Сенсоры нестационарной теплометрии и их математические модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.6

СЕНСОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Н.В. Пилипенко

Рассмотрены основные направления и объекты прикладной теплометрии, приведены математические модели преобразователей нестационарного теплового потока, которые прошли широкую апробацию в экспериментальных исследованиях энергоемких технологических процессов.

Ключевые слова: методы и средства теплометрии, математические модели, прямые и обратные задачи теплопроводности.

Введение

Для ряда интенсивно развивающихся отраслей науки и техники решение основных проблем зависит от возможностей теплометрии - получения экспериментальной информации о плотностях тепловых потоков (ТП) в объектах исследования или проектирования. В частности, это теплоэнергетика, тепловые двигатели, металлургия, электронные устройства, теплозащита летательных аппаратов и их термовакуумные испытания, исследование процессов теплообмена в разреженных, сверхзвуковых, двухфазных, псевдоожиженных и других потоках, медицина, биология, приборы для измерения теплофизических свойств материалов и многое другое (рис. 1).

Рис. 1. Направления и объекты прикладной теплометрии

Как видно, объекты прикладной теплометрии отличаются большим разнообразием, и разработка универсальной методологии для оценки тепловых параметров объектов является актуальной задачей.

Для решения ряда проблем в прикладной теплометрии разработаны различного типа приемники тепловых потоков (ПТП), которые, как правило, представляют собой автономные, достаточно миниатюрные устройства с одномерным теплопереносом и, в том числе, одноемкостные. По наличию или отсутствию статической характеристики (градуировки) они могут быть статическими или астатическими средствами прямых или косвенных измерений соответственно.

Измерения плотности переменного теплового потока q = q(x) инерционными статическими ПТП, также как и измерения q = const и q = q(x) астатическими ПТП, когда они работают в динамическом режиме, относятся к области нестационарной теплометрии. В обоих случаях возникает необходимость расчетного определения (восстановления) плотности входящего в ПТП теплового потока по непосредственно измеряемым температурам или их перепадам в отдельных точках ПТП. Эти задачи относятся к нестационарным граничным обратным задачам теплопроводности (ОЗТ), решения которых связаны с рядом трудностей и частично рассмотрены в работах [1-5].

Все ПТП для нестационарной теплометрии условно можно разделить на градиентные, калориметрические и с элементами полупространства (рис. 2).

Из-за существенных различий в условиях теплометрии большинство ПТП, иногда даже в рамках одной разновидности, существенно отличается как по устройству, так и по методам восстановления плотности теплового потока д(т). Практически в литературе отсутствует единый подход к ПТП как средствам измерений, к методологии и возможностям их использования в нестационарной теплометрии, а также к оценкам методических погрешностей измерений. Кроме того, анализ перспектив развития и совершенствования методов прикладной теплометрии показывает, что современный уровень измерительной техники и ее информационных технологий выдвигает перед средствами прикладной нестационарной теплометрии очевидные требования автономного функционирования в реальном времени проведения эксперимента. Важным условием его выполнения является оптимизация алгоритмов восстановления д(х) по критериям точности и вычислительной эффективности (быстродействия). Создание единого подхода к прикладной теплометрии требует систематизации, обобщения и анализа обширной информации на основе математических моделей.

Математические модели сенсоров нестационарного теплового потока

Математические модели (ММ) являются количественным представлением процессов теплопере-носа в ПТП, в которых учитываются особенности конструкции ПТП и их размещение на объекте исследования. ММ ПТП предназначены для решения прямых задач теплопереноса (ПЗТ) в ПТП с целью исследования статических и динамических свойств последних, а именно: реакции ПТП на различные входные воздействия #(т), расчетов статических характеристик (градуировок), расчетов стандартных динамических характеристик - переходных, импульсно-переходных, частотных и др., а также использованиями решении граничных ОЗТ по восстановлению плотности входящих в ПТП тепловых потоков д(т) произвольной формы.

Основными требованиями к ММ ПТП являются:

- высокая степень адекватности ММ реальным процессам, протекающим в ПТП, и точности их описания;

- наличие оптимального по точности и вычислительной экономичности (быстродействию) алгоритма решения, удобного для реализации на ЭВМ.

В соответствии с общепринятой методологией построения (идентификации) ММ адекватных реальным объектам вначале должна выполняться структурная идентификация ММ - выбор ее математический структуры и формы, а затем параметрическая идентификация - установление значений ее параметров (коэффициентов). Применительно к ПТП решение задачи структурной идентификации ММ обеспечивается учетом в тепловых моделях (ТМ) ПТП всех существенных факторов теплопереноса, в том числе:

- особенности конструкции, наличие составляющих элементов из различных материалов, защитных слоев, контактных тепловых сопротивлений, воздушных зазоров и др.;

- зависимость теплофизических характеристик (ТФХ) материалов от температуры и другие возможные нелинейности;

- реальные граничные условия теплообмена на рабочей и тыльной поверхностях ПТП, и т.д.

