Scattering matrix of a jump of medium parameters in a rectangular waveguide Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДІОФІЗИКА

РАДИОФИЗИКА

RADIOPHYSICS

УДК 537.87 : 621.372

Vashchenko V. V.1, Chumachenko V. P.2

1Assistant of Zaporizhzhya National Technical University 2Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of Department of Zaporizhzhya National Technical University

SCATTERING MATRIX OF A JUMP OF MEDIUM PARAMETERS IN A RECTANGULAR WAVEGUIDE

For a rectangular waveguide, a generalized scattering matrix of a jump of medium parameters has been obtained under condition that the field has one variation along the direction perpendicular to E-plane. The configuration is considered as a model of a plane interface in the theory of piecewise homogeneous E-plane structures.

Key words: waveguide discontinuities, plane interface, scattering matrix.

INTRODUCTION

The theory of homogeneous E-plane waveguide junctions is similar in many respects to that of H-plane structures. Under assumption that excitation is the TE10 mode, a scalar formulation in terms of Hz (the component of the magnetic field perpendicular to the plane of the junction) is possible. The analysis becomes more complicated for configurations involving dielectric obstacles. Even in the case of the material parameters invariable in the z direction, the same component of the electric field arises, despite the fact that Ez is not present in the incident wave [1, 2]. The problem remains twodimensional (the z dependence is known), but the field in the structure is expressed through two coupled scalar functions. There are only a few works (e.g. [2, 3]) giving the complete E-plane analysis of discontinuities of this type.

A particular class of E-plane junctions with dielectric inclusions is presented by configurations consisting of homogeneous parts separated by the planes parallel to the z axis or, what is same, connected by waveguides of zero length containing interfaces. The method of generalized scattering matrices [4] can give certain advantages when dealing with this category of problems. In regions between the planes, the field is representable as a

© Vashchenko V. V., Chumachenko V. P., 2010

superposition of LSE and LSM modes. Since the LSE and LSM waves do not interact inside a homogeneous cell, the S-matrix of such unit is a simple union of scattering matrices obtained in solving two uncoupled scalar problems. That allows not treating a vector problem for complicated geometry. The S-matrix of the interface, situated in a connecting waveguide, can be got analytically. The objective of the present paper is to determine the said matrix. In spite of the simplicity of the problem we have not found its solution in previous publications.

PROBLEM FORMULATION

It is assumed that the medium is isotropic, boundaries of the junction are perfectly conducting and the fields have only one variation along a, the broad dimension of the waveguides. Then, omitting the time dependence exp(iat), we can represent vectors E and H in an E-plane structure as

E = Et( x, y) sin--|a" + iEz( x, y) cos^-, (1)

H = Ht(x, y) cosf + zHz (x, y )sinna-, (2)

where z is the unit vector in the z direction. With the help of Maxwell equations, the transverse with respect

to z components (denoted as t) are expressed through Ez and H,:

Et = (Ex, Ey) =

d Hz „3 Hz\ n (~ dEz „dEz\

m ^fxjy - ylxJ + a(x-dx + y^Jj

Ht = (Hx, Hy) =

dEz „3EZ\ п (* dHz „3H\

1ює^ xay- ynxzJ+a(xix + y^j

(3)

(4)

with

Fig. 1. Geometry of the problem

In the case of the mode LSMlr (r = 1, N), Ez-component is of the form

x2 = k4;

k = к0Л/ЄІ,

ko = ю ^/e0^0 = —,

(5)

(6)

(7)

e, |J. being the relative dielectric constant and the relative permeability, and X the free space wave length. Thus, once Hz and Ez have been obtained, the rest of the electromagnetic field can be found from them.

The configuration in question is shown in Fig. 1. At the left and to the right of the interface, the field is a superposition of the LSE and LSM modes. The component

Hz of the mode LSE1r (r = 0, N), propagating along the waveguide, can be written as

Hz = arNH cosrK(X+bb/2-eV, (8)

where

Yr 'lb I - X2,

(9)

, *TE ■ rn(x + b/2) -ігУ Ez = brNr sin—-—ь-------------- e , (12)

N =

A-X_

abюєЄoУr

(13)

The above representations ensure the realization of the boundary conditions at the conducting walls. We supply the used quantities with the indices 1 and 2 respectively at the left and to the right of the interface and note that modes with different values of r do not interact inside the geometry under study. After choice of r, the problem is reduced to finding sets of values of amplitudes on different sides of the plane y = 0, which guarantee the continuity of the tangential components of the electromagnetic field across the interface for all possible types of excitation.

