CC BY
17
УДК 519.7
С.В. ЛАЗАРЕНКО*
ЩОДО ПИТАНИЯ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОÏ СКЛАДНОСТ1 ПРИ ДОСЛ1ДЖЕНН1 ДИНАМ1КИ СИСТЕМ 13 АНТИСИПАЩСЮ
Навчально-науковий комплекс «1нститут прикладного системного aHanÎ3y» НТУУ «КП1 ÎMeHÎ 1горя Окорського», м. Кшв, Украша
Анотаця. Статтю присвячено питаниям до^дження систем \з антисипацгею. Розглядаеться динам1ка таких антисипацтних систем, як зводяться до в1дображення минулих стамв у майбу-тмй у явному вигляд1. Оператор еволюцп таких в1дображень заданий оператором Хатчинсона. В метричному простор7 з метрикою Хаусдорфа проводиться моделювання динам1чних систем 7з багатозначним оператором. У фокус статт1 знаходиться проблематика розрахунку старшого показника Ляпунова як чисельног характеристики, на основ7 яког можна говорити про властиву систем1 чутлив1сть до малих збурень, тим самим стверджуючи, що динам1ка системи проявляе хаотичшсть чи регулярность. У силу росту обчислень за показниковим законом у ход7 моделювання системи з антисипащею, обумовленою багатозначшстю розв'язюв, питання оценки 7 мШм1за-цп цих обчислень стае першочерговою прикладною проблемою побудови системного тдходу в ана-л1з1 таких систем. Завдяки цгй причинг, прикладш досл1дження систем цього класу залишаються малочисельними, а актуальтсть гх обумовлена широким класом реальних процесгв, що можуть формально представлятися моделями 7з антисипащею. Останм, у свою чергу, можуть нав1ть быьш точно в1дображати природу процесу, який формал1зують, пор1вняно з класичними моделями з затзненням. Серед них варто в1дзначити таю, як моделювання транспортного потоку, вир1шен-ня конфлжтних ситуаций тощо. Уробот1 запропоновано та детально описано процедуру розрахунку старшого показника Ляпунова, адаптовану до систем 7з багатозначними операторами еволюцп. Базова ¡дея процедури основана на алгоритм7 Бенеттта для чисельного розрахунку старшого показника Ляпунова. Наведено оценки часовог та просторовог обчислювальних складностей. Вид1-лено найбыьш затратм з точки зору обчислень складов7 процедури - розрахунок в1дстам м1ж основною траектор1ею та збуреною.
Ключовi слова: багатозначт в1дображення, показники Ляпунова, обчислювальна складмсть.
Аннотация. Статья посвящена вопросам исследования систем с антисипацией. Рассматривается динамика антисипационных систем, которые сводятся к отображению прошлых состояний в будущее в явном виде. Оператор эволюции таких отображений задан оператором Хатчинсона. В метрическом пространстве с метрикой Хаусдорфа проводится моделирование динамических систем с многозначным оператором. В фокусе статьи находится проблематика расчета старшего показателя Ляпунова как численной характеристики, на основе которой можно говорить о присущей системе чувствительности к малым возмущениям, тем самым утверждая, что динамика системы проявляет хаотичность или регулярность. В силу роста вычислений по показательному закону в ходе моделирования системы с антисипацией, обусловленной многозначностью решений, вопросы оценки и минимизации этих вычислений становятся первоочередной прикладной проблемой построения системного подхода в анализе таких систем. По этой же причине прикладные исследования систем этого типа остаются малочисленными, а актуальность их обусловлена широким классом реальных процессов, которые могут быть формально представлены моделями с антисипацией. Последние же, в свою очередь, могут даже более точно отражать природу процесса, который они формализуют, по сравнению с классическими моделями с запаздыванием. Среди них стоит отметить такие процессы, как моделирование транспортного потока, решение конфликтных ситуаций и тому подобное. В работе предложена и подробно описана процедура расчета старшего показателя Ляпунова, адаптированная к системам с многозначными операторами эволюции. Базовая идея процедуры основана на алгоритме Бенеттина для численного расчета старшего показателя Ляпунова. Приведены оценки временной и пространственной вычислительных сложностей. Выделены наиболее затратные с точки зрения вычислений составные процедуры - расчет расстояния между основной траекторией и возмущенной.
