CC BY
50
Кинетическая модель образования периодических дислокационных структур в кристалле в терминах клеточных автоматов
И.Ю. Зубко, И.Э. Келлер, П.В. Трусов
Пермский государственный технический университет, Пермь, 614600, Россия
В терминах клеточных автоматов построена модель самоорганизации краевых сегментов дислокаций противоположных знаков. Взаимодействие дислокаций осуществлялось их упругими полями нелокальным способом, учтены размножение и аннигиляция дислокаций. Модель описывает формирование периодических поляризованных стеночных структур, развивающихся при циклическом и монотонном нагружении. Реализованный в модели механизм образования дислокационных структур основан на действии источников Франка-Рида, активном переползании дислокаций и учете дальнодействующих напряжений. Показано, что в моделях самоорганизации дислокаций с периодическими граничными условиями осредненные по полю компоненты тензора собственных напряжений структуры нулевые. Исследована динамика модели.
1. Введение
Образование и эволюция дислокационных структур в пластически деформируемом кристалле представляют собой сложный процесс, в котором глубоко связаны деформирование тела, движение и взаимодействие дислокаций в нем. Теоретическое описание механической стороны явления требует расширенного аппарата кинематики и динамики упругопластического континуума с дислокациями и остается исключительно сложной проблемой. Вероятно, поэтому известные авторам математические модели образования дислокационных структур ограничиваются вопросами кинетики и рассматривают внутренние, физические механизмы самоорганизации дислокаций в открытой термодинамической системе. Настоящее исследование также преследует цель моделирования кинетики дислокаций, поэтому рассмотрим кратко некоторые модели [1-6], обращая внимание на заложенные в них механизмы образования периодических дислокационных структур.
Модель [1], справедливая на стадии легкого скольжения, представляет собой уравнение баланса трех процессов — генерации дислокаций источниками Франка-Рида (источник в балансовом уравнении), иммобилизации краевых сегментов дислокаций путем образования диполей (сток) и поперечного скольжения винтовых сегментов (вектор потока). В стационарном случае модель сводится к уравнению Гельмгольца, являющемуся линейным и содержащему периодические решения (распределения плотности дислокаций по
трехмерному пространству). Модель [2], предложенная тем же автором для стадии множественного скольжения, дополнительно учитывает источники размножения дислокаций на дислокациях леса, стоки за счет аннигиляции дислокаций, а также дисперсию скорости дислокаций за счет деформационного упрочнения. Полученное нелинейное уравнение содержит волновые стационарные решения и солитоноподобные нестационарные. Необходимо сказать, что описанные моделями [1, 2] структуры представляют собой результат локального баланса рассмотренных процессов.
В моделях [3, 4] балансовое уравнение записано для плотности краевых диполей (модели справедливы на стадии легкого скольжения). Механизм движения диполя — градиентный и требует существования неоднородного поля касательного напряжения. В [3] считается, что его создают краевые компоненты слабо искривленных дислокаций почти винтовой ориентации. Локальная кривизна дислокации является результатом суммарного воздействия на дислокацию упругих полей диполей во всем пространстве и представляется интегралом. В итоге поток субстанции есть величина нелокальная. Источник субстанции связывается с механизмом образования новых диполей из дислокаций, стимулируемого уже присутствующими в данной точке диполями, и феноменологически представляется степенной функцией плотности диполей. Данная одномерная нелинейная нелокальная модель описывает появление устойчивых периодических структур. Неформальный смысл механизма —
© Зубко И.Ю., Келлер И.Э., Трусов П.В., 1999
выметывание движущимися в канале дислокациями образующихся диполей из каналов в плотную дислокационную матрицу. Ранее предложенная тем же автором модель [4] рассматривала другой механизм, согласно которому сами диполи посредством своих собственных полей напряжений обеспечивали градиент напряжений, необходимый в качестве силы, движущей другие диполи («диполи движут диполи»). Вектор потока субстанции связан с процессом упруговязкого течения двумерного тела, содержащего одну систему скольжения. Для параметра упрочнения в законе течения записано интегральное представление, суммирующее поля упругих напряжений диполей во всем пространстве. Данной нелокальной моделью описаны устойчивые двумерные ячеистые и полосовые структуры.
Следующие две модели [5, 6], использующие постановку в дискретных терминах, также существенно нелокальные и используют в законе движения дислокации суммирование упругих напряжений по некоторой конечной окрестности. Рассматривается конфигурация параллельных краевых сегментов дислокаций с одинаковым (с точностью до антипараллельного) вектором Бюргерса, способных скользить и переползать. Учитываются размножение и аннигиляция дислокаций. В итоге описаны образующиеся под действием внешнего монотонно (а в [6] — и циклически) изменяющегося сдвигового напряжения периодические дислокационные структуры с параметрами, согласующимися с экспериментом.
