Параметрическая идентификация теплового потока, входящего в одномерный тепломер, с уточнением коэффициента теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Грехов И.В., Ефанов В.М., Кардо-Сысоев А.Ф., Шендерей С.В. Мощный полупроводниковый генератор наносекундных импульсов // ПТЭ. - 1986. - № 1. - С. 93-94.

4. Behlke Power Electronics (GmbH). Fast high voltage solid-state switches. - Режим доступа: http://www.behlke.de, своб.

5. Clemente S., Pelly B.R., Insidori L. Силовые полупроводниковые приборы. - Воронеж, 1995. - С.195-215.

6. Тогатов В.В., Гнатюк П.А., Терновский Д.С. Высоковольтный импульсный модулятор с наносекундным фронтом // ПТЭ. - 2007. - № 6. - С. 134-135.

Терновский Дмитрий Сергеевич

Тогатов Вячеслав Вячеславович

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, dm-ternovsky@mail.ru

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, dm-ternovsky@mail.ru

УДК 536.6

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА, ВХОДЯЩЕГО В ОДНОМЕРНЫЙ ТЕПЛОМЕР, С УТОЧНЕНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

К.В. Кириллов, Н.В. Пилипенко

Исследованы возможности применения метода параметрической идентификации для одновременного восстановления теплового потока и уточнения теплопроводности материала тепломера. Представлено описание математических моделей и результаты тестирования разработанной по ним программы. Ключевые слова: приемники теплового потока, дифференциально-разностные модели, обратные задачи теплопроводности, параметрическая идентификация, фильтр Калмана.

Введение

Теплофизические характеристики (ТФХ) материала тепломера (в дальнейшем для краткости ПТП - приемника теплового потока) существенно влияют на результаты восстановления тепловых потоков. В нестационарной теплометрии, как правило, для получения информации о значениях ТФХ используются известные справочные данные, составление которых является отдельной задачей экспериментальной теплофизики. Однако значения ТФХ существенно различаются в зависимости от технологии получения сплавов, а для неоднородных ПТП величины ТФХ известны лишь приблизительно.

Для преодоления указанных проблем вместо традиционно применяемой прямой градуировки ПТП на специальных стендах предлагается использовать методы комбинированных обратных задач теплопроводности (ОЗТ) [1, 2]. Комбинированная ОЗТ предполагает постановку коэффициентной ОЗТ по определению ТФХ материала ПТП и объединение ее с граничной ОЗТ по восстановлению входящего в ПТП теплового потока.

При постановке коэффициентной ОЗТ рассматривается случай оптимального оценивания только коэффициента теплопроводности, где в качестве обязательной параметризации применяется его кусочно-постоянная аппроксимация, а при постановке граничной ОЗТ - кусочно-линейная сплайн-аппроксимация теплового потока.

В работе описан метод решения комбинированной ОЗТ с использованием фильтра Калмана (ФК) по искомым параметрам, приведены результаты восстановления тепловых потоков и уточнения ТФХ для тепломеров из различных материалов, оценены погрешности решения ОЗТ и даны рекомендации по использованию предлагаемого метода.

Математические модели теплопереноса и измерений

В качестве математической модели для описания одномерного теплопереноса в ПТП различных типов применяются дифференциально-разностные модели (ДРМ), подробно описанные в работах [1, 2], которые в векторно-матричной форме для линейных стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) имеют вид

аТ(т) = ^ • Т(т)+а • и(т), (1)

ат

где Т(т) и и(т) - векторы состояния и управления; ^ и С - матрицы обратных связей

и управления. Общее решение СОДУ (1) имеет следующий вид:

т

Т (т) = Ф(т, т 0 )• Т (т0)+ |Ф(т, е) • С(9) • и (0)ае, (2)

т 0

где ф(т, то ) = ехр(((т - то )) - переходная матрица состояния (матрица Коши) системы;

т0 - начальный момент времени. Для программной реализации решения (2) вводится

дискретное время т£ = £Ат, а также дискретные векторы Т^ = Т(т£) и и£ = и(т£).

Тогда дискретная переходная матрица Ф = Ф £+\£ = Ф(т £+1, т £ ) может быть вычислена

с требуемой точностью путем суммирования необходимого числа членов следующего бесконечного ряда:

Ф = I + ЯАт + - ^ 2 Дт 2 + к +—¥т Дтт +..., (3)

2! т!

