
12. Построить Q = S(Si+1, xh, h).
13. Построить R = Ф(ф).
14. Построить Zi+1 = Zi+i\J R.
15. Конец цикла 4.
16. Построить множество Xi+1 = int Y+i U Zj+ь
17. Конец цикла 1.
Здесь A(x*,h) — отображение, ставящее в соответствие каждой точке x* Е Rn ближайший к ней узел сетки А^. Полагаем также A(X*,h) = (J A(x*,h). Имеем
X* EX*
d(X^, A(X*,h)) ^ ^h.
Л(X*, h) — отображение, ставящее в соответствие компактному множеству X* С Rn конечный набор точек X*, удовлетворяющий условию d (X*,X*) ^ y/nh.
ode(f, t*,t*,x*, u*) — функция, возвращающая приближённое значение решения системы (1) в момент времени t* при начальном условии x(t*) = x* и фиксированном управлении u = u* на всём промежутке времени [t*,t*]. Такая функция может быть построена, например, при помощи метода Рунге — Кутты 4-го порядка для решения дифференциальных уравнений.
S(S, xh,h) — процедура выбора из множества S всех точек, которые принадлежат окрестности узла xh сетки Лh (см. рис. 1, а). Очевидно, что выполняется неравенство d (xh, S(S, xh,h)) ^ h. В простейшем случае эту процедуру можно реализовать при помощи полного перебора множества S, однако такой подход очень неэффективен. На практике же время выполнения этой процедуры можно значительно сократить при помощи использования специализированных структур данных для хранения точек.
Ф(ф) — процедура «прореживания» множества Q, т.е. выборка из множества Q некоторого ограниченного количества точек. Можно предложить несколько вариантов такой процедуры. В данной работе используется вариант с выбором 2n точек, имеющих наибольшую или наименьшую величину проекции на какую-либо из координатных осей (см. рис. 1, б).
По определению процедур Л^*, h), S(S, xh, h) и Ф^) получаем
d(xh, Ф(Е^,xh, h)^ ^ ^h, d(^x*, Ф(~^,Л^*,^^) ^ ^nh.
а) б) Ф(д)
Рис. 1. Процедуры выборки точек
Множества Х^, формирующиеся в ходе работы алгоритма, представляют собой приближённые аппроксимации множеств достижимости X(¿¿,£0,Х0) системы (1) в моменты времени ¿¿, г = 1, N.
Обсудим теперь работу алгоритма. В самом начале (шаг 1) происходит аппроксимация исходного множества X0 конечным набором точек X0. Далее работу алгоритма внутри цикла 1 условно можно разделить на два этапа.
На первом этапе (цикл 2) происходит формирование множеств Si+1 и Yj+1. Оба этих множества можно рассматривать как аппроксимации множества достижимости X(tj+1,t0,X0), построенные с определённой погрешностью (см. работы [1; 4]), причём Y+1 = Л($г+1, h). Однако использование какого-либо из этих множеств в качестве результата работы каждого шага цикла 1 имеет как свои преимущества, так и свои недостатки. Так, например, использование множеств Si+1 позволяет построить относительно точные аппроксимации множеств достижимости, но при этом потребует значительного объёма памяти ЭВМ, что связано с тем, что количество точек в множествах Si+1 в большинстве случаев разрастается очень быстро от шага к шагу. С другой стороны, использование множеств Yj+1 позволяет сдержать скорость роста количества точек, необходимых для аппроксимации множества достижимости. Более того, множества Yj+1 можно хранить в очень экономичных структурах данных типа битовой карты со сжатием, что позволяет дополнительно экономить память ЭВМ. Однако точки множества Yj+1, как правило, представляют собой результат довольно грубого округления, зависящего от величины шага сетки. В связи с этим мы добавили в цикл 1 второй этап, задача которого состоит в формировании некоторого компромиссного результата между множествами Si+1 и Yi+1. Суть этого результата состоит в том, чтобы получить несколько более грубую аппроксимацию во внутренней части множества достижимости с целью экономии вычислительных ресурсов, но при этом добиться несколько более точной аппроксимации в районе его границы с целью улучшения точности вычислений.