SCATTERING MATRIX

In order a little bit to simplify the subsequent calculations, we will take the normalizing factors in (8) and (12) equal to one and consider their actual values in the final stage. Let us assume that the geometry is excited by the wave LSElr (r = 0, N) from the left. Then

ar is the wave amplitude, and Nr is a normalizing constant. The superscript H indicates, that we deal with a LSE wave (Hz ^ 0) The scattered wave amplitudes present elements of the generalized scattering matrix on assumption that the amplitude of the incident wave is unity. At that, normalizing factor is taken usually so,

Hi1' = f e4^ - cosrn(x + ^/2-,

r-(i) i.(i) yr y ■ rп(x + b/2)

Ez = br ’e sin—-— ------,

z r b

(2) _ (2) ^у rп(x + b/2)

Hz = ar e

cos-

(14)

(15)

(16)

that for an undamped mode the quantity L-rL equals to

the transmitted power [5]. Conventional computations result in

where

NH =

r

_4Л_

erab to|J.|J.0Yr

2 for r = o, 1 for r > 1.

(10)

(11)

E(2 = b2e-Jr Уsinr-n(x:.±-bb/2), (17)

where ar ’, br , ar and br are to be found. Substituting (14) and (15) in (3) and (4), we obtain

=

'Ю£1£оУГ bi) il)y _r-TC_( -2 b r e 2 fe

X1 abX1

•Yr У (1) Yr У

- ar e

. rп(x + b/2)

X sin—-— -------,

b

(18)

2

2

er =

(в^у + ^в^ -r*Lв^;

Хі V J ab%1

x cos

r n( x + b / 2)

(19)

With the help of (16) and (17), components Hix) and Ep are got analogously:

= -

■/^^0Yr2),(2) Ч2)у I rn2 (2) -і2)у'

------2----b; в +-----------2 ar’в

- Х2 ab%2

. rn(x + b/2) x sin -— ----------,

b

(20)

E? =

2r

Х2

2) (2)

Y

ar в

ab%2 r

x cos

r n( x + b / 2)

(21)

After equating at y = 0 the similar tangential components of the electric and magnetic fields and some simple algebra, the amplitudes are as follows

(ar , br2)) = M^,

(1) і ar = 1 - a

(2)

b^ = br2).

(22)

(23)

Here, T denotes the transposition and the matrices M and C are defined by formulas

11

rn

ab

_1_ —_1_

2 - 2 V%1 %2y

ik0

ik0Zf

є^Г ^ є2yT2)

„(1)

22 v Xl Х2 ,

^ (1) (2)^

----1--Y---r--1-- + -2--Y---r--2--

2 + 2 v Xl Х2 y

(

С=

0, 2ik0Z[

- 1 Yr

(1)

0 0 2 Х1

(24)

(25)

(26)

(27)

-0

where Z0 = /— is the intrinsic impedance of the free

Vei

space.

The knowledge of the amplitudes allows writing down the respective elements of the normalized scattering matrix:

Sj 1 = a(r1),

r = 0, N,

(2В)

ar =

Nr

^ar , r = 0, N, (30)

H1 I (2) 2

s"1 - N-b"> - Z \^x, bi-, r - UN (31)

nE z4-, yT- x2

In more detail,

^гІіИ' = r = Щ (32)

XidetM

and

2Hi 2ik^є2—iYr‘Yr2)M.i _ —

Srr = -------------- ——-----, r = 1, N.

Xi X2detM

(33)

Thus, as it is seen from (32) and (33) for r > 0, the incoming LSE1 r mode excites also the nonzero LSM modes.

Now, let the LSM1r (r = 1, N) mode be incident upon the junction from the left. Then

tA 1) (1) ^y rn(x + b/2)

Hz = -ar e cos—*—b------------------------% (34)

t< 1) ( -Y{rl)y , ,(1) . m(x + b/2)

E; = |^e + br e J sin—-—b--------------------% (35)

and components Hf’ and E(z2) keep form (16) and (17). After determining H(x1), E{x), H{2), Ex2) with the help of (3), (4) and taking into account the continuity of the tangential field components, we arrive again at the relation (22), where column matrix C is given by

C = I -2,Z0e4-, 0 I . (36)

Z0 X1

Instead of (23), the following equations occur

a^ = -ar2), b^ = br2) -1. (37)

The respective scattering matrix elements are of the form

El I—

SHrEi = a(1 = Z0 /— a(r1>, r = 17N, (38)

