CC BY
26
Самоорганизация иерархического типа в деформируемых средах
П.П. Каминский, Ю.А. Хон, А.В. Бутенко
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Изложены результаты теоретического исследования возможных типов пространственно неоднородных распределений носителей деформации. В качестве кинетических переменных выступают выделенные в деформируемой среде параметры порядка. Показано, что в одномерном случае картина деформации имеет вид полос локализованной деформации и описывается решениями в виде бегущих и неподвижных автосолитонов. В двумерном случае решения в виде полос могут стать неустойчивыми. Деформационная картина имеет вид пятен (очагов локализованной деформации). Рассмотрены возможные типы пространственного распределения пятен.
Self-organization of a hierarchical type in deformed media
P.P. Kaminskii, Yu.A. Khon, and A.V. Butenko
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
We present results of a theoretical study into possible types of spatially inhomogeneous distribution of deformation carriers (deformation pattern). Order parameters for the deformed medium are taken as kinetic variables. It is shown that, in a 1D case, the deformation pattern has the form of localized deformation bands and is described by solutions in the form of moving and stationary autosolitons. In a 2D case, solutions in the form of bands can become unstable. The deformation pattern is represented as spots (localized deformation zones). Possible types of spatial distribution of the spots are considered.
1. Введение
Локализация пластического течения является характерной особенностью необратимого изменения формы твердых тел. Имеется определенная иерархия пространственных масштабов локализации деформации. Так, при электронно-микроскопическом исследовании дислокационной структуры монокристаллов №^е показано, что каждой стадии пластического течения соответствует вполне определенный тип дислокационных ансамблей [1]. В конце каждой стадии характерный для нее тип дислокационных ансамблей заполняет весь объем образца, но их формирование начинается на переходной стадии, отделяющей предыдущую стадию от последующей [1]. При оптических методах исследования на поверхности образца выявляются пространственно-временные структуры, характерный размер которых меняется от долей микрометра до миллиметров. В качестве примера можно привести фрагменты, движущиеся области неоднородной деформации, скорость которых на порядок превышает скорость движения подвижного
захвата испытательной машины, а ширина фронта составляет как микрометры, так и миллиметры [2-7]. При использовании методов туннельной микроскопии выявляются пространственно-временные структуры с характерным размером в несколько десятков нанометров [8].
При последовательном рассмотрении локализации пластического течения наряду с изменением плотностей элементарных носителей деформации (дефектов) необходимо рассматривать в явном виде формирование неэлементарных носителей деформации, в частности ансамблей дефектов, линий и полос скольжения. При этом наблюдаемые закономерности пластического течения связываются с процессами самоорганизации носителей деформации иерархического типа на поверхности и в объеме образца. На каждом шаге пластической деформации формируются пространственно-временные распределения внутренней структуры с такой иерархической структурой, которые обеспечивают требуемое изменение формы образца при заданных условиях деформирования.
© Каминский П.П., Хон Ю.А., Бутенко А.В., 2006
Решение динамических уравнений, описывающих движение всей совокупности носителей деформации, в строгой постановке практически невозможно. Но в динамических системах существует принципиальная возможность замены системы уравнений, описывающих динамику системы с большим числом частиц, системой нескольких нелинейных уравнений для коллективных переменных — параметров порядка [9]. Последние описывают кинетику перехода системы к новому состоянию равновесия. Один из подходов к выделению в деформируемой среде таких параметров порядка предложен в [10, 11]. Параметры порядка определяются решениями системы нелинейных уравнений реакционно-диффузионного типа. Цель настоящей работы состоит в применении развитого подхода к исследованию возможных типов пространственно неоднородных распределений носителей деформации (картины деформации) в монокристаллах при различных условиях деформирования.
2. Модель деформируемой среды
Рассмотрим трехмерную область 0 < х < X, 0 < у < Y, 0 < г < Z в виде параллелепипеда со сторонами X, Y, Z, равными длине, ширине и толщине рабочей части плоского образца соответственно. Ограничимся случаем одноосной квазистатической деформации монокристалла. Ось х совместим с осью растяжения. Скорость подвижного захвата испытательной машины обозначим через Vm. Под действием внешних сил, приложенных к поверхности образца, в нем возникают неоднородные поля напряжений а^т и макроскопической деформации £л. Здесь г — радиус-вектор выделенной точки в лабораторной системе координат. Под точкой понимается физически малый объем с характерной для образца в целом исходной внутренней структурой. Носители деформации предполагаются известными.