Итак, на втором этапе работы алгоритма (цикл 4) происходит выделение в окрестности границы множества Yj+1 точек, более точно аппроксимирующих границу множества X(ti+1,t0,X0) по сравнению с точками dYi+1. Это осуществляется за счёт последовательного применения процедур £(S, xh,h) и Ф^) к точкам множества öYj+1, и результат накапливается в множестве Zi+1. В конечном итоге на шаге 16 формируется приближённое множество достижимости Xj+1 в момент времени ti+1 системы (1) как объединение всех внутренних точек множества Yj+1 и некоторой выборки точек из окрестности границы множества Yj+1.
Необходимо отметить, что оба этапа работы алгоритма хорошо распараллеливаются для вычислительных систем с симметричной многопроцессорной архитектурой (пример распараллеливания первого этапа с выходом в виде Yj+1 приведён в работе [4]) и, кроме того, существует реализация алгоритма без явного хранения в памяти множеств Si+1, получающаяся за счёт увеличения объёма производимых вычислений, но позволяющая существенно сэкономить память ЭВМ. Как процедуру Л^*, h) в отдельности, так и комбинацию процедур Л^*, h), £($, xh, h) и Ф^) можно рассматривать как своеобразные процедуры «прореживания», в результате которых формируются множества int Yj+1 и Zi+1 соответственно. Как показано выше, эти процедуры прореживания вносят в алгоритм сопоставимые оценки погрешности, мажорируемые величиной -^/nh. Таким образом, корректность предложенного алгоритма обосновывается тем, что его можно уложить в вычислительную схему, описанную и обоснованную в работе [2]. Кроме того, как будет показано в приведённом ниже примере, с помощью предложенного алгоритма можно весьма эффективно решать некоторые задачи теории управления.
3. Задача оптимального управления системой ИТЛС
Система ИТАС (см. [6]) представляет собой тележку массы М с вращающимся в горизонтальной плоскости эксцентриком массы т и моментом инерции I, расстояние между центром масс которого и осью вращения составляет Ь. Тележка прикреплена к стене при помощи пружины жёсткости к и может совершать поступательные движения без трения вдоль перпендикулярной стене оси х путём передачи энергии эксцентрика, вращающегося под воздействием управляющего момента и (см. рис. 2).
X
Рис. 2. Тестовый стенд системы RTAC
Динамика этой системы описывается следующими дифференциальными уравнениями:
(M + m)Xc + toL(<9 cos в — в2 sin в) + kxc = 0,
2 " (3)
(I + mL2)в + mXcL cos в = u,
где xc — смещение тележки вдоль оси x относительно положения равновесия, в — угол поворота эксцентрика, отсчитываемый от оси, проходящей через ось вращения эксцентрика перпендикулярно оси x (см. рис. 2).
Введя обозначения X1 — Хс, X 2 — X c, X 3 = в, x4 — в, запишем систему (3) в форме Коши:
Xi — x2,
Х2 — Y(X ) (—mLu cos x3 + (I + mL2)(mLx2 sinx3 — kx1)),
< . X3 (4)
X3 — X4,
X4 — Y(X3) ((M + m)u — mL cos x3(mLx2 sinx3 — kx1)),
где Y(x3) — (I + mL2)(M + m) — m2L2 cos2 x3.
Задача состоит в том, чтобы перевести систему (4) из некоторого начального состояния Xo в конечное состояние Xf — (0, 0, 2nn, 0), где n может быть любым целым числом, за минимальное время.
Для решения поставленной задачи применим методику, изложенную в работе [19], а именно, сначала построим множество разрешимости системы (4) из точки хр, а затем, прицеливаясь из точки х0 на это множество, построим разрешающее управление в классе кусочно-постоянных программных управлений. Заметим, что динамика системы (4) позволяет нам построить множество разрешимости только один раз для точки хр = (0, 0, 0, 0), а затем рассматривать различные варианты точки х0, третья координата которых смещена на угол, кратный 2п. Поскольку система (4) стационарна, то начальный момент времени для построения множества разрешимости можно выбрать любым.