N 1 Ve1

l\ r

Sr1 1 = bru, r = 1, N, „(21 2

(39)

S^1 = ar2) = Z0 ar2), r = 1, N, (40)

nH2 V Є^Г X2

H1 1

ST1 = N- br1» = Z Ё br1», r = IN, (29)

N1 ZW-1

Nr

/є, Y1^

x

r

x

x

0

When exciting the geometry by the LSElr (r = 0, N) mode from the right, the Htz1) is defined by (34), Ei21) by

(15), Ez2 by (17), and

H2) = (Boundary conditions at y = 0 yield

Yir)y , (2) -їГ2)У^ rn(X + b/2)

e + ar e Jcos—-—b----• (42)

C =

ab

11

22 ( (%! %2j

, iko Zo

( (1) (2)"

Лі Yr Л^їГ

2

Xl

2

X2

(1) і (2) ar = 1 - ar ,

br1 = br2),

SHH2 = arD, r = 0, N,

Vi^2'/r2,:x2? r , ’ ,

(43)

(44)

(45)

S =

ґ SHlHl SHlEl SHlH2 SHlE2 Л

E,H, E,E, E,H* E,E~,

S1 1 S 1 1 S 1 2 S 1 2

SH2H1 sH2E1 sH2H2 sH2E2

E H E E E H E E

SE2H1 SE2E1 SE2H2 SE2E2

(56)

Here, the submatrices are of a diagonal form with nonzero elements given by formulas (28)—(31), (38)—(41), (45)-(48) and (52)-(55). At that, SHH = (SHH) (m, n = = 0, N\S^H = (SmH) (m = 1, N, n = 0, N), SHE = Sf (m = 0, N, n = 1, N), S^ = (S^mfn) (m, n = 1, N). Let us also notice, that S-matrices of the homogeneous E-plane sections mentioned in Introduction have formally form (56) too, but the blocks of the type SEH or SHE consist completely of zeros and the remaining blocks are dense.

lH = -1- l£lYr >%2 b(r1>, r = 1, N,

S

7 .1 (2) 2

Z(W Л^їГ Xl

'2H2 _ (2)

= ar’, r = 0, N,

SE2H2 =

7-Й

Z<W Л

b^, r = 1, N.

(46)

(47)

(48)

In the case of excitation from the right by the wave LSM1r (r = 1, N), there hold formulas (34), (15), (16) and Ef] takes on form

t<2) ( Yr)y , ,(2) • rn(X + 6/2)

Ez = ^e + br e j sin—-—6---------. (49)

The enforcement of the boundary conditions leads to relations

( (

C=

(

X\

ik0 -2 ) -1 2 rn 1 1

Z0 2 2 Xl %2 ab 2 . X2 2 Xi,

(1) (2)

ar = -ar ,

bl = b(2 + 1,

SH/2 = Zo Ш2a^, r = LN,

4 є2їГ)%2

„( >)л,2

S^2 = b(rl), r = Щ

sH2E2 = 7 /(Л-2 a(2)

Srr 70 -ar

S

0 ar , r = 1, N,

-2

-E2E2 і (2) •, ДГ

r = br , r = 1, N.

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

In whole, the generalized scattering matrix S is characterized by the expression

CONCLUSIONS

For a rectangular waveguide, the problem of determining the scattering characteristics of the jump of medium parameters is considered under condition that the field has one variation along the direction perpendicular to E-plane. It is shown that, when exciting the structure by one of the modes of type LSElm or LSM1m, the scattered field consists of the similar modes both nonzero (except for excitation by LSE10). The calculation formulas for elements of the generalized scattering matrix of the unit have been derived. The examined configuration can be useful in the analysis of piecewise homogeneous E-plane structures as a model of a plane interface between sections of constant permittivity and permeability.

LIST OF REFERENCES

1. Schwinger J. Discontinuities in waveguides / J. Schwinger, D.S. Saxon. - New York : Gordon and Breach, 1968. -163 p.

2. Kanellopoulos V. N. A complete E-plane analysis of waveguide junctions using the finite element method / V. N. Kanellopoulos, J. P. Webb // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. - 1990. - Vol. 38. - No. 3 - P. 290-295.

3. Chumachenko V P. Accurate model of E-plane waveguide junction with loaded rectangular coupling cavity / V P. Chumachenko // Microwave Opt. Technol. Lett. -2002. - Vol. 34. - No. 5 - P. 351-354.

4. MittraR. Analytical techniques in the theory of guided waves / R. Mittra, S. Lee. - New York : Macmillan, 1971. - 324 pp.