Из приведенного анализа не вытекают какие-либо категорические требования к модели исследуемого явления: имеются модели и линейные, и нелинейные, а механизмы — и локальные, и нелокальные. Вопросы эти очень дискуссионные, мы укажем здесь лишь на то, что в случае клеточно-автоматного моделирования самоорганизации дислокаций модель должна быть нелокальной. Напряжения в приближении недеформи-руемости тела (что обычно для поля клеточного автомата) суть некие поля, посредством которых дислокации взаимодействуют. Поскольку такие «напряжения» не передаются контактным способом от одной материальной точки к другой, их значения в любой точке должны находиться суммированием по всей области.
В настоящей работе формулируется клеточно-автоматная модель образования и развития дислокационных структур в двумерной области монокристалла. Целый ряд вопросов здесь решен иначе, чем в родственных исследованиях [5, 6], в том числе вопрос о механизме самоорганизации дислокаций. Определены константы модели, и выбраны параметры алгоритма. Получены мультипериодические распределения дислокаций, являющиеся диссипативными. Геометрические параметры структур и поля внутренних напряжений сравниваются с экспериментом.
2. Формулировка модели
Формулировки в терминах клеточных автоматов довольно часто применяются для моделирования процессов самоорганизации в больших системах [7]. Клеточный автомат в идеале есть «вычисляющее пространство», пространственный объем с некоторым набором переменных и процессором в каждой своей точке, содержащим закон обновления субстанции в точке [8]. Время в такой системе дискретно, а обновление состояния точек объема осуществляется одновременно, то есть клеточный автомат представляет собой компьютер с абсолютно параллельной архитектурой.
В настоящей работе рассматривается прямоугольная область двумерного евклидова пространства, дискретизованная однородной сеткой N х М квадратных ячеек с размером стороны а. Определенная в каждой ячейке области субстанция также дискретна (рис. 1) и представляет собой пустую ячейку либо след на плоскости краевой дислокации одного из двух противоположных знаков (положительного ^ и отрицательного Т), либо источник дислокаций Франка-Рида (+). Таким образом, рассматривается популяция дислокаций с противоположно направленными векторами Бюр-герса. В рамках данной модели дислокации имеют две степени свободы, связанные со скольжением в параллельных горизонтальных плоскостях скольжения и переползанием в вертикальном направлении, рис. 1. Кривизна линии дислокаций не учитывается. Источники дислокаций свободы движения не имеют.
На любую выделенную дислокацию с локальными координатами (0, 0) действует каждая дислокация с координатами (х,у) из некоторой «большой» окрестности О : |х|< L, |у| < Н, размеры которой определяют порядок нелокальности модели. Здесь х — горизонтальная; у — вертикальная безразмерные координаты, выраженные в целых числах а. Соответствующие силы даются соотношениями линейной теории упругости [9]
/х — ух _
цЬ
х(х2 - у2)
2п(1 -v)a (х2 + у2)
2\2 5
/у — хх =
цЬ
2п(1 - v)a
у(3х 2 + у2)
' (х2 + у2)2
(1)
(2)
Рис. 1. Возможные состояния ячейки и степени свободы движения дислокации скольжением и переползанием
Рис. 2. Правила изменения состояния клеток. В верхнем ряду окружность означает дислокацию произвольного знака, пара окружностей — пару дислокаций одного знака. В нижнем ряду пара треугольников означает пару дислокаций с противоположными знаками. Вертикальные стрелки означают статус движения
Модуль сдвига ц, коэффициент Пуассона V и модуль вектора Бюргерса дислокации Ь суть константы модели. Исследуемый объем подвергается внешнему воздействию, порождающему однородное сдвиговое напряжение т ух, возрастающее во времени с постоянной скоростью х. Для напряжений в теле полагается справедливым принцип суперпозиции, что естественно при использовании линейно-упругого решения (1)-(2). Процесс считается квазистатическим, в текущий момент времени движение любой дислокации разрешается при выполнении одного из двух локальных статических критериев
|^х + /е| > /*х (скольжение), (3)
|^| > /*у (переползание), (4)
где Fx, Fу — компоненты вектора суммы сил упругих взаимодействий рассматриваемой дислокации со всеми
дислокациями в большой окрестности О: Fx — £/х ,
О
Fу — £ /у ; /е — Ьтух — внешняя сила; /*х — порог трения скольжения (вызванный силой Пайерлса); /*у — порог трения переползания (вызванный осмотической силой). Вблизи краев области большая окрестность доопределялась использованием периодических граничных условий на внутренние напряжения и потоки дислокаций.
