CC BY
61
УДК 539.374
И.Ю. Зубко, И.Э. Келлер, П.В. Трусов Пермский государственный технический университет
САМООРГАНИЗАЦИЯ ДИСЛОКАЦИЙ КАК ПРИЧИНА НЕСТАБИЛЬНОСТИ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Abstract
Dislocation microstructure composed exclusively of vein dipole bundles and relatively dislocation-free channels was obtained within dislocation dynamics simulation. Diagram of recording stress taken in kinematical loading had non-monotonic character with serrated regions. Each region of slope stress instability was clearly corresponded to the moments of spontaneous dislocation selforganization, which was accompanied by energy release under rigid loading and acceleration of deformation under the soft one. Nonlinear gradient model of dislocation dipole double continuum was formulated and examined for better understanding of underlying mechanisms of structure formation phenomenon in metals.
Открытие элементарных носителей пластической деформации — дислокаций, движение которых обеспечивает пластическое течение металлов в отсутствие всех
прочих известных механизмов, — позволило во многом понять физику явления
пластического течения металлов. Однако большинство экспериментально обнаруженных эффектов пластичности невозможно объяснить, базируясь только на описании движения отдельных дефектов. В связи с этим появилась необходимость изучения ансамблей дислокаций в пластически деформируемых кристаллах. Для выяснения роли коллективных дислокационных процессов при холодном пластическом деформировании металлов в работе исследуется модель динамики трансляционных дислокаций. Модель описывает образование и перестройки пространственно-модулированных дислокационных структур и сопровождающую процесс
нестабильность, прерывистость кривой напряжение - деформация при
квазистатическом (жестком) нагружении. Обнаружено, что каждая перестройка структуры обязана быстрой самоорганизации дислокаций и вызывает временное падение напряжения, т.е. отражает нестабильность материала. Таким образом, модель описала известный эффект Портевена - Ле Шателье, наблюдавшийся исключительно в твердых растворах [1], в чистом металле. Хотя авторы и не знакомы с экспериментальным подтверждением смоделированного явления, выясненный его механизм, основанный на улавливании дислокаций дислокационными диполями и стенками, вероятно, и является основной причиной эффекта Портевена-Ле Шателье не только в чистых металлах, но и твердых растворах, где заловленные дислокации дополнительно обрастают атмосферами растворенных атомов, которые усиливают «прочность» образованных структур.
В [2] дано одно из первых описаний метода дислокационной динамики. Здесь рассматриваются следы прямолинейных краевых дислокаций, ортогональных
плоскости моделирования, на этой плоскости. Влияние натяжения дислокационных петель не учитывается — это соответствует прямолинейным выходящим на поверхность дислокациям либо в бесконечном кристалле, либо в тонкой кристаллической пленке. Геометрические эффекты (описание дислокаций с помощью коэффициентов обобщенной аффинной связности), связанные с присутствием в среде дислокаций, не рассматриваются, дислокации считаются квази частицам и, силовые поля которых совпадают с упругими полями краевых дислокаций. Учитывается только скольжение дислокаций в горизонтальном направлении. Кристаллическая решетка моделируется упругой средой, передающей силовое воздействие от одной дислокации к другой. Пайерлсовское сопротивление решетки движению дислокаций учитывается силовым порогом /*. Сила /, вызывающая скольжение отдельной дислокации, складывается из силы ±Ьх действия, приложенного к области (однородного) напряжения т, и сил взаимодействия данной дислокации со всеми остальными (± соответствует знаку дислокации). Задается прямоугольная форма области и периодические граничные условия на потоки дислокаций и напряжения. Время изменяется дискретно, а континуальные координаты дислокаций обновляются одновременно для всех дислокаций на каждом временном шаге. Нагружение осуществляется через последовательно соединенный линейно-упругий элемент, моделирующий атомную решетку и отвечающий за происходящие в ней процессы накопления подводимой энергии и вызванной движением дислокаций релаксации упругих напряжений. Для движения дислокации принимается вязко-пластический закон
V =
*;(/-/*), I/!>/*,
0. і /1 < 0)
где £ — коэффициент вязкости, Попарное взаимодействие дислокаций описывается линейно-упругим решением
(2)
(X +Г)
где одна из дислокаций расположена в начале координат, а вторая - в точке (х,у), положительный знак имеет место для дислокаций одного знака, отрицательный — для
\хЬ2
дислокаций разных знаков, силы отнесены к комплексу 2тс(1-у) > ^— модуль сдвига, Ь
— модуль вектора Бюргерса, V — коэффициент Пуассона. Реализация движения дислокаций проводилась в пошаговой процедуре. На каждом временном шаге с использованием (1) и (2) определялось новое положение каждой дислокации. Учитывалась аннигиляция дислокаций разных знаков. Шаг по времени устанавливался после определения скоростей дислокаций таким образом, чтобы ни в одной из пар близких дислокаций, находящихся в одной плоскости скольжения, за этот шаг дислокации не проскочили одна другую. Расчеты проводились с константами, соответствующими меди: и - 5,46 1010 (Па), Ь = 2,56-10'10 (м), V - 0,33, пороговое напряжение /* / 6 = 5 (МПа), £ = 105 (с'1 Па'1). Размеры области Х= У = 10 (мкм).