где I - единичная матрица. Решением прямой задачи теплопроводности (ПЗТ) в этом случае является последовательное применение для каждого момента времени следующей известной формулы расчета Т^+1 по значения Ф и Т^ :

Т£+1 = Ф- Тк + 2(1 + Ф) • с • ик-Дт. (4)

Нелинейному теплопереносу в ПТП соответствует нелинейная СОДУ, которую можно записать в следующей векторно-матричной форме:

О-Т (т) = / ((т),и (т)), (5)

где /(Т(т),и(т)) - нелинейная вектор-функция, составляющими которого являются правые части уравнений теплового баланса относительно производной температуры по времени. Для решения прямых задач динамики нелинейного теплопереноса в ПТП на основе их ДРМ предлагается использовать известный метод рекуррентной (последовательной) линеаризации правой части уравнения (5).

Метод реку ррентной линеаризации заключается в том, что при вычислении вектора состояния Т£+1 для £+1 момента времени по формуле (4) выполняется линеаризация правой части уравнения (5) к виду (1). Для этого значения ТФХ материала в уравнениях теплового баланса необходимо отнести к уже рассчитанным температурам 11£

каждого блока. Таким образом, при определении Т£+1 по формуле (4) переходная матрица Ф = Ф£+1,£ вычисляется по формуле (3) через линеаризованную указанным способом матрицу обратной связи ^ = Г£+1.

Для учета измерительной схемы ПТП и сведений о характере и величинах случайных погрешностей в измерениях температуры используется следующая модель измерений:

Yk = H • Tk + s k, (6)

где Yk и sk - векторы измерений и случайных погрешностей, H - матрица измерений.

Параметрическая идентификация

В работах [1, 2] показана целесообразность использования метода параметрической идентификации для решения ОЗТ, так как последний удовлетворяет общепринятым требованиям устойчивости и сходимости вычислительных процедур, точности конечных результатов, универсальности, простоты программной реализации и др. Сущность же метода сводится к предварительной параметризации задачи и последующему нахождению оптимальной несмещенной оценки вектора искомых параметров системы, дающей минимум нормы вектора невязки между измеренными в опыте температурами и прогнозами измерений температуры, рассчитанными по модели. Для получения оценок используется рекуррентная вычислительная процедура цифрового ФК по искомым параметрам.

Под параметризацией ОЗТ понимается априорная функциональная аппроксимация подлежащего восстановлению теплового потока и коэффициента теплопроводности на всем интервале измерений.

При постановке граничной ОЗТ используется кусочно-линейная аппроксимация, где в качестве системы базисных функций применяются 5-сплайны 1-го порядка. Тогда на z-ом участке аппроксимации значение теплового потока находится по следующей формуле:

4z = 4a, z • + Чь, z • Sp(\

где qa z и Чь z - значения теплового потока на левой и правой границах участка соответственно; и SP () - 5-сплайны.

Величины qa z и Чь z на каждом z-ом участке объединяются в вектор искомых

параметров Qqz = [a z Чь z ]Т. Благодаря сквозной 5-сплайн-аппроксимации на всем интервале измерения на границах сплайнов имеют место равенства qa z = qbzz_1; qa z+1 = Чь z ; ____Вычисления по мере поступления измерений перемещаются последовательно по всем сплайнам и восстанавливают весь набор искомых значений теплового потока.

При постановке коэффициентной ОЗТ ограничимся случаем оптимального оценивания только коэффициента теплопроводности X(T) материала ПТП, а в качестве обязательной параметризации X(T) воспользуемся его кусочно-постоянной аппроксимацией Xz = const на каждом из z участков. Такая параметризация незначительно повышает сложность решения комбинированной ОЗТ и при этом, как показали наши исследования, существенно снижает уровень погрешности результатов от ошибок в X. Таким образом, вектор искомых параметров величины X имеет вид Qxz = X z, а само X z может быть отнесено к средней на z-м интервале температуре ПТП Т z ^ .

Заметим, что принципиально возможны другие более точные параметры параметризации X(T), например, кусочно-линейный, когда Qxz = [х a z Xь z ]T.

Таким образом, комбинированная ОЗТ заключается в определении на каждом z-м участке оптимальных обобщенных оценок вектора искомых параметров

Qz =[Qqz QXz ]T=[a, z Чь, z X z Г . (7)

Фильтр Калмана по искомым параметрам

Нелинейный дискретный ФК по искомым параметрам основан на зависимости

модельного вектора измерений Y(Q) от вектора искомых параметров Q (7), что формально позволяет записать:

Y(Q )=[ (Q )„.

Составляющие €j k (Q) - это модельные температуры или их перепады в m точках ПТП, соответствующие вектору измерений в k-й момент времени. В общем случае -для нелинейной модели (5) ПТП - они являются нелинейными функциями от Q.