© Лазаренко С.В., 2019
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2019, № 1
Ключевые слова: многозначные отображения, показатели Ляпунова, вычислительные сложности.
Abstract. The article is devoted to the study of the Anticipatory systems. The dynamics of the Anticipatory system is considered, which can be introduced by an explicit mapping of past states to future one in time. The evolution operator of such mappings is given by the Hutchinson operator. In a metric space with a Hausdorff metric, modeling of dynamical systems with a multi-valued operator is performed. The article focuses on the problem of calculating the Maximal Lyapunov exponent as a numerical characteristic, on the basis of which one can speak about the inherent sensitivity to small perturbations, thereby affirming that the system's dynamics are random or regular. Due to the exponential growth of computations during modeling of the anticipatory system caused by the ambiguity of decisions, the questions of estimating and minimizing these calculations become the primary applied problem of building a systems approach to the analysis of such systems. For the same reason, the applied studies of these systems remain few in number, and their relevance is due to a wide class of real processes that can be formally presented by models with the anticipation. The lasts, in turn, may even more accurately reflect the nature of the process that they formalize, compared with the classical models with a lag. Among them, it is worth noting such processes as traffic flow modeling, conflict resolution, etc. The paper proposes and describes in detail the procedure for calculating the Maximal Lyapunov exponent, adapted to systems with multi-valued evolution operators. The basic idea of the procedure is based on the Benettin algorithm for the numerical calculation of the Maximal Lyapunov exponent. Estimates of time and spatial computational complexity are given. The most costly parts of the procedure in terms of calculating are selected - the calculation of the distance between the main trajectory and the perturbed one.
Keywords: multi-valued maps, Lyapunov characteristic exponents, calculation complexity.
1. Вступ
Дослщження динамши систем, оператори еволюцп яких передбачають багатозначшсть розв'язюв, на сьогодшшнш день е вщносно новим напрямом у теоретичнш юбернетищ [1, 2]. Актуальшсть та значний прикладний потенщал полягае в побудовi нових моделей, як в деякш мiрi бшьш точно можуть описувати ряд складних явищ та процеав. Так, якраз сис-теми з антисипащею й належать до ще'1 нов^ньо! гшки. Побудова та застосування таких моделей не набула широкого розповсюдження в силу досить об'ективних причин, серед яких е значна ресурсоемшсть симуляцп процеав за допомогою цих моделей; ix невизначе-шсть, обумовлена багатозначшстю майбутшх сценарпв еволющонування; часто вщсут-шсть вщповщного програмного чи апаратного забезпечення. Безсумшвно, до числа таких процеав можна вщнести, наприклад, суспшьну та шдивщуальну свщомють, прийняття рь шень у конфлштних ситуащях тощо.
Безумовно, важливим аспектом дослiдження систем е аналiз ix динамiки. А зважа-ючи на те, що системи з антисипацiею визначаються через багатозначш операторами ево-люцГi, то при дослщженш динамiки цих систем зштовхуються з проблемами обсягiв обчи-слень та нелiнiйним ростом використання машинно'1' пам'ятi. Останнiми й обумовлена мета статп: побудова процедури розрахунку старшого показника Ляпунова (ПЛ) для систем iз антисипацiею як важливого шструменту в дослiдженнi ix динамши. У фокусi статтi розг-лядаються супутнi питання оцiнки часових та просторових обчислювальних складностей для тако'1' процедури.
2. Математична модель та 6a30Bi поняття
Для початку введемо необхщш визначення та прийнятi позначення. З детальною термшо-логiею антисипацшних систем можна ознайомитись у робот [1] та за посиланнями в нш. Розглянемо початкову систему, що описуеться законом сильно'1' антисипацп першого порядку:
хм=Кх,,хм,A), XigR", / = 0,1,2,..., (1)
де управляючий параметр А = (Л; а) е R2, оператор зв'язку /: R" х R" х R2 —» R" (часто -однозначний), xi - стани неявно'1' системи.