Далее, следуя работе [19], будем строить множество разрешимости системы (4) как интегральную воронку этой же системы, но записанной в терминах так называемого «обратного» времени т = ¿0 + $ — £ Е [¿0, $], т. е. системы вида
- = Г(т,7,«), т Е [¿0,$], (5)
где f *(т, 7, и) = — f (¿0+$—т, 7, и). Приближённую аппроксимацию интегральной воронки системы (5) мы будем строить путём стыковки множеств Хг, получающихся в процессе работы приведённого выше алгоритма построения множеств достижимости. Для реализации такого решения на каждой итерации цикла 1 необходимо добавить процедуру сохранения получившегося множества Xг в памяти ЭВМ (например, на жёстком диске).
Необходимо заметить, что, несмотря на то, что в работе [19] рассматривается задача о сближении с целевым множеством в фиксированный момент времени, методика, основанная на использовании интегральных воронок, как указано в замечании 3 работы [2], может быть применена и для решения задачи об оптимальном быстродействии в случае стационарности управляемой системы. Для этого необходимо выбрать достаточно большой промежуток времени [¿0, $] и на каждом шаге цикла 1 алгоритма построения множества достижимости проверять, не пересекается ли текущее множество Хг с некоторой достаточно малой окрестностью точки х0, и в случае обнаружения такого пересечения прервать построение множества разрешимости и зафиксировать получившийся интервал времени.
В качестве примера выберем параметры модели, предложенные в работе [20], а именно: М = 1.3608кг, т = 0.096кг, Ь = 0.0592м, I = 0.0002175кг ■ м2, к = 186.3 Н/м, и Е [—0.1,0.1]. В качестве начальной точки возьмём х0 = (0.0254,0, 0, 0). При таком выборе параметров модели, а также из-за различного физического смысла фазовых координат в процессе вычислений возникает небольшое затруднение, связанное с тем, что значения величин вдоль различных координатных осей различаются в тысячи раз. В этом случае можно было бы выбрать шаг сетки Л^, ориентируясь на значения наименьшей из величин, но тогда аппроксимация множеств достижимости получится настолько большой, что её невозможно будет построить на имеющихся вычислительных ресурсах. Поэтому мы предлагаем «вы-равнять» масштабность получающихся величин либо путём введения масштабирующих коэффициентов в уравнения системы, либо с помощью выбора различного шага сетки по различным осям координат. Выбор конкретного метода зависит от удобства реализации. В данном случае мы проводили моделирование с шагом сетки к = (0.0002, 0.005, 0.2,0.5) и шагом по оси времени А = 0.02. При этом для процедуры построения управляющего воздействия была модифицирована формула вычисления расстояния между двумя точками х и у в фазовом пространстве Кга,
а именно
p(x,y)
\
n (h 4 2 Mh(Xi - Уг)
где hi — шаг сетки Л^ вдоль i-й координатной оси. Такая формула позволяет растянуть окрестность точки в эллипс и при равенстве шагов сетки превращается в обычное евклидово расстояние.
Для вычислений был использован сервер с двумя 6-ядерными процессорами Intel Xeon X5660 с тактовой частотой 2.8 ГГц и 96 Гб оперативной памяти типа DDR3. Предложенный в статье алгоритм был реализован в виде программы на языке C++ с использованием технологии параллельных вычислений OpenMP. На рис. 3 представлены проекции построенного данной программой множества достижимости системы (4), записанной в «обратном» времени, в момент пересечения с точкой (0.0254, 0, —2п, 0). В этот момент множество достижимости имеет точки в окрестности 1.5 ■ 109 узлов сетки Л^. Результаты построения разрешающего управления представлены на рис. 4. Результирующая траектория смещена на угол 2п вдоль координаты Хз относительно траектории, построенной в ходе выполнения изложенной в работе [2] процедуры построения разрешающего управления. Полученные результаты демонстрируют то, что построенное управление переводит систему (4) из начальной точки Хо = (0.0254, 0, 0, 0) в малую окрестность конечной точки xf = (0, 0, 2п, 0) за время 1.08 с с прокручиванием эксцентрика на угол 2п.