Тогда модель ПТП в искомых параметрах Q, учитывая условие Q = const, может быть записана в виде

Q = 0, (8)

а модель измерений в ПТП - в виде

Yk = Yk (Qo) + s k. (9)

Уравнение (9) обозначает нелинейную зависимость между Yk и Qo, где Q o - истинное значение вектора искомых параметров.

К модели (8)-(9) может быть применен алгоритм дискретного нелинейного ФК,

позволяющий получать рекуррентные оценки QQk+1 вектора искомых параметров Q и ковариационную матрицу Pk+1 их ошибок по найденным на предыдущем k-ом шаге

Qk , Pk и известному вектору измерений Yk+1. Алгоритм имеет следующий вид:

\-1

k+1"V rk +1PkHk+1

Kk+1 = Pk ■ $L •(+iPk$h + N

ik+1

ik

+ K

k+1 •

Рк+1 - Рк - Кк+1Нк+\Рк ■. где К - весовая матрица; Р - ковариационная матрица ошибок оценок; Йк+1 - матрица функций чувствительности; N - ковариационная матрица случайных погрешностей

; А.

Y

k+1 _ П+1

Я

k

V У У

(10) (11) (12)

измерений; ^+1 ^0к J - модельный вектор измерения, рассчитываемый по модели теп-

лопереноса в ПТП для момента времени к+1 с использованием предыдущей оценки вектора 0к •

Матрица функций чувствительности Йк+1 имеет следующий вид:

H

dYk

k+1

dQ

Q = Qk

дУцс (Q) дУцс (Q) дУ\Л1

dqa dqb

fym,k (Q) fym,k (Q) fym,k

d4a dqb

Здесь

дУ j,k

dqc

дУ j ,k

Q =

dqb

Q =

и

дУ j,k

дХ

Q=

- функции чувстви-

тельности j-го измерения к искомому параметру qa, qь и X в к+1 момент времени.

Описание программы Kaiman Filter

Рекуррентная последовательная процедура ФК по искомым параметрам (10)-(12) была реализована авторами в форме программы Kaiman Filter на языке высокого уровня Scilab, который предназначен для выполнения инженерных и научных вычислений.

Основными преимуществами пакета Scilab являются поддержка большого числа математических функций, широкие возможности редактирования графиков, наличие инструментов для создания визуальных приложений, бесплатность (лицензия Scilab позволяет свободное распространение). Версию пакета для операционных систем Windows, Linux и ряда других можно получить по адресу http://www.scilab.org.

Главное окно разработанной программы представлено на рис. 1.

k

k

k

и KALMAN FILTER HSV

Sensor properties Thermal conductivity

Total height, m 0.004] Number of splines : г

Number of blocks Temperature, С Value, W/m"K

Thermal capacity, J/kg*K 640 0 I 0.76

Density, kg/rri3 2500 50 I 0.76

Time and Initiial conditions 0 I 0

Total time, s 3 0 I 0

Time Interval, s 0.01 0 I 0

Initial temperature, С 0 0 I 0

Boundary condition from top 0 I 0

J Heat-transfer c., W/m2*K 0 0 I 0

Linear a 1 0000 0 I 0

■ Harmonic b 1 0000 Measurements

w 10 Number of measurements : 2

Boundary condition from bottom Measurement matrix Error matrix

J Heat-transfer c., W/m2*K 0 [1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] I 0.3

W Linear a 0 [0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0] I 0.3

Harmonic b 0 [0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0] I 0

w 0 [0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0] I 0

Inverse problem [0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0] I 0

Spline Length 10 [0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0] I 0

Number of expansion terms 10 [0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0] I 0

Initial estimates Increments, % Initial covariances [0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0] I 0

5000 1 1 e+11 [0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0] I 0

5000 1 1 e+1 2 [0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0] I 0

0.36 1 10000 [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1] I 0

Solve Close

Рис. 1. Ввод исходных данных в главном окне программы

Результаты исследований

В качестве иллюстрации для градиентного однородного ПТП типа вспомогательной стенки приведем результаты математического моделирования метода параметрической идентификации. Рассмотрим различные ТФХ материала ПТП, представленные в следующей таблице.

