CC BY
63
Для того, чтобы можно было воспользоваться свойством (С2) [2] предела последовательности множеств, осталось доказать равенство lim 1) = В(О, г).
Это равенство доказывается также как и равенство (21). Предложение доказано.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Боровков И.Н. О некоторых вариантах проблемы Хоффмана-Иоргенсена // РГПУ, Мин. обр. РФ; СПб; 1993. Рук. деп. в ВИНИТИ 14.01.93, № 67-В 93.
2. Боровков И.Н. О некоторых вопросах аппроксимации множеств в банаховых пространствах // РГПУ, Мин. обр. РФ; СПб; 1993. Рук. деп. в ВИНИТИ 11.10.93, № 2557-В 93.
3. Рисс Е.А. Меры, совпадающие в малых шарах // Курский гос. пед. ин-т Мин. нар. обр. РСФСР; Курск, 1989. Рук. деп. в ВИНИТИ 05.02.90, № 650-В90.
О.С. Кардаильская
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ПРИ ОВЛАДЕНИИ КУРСОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Изменение учебных планов и стандартов высшего образования позволяет говорить об устойчивой тенденции возрастания доли самостоятельной работы студентов по отношению к числу часов аудиторной нагрузки. Так, уже сейчас, по действующему учебному плану, на самостоятельную работу студентов практически по всем дисциплинам приходится порядка половины учебного времени. Для преподавателей не является секретом, что студенты, обучающиеся в вузе, даже к концу пятого курса не обладают сформированными навыками в выполнении самостоятельных и творческих работ. Это проявляется в их беспомощности при написании курсовых работ, рефератов, выпускной квалификационной работы. У студентов напрочь отсутствует навык самостоятельной работы с литературой, достаточно ограничено умение анализировать полученную каким-либо образом информацию, выделять главное, делать собственные выводы, систематизировать и обобщать факты без помощи преподавателя. Это обуславливает необходимость более детально обратиться к самому понятию самостоятельной работы и приступить к поиску средств ее оптимизации.
Так что же понимают в современной методической литературе под термином «самостоятельная работа»?
Самостоятельная работа - достаточно широкое понятие. Оно, вопреки распространенному мнению, включает в себя не только познавательную деятельность, которую студенты выполняют в часы, когда нет аудиторных занятий, но и ту самостоятельную работу, которую они осуществляют во время лекций, семинаров, практических занятий. Учитывая, что самостоятельную работу студентов можно оценивать и как процесс, и как результат, можно говорить о двустороннем характере содержания самостоятельной работы студентов. С одной стороны, это способ деятельности студентов во всех организационных формах учебных занятий и во внеаудиторное время, когда они самостоятельно изучают материал, а с другой стороны - это вся совокупность учебных заданий, которые должен выполнить студент во время обучения в ВУЗе. Многие авторы рассматривают
самостоятельную работу как деятельность обучаемого без непосредственной помощи со стороны преподавателя. В таком понимании главным признаком самостоятельной работы является самостоятельность при выполнении заданий, но характер познавательной деятельности при этом (воспроизводящий или творческий) остается в стороне. О.Н. Юденко выделяет три группы самостоятельной работы студентов по характеру деятельности: репродуктивная самостоятельная работа (прочтение, просмотр, конспектирование учебной литературы, прослушивание лекций, запоминание, повторение учебного материала и др.), познавательно-поисковая самостоятельная работа (подготовка сообщений, докладов, выступлений на практических занятиях, написание контрольной и курсовой работы и др.), творческая самостоятельная работа (написание научных статей, участие в научно-исследовательской работе, подготовка дипломного исследования и др.). При этом невозможно выделить преобладающий вид самостоятельной работы или говорить о преимуществе одного вида над другим. Все они тесно переплетаются между собой и овладение всеми ими является в равной степени актуальным для каждого студента [3]. Очевидно, что различные виды самостоятельной работы будут вызывать у студентов трудности в различной степени. Условно можно выделить несколько типов трудностей, с которыми студенты сталкиваются при проведении самостоятельной работы.
1. Трудности поиска необходимой информации для самостоятельного изучения отдельных учебных вопросов. Студентам, особенно первых курсов, бывает достаточно сложно определить, что конкретно надо прочитать или изучить для того, чтобы основательно разобраться в проблеме. Они еще плохо ориентируются в большом потоке издаваемой учебной и научной литературы, не умеют пользоваться библиографическими и тематическими каталогами в библиотеках.