-50 -100 -150
-200
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 -100 -50 0 50 100
Zi Z3
Рис. 3. Проекции множества достижимости для системы RTAC
Заключение
В работе был предложен сеточный алгоритм приближённого построения множеств достижимости управляемых систем, особенностью которого является хранение точек в окрестности границы множества достижимости с точностью представления чисел на ЭВМ. Такой подход, как показывает практика, позволяет весьма эффективно решать некоторые прикладные задачи теории управления, в которых в качестве опорной конструкции используется множество разрешимости или интегральная воронка управляемой системы. На примере задачи поиска оптимального по быстродействию управления в системе ИТАС было показано, что множество разрешимости, построенное с шагом сетки Н = (0.0002, 0.005, 0.2, 0.5) и шагом по оси
времени А = 0.02, позволяет сконструировать управляющее воздействие, приводящее систему в достаточно малую окрестность целевой точки. Ранее сопоставимого по точности наведения не удавалось добиться, опираясь на множества разрешимости, построенные с теми же параметрами при помощи алгоритмов из [3; 4].
Рис. 4. Управление и траектория для системы RTAC
Список литературы
1. Ушаков В. Н., Матвийчук А. Р., Ушаков А. В. Аппроксимация множеств достижимости и интегральных воронок дифференциальных включений // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютер. науки. 2011. Вып. 4. С. 23-39.
2. Ушаков В. Н., Ухоботов В. И., Ушаков А. В., Паршиков Г. В. К решению задачи о сближении управляемых систем // Тр. МИАН. 2015. Т. 291. С. 276-291.
3. Зимовец А. А. Метод приграничного слоя для приближенного построения множеств достижимости управляемых систем // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Физика. 2013. Т. 5, вып. 1. С. 18-25.
4. Зимовец А. А., Матвийчук А. Р. Параллельный алгоритм приближенного построения множеств достижимости нелинейных управляемых систем // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютер. науки. 2015. Т. 25, вып. 4. С. 459472.
5. Rand R. H., KinseyR. J., MingoriD.L. Dynamics of spinup through resonance // International Journal of Non-Linear Mechanics. 1992. Vol. 27, no. 3. P. 489-502.
6. BuppR. T., Bernstein D. S., Coppola V. T. A benchmark problem for nonlinear control design: problem statement, experimental testbed, and passive nonlinear compensation // Proceedings of the American Control Conference, Seattle, 1995. P. 43634367.
7. BuppR. T., Bernstein D. S., Coppola V. T. Experimental implementation of integrator backstepping and passive nonlinear controllers on the RTAC testbed // Proceedings of the IEEE International Conference on Control Applications, Dearborn, 1996. P. 279-284.
8. JankovicM., Fontaine D., Kokotovic P. V. TORA example: cascade- and passivity-based control designs // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 1996. Vol. 4, no. 3. P. 292-297.
9. WanC.-J., Bernstein D. S., Coppola V. T. Global stabilization of the oscillating eccentric rotor // Nonlinear Dynamics. 1996. Vol. 10. P. 49-62.
10. TsiotrasP., CorlessM., RoteaM. A. An L2 disturbance attenuation solution to the nonlinear benchmark problem // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1998. Vol. 8. P. 311-330.
11. Dussy S., El Ghaoui L. Measurement-scheduled control for the RTAC problem: an LMI approach // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1998. Vol. 8. P. 377400.
12. Escobar G., Ortega R., Sira-Ramirez H. Output-feedback global stabilization of a nonlinear benchmark system using a saturated passivity-based controller // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 1999. Vol. 7, no. 2. P. 289-293.
