CC BY
6УДК 535.42
САМОДИФРАКЦИЯ ДВУМЕРНЫХ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ С РАЗЛИЧНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ
канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. ДАВЫДОВСКАЯ, д-р физ.-мат. наук, проф. В.В. ШЕПЕЛЕВИЧ (Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина)
Представлены теоретические результаты сравнения распространения в линейной изотропной среде в свободном режиме двумерных световых пучков: гауссовых, квадратных и круговых супергауссовых. Детально показана динамика изменения формы световых пучков при их распространении в линейной изотропной среде. Установлено, что существуют значения толщины среды, для которых характерна значительная деформация супергауссова пучка, в связи с чем наблюдается дополнительная самофокусировка супергауссовых пучков, для гауссовых пучков дополнительная самофокусировка не наблюдается. Показаны различия в распространении гауссовых и супергауссовых двумерных световых пучков, отмечены преимущества и недостатки использования квадратных и цилиндрических световых пучков с супергауссовым распределением интенсивности.
Ключевые слова: линейная изотропная среда, свободный режим, двумерные световые пучки, гауссов и супергауссов профили, деформация, дополнительная самофокусировка, сравнение.
Введение. В научной литературе много внимания уделено рассмотрению особенностей распространения и взаимодействия гауссовых световых пучков в фоторефрактивных кристаллах (например, в статьях [1-7]). Световые пучки с распределением интенсивности иного вида исследованы в меньшей степени. Однако в настоящее время в публикациях по оптике и фотонике наблюдается все более заметное предпочтение рассмотрению двумерных световых пучков различного профиля в отличие от использования гауссовой модели светового пучка (например, в работах [8, 9]). Для теоретического описания таких пучков часто используется модель супергауссова пучка (например, в работах [10-15]). Однако научные работы, в которых содержится описание процесса распространения супергауссовых пучков в нелинейных средах, появились сравнительно недавно [11-14].
В оптике световых потоков используются как одномерные, так и двумерные модели световых пучков. Для практических применений особенно важными являются результаты исследований распространения и взаимодействия световых пучков с двумерным распределением интенсивности (так называемых двумерных пучков) в фоторефрактивных кристаллах, так как именно такие пучки излучаются большинством оптических квантовых генераторов и не требуется их дополнительного преобразования [3]. Результаты, полученные при исследовании распространения и взаимодействия двумерных световых пучков в фоторефрактивных кристаллах, представлены в ряде работ (например, в [16-18]). В настоящее время количество таких работ продолжает расти, так как в связи с модернизацией ЭВМ повысилась скорость выполнения необходимых расчетов, что способствовало повышению интереса к исследованиям в данной области [1-3, 11, 12]. В ряде статей (например, [10-14]) установлены особенности отдельных видов двумерных световых пучков, в которых распределение интенсивности отлично от гауссова, интересные для дальнейшего изучения и практического применения. В частности, в некоторых работах [10, 19], показано, что двумерные световые пучки с плоским верхом (flat-topped light beams), к которым относятся и супергауссовы пучки, обладают определенными преимуществами по сравнению с гауссовыми пучками. Например, при распространении в свободном режиме их расходимость в ближней зоне может быть значительно меньше расходимости гауссовых пучков, и квазисолитонный режим распространения с использованием внешнего электрического поля достигается в них при меньшей напряженности электрического поля, чем в случае гауссовых пучков. Но все же двумерные пучки с распределением интенсивности, отличным от гауссова, остаются исследованными в меньшей степени и интересными будут результаты сравнения распространения в линейной изотропной среде в свободном режиме двумерных световых пучков: гауссовых, квадратных и круговых супергауссовых световых пучков с целью установления различий
Теория. В плоскости перетяжки лазерного пучка распределение относительной интенсивности I(x, y) в его поперечном сечении описывается функцией Гаусса
где /шах = Io/Id - максимальная относительная интенсивность пучка при входе в кристалл, /0 - максимальная интенсивность гауссова пучка,
max
- темновая интенсивность, включающая фоновую засветку; г0 - радиус перетяжки входного светового пучка.
Относительные интенсивности квадратного и кругового супергауссовых пучков описываются выражениями (2) и (3) соответственно (например, [20-23]):
I(х, y) = /тах exp
-(xN + yN)
2 • rN
N
(2)
1 (X У) = Imax exP
N
-(X2 + У2) 2
2 •
N
(3)
где N - порядок супергауссова пучка; Го - характерный размер пучка.
