CC BY
17
УДК 510.6 О.П. ПИНЬКО
СЕКВЕНЦ1АЛЬН1 СИСТЕМИ ВИВЕДЕННЯ ДЛЯ БАГАТОЗНАЧНИХ ЛОГ1К
Вступ
Проблема оргашзаци взаeмодií людини та комп'ютерноТ системи часто нерозривно пов'язана з розв'язанням лопчних задач (наприклад, в експертних системах, яю грунтуються на логiчному пiдходi до обробки знань, або в системах автоматичного доведення теорем, як використуються для розв'язання лопчних задач в математик), що зробило досить актуальним (в межах зазначеноТ проблеми) питання розробки систем автоматичного виведення в вщповщних лопчних численнях. Особливе мюце при цьому займае аналiз рiзноманiтних некласичних лопк, якi були б бтьш придатнi для моделювання мiркувань у рiзних предметних галузях i могли б бути використан в шформатицк
1снуе два основних засоби введення некласичних лопк. Перший - синтаксичний - полягае у пiдборi придатного числення, яке б вiдрiзнялося вщ класичного (наприклад, шляхом вилучення або послаблення аксюм, або правил виведення класичного числення). Другий - семантичний - полягае у використанн бтьш шж двох ютинносних значень, що привело до виникнення поняття багатозначно'1 лопки. Залишаючи питання про числены використання нескшченнозначних логiк, таких, як нечiтка (або неперервна) лопка, ми лише нагадаемо тут про кориснють деяких скшченнозначних логiк в межах шформатики.
По-перше, як вiдомо, для комп'ютерних систем характерна неповнота шформацп, що приводить до доцiльностi використання певних конструктивних лопк (наприклад, трьохзначноТ лопки Клиш) в рiзних системах машинного виведення. ^м того, у комп'ютерних системах, в яю шформа^я може надходити з декiлькох незалежних джерел, можлива наявнють несумiсноí (суперечноТ) iнформацií, обробка якоТ на засадах класичноТ або конструктивноТ логiки призводила б до повного руйнування накопиченоТ корисноТ iнформацií [3]. Тому бтьш доцтьно використовувати, наприклад, трьохзначнi паранесуперечн логiки замiсть класичноТ двохзначноТ або чотирьохзначн - замiсть трьохзначноТ лопки Клиш. 1снують також iншi цiкавi варiанти багатозначних логiк (з бтьшою кiлькiстю iстинносних значень), якi ми тут не обговорюемо докладно.
Однiею з основних задач щодо багатозначних логiк (особливо у зв'язку з автоматиза^ею виведення та застосуванням до шформатики) е пошук Тх аксiоматизацiй, якi були б придатн для комп'ютерноТ реалiзацií процедур автоматичного доведення теорем. У роботах [4, 5] була запропонована секвен^альна аксюматиза^я ¡К класичноТ лопки, рiзнi модифкацп якоТ по™ знайшли широке застосування при автоматизаци виведення в цш (двохзначнiй) логiцi. Щодо багатозначних лопк, то узагальнюючи генценовську iдею двохмюцевоТ секвенцií, у роботах [6, 7] було запропоновано використовувати багатомiсцевi секвенци. В зазначених статтях були розроблеш загальнi методи побудови m-мiсцевих секвен^альних числень для довiльних т-значних лопк, де т > 2. Далi ця iдея зазнала певних модифтацш та узагальнень [8]. Однак звичайш двохмiсцевi секвенцiальнi числення були б краще для аксiоматизацií вщношень логiчного наслiдування в некласичних лопках, оскiльки метавираз "формула ф е лопчним наслiдком скiнченноí множини формул Г" можна штерпретувати двохмiсцевою секвен^ею Г ®ф, в той час, як щодо багатомюцевих
секвенцiй така штерпрета^я (якщо вона взагалi юнуе) значно бiльш громiздка. Проте, незважаючи на побудову генценовських числень для певних некласичних лопк (наприклад, штуТцюнютськоТ), питання про придатнють генценовського двохмюцевого секвен^ального формалiзму взагалi до багатозначних лопк залишилося не вивченим в л^ератург
В цш робот ми вивчаемо сюнченнозначш логiки з визначником рiвностi. Клас таких логiк включае до складу (як злiченнi пiдкласи) клас уах двохзначних логiк (при цьому 3 = 0), клас уах трьох- и чотирьохзначних лопк зi слабким запереченням 0 (при цьому 3 ={0}), класи уах скшченнозначних лопк Лукасевича i Поста,
а також клас уах скшченнозначних функцюнально повних лопк (див. пщроздти 2.1, 2.2 та 2.3 вщповщно).