В предложенной модели источники Франка-Рида полагались испускающими пару дислокаций в текущий момент времени в своей плоскости скольжения при выполнении критерия
^х + /е | > /*х + /# > (5)
где /# — порог активации источника, распределенный в пределах выборки источников по нормальному закону /# = N(т, ст) с некоторыми математическим ожиданием т и среднеквадратическим отклонением ст. Это имитирует величину порога, которая в реальности связана с расстоянием между точками закрепления сегмента краевой дислокации, образующего источник [9],
Рис. 3. Окрестности четного и нечетного проходов горизонтального (слева) и вертикального (справа) слоев. Окрестности отличаются линиями разной толщины
и в данной модели представляет собой внешний параметр. Начальные условия модели задавались случайным равномерным распределением по полю дислокаций и источников в некоторых количествах.
3. Алгоритм осуществления движения субстанции
Процесс развивается дискретными шагами. На каждом шаге для каждой дислокации проверяется критерий движения (3), в случае выполнения которого по знакам дислокации и суммарной силы Fx + fE , действующей на дислокацию, определяется направление горизонтального движения. Далее осуществляется одновременное движение всех дислокаций в поле, которым предписано двигаться по горизонтали. С этой целью были построены консервативные правила (рис. 2), работающие в два прохода — четный и нечетный (для этого размеры области, выраженные в клетках, должны быть четными). В каждый проход область разделяется на изолированные двухклеточные окрестности (рис. 3, слева, жирные линии) и результаты применения правил рис. 2 записываются обратно в исходную область. Затем обновленная конфигурация разделяется на двухклеточные окрестности нечетного прохода (рис. 3, слева, тонкие линии), и вновь применяются правила; результат снова записывается в исходную область. Если в поле остаются дислокации с каким-либо статусом движения, то осуществляются дополнительные аналогичные проходы в порядке чередования до тех пор, пока все статусы не исчезнут. Далее по изложенному образцу осуществляются расчет и реализация движения в вертикальном направлении.
На рис. 2 в верхнем ряду окружность означает дислокацию произвольного знака, пара окружностей — пару дислокаций одного знака. В нижнем ряду пара треугольников означает пару дислокаций с противоположными знаками. Вертикальные стрелки означают потенциально возможное направление движения. Данные правила инвариантны относительно поворотов на 90° в плоскости. Необходимо заметить, что второй ряд правил на рис. 2 предписывает случаи аннигиляции дислокаций. Описанный ранее алгоритм с дополнительным повторением проходов оказался наилучшей версией из числа рассматривавшихся авторами; в численных экспе-
риментах для полного осуществления предписанного движения требовалось от нескольких до десятков повторений проходов в зависимости от дислокационной структуры. Предложенный авторами способ осуществления движения идейно близок к правилам Н. Марго-луса для решеточных газов [7] и гарантирует сохранение интегральных характеристик субстанции (энергии, энтропии) при осуществлении предписанного движения, т.е. использованный метод моделирования соответствует консервативным схемам численного решения уравнений математической физики.
Далее по похожей схеме реализуется работа источников Франка-Рида: определяется суммарная сила, действующая на источник, проверяется критерий (5) и осуществляется рождение пары дислокаций для каждого активного источника. Дислокации рождаются парами, появляясь в соседних от активного источника клетках. Положительная дислокация выходит в направлении действия приложенной нагрузки, а отрицательная — в противоположном направлении.
Дискретизация пространства и времени естественно задает в модели внутренние неделимые единицы размерности: размер клетки а и длительность временного шага t. Максимальная величина силы взаимодействия двух дислокаций (находящихся в соседних ячейках) в модели равна
и представляет собой третий фундаментальный размерный комплекс. Силовые константы /*х, /*у , т, ст и скорость нагружения х в реализации модели были выражены в единицах ^ как и в [5]. Однако в изложении мы будем оперировать с данными величинами, отнесенными к Ь и выраженными в МПа, оставляя неизменными обозначения (т.е. к ^ к/Ъ , /*х ^ /,х/Ь и т.д.).