Численные эксперименты с постоянным приложенным напряжением, превышающим пороговое значение, демонстрируют образование и смену ряда субструктур. Сначала появляются “жгуты” дислокационных диполей (рис. 1, а). В отличие от дислокаций такие диполи не движутся под действием однородного приложенного напряжения. Для движения диполя необходимо наличие градиента
IIЬ
напряжения. При однородном напряжении 8тт(1-у)й диполь, состоящий из
дислокаций с вертикальным расстоянием А между ними, разрушается. Диполи же с меньшими значениями к заметно упрочняют материал. Поток дислокаций вблизи жгутов диполей замедляется, и вокруг последних начинают формироваться небольшие монопольные дислокационные стенки. Дислокации стенок улавливают дислокации из своего окружения дальнодействующими полями напряжений (рис. 1, б) и присоединяют их к стенкам; в какой-то момент разросшиеся стенки проскакивают с увеличивающейся скоростью мимо жгутов. При этом часть диполей в жгутах разрушается, а дислокации, бывшие в диполях, увлекаются движущимися стенками. Видимо, этот момент связан с тем, что поле напряжений выросшей стенки становится достаточным для разрушения части диполей в жгуте и, тем самым, для локального разупрочнения материала. Проскочившие мимо жгутов монопольные стенки располагаются в пространстве на несвязанных с положениями жгутов позициях. В пространстве между монопольными стенками располагается большое количество диполей. Далее диполи начинают дрейфовать в направлении стенок. Затем наблюдалась еще одна перестройка структуры, во время которой монопольные стенки противоположных знаков попарно сближались, одновременно «вычищая» пространство между стенками от диполей. После этой перестройки положительные и отрицательные стенки располагаются парами в некоторой равновесной (в силовом смысле) конфигурации, не соответствующей начальному расположению жгутов (рис. 1, в). Положительные и отрицательные стенки образуют границы областей локализации плотности дислокаций, внутренность которых мультипольна. В каналах между мультипольными прослойками располагаются остатки дипольных жгутов (см. рис. I, в). Появившиеся мультипольные прослойки упрочняют материал намного сильнее жгутов. Строение полученной структуры напоминает результаты классических экспериментов X. Муграби [3] на меди. В работе [3] для описания материала со структурой такого строения предложена модель в виде композита, состоящего из жестких волокон, соответствующих прослойкам, и мягкой матрицы, соответствующей каналам. Исследование поля напряжений структуры, получаемой в численных экспериментах, в отличие от [3], говорит об отсутствии концентрации напряжений в прослойках. Это подтверждается и в более позднем экспериментальном исследовании [4] на основе измерения ширины диполей краевых дислокаций в прослойках и каналах между ними в монокристалле меди, ориентированном для одиночного скольжения и циклически деформированном при комнатной температуре.