В розд^ 2 ми показуемо, як можна побудувати двохмiсцевi секвенцiальнi числення без структурних правил для довтьних багатозначних логiк з визначником рiвностi. На вiдмiну вiд числення ¡К [4, 5] та числень, розглянутих в [6, 7] i оглянутих в [8], нашi числення мютять, крiм правил уведення зв'язок, також правила уведення "комплекав зв'язок" (щея використовувати такi правила веде походження вщ роботи Попова [9]),
тобто формул вигляду у{т(р\, ...,(„)), де V е 3 , Ц- п-арна зв'язка (де, в свою чергу, „ > 0, а (\,... ,р„
- пропозицшш формули. Загальний пщхщ, запропонований в цш роботi, охоплюе деякi конкретнi числення, що введенi нами ранiше в роботах [10, 11, 12].
Секвенцп можна штерпретувати атомарними формулами першого порядку. Таким чином, секвенцiальнi числення трактуються як точнi унiверсальнi Хорновськ теорií. Це надае можливiсть використовувати програмш системи, якi мають вбудоваш процедури унiфiкацií та цiлеспрямованого лопчного виведення (такi, як Пролог та АПС [1, 2]), для реалiзацií процедур виведення в численнях, що розглядаються. Це питання докладно обговорюеться у розд^ 3.
Основнi поняття та позначення
Ми дотримуемося звичайних алгебраíчних понять [13]. Щоб ушфкувати позначення, алгебри позначатимуться жирними курсивними великими латинськими леерами (можливо, з шдексами), а íх носií - вщповщними курсивними великими латинськими леерами (з тими ж iндексами).
(Абстрактна) пропозицйна мова - це довтьна алгебра'1'чна сигнатура -, символи (тобто операцп)
якоí трактуються як (пропозицйн^ зв'язки. Зафксуемо злiченну множину V = {р, }г>0, елементи яко1
називатимуться пропозицйними змнними або атомами. Абсолютно втьна ¡-алгебра з системою втьних твiрних V позначаеться Р-. Елементи Г- називаються (пропозицйними) формулами. Якщо А - ¡-алгебра, то iнтерпретацieю в А називаеться усякий гомоморфiзм iз в А. (Як звичайно, штерпретацп в алгебрах ототожнюються з 1х обмеженнями на множину V або нав^ь на його пщмножини, що складаються з "суттевих" пропозицшних змiнних. При цьому ми iнодi використовуемо такi позначення iнтерпретацiй, як
V / а\,..., у„ / а„ ], де V\,..., \п - пропозицшш змшш, а а.\,..., а„ - елементи алгебри, що розглядаеться). 1нтерпретацп в називаються L-пiдстaновкaми.
(Багатозначна) ¡-лог'1ка - це довтьна пара вигляду М = {А, О), де А - ¡-алгебра, елементи яко1 називаються и (ютинносними) значеннями, а О С А (елементи й називаються вiдзнaченими (ютинносними) значеннями М). Вiдношення (логiчного) нaслiдувaння С„М лопки М визначаеться як оператор замикання на множит ¥ъ таким чином [14]. Для уах X С ¥ъ та (ре ¥ъ установимо (ре С„М {X) т.т.т.к., для кожно1 штерпретацп Л в А, к[Х] С О ^ Ь{р)е О.
¡-Секвенця - це довтьна пара скшченних множин Г i А ¡-формул, яка записуеться у виглядi Г ® А. Поняття (секвенцального) правила, його посилки та висновку, оберненого правила, (секвенцально'О аксоми, (секвенцального) числення, виведення в числены та секвенцп, що мае виведення в числены, визначаються, як звичайно.
L-Секвен^я Г ®А називаеться стинною в M при нтерпретацп h в A, якщо
И[Г]с D ^ И[а] П D Ф 0, i хибною у противному pa3i [15]. L-Правило називаеться (лог'нно)
загальнозначимим в M, якщо при будь-якш штерпретацп в A одна з його посилок хибна в M або його висновок ютинний в M [12]. Вщзначимо, що yd структуры правила (включаючи nepepi3) загальнозначимi в M [12].