Анализ результатов модельных и натурных экспериментов [4, 5] показал, что из всего многообразия ММ сформулированным выше требованиям удовлетворяют дифференциально-разностные модели (ДРМ) [4]. Теплоперенос в одномерных ПТП любого типа может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно составляющих вектора состояния Т(т), которая в векторно-матричной форме имеет вид [4, 6]

—Т(т) = Т(т) = ¥ ■ Т(т) + ОИ(х).

йх

(1)

Для однородного теплоизолированного стержня с граничными условиями второго рода д(х) на торце векторы состояния Т(т) и управления и(т), матрицы обратных связей ¥ и управления О имеют вид [6]

Т =

; и =

41 (х)

42 (х)

; О =

1

срД 0

срД

¥ =

-2Ъ 2Ь 0 . 0 Ъ -2Ъ Ъ . 0

Ъ -2Ъ Ъ 0 2Ъ -2Ъ

Общее решение уравнения (1) может быть записано в виде:

х

Т(х) = Ф(х, х0)Т(х0) + |ф(т, ©)ОИ(©)й©, х0

где Ф(х, х0) - переходная (п х п) - матрица (матрица Коши, матрициант).

г

п

Рис. 2. ПТП для нестационарной теплометрии

Переходная матрица Ф(т, т0) отражает внутренние тепловые связи в ПТП, так как ее элементы представляют собой переходные за период Дт = т - т0 процессы каждой составляющей вектора состояния от единичных возмущений по остальным его составляющим, протекающие в свободной системе (и = 0).

При численных решениях уравнения (1), в соответствии с требованиями к его точности, устанавливается малый временной шаг Дт. Тогда матрица Ф(т, т0) определяется следующим бесконечным рядом:

Ф(т,т0) = I + ^-Дт +1 ■ ^2 • (Дт)2 + 3• • (Дт)3 +...+1 ■ Ер ■ (Дт)р, где I - единичная матрица размерности (п х п), а решение имеет вид [1]

Тк +1 = ф Тк +1 ■ (1 + ф) ■ ° ■ ик ^ , (2) где Тк = Т(тк), ик = и(тк), а тк = к-Дт, к = 0, 1, 2....

При рассмотрении линейного теплопереноса переходная матрица Ф постоянна и вычисляется единожды. Однако, решение уравнения (2) может быть использовано и при зависимости теплопроводности X и теплоемкости с от температуры. В этом случае выполняется пошаговая, на один шаг вперед, линеари-

зация матрицы F: для (к + i) -го шага значения X и с относятся к температурам T , полученным на предыдущем шаге. Переходная матрица должна вычисляться для каждого (k +1) -го временного шага.

ДРМ в виде (1) описывает процесс нестационарного теплопереноса в ПТП. При этом измерению подлежат либо температуры в отдельных точках, либо градиенты этих температур, либо среднеобъемные температуры чувствительных элементов. Эта информация, а также сведения о характере и величинах погрешностей в измерениях отражаются в следующей математической модели измерений ПТП: Yk = HTk + £k,

где Yk и £k - векторы измерений и погрешностей в измерениях; Н - матрица измерений.

Заключение

Проведен анализ направлений и объектов прикладной теплометрии, приведены основные типы приемников тепловых потоков, разработаны адекватные математические модели процессов теплопере-носа в приемниках, а также созданы программы для определения с единых позиций динамических характеристик различных типов приемников для восстановления нестационарного теплового потока.

Автором разработаны и прошли многократную апробацию ДРМ различных типов ПТП, приведенных на рис. 2, составлены оригинальные программы определения с единых позиций динамических характеристик ПТП и восстановления нестационарных тепловых потоков.

Литература

1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 1 // Изв. вузов. Приборостроение. - 2003. - Т. 46. - № 8. - С. 50-54.

2. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 2 // Изв. вузов. Приборостроение. - 2003. - Т. 46. - № 10. - С. 67-71.

3. Пилипенко Н.В. Методические погрешности определения нестационарных условий теплообмена при параметрической идентификации // Измерительная техника. - 2007. - № 8. - С. 54-59.

4. Пилипенко Н.В., Гладских Д.А. Решение прямых и обратных задач теплопроводности на основе дифференциально-разностных моделей теплопереноса // Изв. вузов. Приборостроение. - 2007. -Т. 50. - № 3. - C. 69-74.

5. Пилипенко Н.В., Кириллов К.В. Определение нестационарных условий теплообмена в энергетических установках // Приборы. - 2008. - № 9. - C. 21-25.

6. Pilipenko N. Parametrical identification of differential-difference heat transfer models in non-stationary thermal measurements // Heat Transfer Research. - 2008. - V. 39. - № 4. - P. 311-315.

Пилипенко Николай Васильевич - Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, [email protected]