а б в
Рис. 1. Эволюция дислокационной микроструктуры при постоянном внешнем напряжении: а) появление жгутов (начальные положения некоторых жгутов отмечены окружностями), б) появление простейших стенок, старые положения жгутов выделены, в) окончательная структура, присутствуют и монопольные стенки, и диполи
Для установления связи перестроек дислокационных структур с участками нестабильности диаграммы деформирования объема необходимо определить деформацию рассматриваемого объема. Упругая и вязкопластическая ее части, как следует из способа нагружения, полагались реализующимися в последовательно соединенных структурных элементах (рис. 2), что соответствует идеальной передаче приложенных к объему напряжений через упругий элемент (решетку) вязкопластическому (конфигурации дислокаций), а также аддитивности упругих и вязкопластических деформаций. Скорость вязкопластической деформации объема определялась геометрически как сумма скоростей элементарных сдвигов, вызванных движением дислокаций, определяемых как
Ьу
у_ лт ^
(с учетом знаков дислокаций и направлений их движения). Нагружение объема задается перемещением точки крепления пружины жесткости 2ц к подвижному катку, в этой же точке регистрируется усилие. Такая схема не позволяет учесть конечную жесткость нагружающей системы: объем нагружается либо с контролем напряжений (предельно мягко), либо с контролем деформаций (предельно жестко). Для учета конечной жесткости нагружающей системы необходимо к структурной схеме последовательно присоединить упругий элемент с жесткостью, значительно превосходящей жесткость решетки. Для получения диаграммы деформирования с ниспадающими участками нагружение необходимо вести кинематически (предельно жестко).
модуль ДД
7777777717777777---------------^
Рис. 2. Структурная схема исследуемого объема
Для реализации жесткого нагружения на каждом временном шаге по заданной скорости деформирования определяется приращение полной деформации. При этом вязкопластическому элементу через упругий передается некоторое приращение усилия. Система дислокаций реагирует на него приращением вязко-пластической деформации. Последнее меняет растяжение пружины и, согласно упругому закону, усилие в упругом элементе. Итак, задавая на текущем шаге приращение деформации Ау = ДуЧ-Ду^, где вязкопластическая составляющая определяется блоком дислокационной динамики при текущем напряжении т, находится приращение усилия Ат = 2\х А/, передающееся на вязкопластический элемент. Тогда имеем самосогласованное уравнение Ат ~ 2\х (Ау~ ДуУр(т)), решаемое итерационно. Если |Ат| больше некоторого заранее заданного значения (слишком резкий скачок напряжений), то алгоритм возвращается на предыдущий шаг изменения деформации и Ау уменьшается (одновременно для сохранения скорости деформирования пропорционально меняется и временной шаг в вязкопластическом элементе). Каждому шагу по полной деформации соответствовало N временных шагов, в течение которых происходило обновление конфигурации дислокаций.
Рис. 3. Развернутая структурная схема исследуемого объема
Для понимания физики поведения системы последней можно поставить в соответствие грубую структурную схему (рис. 3). Каждый вязкопластический элемент в данной цепочке соответствует отдельной дислокации исследуемого объема. Напряжение в каждом элементе равно приложенному. На схеме не показаны перекрестные связи между вязкопластическими элементами, отражающие взаимодействие дислокаций. Для имитации этого взаимодействия порог трения в каждом из элементов предполагается зависящим от текущей локальной конфигурации дислокаций. Пороговое напряжение в элементе складывается из напряжения Пайерлса и полей напряжений всех дислокаций в данной точке пространства. Критерий текучести формулируется в терминах приложенного напряжения. Результирующая сила взаимодействия дислокаций в зависимости от знака и величины действует либо в противовес, либо совместно с внешней нагрузкой при смещении отдельной дислокации. В ходе процесса взаимное расположение дислокаций меняется и, следовательно, меняются пороги трения в элементах. Такое представление позволяет провести качественный анализ материала с дислокационным механизмом вязкопластического деформирования.