4. Образование структур при циклическом
нагружении
Хорошо известными и надежными являются данные
электронно-микроскопического исследования дислока-
ционной структуры чистой меди (ц = 45 ГПа, V = 0.324,
Ь = 2.56 нм) [10, 11]. При циклическом деформирова-
нии меди в стабилизированном состоянии наблюдается
периодическая структура устойчивых полос скольже-
ния, состоящая из чередующихся плотных дислокационных стенок (матрицы) и каналов с низкой плотностью дислокаций. Максимальная плотность дислокаций в матрице оказывается порядка р^ = 4-5-1015 м-2. Для возможности возникновения таких значений плотности дислокаций в стенках размер стороны ячейки
должен быть выбран не более а = р”1/2 . Нами было
—8
выбрано значение а = 1.5 -10 м, так что k = 1 808 МПа.
В цитируемых работах исследовано распределение внутренних напряжений дислокационной структуры при амплитудном значении приложенного напряжения 28 МПа. Поэтому для возможности сравнения с экспериментом при таком приложенном напряжении должна активизироваться хотя бы часть источников Франка-Рида в модели. Например, возможными значениями параметров могли бы быть /*х = 2-18 МПа, т = 510 МПа.
Проводились численные эксперименты на циклическое нагружение. Прикладываемое касательное напряжение изменялось по ступенчатому закону с приращением х = 0.4 МПа каждый 10-й шаг (при таких условиях амплитудное значение 28 МПа достигалось за 700 шагов). Величина /*у выбиралась в пределах 0.5-28 МПа, а ст равнялось 0.5т. Начальные плотности дислокаций и источников равнялись соответственно 1/100 и 1/200 ед./клетку, а случайное распределение тех и других по области не изменялось от опыта к опыту.
Размеры области выбирались кратными 100 ячейкам. Горизонтальный размер прямоугольного поля выбирался таким, чтобы поле могло содержать несколько устойчивых полос скольжения. В [10-11] приводятся типичные значения расстояния между стенками 1.4 мкм и толщины стенок 0.15 мкм, что в сумме соответствует примерно 100а. В результате предварительных численных экспериментов были найдены минимальные размеры, обеспечивающие представительность области, оказавшиеся равными 400 х 100 ячеек (6 х 1.5 мкм). Размеры большой окрестности выбирались из условия достаточности для устойчивого от реализации к реализации воспроизведения периодических структур и окончательно были приняты равными размерам поля.
Интенсивное развитие структуры наблюдалось иногда после 200-300 шагов, а иногда и после полного цикла (2 800 шагов) в зависимости от параметров т, /*х, /*у . На рис. 4, а, г представлены типичные структуры, развившиеся при одинаковых начальных условиях. Дислокационные стенки образуются полярными парами регулярно вдоль горизонтального направления. Из рис. 4 видно, что, несмотря на совпадение начальных условий, места локализации стенок не всегда совпадают с местами локализации слабейших источников (распределение последних, как видно из рис. 4, в, лишено периодичности). Вероятно, различие параметров модели в этих случаях приводит к ситуации, когда к началу работы слабейших источников дислокационная конфигурация (порождающая «фон напряжений») успевает существенно измениться (хотя бы в случае рис. 4, а, где /*х < т2). Численные результаты показали не очень хорошее согласие с экспериментом по расстоянию между стенками (должно быть 1.4 мкм). На рис. 4, г эти размеры составили 0.75 и 1.5 мкм, если считать пары близко расположенных стенок за одну. Однако при дру-
гих начальных распределениях, а также на рис. 4, а, дистанции 1.5 мкм могло не быть вовсе. Толщины стенок варьируют от 1 до 8 ячеек (0.12 мкм) против 0.15 мкм в экспериментах. Строение стенок также не соответствовало эксперименту [11], убеждающему в наличии мультипольной сердцевины, покрытой слоем дислокаций разной полярности (например, слева — положительными, а справа—отрицательными). Тем не менее, знакопостоянство напряжений в каналах [11] отражено моделью.
5. Собственные напряжения структуры
Как уже сообщалось, имеются результаты экспериментального исследования полей собственных напряжений дислокационной структуры, зафиксированной в напряженном состоянии нейтронным облучением [11]. (Структуры, приведенные на рис. 4, 5, 7 также соответствуют напряженному состоянию.) При напряжении текучести 28 МПа пики напряжений величиной 7080 МПа наблюдаются вблизи краев стенок (3 % дистанции между стенками), плавно спадая к половине
г
Рис. 4. Структуры, образующиеся при циклическом нагружении: а — т = 10 МПа, /*х = 2 МПа, /*у = 1 МПа, 3 000-й шаг, р = 9.16-1013 м-2; б — распределение касательных собственных напряжений дислокационной структуры (а); в — распределение величины /# источников Франка-Рида по длине в обоих опытах; г — т = 5 МПа, /*х = 10 МПа, /*у = 20 МПа, 3 500-й шаг, р = 1.51-1014 м-2
нение без учета периодичности поля р(х, у) не является корректным, поскольку результат получается зависимым от того, в какое место бесконечно распределенной структуры накладывается шаблон 2п х 2т.