Формирование крупномасштабной деформационной картины означает неустойчивость однородного распределения и наличие крупномасштабных корреляций в ансамбле элементарных носителей деформации. В дальнейшем ограничимся изложением результатов для систем с двумя иерархическими уровнями Р, Q, которые характеризуются длинами корреляции I < 1р и временами релаксации tq < tp. Методика выделения параметров порядка р, q для уровней Р, Q соответственно изложена в [11]. Здесь отметим только, что параметр порядка имеет смысл доли объема, занятого структурой, характерной для рассматриваемого иерархического уровня, и переменные q, р являются малыми параметрами. Следуя [11], общую скорость деформации запишем в виде:
£(х, ^ = £Q (х, ^д(х, t) + £Р (х, ^р(х, ^. (1)
Здесь £Q, £Р — скорости деформации, связанные с
формированием и движением носителей деформации на рассматриваемых иерархических уровнях.
Таким образом, параметры порядка, с одной стороны, определяют вклады носителей деформации в скорость деформации, а с другой — их распределение. Для неоднородных решений р(х, ?), q(x, () локальные значения скорости деформации могут быть как больше, так и меньше средней скорости деформации. Объемам системы с повышенными скоростями деформации соответствуют области локализованной деформации. Таким образом, анализ сценариев локализации деформации сводится к определению зависимости параметров порядка от координат и времени.
Уравнения эволюции для параметров порядка в модели двух взаимодействующих бистабильных сред имеют вид [11]:
tP Эр/дt = арр + Ьрр2 - р3 + cpq + 1рАр, (2)
tQ др/дt = а1}р + Ъ^2 - q3 - dpq + ^Аq. (3)
Знаки коэффициентов разложения и соотношения между ними определяют различные сценарии эволюции структуры. Имеющие физический смысл решения существуют лишь при разных знаках перед коэффициентами с и ^ Знак «+» перед коэффициентом с означает, что крупномасштабные носители деформации образуются путем объединения мелкомасштабных.
3. Деформационная картина
Уравнения (2), (3) всегда имеют решение р0 = q0 = = 0. Оно устойчиво относительно малых однородных возмущений 8р, 8q ~ ехр(-у?) при
ар + ач < 0 (4)
^еу > 0). Устойчивость решения р0, q0 означает, что рассматриваемые иерархические уровни не формируются. Если они формируются, то решение р0, q0 должно быть неустойчивым. Это имеет место при
ар + aq > °. (5)
Для этого, по крайней мере, один из коэффициентов ар, а<} должен быть положительным.
При
ач^ > (ъЦа + ар)12 (6)
всегда существует стационарное однородное решение рк > 0, qh > 0. Это решение устойчиво относительно малых однородных и неоднородных возмущений 8р, 8q~ ехр(- + г’кт) (к — волновой вектор), если
с < ст , (7)
где Ст = (ар + Ьрр2т2)1 qm , рт 2 = (aq + d, qm =
= Ъ1}12. Сам факт локализации пластического течения означает, что решение ph > 0, qh > 0 должно быть неустойчиво относительно неоднородных возмущений. Это имеет место при
с > ст (8)
Рис. 1. Пространственно-временное распределение параметра порядка р в бегущем автосолитоне при а = 0.036, в = 0.1, ар = 0.01, Ър = = 0.2, с = 3, aq = 0.03, Ъq = 0.4, d = 0.1. Начальное возмущение задано в точке X = 0
и размерах образца, превышающих критические значения Х0, У0, Z0 по крайней мере в одном измерении. При X < Х0, У < У0, Z < Z0 устойчивыми будут однородные решения. Если критические размеры превышает, например, только X, то параметры порядка меняются только вдоль оси х. Возникающий на поверхности образца деформационный рельеф будет иметь вид полос.
Переход из состояния р0, q0 в состояние ph, qh описывается неоднородными решениями q(х, £), р(х, £), соответствующими автосолитонам [12]. Автосолитоны представляют собой локализованные неравновесные области и могут быть статическими, бегущими или пульсирующими. В бегущем автосолитоне q = q(х - Va£), р = р (х - Уа £), V — скорость автосолитона. На периферии автосолитона решения переходят в стационарные однородные решения в точке ph, qh. Переменные в автосолитоне меняются в фазе (для рассматриваемых функций источников) в одной и той же области пространства. Бегущие автосолитоны возбуждаются при выполнении неравенств (6), (8) и
а << 1, в << 1, (9)
а < в, (10)
где а = tQ|tP и в = 1Р. Обозначим
vQ = lQІtQ, УР = 1р1£р. (11)
Тогда неравенство (10) выполняется при vQ < vP.