Чем больше жесткость упругого элемента (кристаллической решетки), тем быстрее будут включаться вязкопластические элементы: при заданной скорости деформирования уровень напряжений в упругом элементе, достаточный для сдвига того же количества дислокаций, будет достигнут за меньшее время. Сдвиг каждой дислокации будет приводить к релаксации напряжений упругого элемента, то есть сбросу напряжений. Увеличение жесткости пружины в силу закона Гука приводит к увеличению глубины падений напряжений от включения каждого вязкопластического элемента. При этом будут становиться четче выраженными предел и площадка
текучести, а также пилообразность профиля последней. Если упругий элемент будет мягким, он дольше сможет накапливать подводимую к системе энергию — растягиваться. Включаться вязкопластические элементы будут постепенно. Сдвиг отдельных дислокаций из-за малой жесткости пружины будет приводить к малым падениям напряжений, площадка текучести будет невыраженной, диаграмма плавной. При постоянной (малой) жесткости упругого элемента с ростом скорости деформирования будет наблюдаться более отчетливое проявление площадки текучести, так как за меньшее время будет достигнуто такое напряжение, при котором придет в движение большое количество дислокаций. Это также связано с тем, что сдвиги отдельных дислокаций с ростом скорости будут увеличиваться. Уровень напряжения площадки текучести с ростом скорости нагружения будет повышаться, и характер ее будет становиться более гладким.
Типичные диаграммы в осях напряжение - деформация при жестком нагружении и в осях деформация - время при постоянном приложенном напряжении, превышающем пороговое значение, получаемые при деформировании рассматриваемой системы, приведены на рис.4. На диаграмме рис.4, а приведены результаты для разных значений скорости деформирования, с ростом которой предел текучести повышается, а профиль рельефа становится более гладким. На диаграмме, соответствующей малой скорости деформирования, видны участки падения напряжений, демонстрирующие нестабильность материала. Диаграммы также демонстрируют деформационное упрочнение. Последнее связано с появлением субструктур — диполей и дислокационных прослоек. Диполи малоподвижны, поэтому для роста деформаций необходимо увеличение усилия. Чем большее количество дислокаций связано в диполи, тем труднее деформировать тело. Первый сброс напряжений соответствовал разупрочнению материала при разрушении части диполей в жгутах и свободному движению дислокационных стенок мимо разрушенных жгутов. Последующие сбросы — возникновению режимов самоорганизации в системе при перестройках микроструктуры, причем в моменты, непосредственно предшествующие последним, дислокации заметно ускорялись, то есть пластическая деформация при этом росла быстрее приложенной, что приводило к уменьшению растяжения упругого элемента (высвобождению энергии) и появлению падений на диаграмме. При мягком нагружении образованию и перестройкам субструктур соответствовало ускорение процесса деформирования — изменение наклона кривой (появление изломов) в осях сдвиговая деформация - время (рис.4, б). Таким образом, обнаружена ясная связь внутренней нестабильности материала, содержащего дислокации, с моментами спонтанной самоорганизации дислокаций и дальнейшими перестройками микроструктуры. Сделанный вывод, видимо, распространяется и на процессы формирования в материале структуры в виде локализации полос сдвига, механизм формирования которых является дислокационным [5]. Если мысленно проводить опыт по пластическому деформированию среды, рассматривая поведение дислокаций в упругой среде без учета коллективных явлений, то их движение должно приводить к появлению площадки текучести, но не сбросов напряжений. Появление последних обеспечивается именно самоорганизацией, характеризуемой тем, что движение дислокаций подчиняется только внутреннему взаимодействию и продолжается на фоне уменьшения приложенного к системе дислокаций напряжения.
АррЫ ¡зк&г вЬал (*/♦), у
а
Тігае еЬр б
Рис. 4. Диаграммы деформирования системы образца со 120 дислокациями
Стоит обратить внимание на легкий излом на диаграмме зависимости вязкопластической деформации системы от времени при мягком нагружении (см. рис.4, б). Этот излом отражает самоорганизацию дислокаций, вызывающую локализацию деформации. В экспериментах [1] с твердыми растворами обычно наблюдают одновременные события локализации деформации и временного падения напряжения (рис.5, а). Выяснено, что самоорганизация в изучаемой модели сопровождается подобными событиями (рис.5, б), для чего был рассмотрен первый участок падения напряжений с диаграммы (см. рис.4; а), полученной при жестком нагружении. Локальная деформация определялась в одной из ста одинаковых пространственных квадратных ячеек, через которую проходил поток самоорганизующихся дислокаций, и в которой за рассмотренный промежуток была достигнута максимальная деформация (отметим, что многие ячейки в процессе практически не деформировались). Таким образом, модель описала известный эффект Портевена- Ле Шателье в чистом металле. Поэтому можно предположить, что основной причиной данного эффекта является локальное разупрочнение материала, вызванное разрушением ранее образовавшихся дипольных жгутов разросшимися стенками дислокаций, заловленных диполями, и дислокациями стенок. Далее, вследствие самоорганизации дислокаций, упрочняются соседние области объема. Такие процессы происходят не только в чистых металлах, но и в твердых растворах, где заловленные дислокации дополнительно обрастают атмосферами растворенных атомов и тем самым просто усиливают образованные структуры и делают эффект более отчетливым.