Распределение собственных напряжений в рамках модели не зависит от внешних напряжений, а зависит только от самой дислокационной структуры; пики напряжений могут достигать 2k^3k = 5 ГПа (а в модели [6], где а = 1.6 нм,— на порядок больше (6)). На рис. 4, б показано распределение собственных напряжений структуры, представленной на рис. 4, а. На рис. 5 показана полигонизированная структура, образовавшаяся после 200 шагов монотонного нагружения из случайной конфигурации дислокаций одного знака в отсутствии источников. Распределение собственных напряжений структуры, приведенное на рис. 5, качественно отличается от поляризованной стеночной структуры на рис. 4, б.
6. Механизм образования структуры. Поведение при монотонном нагружении
При циклическом нагружении достаточно малой амплитуды реализуется несколько иной механизм образования дислокационной структуры, чем при монотонном. Пара дислокаций, испущенных источником в соседние с ним ячейки, сможет продолжать исход при условии / = /х* + к/2 = 2 +1 808/2 = 906 МПа, что намного превышает амплитуду приложенного напряжения (28 МПа). Для продолжения движения при напряжении
б
Рис. 5. Полигонизированная стеночная структура, образовавшаяся после 200 шагов из случайной конфигурации дислокаций, и распределение ее собственных напряжений
расстояния между стенками до 15 МПа [11]. Однако в сформулированной модели (а также [5, 6]) среднее значение любой компоненты собственных напряжений структуры равно нулю. Например, при континуальном описании касательные напряжения в области для любого у е [—т, т] запишутся как
х+П
/р(£ )ст ух (х — I )^ +
— П
П
+/р(£)стух(х + 2п — £)^, — п < х < 0,
х+п
/р(£)стух (х — I)^ +
х—п
+ /р(£)стух(х — 2п — I)^, 0 < х < п,
—п
где р(х) = £рг-8(х — х{) задает плотность дискретно распределенных дислокаций в области; р(х ± 2п) = = р(х) ; п = №а!2 ; т = Ма/2 .
1 п 1 п
Тогда 2ух = -п/2ух(х¥х = -п/стух(х)^ = 0.
2 —п 2 —п
Таким образом, полученный результат обеспечивается периодичностью поля р(х, у) и нечетностью
функции стух (х, у) хотя бы по одной координате
(см. (1)). Необходимо заметить, что поля стхх (х, у) и стуу (х, у) также обладают таким свойством. Осред-
28 МПа дислокации должны были быть «выброшенными» на расстоянии к/[2(/ — /х*)] = 1 808/52 = 35 клеток от источника, что нереально. Но при достаточно малых силах трения по переползанию и наличии случайного фона дислокаций вблизи источника испущенные дислокации могут уйти от него по вертикали, что и происходит при сравнительно небольших напряжениях, ограниченных при циклике амплитудным значением. Такие «вытекающие из источника» вертикальные цепочки дислокаций видны на рис. 4, г. Упругие поля образуемых таким образом вертикальных структур могут активизировать соседние источники и двигать окружающие дислокации (дислокации в голове вертикальной цепочки двигаться горизонтально не могут, поскольку улавливаются упругими полями цепочки). Из рис. 4, а, г видно, что источники Франка-Рида обычно располагаются на поверхности стенок, что согласуется с некоторыми механизмами локализации деформации при циклическом нагружении [11].
При монотонном нагружении напряжения, не ограниченные ±28 МПа, достигали значений, при которых источники испускали скользящие дислокации. В этом случае реализовался следующий механизм образования структур. Плоский пакет вышедших из источника дислокаций теряет устойчивость скольжения при взаимодействии со случайным фоном дислокаций в большой окрестности. Далее выходящие из источника дислокации одного знака начинают «отталкиваться» друг от друга в вертикальном направлении из-за возникающей силы (2) и выходят из источника цепочками в четырех направлениях, образуя характерный «веер», рис. 6. Взаимодействие цепочек способствует более интенсивному развитию тех, которые образуют периодическую структуру вдоль х, и диссоциации или скольжению как целого тех, что «не вписываются» в периодическую структуру.