Нас щкавить випадок, коли f передбачае багатозначшсть розв'язкiв. Виходячи з цих мiркувань, вводимо таке. Нехай оператор f можна представити вiдображенням
F:Snx R"dim(A) Sn у вигляд!
X,=F(Xi_1,A) = (J \Jft(x, A), (2)
xeXj_i к
Rn
тут Xj&Sn,x&Rn, Sna 2 e шдмножиною множини Bcix можливих шдмножин i3 R".
Для простота вважатимемо, що к = \,N - скшченний Ha6ip. 1з необхщними поняттями та визначенням теори багатозначних вщображень можна ознайомитись у [3, 4]. Визначення. Станом динам1чно'1 системи (ДС) в явному вигляд1 в дискретний момент
i = 0,1,... будемо називати таку множину: Xi = I^Ji-4 J е Sn.
к
Часто пiд станом антисипащйно'1' ДС розумiють саме x iз (1), однак у контекстi на-шо'1' задачi за розрахунком старшого ПЛ будемо притримуватись визначення вище. При такому представлены нашо'1' антисипацшно'1' ДС, через явну залежнiсть поточного ii стану вiд попереднix (за часом), оператор F називатимемо оператором еволюцп ДС iз антиси-пащею.
Визначення. Траектор1ю ДС, задану правилом змши сташв у (2) шд д1ею оператора /■'(•), починаючи 3i стану в момент i, називатимемо послщовшсть Xf, Xj+1, Xi+2,..., Xi+k. Якщо к - скiнченне, то мова, вщповщно, йтиме про скшченну частину траекторп.
Визначимо на Sn метрику Хаусдорфа с/„ (X, Y) = max< sup inf р(х,у),щ> inf р{х, у) >,
[хеХ У£Т уеГ хеХ J
де X, Y е Sn, р(-, •) - метрика Евклщова. Тобто, ми працюемо в метричному npocTopi Bcix не порожшх компактних шдмножин.
Визначення. Збуреним станом ДС i3 антисипащею стану Xi е Sn називатимемо такий стан X'teS„, що dH(Xi,X') = |хг|, де ^ g R" - збурення хг е R".
Таке визначення задае неоднозначшсть Х\. Зрозумшо, що збурюючи Xi у р1зний cnoci6 за допомогою xi так, щоб dH(Xi, Х') = ||хг ||, можна отримувати pi3Hi результата в хо-дi ^ерування (2). Для бшьшо'1" визначеностi будемо збурювати X таким чином: Х; = Х,+х, = el,}.
З необxiдною термiнологiею в областi обчислювальних складностей можна ознайомитись у [2]. Кардинальш числа |X.|, згiдно з (2), в найпршому випадку (наприклад, без утворення ци^в) будуть зростати за показниковим законом:
\X\ = \X{\-N\ 1=1,2,..., (3)
де N - кшьюсть селекторiв в операторi Хатчинсона (2). Через цю особливiсть ДС iз анти-сипацiею при ix моделюванш питання обчислювальних складностей постае особливо гост-ро.
Дотримуватимемося таких необхщних позначень:
- тд си розумiтимемо обчислювальш затрати на порiвняння двох чисел у Rn (чи е^валентно'!' ш операцп);
- тп - обчислювальнi затрати на розрахунок функцп, що дie в Я". У цш же робот [2] було показано, що складшсть розрахунку метрики Хаусдорфа для двох сташв X та Xj буде
а побудова траекторп ¡з / -го стану в / + р-й:
А/(/',/' + р) =
2
N -1
+
т.