Таким образом, с помощью численной модели показана связь нестабильности материала и локализации деформации с процессами самоорганизации в материале. В работе [5] авторы изучили простейшую феноменологическую модель состояния нестабильного материала, описавшую появление модулированных диссипативных структур локализации деформации при околокритических напряжениях. Далее в данной статье показано, что к подобным моделям в духе Ван-дер-Ваал ьса - Гинзбурга -Ландау сводятся уравнения равновесия двойного континуума, состоящего из компонент — непрерывно распределенных дислокаций.
а б
Рис.5. Корреляция нестабильности материала и локализации деформации: а) эксперимент [1] с твердым раствором, б) численный результат с чистым металлом (деформация определялась в малой области с максимальной конечной деформацией)
Анализ результатов численного моделирования демонстрирует исключительную роль диполей в образовании дислокационных структур и упрочнении материала, что подтверждается в экспериментах (в частности, в одной из последних экспериментальных работ, посвященных исследованию дислокационных диполей и ячеистой дислокационной структуры [4]). Рассмотрим диполь, состоящий из краевых дислокаций, способных скользить в своих плоскостях залегания (рис.6). Движение составляющих диполь дислокаций в поле внешней силы/0(х) описывается согласно (1) и (2) системой уравнений
, , , ^ (*2 - Ху)((Х2 - Х1)2 - а2
1о(х1) +
= і ¿2 = І
-foM
((Х2 -Zj )2 (а;2 - - xi)
2^2 2 d2)
{{x2-xrf+d?f
(4)
где х/ и Х2 — горизонтальные координаты соответственно левой и правой дислокации диполя, d - const — вертикальное расстояние между дислокациями диполя.
Т “Г d
Ж у
1, 1
хг-хх
Рис. 6. Диполь краевых дислокаций. В недеформированном состоянии х2-х] ~ d
Введем обозначение 1 = Х2~Х/ для горизонтального расстояния между дислокациями диполя ис = *А(Х} + х2) для координаты центра диполя, тогда получим уравнения движения центра и изменения ширины диполя:
, . > , , , 2Щ2 - d2)
Uxi) + ^ £,у,
А 2(^2 '^1) !/ц(а’)) /0^2)]'
Правая часть второго уравнения системы содержит градиент внешней силы:
!) (%) “ /о (^2 ) = ~1
/о (^2 ) “ /о (Xl) М Ы
■l\Vf0(x)\\ — —Z| V/0(c)|.
I с1х
В первом уравнении, в предположении малости плеча диполя и конечности градиента массовой силы, положим /0(хг) ^(я2) ~ 2^(с). Итак, движение диполя описывается
системой
1{12 -£¿2)
= -2*
/о (с) +
(,12 +d2)2
(5)
* =
Пусть в некотором малом объеме действие внешнего силового поля Jo(x) можно упрощенно представить постоянными значениями /0 и VfQ. Тогда, если не учитывать переходный процесс установления ширины диполя, дальнейшее движение диполя как целого определяется следующими закономерностями. Установившаяся ширина диполя / определяется величиной /о (рис.7) и в свою очередь определяет вязкость при движении диполя - Vi £ /, движущей силой для которого является У/о.