2. Секвенщальж числення для логiк з визначником piBHOCTi
Зафiксyемо скiнченнy пропозицiйнy мову L та скшченнозначну логiкy M = (A, D), таку, що 0Ф D Ф A.
Визначником рiвностi для M називаеться така множина 3 унарних похщних зв'язок, крiм p0, що для будь-яких
a, bе A , таких, що a Ф b та aе D ^ aе D, юнуе таке vе 3, що v(a)е D ^ v(b)& D .
Далi ми уводимо скiнченнy синтаксичну конструк^ю (визначення 1), яка пов'язана з M i 3 та використовуеться по™ для побудови вщповщних секвен^ального числення (визначення 2 та теорема 2) i скiнченноí точно! yнiверсальноí ХорновськоТ теорií першого порядку без рiвностi (роздiл 3), та доводимо ТТ iснyвання (теорема 1). Спочатку ми уводимо узагальнене поняття лтери.
Нехай W i V. W-Лтера - це будь-який елемент множини W u{v(w) | vе 3, w е W}. Множина уах W-лiтер позначаеться Lit(W). V-ГПтери називаються просто лтерами. Секвен^я Г ® А називаеться (W-) лтерною, якщо Г U А складаеться з (W-)лiтер.
Визначення 1. Секвен^альна (3, L) -таблиця для M - це будь-яка пара Т = (l, р) вщображень
множини (L \ 3)u(L х3) в множину скшченних множин лiтерних секвенцiй, таких, що для уах n > 0 i кожноТ n-арноТ /не L :
1) якщо /!£ 3, то Л(/) i р(н/ складаються з {p1,..., pn}-лiтерних секвенцiй, таких, що для yсiх a1,..., an е A, /(a1,..., an )е D т.т.т.к. деяка секвенцiя iз l(/) хибна в M при штерпретацп [pj / a1,..., pn / an ] в A т.т.т.к. кожна секвен^я iз р(н) iстинна в M при штерпретацп
[pj aJ,..., Pn / an] в A;
2) для уах v е 3 , l(/, v) i р(/, v) складаеться з {pj,..., pn}-лiтерних секвенцiй, таких, що для уах aj,..., an е A , v(/(a1,..., an ))е D т.т.т.к. деяка секвен^я iз l(/, v) хибна в M при штерпретацп [pj / aj,..., pn / an ] в A т.т.т.к. кожна секвен^я iз р(/, v) iстинна в M при штерпретацп [ pj / aj ,... , pn / an ] в A.
Теорема 1. Теорема юнування. 1снуе секвенцiальна (3, L) -таблиця для M.
Доведення: спочатку уведемо певн корисн позначення. Розглянемо довтьш aе A та 1 £ i £ n . Множину yсiх {pi}-лiтер у, таких, що g[pi / a]е D(f D), позначимо Pi (a)(N{ (a))вщповщно). Вiдзначимо, що
a = b ^"уе Pl (a) :g[p i / Ь]е D та "уе Nl (a) :g[p i / b]g D
(1)
для yсiх b е A .