На рис. 7 представлены некоторые результаты развития структур при монотонном нагружении. Структуры рис. 7 получены при различных начальных условиях (но одинаковом количестве источников) при X = 0.4 МПа. Постепенно в местах, благоприятных для роста стенок, начинала образовываться стеночная
Рис. 6. Механизм зарождения периодической дислокационной структуры: слева — источник, выпустивший пакет дислокаций, и случайный фон, справа — потеря устойчивости скольжения
структура, обычно в виде пар поляризованных стенок. В дальнейшем слабейшие либо «не вписывающиеся» в грубый периодический рисунок стенки диссоциировали, а остальные — развивались. Иногда сразу возникала устойчивая двухпериодическая структура, рис. 7, б. В какой-то момент распределение стенок вдоль оси х уже качественно не изменялось, а плотность дислокаций увеличивалась с постепенно затухающей скоростью. Иногда эта структура «обрастала» парами стенок вблизи ранее образовавшихся пар, рис. 7, а. Необходимо сказать, что в целом количество локализованных и периодически расположенных скоплений стенок (а вместе с тем и дистанция между ними), вероятно, одновременно определяется распределением источников и условиями периодичности структуры. Однако (сравнивая, например, рис. 4, а и в) какую-либо корреляцию количества скоплений стенок с распределением порога активации источников найти трудно. Сравнивая образовавшиеся в результате монотонного и циклического нагружений структуры, мы не нашли каких-либо качественных различий, но процесс при монотонном нагружении с той же скоростью обычно происходил в более высоком темпе.
Из рис. 4, 7 видно, что стенки состоят из дислокаций преимущественно одного знака— или только положительного, или только отрицательного, а «положительно заряженные» и «отрицательно заряженные» стенки чередуются. Такая особенность при чисто сдвиговом нагружении не кажется правдоподобной, обычно поляризованную стеночную структуру наблюдают при изгибе (когда количество дислокаций разного знака в объеме различается). Из геометрических соображений в месте расположения массивной дислокационной стенки одного заряда сильно изогнута кристаллическая решетка [12], поэтому данная особенность скорее представляет собой недостаток модели, который, вероятно, можно устранить учетом моментов-пар, изгибающих прилегающий к дислокации объем, в законе движения дислокации.
7. Динамика модели
Было проведено исследование динамического поведения модели при росте «напорного параметра» тух от нуля до максимально больших значений со скоростью X = 0.4 МПа. Начальная конфигурация состояла из двух источников дислокаций разных плоскостей скольжения, расположенных в центральной части поля 60 х 40 ячеек вблизи друг друга для возможности взаимодействия (см. вставки рис. 8). Наблюдение велось за качественным поведением дислокационной конфигурации, а также на каждом шаге фиксировалось состояние системы через суммарное количество дислокаций (на рис. 8 циклически отложенное против количества шагов). Необходимо сразу сказать, что эта детерминированная система
проявляла хаотическое поведение, так что последовательность дислокационных конфигураций ни разу не повторилась при различных реализациях с одинаковыми начальными условиями. В качестве случайных флуктуаций здесь, вероятно, выступал белый шум, связанный с погрешностью округления в процессоре. Несмотря на хаос, в поведении системы были замечены некоторые закономерности. В начале процесса система обычно проходила ряд консервативных состояний, в каждом из которых конфигурация дислокаций циклически повторялась. Одна из таких конфигураций показана на левой вставке рис. 8. При переходе из одного консервативного состояния в другое соответствующее среднее количество дислокаций повышалось. Сам переход сопровождался хаосом, который приводил к турбу-лизации сигнала с временным увеличением количества дислокаций. В некоторых реализациях количество проходимых системой консервативных состояний достигало десятка (т.е. больше, чем на рис. 8). Далее, в какой-то момент продолжающегося нагружения поведение
системы качественно изменялось и напоминало возникновение и движение от источников дислокационных стенок (средняя вставка рис. 8). Этот продолжительный этап, зафиксированный толстой полосой на сигнале рис. 8, визуально носил хаотический характер, но иногда в нем удавалось увидеть грубую периодичность. Наконец, система приходила к финальному аттрактору, характеризующемуся четырьмя горизонтальными потоками дислокаций (правая вставка рис. 8) и соответствующему верхней полосе на сигнале (рис. 8). В этот момент нагрузка составляла Полученные результаты
убеждают в том, что проблема динамики дислокаций в настоящей простейшей формулировке родственна проблеме многих тел.
