Динамические характеристики комбинированных преобразователей тепловых потоков Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМБИНИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ В.П. Афанасев, Е.Б. Дубко, Р.А. Козловский, Н.В. Пилипенко

Предложен метод определения динамических характеристик тепломеров различных типов, в основе которого лежит параметрическая идентификация нестационарных потоков.

В настоящее время интенсивно развиваются методы восстановления полей температур и тепловых потоков по ограниченному числу точек измерений, основанные на закономерностях теплопереноса внутри исследуемого объекта. Помимо самостоятельного интереса - определения поля температуры и ее локальных значений в труднодоступных местах объекта - эти методы помогают в решении других важных задач, а именно: восстановлении теплового потока поглощаемого телом, определении температуры среды или коэффициента теплоотдачи на поверхности объекта. Самостоятельное направление представляют задачи уточнений теплофизических свойств материалов совместно с восстановлением граничных условий.

Указанные задачи характерны для таких технологических процессов, как сжигание низкосортного топлива в псевдоожиженном слое, обжиг и сушка дисперсных материалов, теплообмен на наружном контуре турбинных лопаток авиационных двигателей, а также теплообмен в ударных трубах, каналах и др. Задачи востановления тепло-физических свойств объекта расматриваются в энергосберегающих технологиях, например, при определении теплового сопротивления строящихся зданий и сооружений, а также при исследовании различных энергетических установок, топок и камер сгорания.

В связи с этим ниже предложена унифицированная методология определения динамических характеристик различных типов преобразователей теплового потока (ПТП). В качестве объектов исследования выбраны комбинированные ПТП с одномерным полем температуры (рис.1), которые наиболее широко используются в технике. При этом возможна реализация ПТП из материалов с различными теплофизическими свойствами, наличием или отсутствием контакного термического сопротивления Як, воздушного зазора между элементами ПТП.

^ ^ I1

^ ^ || Ф)

Рис.1. Обобщенная модель комбинированного ПТП: 1,2,4 - материалы с различными теплофизическими свойствами; 3 - воздушный зазор

Общность подхода для любых типов ПТП, в том числе и указанных выше, состоит в составлении дифференциально-разностной модели теплопереноса в датчике.

Для этого ПТП разбиваем по высоте на п блоков с температурами Ь, ..Л„ (рис. 2). Средние температуры блоков tn, отнесенные к их центрам, составляют вектор состояния Т (т). Далее для каждого блока записываем уравнение теплового баланса с учетом различных теплофизических свойств материалов слоев, с наличием или отсутствием контактного термического сопротивления между слоями, воздушного зазора.

В результате теплоперенос в датчике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно составляющих вектора состояния Т (т), которая в векторно-матричной форме имеет вид [1]:

^ = Р. Т(т)+а-и(т) , (1)

ат

где Е и С - матрицы обратных связей и управления; и - вектор управления. Общее решение уравнения (1) имеет вид [1]

т

Т (т) = Ф(т, т0) - Т(т0) +{ф(т, 0)Си(0)а© , (2)

т0

где Ф(т, то) - переходная матрица, определяемая по зависимости

Ф = 1 + ЕАт + 2 Е2 (Ат)2 + 3 Е3 (Ат)3 +... + -1 Ер (АтУ + ...,(3)

где I - единичная матрица. Численное решение уравнения (3), которое используется при расчетах, представим в виде [2]

Тк+1 =Ф-Тк + 2 (1 + ФСис Ат , (4)

где Тк = Т(тк), Щ =и(тк), т к = к -Ат, к = 0,1,2,3,..., Ат - временной шаг.

Информация о количестве измерений, а также сведения о характере и величинах погрешностей отражаются в следующей математической модели измерений [2]:

У = N Тк + е, (5)

где Ук и е - векторы измерений и погрешностей, N - матрица измерений. По матрице измерений N можно судить о том, какие температуры и в каких точках измеряются в эксперименте.

Таким образом, полная математическая модель датчика как динамической тепло-измерительной системы состоит из моделей теплопереноса (1) и измерений(5).

Для восстановления входного теплового потока q(т) решается граничная обратная задача нестационарной теплопроводности (ОЗТ). При этом проводится параметризация задачи, суть которой сводится к представлению теплового потока, идущего через датчик, обобщенным полиномом, неизвестные параметры которого определяются с помощью математической модели и результатов измерений [2]:

г

q(т) = 2 qi (т^ (7)

I=1

где qi - неизвестные постоянные параметры, которые должны быть определены в результате решения ОЗТ (г = 1, 2,..., г); ф(т) - система базисных функций. В данном случае в качестве базисных функций используются В-сплайны первого порядка, описываемые уравнением [2]

1 • (8)

пРи | >1

т

где ^ = — - i+1 - безразмерный аргумент базовой сплайн-функции первого порядка,

А - участок сплайн-аппроксимации.

В результате параметризации ОЗТ формируется вектор искомых параметров

Q = |^/ |;=i = const. Тогда параметрическая идентификация ПТП как метод решения

граничной ОЗТ заключается в нахождении его оптимальной оценки Qk, дающей минимум следующей функции невязок [2]:

<®(Q) = Z

к=i

T

Yk - Yk (Qk)

R-1

Yk - Yk (Q)

(9)

где Yk (Qk) - модельные (расчетные) значения вектора измерений, определяемые по модели (5) ПТП в функции от Qk ; R - ковариационная матрица Sk с нормальным законом распределения; k - дискретное время, соответствующее определению тк = k-Ат ; Т - знак транспонирования.