13. Jiang Z.-P., Hill D. J., GuoY. Stabilization and tracking via output feedback for the nonlinear benchmark system // Automatica. 1998. Vol. 34, no. 7. P. 907-915.
14. Zhao J., Kanellakopoulos I. Flexible backstepping design for tracking and disturbance attenuation // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1998. Vol. 8. P. 331-348.
15. Avis J. M., Nersesov S. G., Nathan R., Ashrafiuon H., Muske K. R. A comparison study of nonlinear control techniques for the RTAC system // Nonlinear Analysis. 2010. Vol. 11, no. 4. P. 2647-2658.
16. Lee C.-H., Chang S.-K. Experimental implementation of nonlinear TORA system and adaptive backstepping controller design // Neural Computing and Applications. 2012. Vol. 21, no. 4. P. 785-800.
17. Pavlov A., JanssenB., vandeWouwN., NijmeijerH. Experimental output regulation for a nonlinear benchmark system // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2007. Vol. 15, no. 4. P. 786-793.
18. TavakoliM., Taghirad H. D., Abrishamchian M. Identification and robust H control of the rotational/translational actuator system // International Journal of Control, Automation and Systems. 2005. Vol. 3, no. 3. P. 387-396.
19. Ушаков В.Н., Матвийчук А. Р., Паршиков Г. В. Метод построения разрешающего управления задачи о сближении, основанный на притягивании к множеству разрешимости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, вып. 2. С. 275-284.
20. BuppR. T., BernsteinD. S., Coppola V. T. A benchmark problem for nonlinear control design // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1998. Vol. 8. P. 307-310.
Поступила в 'редакцию 08.10.2020. После переработки 19.01.2021.
Сведения об авторах Зимовец Артём Анатольевич, кандидат физико-математических наук, математик 1-й категории отдела динамических систем, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Россия; e-mail: [email protected]. Матвийчук Александр Ростиславович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела вычислительных систем, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Россия; e-mail: [email protected].
20
A. A. 3HMOBe^ A. P. MaTBHH^yK
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2021. Vol. 6, iss. 1. P. 9-21.
DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16101
A GRID-BASED ALGORITHM
FOR CONSTRUCTING ATTAINABILITY SETS
WITH IMPROVED BOUNDARY APPROXIMATION
A.A. Zimovets", A.R. Matviychukb
N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, Russia "[email protected], [email protected]
Reachable sets provide a powerful tool for mathematical modeling. The paper proposes a new grid-based algorithm for constructing reachable sets of nonlinear control systems. The main idea of the proposed algorithm is to maximize the accuracy of boundary points computation. It also improves the accuracy of numerical solutions of some control problems. As an example, the paper describes a method for constructing an approximate solution of the time optimal control problem of the RTAC system. This system is used for benchmarking nonlinear control techniques. We implemented the proposed algorithm using the C++ programming language and the OpenMP library and performed a numerical simulation of the considered example. As a result, we constructed the time optimal control law of the RTAC system.
Keywords: optimal control, attainability set, grid-based method, RTAC, TORA.
References
1. UshakovV.N., Matviichuk A.R., UshakovA.V. Approksimatsiya mnozhestv dostizhimosti i integral'nykh voronok differentsial'nykh vklyucheniy [Approximation of attainability sets and of integral funnels of differential inclusions]. Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki [Bulletin of Udmurt State University. Mathematics. Mechanics. Computer Sciences], 2011, no. 4, pp. 23-39. (In Russ.).
2. UshakovV.N., Ukhobotov V.I., UshakovA.V., Parshikov G.V. On solving approach problems for control systems. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2015, vol. 291, pp. 263-278.
3. Zimovets A.A. Metod prigranichnogo sloya dlya priblizhyonnogo postroeniya mnozhestv dostizhimosti upravlyaemykh sistem [A boundary layer method for the construction of approximate attainability sets of control systems]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo Gosudarstvennogo Universiteta. Ser. Matematika. Mekhanika. Fizika [Bulletin of South Ural State University. Ser. Mathematics. Mechanics. Physics], 2013, vol. 5, no. 1, pp. 18-25. (In Russ.).