Розглянемо довтьш п > 0 та п-арну /те Ь . Спочатку розглянемо довтьну Vе 3 . Ураховуючи (1), ми бачимо, що Л{/, V) :={и\<г<„Рг {аг )®и\<г<„Мг {аг) | а\,..., ап е А, v{/{a\ ))е О} - скiнченна множина {р\,..., рп }-лiтерних секвенцiй, таких, що для усх а\, ..., ап е А, v{/{al, ..., а„ ))е О т.т.т.к. деяка секвенцiя iз Л{/, V) хибна в М при штерпретацп \р\ / ах,..., рп / а„ ] в А. Аналопчно
Р{/ V) :={и\<г<„Рг {аг )®^\<г<„^г {а, ) 1 а„ е А А/{а\ У)^ О} - CKiHЧеHHа множина
{Р\,..., р„ }-лiтерних секвенцiй, таких, що для усх а\,..., а„ е А, v{/{a\, ..., а„ ))е О т.т.т.к. кожна
секвенця iз р{/, V) ютинна в М при iнтерпретацií \р\ /а\,..., р„ /а„ ] в А. Далi припустимо, що 3 . Тодi, ураховуючи (1), ми бачимо, що
Л{/) :={и\<г<„ Рг {аг )®^\<г<„Кг {аг ) 1 ^^^ а„ е А ап )е О} - скнченна множина
{Р\,..., рп } -лiтерних секвенцш, таких, що для усiх а\,..., ап е А, //{а\, ..., а„ )е О т.т.т.к. деяка секвенця iз Л{/) хибна в М при штерпретацп \Р\ / а\,..., р„ / а„ ] в А. Аналопчно
Р{/) :={^\<г<„Рг {аг )® и\<г<„ N г {аг ) 1 а\ ,..., а„ е А /l{a\,..., а„ ^ О} - скнченна множина
{Р\,..., рп } -лiтерних секвенцiй, таких, що для усх ах, ..., а„ е А,/{а\, ..., ап )е О т.т.т.к. кожна секвенця iз р{/) i стинна в М при i нтерпретацií \р\ / а\,..., р„ / а„ ] в А. Таким чином, отримано секвенц альну
{3, Ь) -таблицю Т = {Л, р)для М. □
В i дзначимо, що доведення теореми 1 е конструктивним. Ефективна процедура, яку можна витягти з нього, надае можлив i сть знайти секвенц i альну таблицю, яка, у свою чергу, е структурою вхщних даних для ефективно! процедури м^ мi зац i I секвенцi альних таблиць, що буде подана в i нш i й робот.
Визначення 2. Нехай Т = {Л, р) - секвенц i альна {3, Ь) -таблиця для М. Числення С{М, Т)
складаеться з таких акс ом та правил:
1) для кожно! w е V, довiльних ск i нченних множин лтер Гi А, кожноí {р0}-лiтерноí секвенцií 0® X , що загальнозначима в М, акс ома Г и 0[р0 / w]®Аu х[р 0 / w];
2) для кожного п > 0, кожноí п-арно! /е Ь / 3 , довтьних формул (\,...,р„ та довтьних ск i нченн
их
множин формул Г i А правило з посилками вигляду
Г и0[р\/ р\,..., рп/рп ]®Аих[р\/р\,..., рп/рп ], де 0®хеЛ{/), i висновком
Г и {/{р\,..., р„ )}®А та правило з посилками вигляду
Г и0[р\/р\,..., рп/рп ]®Аих[р\/р\,..., рп/рп ], де 0 ® X е р{/), i висновком Г ®Аи{М{р\,...,р„)};
3) для кожного п > 0, кожноí п-арно! /е Ь , кожноí Vе 3, довтьних формул рх,...,рп та довтьних
сю нченних множин формул Г i А правило з посилками вигляду
Г и0[р\/р\,..., рп/рп ]®Аих[р\/р\,..., рп/рп ], де 0®ХеЛ{/, V), i висновком
Г и\у{/{р\,..,р„ ))}®А та правило з посилками вигляду
Г u0[p, / j,..., pn /jn Aus[p, / j,..., pn /jn ], де 0®хер(/, v), i висновком
Г ®Au{v(m(jJ,..., jn))}.
Наступна теорема узагальнюе вiдповiднi теореми KopeKTHOCTi та повноти, що доведет у [10, 11, 12]. Теорема 2. Теорема коректност та повноти. Нехай T = (l, р)- секвен^альна (3, L) -таблиця для
M. Тoдi сeквeнцiя мае виведення в числены C(M, T) т.т.т.к., вона загальнозначима в M.
Доведення: узагальнюе доведення вщповщних тверджень i3 [11, 12]. (Через те, що замша головних зв'язок похщними збер^ае загальнозначимють секвенцш та налeжнiсть аксioм i правил до вщповщних вepсiй
числення C(M, T), досить довести теорему 2 ттьки для випадку, коли 3 складаеться з головних зв'язок.)
Вщзначимо, що ус правила C(M, T)та правила, що обернет до них, е загальнозначимими в M. Зокрема, ми
безпосередньо отримаемо доведення необхщностг Достатнють доведемо шдук^ею за ступенем Э секвенцш, який визначаеться таким чином.
Спочатку визначимо ступнь Э формул шдук^ею за Тх складтстю, установлюючи:
- Э(^) := Э^^)) := 0, де wе V та vе 3;
- ^(jl,...,jn)):=э(у(т(ф1.,...^п))):=j+Sj£,.£n(j)+^3Э(^г))), де теL 13, vе3 та jj,...,jn - довтьт формули;
- Э(v(m(j))) := 1 + Э( j) + Э(^Ы), де m, v е 3 та j-дoвiльна формула.