2. Трудности ориентировки в содержании книги, учебного пособия. Студенты затрудняются выделить собственно научный аспект и главные проблемы вопроса, отличить его от псевдонаучных рассуждений.
3. Трудности методологического характера связаны с тем, что студенты недостаточно глубоко знают научное содержание отдельных понятий, определений, не понимают смысл имеющихся терминов.
4. Трудности обобщения теоретических положений, изложенных в различных источниках, определение их взаимосвязи и взаимозависимости. Студентам не всегда удается соотнести между собой имеющиеся в литературе противоречащие друг другу отдельные теоретические положения, понять логику рассуждений некоторых авторов, аргументацию их выводов.
5. Трудности применения полученных знаний на практике. Они связаны с тем, что студентам сложно правильно оценить возникшую в повседневной жизни ситуацию, чтобы применить к ее анализу полученные профессиональные знания, выделить в практической ситуации основу, которая требует применения соответствующего теоретического подхода или обоснования [1].
Так же, как невозможно выделить преобладающий или наиболее важный вид самостоятельной деятельности, так и невозможно говорить о преобладающем характере тех или иных затруднений у студентов в самостоятельной работе. Трудности, возникающие у студентов, носят комплексный характер, и их преодоление во многом зависит от того, каким образом преподаватель организует и на что направит самостоятельную работу студентов. Отметим, однако, что при орга-
низации практических занятий по математическому анализу особую роль играют трудности третьего и пятого вида. Весьма полезными при их преодолении могут оказаться так называемые тренинги, содержащие задания тестового характера, направленные на практическое использование теоретических знаний - подведение объекта под понятие, определение или теорему. При этом по возможности следует использовать геометрические интерпретации математических фактов. Приведем пример такого задания:
Задание 1. На рисунках изображены графики функций. установите для каждой из функции имеет ли она предел в точке х=2, если имеет, то чему он равен?
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
При этом необходимо отрабатывать умения, направленные не только на визуальное распознание тех или иных свойств, но и на графическое изображение данных, представленных аналитически.
Задание 2. Построить эскизы графиков функций, удовлетворяющих следующим свойствам:
а) lim /(У) = 3; lim f(x) = — оо; lim_/(x) = 0; lim+/(x) = +oo;
x-i-oo
x——2"
x-» —2"
• ', - 1 — — ; функция ограничена снизу значением 4.
При отработке практических навыков, направленных на вычисление пределов, интегралов и т.д. очень полезными могут оказаться задания, требующие не только записать результат, но и отразить весь мыслительный процесс, соответствующий решению задачи. Это позволит, с одной стороны, заставить студента не бездумно применить формулу, а произвести осмысленный выбор пути решения, а с другой, на этапе контроля самостоятельной работы даст возможность преподавателю детально провести анализ возникающих у студента затруднений. Приведем примеры заданий такого типа:
Задание 3. Вычислите предел функции, предварительно заполнив таблицу 1.
Таблица 1
№ предел Вид неопределенности Характеристика точки х0 (конечная, бесконечная) Метод вычисления предела, указание на используемые свойства
1 Нш 2х х^-да 3х - 5
2 х2 +Зх + 2 нш—-- х->2 2х2 + х-6
Задание 4. Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить ее график. При выполнении задания заполнить таблицу 2.
Таблица 2
№ Функция Область непрерывности функции Точки, «подозрительные на разрыв» Характер точек разрыва Поведение функции на бесконечности
2 [х2-4 , /М = |х-2 '
Умение управлять самостоятельной работой студентов - один из наиболее сложных аспектов преподавательской деятельности.
Традиционно управление и контроль самостоятельной работой студентов осуществляется через практические и семинарские занятия, выполнение домашних контрольных работ, собеседования (устные и письменные) с преподавателем на консультациях, коллоквиумы, экзамены, выступления на семинарских и практических занятиях. Такая система управления самостоятельной работой студентов существовала на протяжении многих лет, но она была создана в то время, когда доля самостоятельной работы студентов была значительно ниже, чем сейчас, и эффективность ее не в такой степени влияла на качество высшего профессионального образования.