Для получения оптимальных оценок Qk используется рекуррентный алгоритм фильтра Калмана (ФК) [2]. Данный алгоритм для каждого измерения выдает не только саму оценку искомого параметра (теплового потока), но и ковариационную матрицу ошибок, характеризующую точность этой оценки.

Kk+1 = PkH+1 [k+iPAt+i + r]-1 , (10)

Qk+1 = Qk + Kk+1 Yk+1 - fk+1 ((2k) , (11) Pk+1 = Pk - Kk+x$kPk , (12)

где K k+1 - весовая матрица; Yk+1 (Qk) - модельные значения вектора измерений в (k+^-й момент времени, рассчитываемые по модели ПТП (5) с использованием предыдущей оценки вектора параметров Qk; Pk и Pk+i - ковариационные матрицы ошибок оценок вектора параметров для моментов времени k и (k+1) соответственно; H " матрица чувствительности, рассчитанная с использованием Qk .

Изложенная методология реализована с помощью оригинальной компьютерной программы «Heat Stream», позволяющей решать как прямую, так и обратную задачи теплопроводности и восстанавливать нестационарный тепловой поток, меняющийся по произвольному закону с учетом влияния шумов в измерениях.

Экспериментальные исследования по определению динамических характеристик и восстановлению теплового потока q(x) проводились нами для различных случаев, а именно: материалы тел 1,2,4 - сталь 4Х13, никель, керамика Al2O3; толщины элементов - до 310-3м; контактные сопротивления Rk=10-3 м2К/Вт; толщины воздушных зазоров -до 0.210-3 м; величины шумов в измерениях (среднеквадратичное отклонение) - до 1° С; величины восстановленных потоков - до 106 Вт/м2. В качестве примера приведем результаты исследований для двухслойной модели ПТП: ^1=31 Вт/мК, а1=8'10"6 м2/с, 51=0.002м., ^2=20 Вт/мК, а2=6.7'10"6 м2/с, 52=0.003м., где - тепло- и температуропроводности материалов, 5 - толщина элементов ПТП. При этом измерялись температуры поверхностей ПТП t1(x) и ¿22(т). Контактное тепловое сопротивление между 11 и 12 блоками составляло Rk=10-3 Втм2/К. Среднеквадратичное отклонение при измерении температуры равнялось 0.5 °C. Модель двухмерного ПТП представлена на рис. 2.

Рис. 2. Модель двухслойного ПТП: 1 - сталь 4Х13; 2 - керамика Л120з.

Для решения задачи каждый из слоев разбиваем на 11 элементов, между которыми учитываем контактное сопротивление Кк, и составляем уравнение теплопереноса между элементами ПТП:

^(т) ^ = С1(^ -12); ат А

. . _ с1и , . —(tl -12) = С2-2 + —(t2 -tз);

А АЛ

А

ат

^& - tз) = С + ^(tз - t4); ат

А

А

А 1

1

_Г(t10 - = с11 ~Т~ + ТГ"- t12) ат ЯК

. \ ^ \ 0^12 А $ , .

(t11 - t12) = С12 ~Г~ + ~Г(t12 - t13) ат А

, ^ _ 013 V' $ / \

^12 - t13) = С13 ""Г" + _Г"(t13 - t14) ат А

(13)

Кк А' $

А

V' $ , \ п 021 V' $ , ч

—7—(t20 - t21) = С21 ""Г" + _Т"(t21 - Н2) А ат А

— (^21 - t22) + q2 (т)$ = С22'022

А 21 22 2 22 ат

Составляющие дифференциально-разностной модели (1) для данного ПТП после преобразований уравнения (13) можно записать в виде

2

Т =

22 х1

'22

С =

22 х2

с рА 0

0 0

с рА

и =

2 х1

^(т) q2(т)

(14)

0

Матрица Е , характеризующая связи между элементами ПТП, здесь не приведе-

22 х 22

на.

На рисунке 3 и 4 показаны результаты модельных экспериментов при различных законах изменения искомого потока д(т).

Относительное время

Рис. 3. Измеренные температуры поверхности ПТП. 1 и 1'- температуры поверхности первого блока; 2 и 2' - температуры на поверхности двадцать второго блока

0 100 200 300 400 500 500 700 800 300 1 000

Относительное время

Рис. 4. Потоки, восстановленные по измеренным температурам поверхности

первого блока

Как следует из рис.4, шумы в измерениях температуры существенно влияют на погрешность восстановления искомого потока, в особенности при гармоническом законе изменения температуры.

Как известно, связь всех входов системы со всеми выходами характеризует импульсная переходная матрица [3]. Между импульсной переходной матрицей О(т,т0) и переходной матрицей Ф(т,т0) известна связь, а именно [4]

0(х,То)=ВДФ(т,То) С(то), (15)

где Ы(т) - матрица измерений.

В процессе исследований нами были получены значения переходной и импульсной переходной матриц, которые позволили вычислить практически все динамические характеристики исследуемого ПТП. В результате получены практические рекомендации и установлены границы применения различных ПТП.

Литература

1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теп-лометрии (ч. 1) // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т.46. №8. С. 50-54.

2. Пилипенко Н. В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теп-лометрии (ч. 2) // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т.46 №10. С. 67-71.

3. Теория автоматического управления. Часть 1, 2. / Под редакцией акад. А. А. Воронова. М.: Высшая школа,1986. 367 с.

4. Симбирский Д.Ф. Температурная диагностика двигателей. Киев: Техника,1976. 208с.