Для более глубокого исследования динамики дислокаций в сформулированной модели следует в дальнейшем выяснить ее зависимость от безразмерных пара-метр°в т := т/к, /*х := /*х/т, у := А/ , ст: = ст/т и X := х/т . Полагая, что /*х и /*у не превосходят т, и учитывая ст< т (напряжение активации есть число
а
б
,, у .„д. • £. ■ ‘' • .• 1 •’
’У* ' • • •♦¡«л . , * -• - \ .* ’ , V ' ’ У ‘ * ‘ ' ,
• •’ ’• '• ’ - ’
* , ?•*** , \к“ ; , , ■ ■: .л'^' ' ■'■-'V’ •: •• ’ ■’ Л ' ■
4 • V * ! „■ • . * . ‘ *а *5» • ' • ’
р*» » * ’ -V : • К Г • /•/ . лл‘;.' ’ ' ЬЛ ’ .
, ' ‘ 5 ’ * ’ ‘ ’ 'Ли %
Л -X- ■ * ' ' *, • VI г • • * ... ’
' "V ’ . . ‘ *• / . 1 . «Г г. • . . • . . -
в
Рис. 7. Дислокационные структуры, образовавшиеся из различных случайных начальных конфигураций при монотонном нагружении: а — 1 500 шагов, р = 1.51-1014 м-2, расстояние между стенками 1.5 мкм; б — 2 000 шагов, р = 2.32-1014 м-2, расстояние между стенками 1.05 мкм; в — 2 500 шагов, р = 1.65-1014 м-2, расстояние между стенками 2.8 мкм
Рис. 8. Изменение плотности дислокаций со временем и типичные конфигурации
положительное), будем иметь интервалы т > 0, 0 < %х < 1, 0 , 0 < ст < 1, X >0. Параметр т в идеа-
лизированном случае можно связать с пределом текучести рассматриваемой среды, а ст — с мерой «отчетливости» этого предела на макроскопической диаграмме «напряжение - деформация». В отсутствие трения в момент, когда внешняя сила достигает значения т, вступает в работу наибольшее количество источников Франка-Рида. При этом с уменьшением значения ст увеличивается вероятность того, что в этот момент начнут работу все источники одновременно (если начальная плотность дислокаций равна нулю). Параметр $*х определяет отношение сил сопротивления движению дислокации — пайерлсовского трения и линейного натяжения дислокации. Параметр У есть отношение порогов трения — скольжения и переползания, и при фиксированном /*х уменьшение У ведет к затруднению процесса переползания. По этой причине У ведет себя так же, как и безразмерная энергия дефекта упаковки у»/ Gb (у * — энергия дефекта упаковки кристаллической решетки; G — модуль сдвига), что справедливо отметили авторы [5].
Характер полученного сигнала говорит о наличии в нем некоторой скрытой периодичности. Для определения этих неявных закономерностей был применен непрерывный вейвлет-анализ с базовой комплексной функцией Морле, модуль которой позволяет получить информацию о частотных характеристиках сигнала. На рис. 9 показан график зависимости суммы вейвлет-коэффициентов по параметру сдвига (спектр) от временного периода. На графике видно четыре временных периода 2, 35, 90 и 300 (горбы на рис. 9), присутствующих в зависимости плотности дислокаций от времени. Моды 35, 90 и 300 соответствуют периодам обра-
зования вблизи источников дислокационных стенок, а период 2, видимо, вызван действием двух конкурирующих процессов—рождением дислокаций в источниках и аннигиляцией дислокаций в простейших структурах типа диполей. В таких структурах возникают осцилляции движения дислокаций вследствие отсутствия диссипации кинетической энергии в системе, приводящие к аннигиляции дислокаций.
8. Выводы
В результате работы в дискретных терминах построена плоская кинетическая модель самоорганизации дислокаций одной системы скольжения. Рассмотрены краевые сегменты дислокаций противоположных знаков, способные скользить в горизонтальном и переползать в вертикальном направлениях. Движение дислокаций управляется нелокальными критериями порого-
Рис. 9. Зависимость суммы вейвлет-коэффициентов по параметру сдвига от временного периода (вейвлет Морле), показывающая наличие четырех периодов
вого типа, учитываются размножение и аннигиляция дислокаций. Осуществление движения и аннигиляция дислокаций выполнены с помощью разработанных авторами консервативных правил, обобщающих схему Н. Марголуса. Преимущество использованной постановки в терминах клеточных автоматов по сравнению с континуальным подходом — отсутствие этапа дискретизации, т.е. формулировка модели и решение вопросов устойчивости численной схемы делаются одновременно (устойчивость обеспечивается консервативностью правил реализации движения субстанции).