В настоящее время к методике организации самостоятельной работы студентов предъявляются следующие требования:
1. Главное требование - самостоятельное изучение научной и учебной литературы с обязательным сопоставлением теоретических положений с реальными психологическими явлениями.
2. Остальная учебная работа (написание курсовой, рефератов, контрольных работ, подготовка к зачетам и экзаменам) должна осуществляться одновременно и параллельно с изучением рекомендованной литературы, так как только ее успешное выполнение может гарантировать усвоение содержания изученного.
3. Самостоятельная работа может быть успешной, если студенту будет интересно получать новые, полезные для себя знания. Поэтому постоянной заботой преподавателя должно быть формирование и поддержание интереса студента к познанию материала, как действенного мотива его деятельности. При наличии такого мотива самостоятельная работа перестает быть для студента тяжким бременем, а приносит ощущение морального удовлетворения, которое человек испытывает, занимаясь творческим трудом [2].
Однако эти требования не могут ответить на вопрос о том, как наиболее эффективно организовать самостоятельную работу студентов в рамках изучения той или иной дисциплины. Понятно, что одним из ключевых факторов в этом вопросе наряду с обеспечением студентов необходимыми методическими пособиями и организацией систематического контроля за ходом и качеством самостоятельной работы, является мотивация студентов.
Выделяют три основных вида мотивации самостоятельной работы студентов.
1. Внешнюю мотивацию - зависимость профессиональной карьеры от результатов учебы в вузе. К сожалению, этот фактор пока работает недостаточно эффективно, но в тенденции решение этого вопроса видится в недалеком будущем.
2. Внутреннюю мотивацию - склонности студента, его способности к учебе в вузе. Ею можно управлять в период довузовской подготовки путем использования тестов при выборе специальности, обоснованной рекомендации при определении направления образования и т.д.
3. Процессуальную (учебную) мотивацию. Проявляется в понимании студентом полезности выполняемой работы. Требуется психологическая настройка студента на важность выполняемой работы, как в плане профессиональной подготовки, так и в плане расширения кругозора, эрудиции специалиста. Необходимо убедительно показать (доказать), что полученные результаты помогут ему лучше понять лекционный материал, лабораторные работы и т.д. Большой эффект дает включение заданий на самостоятельную работу составной частью в курсовой, а тем более в дипломный проект, причем это можно сделать достаточно рано - на одном из младших курсов.
При этом контроль не должен быть самоцелью для преподавателя, а прежде всего - стать мотивирующим фактором образовательной деятельности студента. По мнению аналитиков БГУ необходимо включать результаты выполнения самостоятельной работы студентов в показатели текущей успеваемости, в билеты и вопросы на зачете (экзамене), от оценок которых зависит рейтинг студента, окончательная оценка, а, следовательно, стипендия или ее размер. Многим студентам важен моральный интерес в форме общественного признания (приятно быть первым на факультете, специальности, в группе).
При этом важно стремиться к тому, чтобы на младших курсах самостоятельная работа ставила целью расширение и закрепление знаний и умений, приобретаемых студентом на традиционных формах занятий. На старших курсах она должна способствовать развитию творческого потенциала студента. Задания могут носить индивидуальный, бригадный или комплексный характер. Однако контроль выполнения, отчет по самостоятельной работе должны быть сугубо индивидуальными. Следует оговориться, что творческое начало в самостоятельной работе студентов, конечно же, не может быть жестко привязанным к шкале «младших-старших». Критерий здесь один - индивидуальные склонности и, главное, способности конкретного студента.
Отметим также, что одним из условий эффективности самостоятельной работы студентов является методически правильная ее организация.
Самостоятельная работа может осуществляться индивидуально или группами студентов в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности, уровня умений студентов.
Сущность самостоятельной работы студентов, как специфической педагогической конструкции определяется особенностями поставленных в ней учебно-познавательных задач. Следовательно, самостоятельная работа не есть самостоятельная деятельность студентов по усвоению учебного материала, а есть особая система условий обучения, организуемых преподавателем.
Организация самостоятельной работы включает в себя следующие этапы:
1. Составление плана самостоятельной работы студента по дисциплине;
2. Разработка и выдача заданий для самостоятельной работы;
3. Организация консультаций по выполнению заданий (устный инструктаж, письменная инструкция);
4. Контроль за ходом выполнения и результатом самостоятельной работы студента.