сЛ , ,
"Т Г1 о|
(4)
(5)
3. Розрахунок показникчв Ляпунова
ПЛ е важливою характеристикою динамiчних систем, кiлькiсним описом збiжностi чи роз-бiжностi близьких траекторш, на основi яко1 роблять висновок про п режим еволюци - ре-гулярний, чи системi властива хаотичнють як сильна чутливiсть до малих збурень [5, а 143]. Тому для аналiзу динамiки системи (в тому чист з антисипащею) доцiльно мати не лише процедуру 1х розрахунку, а й максимально зосереджуватись на питаннi 11 обчислюва-льно'1 оптимальностi - мiшмiзацп обчислювальних затрат при 11 проведеннi.
Як добре вщомо, за мультиплiкативною ергодичною теоремою Оселедця кiлькiсть таких показниюв буде рiвною розмiрностi фазового простору ДС (" ). Розглянемо дискре-тну систему
п - вим1рну пперсферу малого рад1уса е з центром у початковш точщ х0 та ансамбль ДС ¡з початковими точками в цш пперсфер1 рад1усу е :
Н- , ||~о|| — ^
при збуреннях х0 рiзних напрямiв. У ходi еволюцiонування цього ансамблю гiперсфера
деформуеться у " -вимiрний елшсо'1д (поки ця множина зображуючих точок залишаеться достатньо малою). Деформування (стиснення, розтягнення) цього гшерелшсоща вщбува-еться по " напрямам його головних пiвосей. Розмiр цих пiвосей змiнюеться за експоненць
альним законом ехр(//г0, / = 1, п (при достатньо малих розм1рах множини зображуючих точок, щоб збер1галося лшшне наближення траекторш). Нехай «основна» траектор1я х0—> х1—> х2—>... та одна ¡з ансамблю утворена збуренням початкового стану х0:
х0 + х0 —» /(хп + х0) —»..., а е - достатньо мале, щоб розглядати / лшшним наближенням, то представивши / рядом Тейлора в отш х0: /(х) = /(х0) + /'(х0)(х-х0) + о(х) , знайде-мо вщхилення мiж цими двома траекторiями на першому кроцi:
||/(х0)-/(х0+^|ф0Ях0)||. (6)
Добре вiдомо з те! ж теореми Оселедця, що для кожного х0 iснуе показник (Ляпунова):
//(х0) = 1т-1п(||хЛ/||х0||), (7)
¿->+«> ^ 11 "' 11 11
де ||х(|| - вщхилення, дотичне до траекторп в момент 1.3 (6) вщхилення на першому крощ буде НИо/'ОО! • У залежносп вщ обраного початкового збурення, ¡л приймае од не з 1-\,п значень.
1снуе ряд методiв розрахунку ПЛ: Бенеттша, Вольфа, Розенштайна, Кантца, Якобi тощо [6]. Бiльшiсть iз них використовують процедури ортонормування (наприклад, Грам-ма-Шмiдта) для розрахунку всього спектра показниюв. Для того, щоб дати вщповщь на питання, чи системi властива хаотичнiсть, достатньо знати знак старшого ПЛ, який домь нуе над рештою. Далi в робот розглядатимемо процедуру розрахунку старшого ПЛ та 11 адаптацiю до систем iз антисипацiею. В основi запропоновано! процедури для систем iз антисипацiею, що розглядаеться далi, лежить щея алгоритму Бенеттiна [7] для розрахунку старшого ПЛ. 3 практичное' точки зору, розрахунок по (7) представляе собою задачу iз сер-йозними обчислювальними проблемами, так як при надмалих збуреннях та великих I мо-жна вийти за меж машинно1 сiтки. Проте в контекст тематики дано" роботи для систем, у яких оператор еволюцп заданий багатозначним вiдображенням, прямий розрахунок за (7) стае просто неможливим у силу колосального обсягу обчислень. Тому Бенеттшом була за-пропонована така обчислювальна процедура. Замють / —» со розглядаеться велика сер1я малих кроюв однаково'1 довжини, та на кожному крощ к = 1,7' розраховуеться показник вщхилення траекторш /лк = ЫЦл^.||/||.х"0||), а тод1 ПЛ розраховуеться як середне за вама кро-ками:
1 т 1 т (4
т7 ' ' ^ II ~
1 к=\ 1 к=1 ^ ||-*о ||)
Важливо, що Бенетпном у тш же робот були доведет юнування гранищ при Т —» оо та 11 незалежнiсть вiд х0.