(Вщзначимо, що Э^) = 0, де j - дoвiльна формула, т.т.т.к. j- лiтepа.) Далi, для довтьно'Т сeквeнцiТ Г ®A, установимо Э(Г ®A) := Э(j)+ ZyeA Э((). (Вщзначимо, що Э(Г ®A)= 0 т.т.т.к. сeквeнцiя Г ® A - лтерна.)
Розглянемо дoвiльну секвен^ю Л ® П , що загальнозначима в M.
Спочатку припустимо, що Э(Л®П)= 0. Вщ супротивного доведемо, що для деякоТ w е V сeквeнцiя (Л П Lit({w})) ®(Пп Lit({w})) е загальнозначимою в M. Припустимо, що для уах w е V iснуе iнтepпpeтaцiя hw в A, при якш (Л П Lit({w}))®(nn Lit({w})) хибна в M. Визначимо штерпретацп h в A, установлюючи h(w) := hw (w) для уах w е V. Очевидно, що сeквeнцiя Л®П хибна в M при штерпретацп h. Це суперечить ТТ зaгaльнoзнaчимoстi в M. Таким чином, юнуе така w е V, що сeквeнцiя (Л П Lit({w}))®(nn Lit({w})) загальнозначима в M. Установимо 0 := (Л П Lit({w}))[w / p0 ]та X := (П П Lit ({w}))[w / p 0 ]. Тoдi 0®X- {p 0 } Штерна сeквeнцiя, яка загальнозначима в M. Таким чином, згщно з визначенням 2.1), установлюючи Г := Л \ Lit({w}) та A := П \ Lit({w}), ми бачимо, що Л®П - aксioмa числення C(M,T), тому вона, очевидно, мае виведення в ньому.
Дaлi припустимо, що Э(Л ® П)> 0. Тoдi iснуе (е ЛиП , яка не е лтерою. В цьому paзi iснують n > 0, формули jj,...,jn та n -арна /те L , таю, що або 3 i ( =/j,..., jn), або ( = v(m( jj,..., jn)) для деякоТ vе 3 . Припустимо, що (е Л (випадок, коли (е П розглядаеться аналопчно). Згщно з визначенням 2.2)-3), установлюючи Г := Л \ {(} та A := П , ми бачимо, що C(M, T)
мi стить правило з висновком Л ® П та посилками, ступ нь яких менше, нж Э{Л ® П). Ус i посилки такого
правила загальнозначимi в М. Тод, за i ндукц i йним припущенням, ус посилки цього правила мають виведення
в C{M, T). Таким чином, його висновок Л ® П також мае виведення в C{M, T). □
В щзначимо, що доведення теореми 2 конструктивне. Ефективна процедура, яку можна витягти з нього i яка використовуе (як структуру вхщних даних) деяку секвенц i альну таблицю (що знайдена теоретично або отримана внаслщок мi н мi зац и), дае алгоритм розв'язання проблеми i снування виведення секвенц и в численнi,
що задаеться визначенням 2 у випадку, коли 3 складаеться з головних зв'язок (роздт 3).
Зазначимо деклька корисних наслщк в теореми 2, як узагальнюють вi дпов i днi результати роб i т [10, 11, 12]. Насамперед, використовуючи теорему 2 та теорему компактност щодо синченнозначних лог к [14], ми
робимо висновок, що вi дношення наслщування М акс оматизуеться численням C{M, T)у такому розумi ннi.
Наслi док 1. Для усх X с FL та ре FL , ре CnM {X) т.т.т.к. i снуе скнченна Г с X , така, що
секвенц я Г ®р мае виведення в C{M, T).
Далi вi дзначимо дек лька синтаксичних властивостей числення C{M, T), як можна легко довести, використовуючи теорему 2.
На^ док 2. Структуры правила (включаючи перерi з), допустимi в C {M, T).
На^ док 3. Правила числення C {м, T) оборотнi.
Завершуючи цей роздiл, ми зазначимо дектька нескi нченних ^ченних) класi в скнченнозначних лог к, до яких придатний наш пщхщ.