При выдаче заданий Н.В. Соловова и В.П. Гарькина [4] рекомендуют использовать дифференцированный подход к студентам.
Важно постепенно изменять отношения между студентом и преподавателем. Если на первых курсах преподавателю принадлежит активная созидательная позиция, а студент чаще всего ведомый, то по мере продвижения к старшим курсам эта последовательность должна деформироваться в сторону побуждения студента работать самостоятельно, активно стремиться к самообразованию. Выполнение заданий самостоятельной работы должны учить мыслить, анализировать, учитывать условия, ставить задачи, решать возникающие проблемы, т.е. процесс самостоятельной работы постепенно должен превращаться в творческий. В этом могут помочь новые информационные технологии, особенно актуально это для студентов, обучающихся по программе «математика с дополнительной специальностью информатика». Студент с большим интересом решает поставленные задачи (курсовое и дипломное проектирование, контрольные задачи, различные другие домашние задания), когда использует современные пакеты или сам программирует решение той или иной задачи. В ходе решения он глубже познает сущность предмета, изучает литературу, ищет оптимальные способы решения. Это стимулирование интересом. За таким шагом должно следовать стимулирование студента в форме интереса сокурсников и преподавателей к проделанной работе (консультации преподавателя, информация о «рейтинге студента» по выполняемым заданиям и т. п.). Особенно хочется отметить такой немаловажный фактор в стимулировании, как семестровые экзамены и зачеты. Опыт практической работы показывает, что студенты работают интенсивнее и ответственнее, если получают список экзаменационных вопросов не непосредственно перед экзаменом, а в начале семестра, на одном из первых занятий. Таким образом, они имеют возможность дробить лекционный материал на вопросы уже при прослушивании лекций, дополнять их материалом из литературы для самостоятельного изучения, обогащать примерами и пояснениями. Также позитивно на качестве работы ряда студентов сказывается возможность сдать часть экзаменационных вопросов в течение семестра и тем самым облегчить себе подготовку к сессии. Коллоквиумы и промежуточные сессии, модульная и рейтинговая системы обучения как раз и реализуют эту возможность.
Таким образом, можно говорить о том, что, используя элементы современных технологий в обучении, мы стимулируем познавательную активность студентов и тем самым реализуем процессуальную мотивацию самостоятельной работы студентов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Материалы сайта центра проблем развития образования БГУ // http://charko.narod.ru
2. Материалы конференции «Организация самостоятельной работы студентов», Красноярск, КГПУ им. В.П. Астафьева, 2005 // http://do.kspu.ru/
3. В.Ф. Любичева, Л.А. Осипова Самостоятельная работа студентов как средство углубленного изучения и творческого освоения учебной дисциплины // Проблемы теории и практики обучения математике. СПб., 2006.
4. Н.В. Соловова, В.П. Гарькина Организация и контроль самостоятельной работы студентов. Методические рекомендации. Самара, 2006.
Н.Е. Ляхова
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Элементы математического анализа занимают значительное место в школьном курсе математики. Учащиеся знакомятся с математическим аппаратом, который может быть эффективно использован при решении многих задач математики, физики, техники. С помощью дифференциального исчисления исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения. Иными словами, введение нового математического аппарата позволяет рассмотреть ряд задач, решить которые ранее элементарными методами не было возможности. В то же время производную можно использовать и для решения задач элементарной математики.
Такое использование производной очень полезно по двум причинам. С одной стороны, многие традиционные задачи элементарной математики (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений и их систем) эффективно решаются с помощью производной. С другой стороны, нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории, так как приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. Кроме того, методы математического анализа могут использоваться не только для решения поставленных задач, но и являться источником получения новых фактов элементарной математики.
Применение производной в элементарной математике достаточно разнообразно. Прежде всего, это задачи, в процессе решения которых возникает необходимость исследовать функцию с помощью производной и построить ее график. Такое использование производной является наиболее традиционным в школе. Рассмотрим одну из таких задач.
Задача 1. Сколько решений имеет система
х|3-ЗЗх2 +3151x1-675
М =
\45х\ + \у\ = р.
при различ-
ных значениях параметра p?
Решение :данная система уравнений эквивалентна следующей системе