Рис. 7. Зависимость ширины / диполя от внешней силы /о
Поле напряжений диполя складывается из упругих полей (2) образующих его дислокаций:
F(x,y)
оX + ¡¡)({х + |)2 - (у + f)2) _ (х - |)((х - ¿)2 - (:у - Ф2) {(х + f)2 + (у + §)2)2
(6)
((х-1)2+(г/-|)2)2
где I — горизонтальный, а б/ —-вертикальный размеры диполя, начало координат совпадает с центром диполя. Частная производная по х этого поля имеет вид
(>Р{:г,у) = (х - р4 + (у - I)4 - 6(х - |)2(у - ¿)2 (г_+ |)4 + (у + §4 - 6(„: + Ц(и + |)2
5а: 4((г - |)2 + {у -1)2)3
4((x + |)2+(j/ + f)z)
rf\2\3
Выражение (7), как следует из (5), есть мера взаимодействия, ’’сила", с которой диполь в начале координат действует на диполь в точке (х,у), а (6) — потенциал "силы" взаимодействия диполей. Вид зависимостей (6), (7) приведен на рис.8.
Рассмотрим одномерный континуум, состоящий из частиц-диполей, способных перемещаться в направлении Ох, потенциал взаимодействия которых определяется (6) (рис.8, а). Рельеф силы взаимодействия на рис. 8, б предполагает существование равновесной конфигурации в горизонтальной цепочке диполей, соответствующих локальным минимумам потенциала. При деформировании этой среды как при сближении диполей, так и при увеличении расстояния между ними, в ней возникает сила, стремящаяся вернуть диполи в равновесную недеформированную конфигурацию, что оправдывает применение для нее упругого закона, в первом приближении линейного:
а=г/, (8)
где а — напряжения в рассматриваемой среде, и — перемещения частиц среды, упругая константа исключена из записи соответствующим выбором системы единиц.
а б
Рис. 8. Вид а) потенциала и б) меры взаимодействия двух частиц-диполей, одна из которых расположена в начале координат, а другая пробегает линию скольжения вдоль оси Ох
Уравнение равновесия одномерной дипольной среды записывается в виде
а'+ /(*) = 0, (9)
где /(х) — объемная сила, действующая на цепочку диполей. Если забыть физическую природу рассматриваемых частиц (диполей), зная лишь закон их взаимодействия (7), то механический смысл членов уравнения (9) очевиден. Из физического смысла сил (7) понятна физическая суть объемной силы — это градиент напряжений в упругой среде, вызванных причинами недислокационного происхождения. Напряжения, входящие в (9), традиционно имеют смысл сил взаимодействия частиц, определяемых (7), и внешними усилиями, действующих на (соответствующих) единичных площадках и заменяющих при разрезании действие одной части среды на другую на поверхности разреза. Физическая природа таких "напряжений" — градиент обычных напряжений в упругой среде, вызванных присутствием в ней диполей дислокаций. Передаются эти "напряжения" от точки к точке дипольной среды упругостью кристаллической решетки. Уравнение движения, согласно (1), будет отличаться от (9) присутствием в
правой части скорости перемещения частиц (а не ускорения, появление которого есть следствие второго закона Ньютона).
Рассмотрим кв аз и двумерный континуум, составленный из находящихся в равновесии дипольных слоев, сдвинутых один относительно другого подобно атомным слоям в двухмерной (треугольной) кристаллической решетке. Мысленно разделим построенный двухмерный континуум на две одинаковые компоненты, составленные одна из четных, другая из нечетных слоев построенной решетки. Предположим, что в каждой точке дипольной среды присутствуют обе взаимодействующие одномерные компоненты, тогда в двухчастичном приближении уравнения равновесия каждой из компонент будут иметь вид
где х\ и Х2 координаты частиц (центров диполей), расположенных в соседних слоях, г(-х,у) = -г(х,у) — закон взаимодействия двух частиц, определяемый (7), к — расстояние между слоями частиц, /(х,ух) — объемная сила, действующая на /-ую одномерную компоненту (слой). Для реализации относительного смещения слоев без трансляции /\(х) - -/г(х). Подставляя в (10) упругий закон (8) и вводя обозначение и=х 2~Х] для относительного перемещения слоев двойного континуума и
V = Уг(х2 + х\) для среднего перемещения, получим систему
разделенных уравнений равновесия для переменных и и у.