4. Адаптацiя процедури розрахунку старшого ПЛ для системи з антисипащею
Тепер застосуемо цей пщхщ до систем iз антисипащею. Спочатку необхщно вибрати поча-ткову точку. Оскшьки ПЛ з фiзичноi точки зору представляють степшь розходження
(зближення) траекторш, то зручно розглядати на кожному крощ алгоритму вщстань мiж двома траекторiями, одна з яких лежить в атракторi (або максимально до нього наближе-на). 3 1шркувань мш1мзацп обчислень починати процедуру будемо сташв потужност 1 системи (2). Для побудови цих сташв вибираемо точку у&Я", близькою до смислового значения системи, для яко! побудована вщповщна антисипащйна модель, та будуемо довь льну послщовшсть номер1в /0, /к селектор! в системи (2). При к —>со образ х0 точки у ¡з композицп Д (•) о /к (•) °... ° (•) належатиме атрактору системи (2) [2] (звичайно, як-що починати ггерування з басейну притяжшня). Цю точку Х0 ={х0} 1 в1зьмемо за початок
одше! ¡з двох траекторш, що розглядатимемо на вход1 алгоритму, адаптованого для розрахунку старшого ПЛ для систем ¡з антисипащею. Початок другоТ траекторп буде £ -збуренням Х'0 - Х0 +х0, де х0 = е . Перил пару кроив запропоновано'1 процедури зображе-но на рис. 1.
Рисунок 1 - Гпюстращя процедуры розрахунку старшого ПЛ в моменти часу 7 = 0,2 для систем п антисипащею. Суцiльною лiнieю позначена траeкторiя, що лежить в атрактор^
пунктирною - збурена
Будуемо першу ¡теращю (/' = 1): Х0
->Х1, а точка Х0
Х\. Вщхилення
м1ж образами складае с!п(Х^Х\). Тобто п -вшшрна пперсфера розтягнулась (стиснулась)
. йЛХлХ) г ^^г „ у вщношенш ., ..-, а тому перше наближення старшого ПЛ буде 1п -. Про-
•п
II о || 11 <:> II
водимо другу ¡теращю (/ = 2): траектор1ю, що лежить в атрактор1, ¡теруемо дал1 по (2) Х1 —-—>Х2, а другу траектор1ю починаемо з1 збуреного стану Х: + с , що переходить шд д1ею (2) у Х'2. Аналопчно попередньому кроку розраховуемо друге випробування для ста-
ршого ПЛ:
dH(X2,X'2)
•л
та друге його наближення
усереднення
Pi*n
. Останне усереднення варто розраховувати один
. ,,'о|| iro|| у
раз у кшщ. Однак, на протязi всього T пам'ять, необхщна для збереження цих значень, буде рости лшшно. Процедуру продовжуемо достатньо велику кшькють разiв, щоб отри-мати максимально точне значення ПЛ. З обчислювально'1 точки зору варто зазначити, що хоча ||~0| е постiйним значенням, його включаемо в розрахунок випробувань ПЛ на кожному крощ, щоб уникнути, знову ж таки, виходу обчислень \n(dH(•,•)) за межч машинно! с1тки при надмалих dH (•, •).
F
F
5. Обчислювальн1 складност1 процедури розрахунку старшого ПЛ
Розрахуемо просторов! та часов1 обчислювальш витрати на проведення процедури, описано! вище. Складшсть побудови «основно!» траекторп вщ стану Х1 до Хг буде М(1, Т). Побудова збурено! траекторп, з точки зору обчислювальних витрат, на кожному крощ не переривалася, оскшьки потужнють 11 стану на кожному крощ сшвпадае ¡з потужшстю ос-новно'1 траекторп. На кожному крощ, починаючи ¡з / = 1, розраховуемо в1дстань м1ж образами основного Х1 та збуреного сташв X] (що за (4) становить djj обчислювальних витрат) 1 пщраховуемо значення логарифму ¡з витратою щ . Шсля проведення останньо! ¡те-рацп усереднюемо ва отримаш наближення значень старшого ПЛ щною (Г -1)^. Таким чином, загальш витрати на процедуру становитимуть
2M(\,T) + ^d11+Tm,+(T-\)cv (8)
i=1
Згiдно з (5), перший доданок в (8) буде
чи в O -нотацп
0(cnN21 +N1 ).