Переменная q в автосолитоне меняется резко на длине, сравнимой с 1д. Переменная р меняется плавно на расстоянии порядка 1Р в фазе с q. Скорость бегущих автосолитонов всегда конечна и находится в интервале
а% < Va < VQ. (12)
На рис. 1 приведено распределение параметров порядка в бегущем автосолитоне, имеющем осциллирующий «хвост». Начальные возмущения параметров по-
Рис. 2. Пространственно-временное распределение параметра поряд-кар в статическом автосолитоне при а = 0.05, в = 0.02. Остальные параметры те же, что и на рис. 1. Задавались стохастические начальные возмущения
Рис. З. Пространственно-временное распределение параметра порядка q в статическом автосолитоне. Параметры и начальные условия те же, что и на рис. 2
рядка задавались в точке Х = x/lP = 0. Bиднo, что амплитуда автосолитона быстро нарастает до больших значений, а затем уменьшается до постоянного значения, превышающего стационарное значение ph. После этого автосолитон движется с постоянной скоростью. Картина соответствует движению полос локализованной деформации, как это имеет место на второй стадии пластического течения. При увеличении а число осцилляций уменьшается. Распространяется одна полоса локализованной деформации, наблюдаемая на первой стадии пластического течения.
Статические автосолитоны, описывающие неподвижные полосы локализованной деформации на стадии III пластического течения, возбуждаются при условии
а > в. (1З)
Пространственно-временные распределения параметров порядка p, q приведены на рис. 2, З. Из рис. З видно, что полосы имеют тонкую структуру.
B двумерном случае, при X > X0, Y > Y0 автосолитоны в виде полос могут стать неустойчивыми относительно малых возмущений, образец разбивается на двумерные области с размерами порядка X/m, Y/n. Здесь m, n — целые числа. B каждой из таких областей средние значения переменных p, q резко различаются. Соответственно распределение деформации и векторов смещений точек среды в каждой из таких областей однородно, а в смежных — различается. Формирование подобных областей по своей сути представляет процесс фрагментации. Пространственное распределение фрагментов зависит от соотношения между коэффициентами в уравнениях (2), (З). Деформационная картина име-
ет вид квадратной либо гексагональной решетки, сверхрешетки из квадратов и пр.
При X < X0, Y < Y0, Z < Z0 (X0, Y0, Z0 — критические размеры образца) устойчивыми будут только однородные решения.
4. Заключение
Локализация деформации и формирование деформационной картины связаны с неустойчивостью однородного распределения элементарных и неэлементарных носителей деформации относительно малых неоднородных возмущений. Решения в виде автосолитонов описывают два сценария локализации деформации: распространение бегущих полос и образование неподвижных полос. Реализация того либо иного сценария самоорганизации зависит от отношений характерных времен релаксации и длин корреляции на смежных иерархических уровнях.
Работа выполнена по проекту 8.1.2 программы 8.1 СО РАН и проекту 8.2.1 программы 8.2 СО РАН.
Литература
1. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пласти-
ческой деформации // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. - № 2. -С. 89-106.
2. Zuev L.B., Danilov V.I. Self-excited wave model of plastic deformation // Phil. Mag. A. - 1999. - V. 79. - No. 1. - P. 43-57.
3. Дударев E. Ф. Микропластическая деформация и предел текучести
поликристаллов. - Томск.: Изд-во ТГУ, 1988. - 255 с.
4. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -
1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.
5. Урусовская А.А. Образование областей с переориентированной решеткой при деформации моно- и поликристаллов // Итоги науки. Физико-математические науки. 3. Некоторые вопросы физики пластичности кристаллов. - М.: Изд-во АН СССР, 1960. -C. 75-116.
6. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение материалов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.
7. Теплякова Л.А., Куницина Т.С., Козлов Э.В. Распределение следов скольжения в монокристаллах сплава Ni3Fe // Изв. вузов. Физика. -1998. - Т. 41. - № 4. - С. 51-56.
8. Кузнецов П.В., Панин В.Е. Прямое наблюдение потоков дефектов и субмикронной локализации деформации на поверхности дура-люмина при помощи сканирующего туннельного и атомно-силового микроскопов // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 2. - С. 91-97.
9. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. - М.: Мир, 1990. -
344 с.
10. Хон Ю.А. Неравновесная статистическая теория макроскопической пластической деформации // Физ. мезомех. - 1999. -Т. 2. - № 1-2. - С. 49-56.
11. Каминский П.П., Хон Ю.А. Макроскопические стационарные структуры в кристалле с дислокационными механизмами пластической деформации // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 5. -С. 49-55.
12. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны // УФН. - 1989. - Т. 157. -№ 2. - С. 201-266.