4. Zimovets A.A., Matviychuk A.R. Parallel'nyy algoritm priblizhyonnogo postroeniya mnozhestv dostizhimosti nelineynykh upravlyaemykh sistem [A parallel algorithm for constructing approximate attainable sets of nonlinear control systems]. Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki [Bulletin of Udmurt State University. Mathematics. Mechanics. Computer Sciences], 2015, vol. 25, no. 4, pp. 459-472. (In Russ.).
5. RandR.H., KinseyR.J., MingoriD.L. Dynamics of spinup through resonance. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1992, vol. 27, no. 3, pp. 489-502.
The work is supported by the Russian Foundation for Basic Research, project 18-01-00221.
6. BuppR.T., Bernstein D.S., CoppolaV.T. A benchmark problem for nonlinear control design: problem statement, experimental testbed, and passive nonlinear compensation. Proceedings of the American Control Conference, Seattle, WA, 1995, pp. 4363-4367.
7. BuppR.T., Bernstein D.S., Coppola V.T. Experimental implementation of integrator backstepping and passive nonlinear controllers on the RTAC testbed. Proceedings of the IEEE International Conference on Control Applications, Dearborn, MI, 1996, pp. 279-284.
8. JankovicM., Fontaine D., Kokotovic P.V. TORA example: cascade- and passivity-based control designs. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 1996, vol. 4, no. 3, pp. 292-297.
9. WanC.-J., Bernstein D.S., Coppola V.T. Global stabilization of the oscillating eccentric rotor. Nonlinear Dynamics, 1996, vol. 10, pp. 49-62.
10. TsiotrasP., CorlessM., RoteaM.A. An L2 disturbance attenuation solution to the nonlinear benchmark problem. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 1998, vol. 8, pp. 311-330.
11. Dussy S., El Ghaoui L. Measurement-scheduled control for the RTAC problem: an LMI approach. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 1998, vol. 8, pp. 377400.
12. Escobar G., Ortega R., Sira-Ramirez H. Output-feedback global stabilization of a nonlinear benchmark system using a saturated passivity-based controller. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 1999, vol. 7, no. 2, pp. 289-293.
13. Jiang Z.-P., HillD.J., Guo Y. Stabilization and tracking via output feedback for the nonlinear benchmark system. Automatica, 1998, vol. 34, no. 7, pp. 907-915.
14. Zhao J., Kanellakopoulos I. Flexible backstepping design for tracking and disturbance attenuation. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 1998, vol. 8, pp. 331348.
15. Avis J.M., Nersesov S.G., Nathan R., AshrafiuonH., MuskeK.R. A comparison study of nonlinear control techniques for the RTAC system. Nonlinear Analysis, 2010, vol. 11, no. 4, pp. 2647-2658.
16. LeeC.-H., Chang S.-K. Experimental implementation of nonlinear TORA system and adaptive backstepping controller design. Neural Computing and Applications, 2012, vol. 21, no. 4, pp. 785-800.
17. Pavlov A., JanssenB., vandeWouwN., NijmeijerH. Experimental output regulation for a nonlinear benchmark system. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2007, vol. 15, no. 4, pp. 786-793.
18. TavakoliM., Taghirad H.D., Abrishamchian M. Identification and robust H^ control of the rotational/translational actuator system. International Journal of Control, Automation and Systems, 2005, vol. 3, no. 3, pp. 387-396.
19. UshakovV.N., Matviichuk A.R., Parshikov G.V. A method for constructing a resolving control in an approach problem based on attraction to the feasibility set. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2014, vol. 284, suppl. 1, pp. 135-144.
20. BuppR.T., Bernstein D.S., Coppola V.T. A benchmark problem for nonlinear control design. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 1998, vol. 8, pp. 307-310.
Accepted article received 08.10.2020.
Corrections received 19.01.2021.