2.1. Двохзначн лог>ки. Нехай А :={/, ^ и О :=^}. Тод i 3 = 0 - визначник рi вност для М. единою
{p0}-л i терною секвенцi ею, що загальнозначима в М, е {р0}® {р0}. У раз i ^а^чно! лог ки можна легко
п^ брати {Ь, 3) -секвенц i альну таблицю Т для М, таку, що C{M, T) е добре в щомою версi ею числення Генцена 1-К [4, 5].
2.2. Трьох- i чотирьохзначн логiки з'1 слабким запереченням. Нехай унарна зв'язка слабкого заперечення —I е Ь, {/, А с{/, t, п, Ь}, О := А п{, Ь}, —/ е Б, —t < Б, —п < О (якщо п е А) та —Ь е О (якщо Ь е А). Тодi 3 = {—} - визначник рi вност для М. единими {р0} -лiтерними секвенцi ями, що
загальнозначимi в М, е {р0 0}, 0®{ро, —р 0} (т.т.т.к. п < А) та {р0, —р0 }®0 (т.т.т.к. Ь < А).
Цей клас лог к охоплюе чотирьохзначну лог ку Белнапа [3], íх рiзноманiтнi розширення, як вивчалися у [12] (включаючи лог ку, що акс оматизуеться численням Попова [9]), трьохзначну лог ку Клин i , суперi нтуíц i онi стську трьохзначну лог ку Гьоделя [16], трьохзначн паранесуперечлив i лог ки та багато i нших. У роботах [10, 11, 12] були уведен та вивчен числення щодо деяких iз зазначених лог к (або (х фрагмент в). Цi числення можна отримати iз певних таблиць, використовуючи визначення 2. Зазначен роботи мi стять також результати, як випливають з теореми 2 та наслщк в 1, 2 i 3.
2.3. Сюнченнозначш логки Лукасевича та Поста. Нехай п > 2, Ь := {—,А,У, з}, де —,А,У, 3-зв'язки заперечення, кон'юнкцп, диз'юнкцií та i мплi кац i í вщповщно, М - п-значна лог ка Лукасевича з множиною i стинносних значень А :={0, . . . ,п — \}, множиною в iдзначених i стинносних значень О :={п — \} i операц i ями, що визначен таким чином: —а := п — \ — а, а А Ь := тт{а, Ь), а V Ь := тах{а, Ь) i а 3 Ь := шт{п — \ + Ь, п — !). Як вi домо, А мае похi днi операц и 0\,..., Оп—2, так, що
Gi (a) := min(max((n -1 )(a - i + l),0 ), n - 1 ), де 1 < i < n - 2 i a, b e A . Легко побачити, що
3 = {G1,..., Gn-2}- визначник piBHOCTi для M. Таким чином, сюнченнозначш логiки Лукасевича охоплюються
нашим пщходом. Це також стосуеться лопк Поста та iнших фунцiонально повних лопк. (Нагадаемо, що n-значну лопку Поста (так як i будь-яку iншу функцiонально повну n-значну логiку) можна отримати з n-значноТ логiки Лукасевича додаванням до L деяких зв'язок.)
3. Процедури виведення у численнях, що розглядаються
Зафксуемо скiнченну пpопозицiйну мову L, скнченнозначну L-логiку M, визначник piвностi 3 , що складаеться виключно з головних зв'язок, для M i секвенцальну (3, L) -таблицю T = (l, р) для M. Проблему юнування
виведення фiксованоТ секвенцп в численнi C(M, T) можна звести до проблеми суперечност певноТ скiнченноТ унверсальноТ ХорновськоТ теоpiТ, яка, у свою чергу, мае розв'язок. При цьому процедуру розв'язання другоТ проблеми (яка фактично е детермшованою процедурою оберненого виведення в численн
C (M, T) можна pеалiзувати в системах декларативного програмування, таких, як АПС [1, 2] або Пролог. Слщ
вщзначити, що штерактивний iнтелектуальний прувер, pеалiзований у АПС, узагальнюе пошук виведення у логчному пpогpамуваннi. Тому заради стислостi викладення достатньо вивчити питання pеалiзацiТ процедури
оберненого виведення в численн C (M, T) лише для Пролога.