Процедура вывода (11) обычна для теории смеси [6]. В [7] изучались уравнения равновесия двойного континуума, компоненты которого отождествлялись с атомными слоями. Следует заметить, что хотя состояние компонент рассматриваемого континуума подчиняется обычному линейно-упругому закону, равновесие относительного перемещения подчиняется уравнению нелинейного осциллятора и потому способно описать формирование периодических локализованных структур с конечной амплитудой. Э. Айфантисом [8] подобные по структуре уравнения рассматривались как уравнения состояния в духе формализма Ван-дер-Ваальса-Гинзбурга-Ландау, полученные из нелинейного уравнения состояния с градиентным членом (нелокальностью в длинноволновом приближении).
Разность /(Х],у\)-ДхъУг) из первого уравнения представим подобно полному
сумму из второго уравнения запишем как f(xvy2) + f(xvyi) & 2/(w,|), что справедливо в предположении малости ку и и градиента f(x,y). Положим дf def ~ ,
—i- — а = const — это воздействие приводит к деформации отдельного слоя диполеи,
дх
поскольку в результате на каждую частицу среды действует своя сила и
df def
h-~-= 3 = const, что вызывает деформацию относительного смещения слоев, так как
<г'Ц +ЛХі - + /ОрУї) - о,
и'\х^хг + Г^2 ~xVh) + f(x2,y2) = 0,
(30)
и" + 2r(u,h) + f{x2,y2) - f(xvy1) = 0, v" + f(xvy1) + f(x2,y2) = 0
(И)
dy
при отличном от нуля ß на разные слои действуют разные силы, тогда можно положить f(v,f) ~ у и система (11) принимает вид
и* + 2r(u,h) + оtu -f (3 = О,
V + \v ~ 0.
Заметим, что уравнения системы (12) являются независимыми. Первый интеграл
и
первого уравнения системы есть П{г*,а,0) = + 2 J r(%h)du + \<хи21“ + ßtij^
“о
— полная потенциальная энергия. Нелинейность взаимодействия дает ряд локальных минимумов потенциала, последовательно исчезающих с ростом управляющего параметра ß. (Параметр же а отвечает лишь за поведение потенциального рельефа на бесконечности — симметрично поднимает или опускает его ветви.) В такие моменты в материале происходят структурные перестройки, приводящие к быстрому образованию и перестройкам периодических субструктур в виде локализации неоднородного относительного смещения дипольных слоев. Появившаяся структура будет сохраняться при дальнейшем медленном квазистатическом нагружении, пока не будет достигнут следующий локальный максимум, после чего произойдет перестройка структуры. Конечно, выше дан скорее план исследования модели, предположительно способной описать переходы одних мультипольных структур в другие.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке из средств грантов Урал 2001 N01-01-96481 Российского фонда фундаментальных исследований и РЕ-009-0 Американского фонда гражданских исследований и развития (АФГИР).
Библиографический список
1. Ziegenbein A., Hahner Р., Neuhauser H. Correlation of temporal instabilities and spatial localization during Poitevin - Le Chatelier deformation of Cu-10 at.% A1 and Cu-15 at.% A1 // Comput. Mater. Sei. - 2000. - Vol. 19, - P. 27-34.
2. Amodeo R.J., Ghoniem N.M. Dislocation dynamics. I. A proposed methodology for deformation micromechanics // Phys.Rew.B, - 1990. - Vol. 41, N.10. - P. 6958-6967.
3. Mughrabi H. Dislocation wall and cell structures and long-range internal stresses in deformed metal crystals // Acta metal. - 1983. - Vol. 31, N. 9. - P. 1367-1379.
4. Kassner M.E. Determination of internal stresses in cyclically deformed copper single crystals using convergent-beam electron diffraction and dislocation dipole separation measurements // Acta mater. - 2000. - Vol. 48, N. 17.-P. 4247-4254.
5. Келлер И.Э., Трусов П.В. Модель равновесной локализации деформации // Статья в настоящем сборнике.
6. Рущицкий Я.Я. Элементы теории смеси. - Киев: Наукова думка, 1991. - 160 с.
7. Аэро Э.Л. Микромасштабные деформации в двумерной решетке — структурные переходы и бифуркации при критическом сдвиге // ФТТ. - 2000. Т. 42, вып. 6. -С. 1113-1119.
8. Aifantis Е.С. Pattern formation in plasticity /7 Int. J. Engng Sei. - 1995. Vol. 33, N.15. -P. 2161-2178.
Получено 10.07.2002