Материал Теплопро- Теплоемкость с, Плотность р, Толщина И,

водность А, Дж/(кгК) кг/м3 м

Вт/(м-К)

Стекло (ПТП-1) 0,76 840 2500 5,040-3

Германий (ПТП-2) 15 310 5300

Алюминий (ПТП-3) 210 900 2700

Таблица. Физические свойства и геометрические параметры ПТП

Для всех рассмотренных ниже случаев моделирования можно выделить следующие общие положения:

- начальное распределение температур по толщине образца принималось известным;

- число блоков разбиения ПТП по толщине п =11;

- длина участка сплайн-аппроксимации А 2 = 10 • Ат;

- измерялись температуры поверхности 11 и второго блока ¿2;

- выбирался гармонический или линейный закон изменения теплового потока;

начальные оценки вектора искомых параметров у задавались в два раза меньше эталонных;

- начальное значение ковариационной матрицы ошибок оценок р задавалось в виде

Р0 =

1011 0 0

0 1011 0

0 0 10

д, Вт/м2

10000 :

0 -

-

1

// 2

-

\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5

0,2

0,4

0,6

т,с

А, Вт/(м-К) 0,7

0,6

0,5

0,4

0

-

7 /

/ 2

1 1

_ рг

- 7

- 7

-

- 1 1 ■ 1 ■ ■ ■ ■ ■

0,2

0,4

0,6

0,

т,с

Рис. 2. Эталонные (1) и восстановленные (2) значения теплового потока и коэффициента теплопроводности для ПТП-1

0

ц, Вт/м2 20000

16000

12000

8000

X, Вт/(м-К) 24

16

10

0

г

0,6

0,

2 1

у

0,2 0,4 0,6 0,8 т,

т,с

Рис. 3. Эталонные (1) и восстановленные (2) значения теплового потока и коэффициента теплопроводности для ПТП-2

ц, Вт/м 26000

14000

10000

8000

X, Вт/(м-К) 200

160

2

120 :

0,1

-

1 \

-

- _——- 2

1 ■ 1 ■ 1 ■ 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0,2

т,с

т-1-1

0 0,1 0,2 т,с

Рис. 4. Эталонные (1) и восстановленные (2) значения теплового потока и коэффициента теплопроводности для ПТП-3

1

0

Результаты параметрической идентификации теплового потока и коэффициента теплопроводности для ПТП-1 при Ат =0,01 с представлены на рис. 2. Результаты расчетов для ПТП-2 при Ат =0,01 с и уровне шумов в измерениях а =0,05 °С представлены на рис. 3. Результаты для ПТП-3 при Ат =0,001 с представлены на рис. 4.

Как видно из рис. 2-4, во всех случаях наблюдалась устойчивая сходимость процедуры идентификации: в результате тепловые потоки и коэффициент теплопроводности хорошо уточняются уже на первом участке сплайн-аппроксимации (рис. 2), либо на третьем (рис. 3), либо на 30-м (рис. 4).

Заключение

В работе описаны математические модели (ММ) линейного и нелинейного тепло-переноса в ПТП на основе ДРМ. Предложен метод рекуррентной последовательной линеаризации для решения ПЗТ на основе таких ММ.

Составлена стратегия оценивания для одновременного восстановления теплового потока и теплопроводности на основе метода параметрической идентификации. Адаптирован и реализован в форме программы на языке БсПаЬ нелинейный ФК по искомым параметрам для получения вышеперечисленных оценок.

Математическим моделированием доказана эффективность разработанных алгоритмов параметрической идентификации и показана их практическая применимость при экспериментально-расчетном определении тепловых потоков и теплопроводности.

Литература

1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теп-лометрии (ч. 1) //Изв. вузов. Приборостроение. - 2003. - № 8. - С. 50-54.

2. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теп-лометрии (ч. 2) //Изв. вузов. Приборостроение. - 2003. - № 10. - С. 67-71.

Кириллов Кирилл Валерьевич — Санкт-Петербургский государственный универ-

ситет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, kirill.kirillov@gmail.com

Пилипенко Николай Васильевич — Санкт-Петербургский государственный универ-

ситет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, pilipenko@grv.ifmo.ru

УДК 004.4'22

СИСТЕМА КОДОГЕНЕРАЦИИ ТНОЯ^БО И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ СОЗДАНИЯ БИЗНЕС-ПРИЛОЖЕНИЙ

Д.В. Деев, Ю.С. Окуловский, В.Ю. Попов, В.П. Часовских

Описана система порождающего программирования Thornado, основанная на использовании языков разметки, скриптовых языков и объектно-ориентированного программирования. Приведен пример использования этой системы для создания бизнес-приложений. Исследованы вопросы организации разработки программного обеспечения с применением этой системы.

Ключевые слова: разработка программного обеспечения, порождающее программирование, кодогенерация.

Введение

В теории информации традиционно выделяются два основных объекта - поток данных и поток команд. Исторически считалось, что поток команд является основным,