Вщзначимо, що пpопозицiйнi змiннi iнтеpпpетуються функцональними константами. Таким чином, пpопозицiйнi формули штерпретуються основними термами (нагадаемо, що пропозицшш зв'язки - це функцюнальш символи). 1нтерпретуючи скiнченнi множини списками, ми, таким чином, штерпретуемо лiвi i пpавi частини секвенцiй списками основних теpмiв. Для iнтеpпpетацiТ секвенцш ми використуемо тетрарний предикатний символ seq. 1нтуТтивно, якщо Г i А - списки формул та 0 i X - списки лтер, то вираз seq( Г, 0, А, х) ототожнюеться з секвенцею Г U0® AuS . Ми також використовуемо вбудований у
Пролог бшарний предикат member. (Нагадаемо, що member(j, Г) означае, що j е елементом списку Г ).
Зараз ми покажемо, як, виходячи з логки M i секвенцальноТ таблиц T, можна побудувати Пролог-програму Р(М, Т), яка завершуеться на запитах, що штерпретують секвенцiТ, i е такою, що довiльна секвенця мае виведення в C (M, T) т.т.т.к., вiдповiдний запит отримуе позитивну вiдповiдь в Р(М, Т). Визначення 3. Пролог-програма Р(М, Т) складаеться з такоТ послщовност правил:
1) для кожного n > 0 i кожноТ n-арноТ jie L / 3 так два правила:
seq([m(P1,..., Pn) | X], W, Y, Z ): -{seq([0[A / Pl,..., pn / Pn] | X], W, [s[pi / Pl,..., pn / Pn] | Y] Z )|0®Sel(m)}}.
seq([ 1W, [m(P1,..., Pn) | Y], Z): -{seq(0[p1 /P1,..., pn /Pn],W, [s[p1 /P1,..., pn /Pn] | Y], Z ) | 0®Sep(m) }}.
2) для кожного n > 0, кожноТ n-арноТ jie L i кожноТ ve 3 так два правила:
seq([v( j(P1,...,Pn) ) | X], W, Y, Z ): -{seq([0[A /P1,...,pn /Pn] | X], W, [s[px /P1,...p„ / P^Y, Z ] | 0®Sel(m, v) }}.
seq([],W, [v( j(P1,...,Pn) )| Y],Z): -{seq{0[pl /P1,...,pn /Pn], W, [s[p1 /P1,...,pn /Pn]| Y],
Z ) | 0®Se p(m, v)}}.
3) seq([L | X], W, Y, Z): -seq{X, [L | W], Y, Z). seq([], W, [L | Y], Z): -seq([\W, Y, [L | Z]).
4) для кожноТ {p0}-л i терноТ секвенц ii 0 ® X , що загальнозначима в M, таке правило:
seq([], X,[], Y): -{member jjp0 / P], X ) jt 0}, {member(y[p0 / p], Y) x}.
(Порядок речень у програмi може в i др iзнятися в iд зазначеного вище. Однак групи речень 1) i 2) мають передувати реченням 3).)
Теорема 3. Секвенц я Г ® А мае виведення в C (M, T) т.т.т.к., запит seq(Г, [],А, []) отримуе
позитивну в щпов i дь в Р(М, Т). При цьому процедура вi дпов i дi на зазначений запит, яка реалi зуеться
i нтерпретатором Пролога, завершуеться.
Доведення: В iдзначимо, що ус i (головнi та промi жн) запити, що мi стять предикат seq, е основними. Далi у запитах, що мi стять предикат member, другий терм е основним. Тому при ун фi кац i Т перевi рка на уходження змi нноТ не потрi бна. (Нагадаемо, що у Пролозi використовуеться спрощений алгоритм ун фi кац i Т, без перевi рки на уходження змi нноТ.) Тодi, використовуючи наслщок 3 (оборотнi сть правил) i конструктивне доведення теореми 2, неважко перев i рити твердження теореми 3. □
Як приклад, розглянемо програму, що в i дпов i дае численню Генцена LK [4, 5] щодо класичноТ лог ки, де conj - кон'юнкц я, disj - диз'юнкцi я, impl - i мплi кац i я та neg - заперечення:
seq(\conj(P\ P2) | X] W, Y, Z): -seq{[Pl, P2 | X], W, Y, Z).
seq([disj(P1, P2) | X], W, Y, Z): -seq([P11X] W, Y, Z), seq([P2 | X], W, Y, Z).