5. Силаев М. А. Приложение матриц и графов к анализу СВЧ устройств / М.А Силаев, С.Ф Брянцев. - М. : Советское радио, 1970. - 248 с.

Надійшла 8.04.2010

Ващенко В. В., Чумаченко В. П.

МАТРИЦЯ РОЗСІЮВАННЯ СТРИБКА ПАРАМЕТРІВ СЕРЕДОВИЩА В ПРЯМОКУТНОМУ ХВИЛЕВОДІ

Отримана узагальнена матриця розсіювання стри-бка параметрів середовища в прямокутному хвилеводі при умові, що поле має одну варіацію в напрямі перпендикулярному площині E. Конфігурація розглядається в якості

S

моделі плоского інтерфейсу в теорії кусково-однорідних Е-площинних структур.

Ключові слова: хвилеводні неоднорідності, плоский інтерфейс, матриця розсіювання.

Ващенко В. В., Чумаченко В. П.

МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ СКАЧКА ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ

Получена обобщенная матрица рассеяния скачка параметров среды в прямоугольном волноводе при условии, что поле имеет одну вариацию в направлении перпендикулярном плоскости Е. Конфигурация рассматривается в качестве модели плоского интерфейса в теории кусочно-однородных Е-плоскостных структур.

Ключевые слова: волноводные неоднородности, плоский интерфейс, матрица рассеяния.

УДК 537.86/87

Прокопенко О. В.

Канд. фіз.-мат. наук, доцент Київського національного університету імені Тараса Шевченка

ВЗАЄМНА ФАЗОВА СИНХРОНІЗАЦІЯ ДВОХ НАНОРОЗМІРНИХ МАГНІТНИХ СТРУКТУР З УРАХУВАННЯМ ЗАПІЗНЕННЯ СИГНАЛУ

Розглянуто можливість взаємної фазової синхронізації двох взаємодіючих нанорозмірних магнітних структур (НМС) з урахуванням часового запізнення сигналу. Показано, що залежність ширини смуги синхронізації НМС від відстані між ними має нелінійний, осцилю-ючий характер. Визначено оптимальне значення відстані між НМС, що може бути використано для створення масивів синхронізованих НМС.

Ключові слова: нанорозмірна магнітна структура, взаємна фазова синхронізація, запізнення сигналу, смуга синхронізації.

ВСТУП

Було теоретично передбачено Слончевським [I-2] та Берже [3], що спін-поляризований електричний струм I, який протікає крізь намагнічений феромагнітний шар, може передавати цьому шару спіновий магнітний момент, що, у свою чергу, призво-

. . . —^ дить до зміни напрямку вектора намагніченості M у

феромагнітному шарі. Залежно від величини електричного струму I, більшого за деякий критичний (пороговий) струм Ith, цей ефект, названий spin-torque effect (дослівно - ефект спінового крутильного моменту), може призводити до появи двох явищ [4-5]: 1) «переключення» феромагнітного шару за рахунок суттєвої зміни напрямку вектора намагніченості; 2) появи у феромагнітному шарі прецесії намагніченості з частотою ю/2п, близькою до частоти феромагнітного резонансу (ФМР). Оскільки, як правило, частота ФМР тонких магнітних плівок лежить у мікрохвильовому діапазоні, для таких систем з’ являється новий фізичний механізм генерації мікрохвильових сигналів, заснований на ефекті спінового крутильного моменту. Підкреслимо, що цей механізм генерації мікрохвильових сигналів може бути використаний для створення нелінійних активних нанорозмірних магнітних структур (НМС) [I-5].

© Прокопенко О. В., 2010

На сьогоднішній день найбільш поширеними серед НМС є структури двох типів: I) НМС типу «нанос-товпчик» (nanopillar) та 2) НМС типу «наноконтакт» (nano-contact). У найпростішому випадку ці структури складаються з трьох шарів (рис. I). Один з цих шарів є магнітожорстким шаром (шар I на рис. I) -

. . . у зовнішньому магнітному полі Hext вектор намаг-

. . . . ніченості MFxL в цьому шарі має цілком визначений

Рис. 1. Схематичне зображення тришарової нанорозмірної магнітної структури (НМС):

1 - магнітожорсткий шар, 2 - немагнітний прошарок товщиною 1 X 10 нм, 3 - магнітом’який шар товщиною * 5 20 нм;

Я0 * 5 500 нм - радіус НМС, ^ * 20 50 нм - її товщина

ll