Данная модель была всесторонне исследована, в результате чего выяснены ее достоинства и требующие исправления недостатки. К числу первых можно отнести описание моделью пространственно модулированных стеночных структур, развивающихся при монотонном и циклическом сдвиговом нагружении. К числу последних относятся следующие: а) модель не дает реально наблюдаемого среднего расстояния между плотными дислокационными стенками (хотя порядок величины и верен); б) структура стенок не соответствует наблюдаемой экспериментально (отсутствует мульти-польное ядро); в) доказано, что нелокальные «чисто» кинетические модели самоорганизации дислокаций с периодическими граничными условиями принципиально не в состоянии дать правильный порядок собственных напряжений структуры; г) неучет изгибающих моментов кристаллической решетки в законе движения субстанции приводит к появлению нереально сильных (для случая сдвига) изгибов. Обезразмеривание модели и ее качественное исследование в пространстве параметров обнаружили единственный механизм, приводящий к образованию периодических структур и способный действовать только в металлах с высокой энергией дефекта упаковки, основанный на балансе размножения дислокаций, их активного переползания и взаимодействия за счет дальнодействующих напряжений. Известные авторам модели [1-6] такой механизм не использовали. Механизмы образования дислокационных структур в кристаллах с низкой энергией дефекта упаковки остались невыясненными. Вероятно, для понимания этих механизмов необходимы рассмотрение более чем одной системы скольжения, учет расщепленности дислокаций и реакций дислокаций разных систем с образованием барьеров. С помощью вейвлет-анализа зависимости плотности дислокаций от времени выяснено, что в модели присутствует динамическая стохастичность, содержащая моды собственно физического происхождения, а также моды периода 2, соответствующие не-
реалистическим осцилляциям движения дислокаций вследствие отсутствия диссипации кинетической (тепловой) энергии в модели упаковки.
Следует указать и на то, что классическому подходу клеточных автоматов присуща гипотеза недеформи-руемости тела, необходимая для однородной дискретизации пространственной (т.е. неизменной во времени) области. Эта гипотеза накладывает существенные ограничения на использование подхода, позволяющего описывать только кинетические вопросы явления. Как представляется авторам, кинетические модели не в состоянии адекватно описать относящиеся к делу эксперименты и необходимо рассматривать самосогласованные формулировки, трактующие процессы деформирования тела, движения и взаимодействия дислокаций в нем и эволюции поля собственных напряжений существенно связанными. В качестве одного из перспективных способов учета деформируемости тела может быть развит подход, трактующий дискретизуемую область отсчетной лагранжевой конфигурацией тела.
Работа поддержана РФФИ, проект № 98-01-00125. Литература
1. Малыгин Г. А. Теория образования ячеистых дислокационных структур в металлах. Ч. I. Одиночное скольжение // ФММ. -1991. - Т. 71. - № 6.- С. 33-43.
2. Малыгин ГА. Теория образования ячеистых дислокационных структур в металлах. Ч. II. Множественное скольжение // ФММ.- 1991.- Т. 71.- №7.- С. 16-24.
3. Kratochvil J., Saxlova M. Sweeping mechanism of dislocation pattern formation// Scripta Met. Mater. - 1992. - V 26. - P. 113-116.
4. Kratochvil J. Dislocation pattern formation in metals // Revue Phys. Appl. - 1988. - V 23. - P. 419-429.
5. LepinouxJ., KubinL.P. The dynamic organization of dislocation structures: a simulation // Scripta Met. - 1987. - V 21.- P. 833-838.
6. SteckE., Hesselbarth H.F. Simulation of dislocation pattern formation by cellular automata // Proc. 3-d Int. Symp. «Anisotropy and localization of plastic deformation». - London and New York: Elsevier Applied Sciense, 1991.- P. 175-178.
7. Тоффоли Т., Марголус H. Машины клеточных автоматов. -М.: Мир, 1991.- 280 с.
8. Toffoli T., Margolus N. Programmable matter: concepts and realization // Physica D.- 1991.- V.47.- P. 263-272.
9. ХиртДж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. -599 c.
10. Essmann U., MughrabiH. Annihilation of dislocations during tensile and cyclic deformation and limits of dislocation densities // Phil. Mag. A. - 1979.- V. 40. - P. 731-756.
11. Mughrabi H. Dislocation walls and cell structures and long-range internal stress in deformed metal crystals // Acta Met. - 1983. -V. 31.- No. 9.- P. 1367-1379.
12. KronerE. On the physical reality of torque stresses in continuum mechanics // Int. J. Engng. Sci. - 1963. - V. 1.- P. 261-278.