seq(impl[(P\, P2) | X], W, Y, Z): -seq(X, W, [P11 Y] Z), seq([P2 | X], W, Y, Z).
seq([neg(Pi) | X] W, Y, Z): seg(X, W, [P11Y], Z).
seq([L | X], W, Y, Z): -seq(X, [L | W], Y, Z).
seq([l W, [conj(P1, P2) | Y], Z): -seq([l W, [Pi | Y], Z), ([], W, [P2 | Y] Z).
seq([l W, [disj{P\P2) | Y], Z): -seq([lW, [Pi,P2 | Y], Z).
seq([\ W, [impl(pPi, P2) | Y] Z): -seq([Pi], W, [P2 | Y], Z).
seq([\ W, [neg(Pi) | Y], Z): -seq([Pi], W, Y, Z).
seq([\ W, [L | Y], Z): -seq([\W,Y, [L | Z]).
seq([], X, [],Y): -member(P, X), member(P, Y).
Аналогчш програми побудован для числень, що уведен у роботах [9, 10, 11, 12]. Висновки
Таким чином, доведено, що можна побудувати секвенц альн числення без структурних правил (але з допустимими структурними правилами) для довтьних пропозицйних синченнозначних лог к з визначником рi вност. Оскiльки зазначен числення можна i нтерпретувати точними ун версальними Хорновськими теорi ями та процедура ц леспрямованого виведення для даних теорi й, що реалi зована в таких системах програмування, як АПС або Пролог, i м^е процедуру оберненого виведення в зазначених численнях, можна говорити про
реалiзацiю лопчно'Т задачi пошуку виведення в численнях, побудованих для скшченнозначних лопк з визначником рiвностi, засобами АПС та Пролога.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Kapitonova J.V., Letichevsky A.A., Konozenko S.V. Computations in aps // Theoretical Computer Science. - 1993. - Vol. 119. -P. 145 -171.
2. Капитонова Ю.В., Летичевский А.А. Об обработке математических текстов в системе алгебраического программирования // Штучний Ытелект. - 2000. - Т. 3. - С. 459 - 465.
3. Belnap N.D. A useful four-valued logic // Modern uses of multiple-valued logic. - Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1977. - P. 8 - 37.
4. Gentzen G. Untersuchungen über das logische Schlißeen (I) // Mathematische Zeitschrift. - 1934. -- Vol. 39. - P. 176 -210.
5. Gentzen G. Untersuchungen über das logische Schließen (II) // Mathematische Zeitschrift. - 1934. - Vol. 39. - P. 405 - 431.
6. Schröter K. Methoden zur Axiomatisierung beliebiger Aussagen- und Prädikatenkalküle // Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. - 1955. - Vol. 1. - P. 214 - 251.
7. Rousseau G. Sequents in many-valued logic (I) // Fundamenta Mathematicae. - 1967. - Vol. 60. - P. 171 - 181.
8. Baaz M., Fermüller C.G., Salzer G. Automated deduction for many-valued logics // Handbook of Automated Reasoning. -Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 2001. - P. 1356 - 1402.
9. Попов В.М. Секвенциальные формулировки паранепротиворечивых логических систем // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. - М.: Наука, 1989. - С. 285 - 289.
10. Пынько А.П. Структурный семантический подход к построению пропозициональных логических систем: Препр. / Российская АН. Ин-т космических исследований; Пр-1815. - М.: 1992. - 33 с.
11. Pynko A.P. Characterizing Belnap's logic via De Morgan's laws // Mathematical Logic Quarterly. - 1995. - Vol. 41, № 2. - P. 442 - 454.
12. Pynko A.P. Functional completeness and axiomatizability within Belnap's four-valued logic and its expansions // Journal of Applied Non-Classical Logics. -1999. - Vol. 9, N. 1. - P. 61 -105.
13. Общая алгебра: В 2 т. - М.: Наука, 1991. - Т. 2. - 480 с.
14. Los J., Suszko R. Remarks on sentential logics // Ruch Filozoficzny. - 1958. - Vol. 5. - P. 177 - 183.
15. Zygmunt J. Entailment relations on logical matrices (I) // Bulletin of the Section of Logi. - 1979. - Vol. 8. -- P. 112 - 115.
16. Gödel K. Zum intuitionistischen Aussagenkalkül // Anz. Akad. Wiss. Wien. - 1932. - Vol. 69. - P. 65 - 66.