Тобто складшсть ()(N~T ), а у випадку мультимножини (сп — 0) буде 0(NT) (за де-
тальними роз'ясненнями про застосування мультимножин при цих розрахунках варто зве-рнутися до [2]). Другий доданок в (8), беручи до уваги (4):
т
Y,((dn+2cl)N2l\X0\2-cl)^(dn+2cl)N2\X0\2(\ + N2+N4+...N2(r-l))-
i=1
12 т-2
дг2Г _1
-Тс, = с,(2 + 4п) \Х012 А^2 - Тс,
або в О -нотацп 0{Ы2Т).
Тепер бачимо, що, незалежно вiд того, чи знаходимося ми у просторi мультимножин чи ш, сумарна складшсть процедури по (8) складатиме 0(Ы2Т ) часових витрат. При-чому, значна 1'х частина припадае саме на операцп розрахунку вщсташ мiж станами основ-но'1' траекторп на атракторi та збуреног
Ощнимо тепер просторову складшсть. На кожному крощ / процедури максимально необхщно тримати в пам'ят два стани ДС (2) ( Х1 та X') й множину наближених значень старшого ПЛ розмiром I чисел iз Я . Тому, враховуючи (3), отримаемо просторову склад-
шсть 2\Х0 \ • N' +
6. Висновки
— чисел iз Я" або в O -нотацп O(N' ). n
У статп розглянута проблематика чисельного дослщження динамiки дискретно-часових систем iз антисипацieю. Увагу зосереджено на проблемi розрахунку старшого показника Ляпунова для систем такого типу. Запропоновано та детально описано процедуру, що е адаптащею алгоритму Бенеттша до цих систем. Проведено ощнки ïï часово'1 та просторово'1 обчислювальних складностей.
Важливою складовою всебiчного дослiдження систем такого типу е розрахунок всього спектра ПЛ. Враховуючи особливий рют обчислювальних витрат при моделюванш систем iз антисипащею, нарiжним питанням поставатиме оптимiзацiя таких процедур розрахунку спектра.
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
1. Лазаренко С.В., Макаренко О.С. Анатз лопстичного антисипацшного р1вняння 1з сильною ан-тисипащею. Науковг eicmi НТУУ "КП1". 2012. № 4. С. 91-96.
2. Лазаренко С.В. До обчислювальних проблем антисипацшних систем. Математика в сучасному техтчному yHieepcumemi: сьома м1жнар. наук.-практ. конференщя (Кшв, 27-28 грудня 2018 р.). Кив, 2018. C. 92-95.
3. eophcobhh ro.r., renbMaH E.fl., MbimKHC A.fl., 06yxoBCKHH B.B. BBegeHue b Teopuro MHoro3Han-hmx 0T06pa^eHHH h rцн$$eрeнцнaпbHbIх BKnroneHHH. MocKBa, 2011. 224 c.
4. nonoBHHKHH E.C. MHoro3HaHHbrn aHarn3 h rцн$$eрeнцнaпbHbie BKnroneHua. MocKBa, 2014. 522 c.
5. Ky3He^B C.n. ^HHaMunecKHH Xaoc. MocKBa, 2006. 356 c.
6. Awrejcewicz J., Krysko A.V., Erofeev N.P., Dobriyan V., Barulina M.A., Krysko V.A. Quantifying Chaos by Various Computational Methods. Part 1: Simple Systems. Entropy. 2018. Vol. 20 (3), N 175. URL: https://doi.org/10.3390/e20030175.
7. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. P.I: Theory. P. II: Numerical application. Meccanica. 1980. Vol. 15. P. 9-30.
Cmammn nadiumna do peda^ii 16.01.2019