При исследовании распространения пучка в свободном режиме удобно отсчитывать координату 7 в единицах дифракционной длины. Дифракционная длина светового пучка гк определяется выражением из [23]
- =¥• (4)
где X - длина световой волны.
Численное моделирование распространения двумерных световых пучков в линейной изотропной среде в свободном режиме. Для моделирования распространения двумерных световых пучков в среде были использованы следующие параметры: по = 2,33, X = 0,5145 мкм, характерный размер входных пучков r0 = 15 мкм.
Рассмотрим распространение гауссова светового пучка, квадратных и круговых супергауссовых световых пучков в слое линейной изотропной среды толщиной 7 мм, заключенном и интервале 0 < z < 5zR (рисунок 1). В рассматриваемом случае zr = 1,4 мм.
Двумерный гауссов пучок в указанной области распространяется практически без изменения формы (имеет место небольшое расплывание). При этом значения максимальной относительной интенсивности пучка и интенсивности в центре пучка одинаковы (кривые 5 и 6 на рисунке 1).
Анализируя распространение супергауссовых световых пучков, среду условно можно разбить на четыре характерных промежутка: I, II, III и IV (рисунок 1).
В промежутке I, заключенном в интервале 0 < z < 0, 8zr , значения максимальной относительной интенсивности и интенсивности в центре супергауссовых пучков не совпадают. Это обусловлено тем, что в области I супергауссовы пучки испытывают значительную деформацию, в результате которой в краевой зоне супергауссовых пучков появляются дополнительные максимумы.
В интервале 0,8zr < z < 1,5zr (промежуток II на рисунке 1) различий между значениями максимальной относительной интенсивности супергауссовых пучков и значениями интенсивности на их оси практически не наблюдается. Супергауссов пучок кругового сечения в этом промежутке фокусируется в большей степени, чем пучок квадратного сечения, но при z ~ 1,2zR максимальные относительные интенсивности обоих супергауссовых пучков становятся равными. На рисунке 1 эта точка отмечена буквой А.
Запас энергии в супергауссовом пучке квадратного сечения больше, чем в пучке кругового сечения одного с ним характерного размера, поэтому, анализируя распространение супергауссовых пучков в среде при 1,5zr < z < 4zr , заметим, что максимальная относительная интенсивность пучка квадратного сечения больше, чем для пучка кругового сечения. Кроме того, можно отметить также, что супергауссовы пучки начинают расплываться (промежуток III на рисунке 1). В этом промежутке выделим две точки, в которых максимальная интенсивность супергауссовых пучков становится равной интенсивности гауссова пучка. Для супергауссова пучка кругового сечения это происходит при z ~ 2,8zR (точка B на рисунке 1), для пучка квадратного сечения - при z ~ 3,9zr (точка C на рисунке 1).
При z > 4zr (промежуток IV на рисунке 1) супергауссовы пучки продолжают расплываться и начинают пульсировать в пространстве (для пучка квадратного сечения это проявляется в большей мере).
г, дифр. дл.
Рисунок 1. - Зависимость относительной интенсивности пучков от координаты г, выраженной в дифракционных длинах: 1, 3, 5 - интенсивность в центре поперечного сечения
пучков: супергауссовых квадратного и кругового, гауссова пучка соответственно; 2, 4, 6 -максимальная интенсивность в плоскости поперечного сечения тех же пучков соответственно
Наиболее интересен для рассмотрения промежуток 0 < г < 2г^, так как именно в нем наблюдается значительная деформация и дополнительная самофокусировка супергауссовых световых пучков.
Проведем сравнение распространения двумерного гауссова пучка и супергауссовых световых пучков квадратного и кругового поперечного сечения. Будем рассматривать сечения каждого пучка плоскостью, проходящей параллельно его оси симметрии через максимум интенсивности, и сечения пучков, проходящие через центр пучка, и сравнивать форму пучков. В целях исследования изменения формы пучков будем сравнивать также вид пучков при наблюдении навстречу пучку. При выявлении особенностей изменения формы пучков в процессе их распространения в среде зависимость между цветом и значением относительной интенсивности светового пучка определялась автоматически в соответствии со шкалой, изображенной на рисунке 2.
Рисунок 2. - Шкала соответствия между цветом и значением относительной интенсивности светового пучка
На рисунке 3 видно, что на входе в среду гауссов и супергауссовы пучки имеют одинаковое максимальное значение относительной интенсивности в центре пучка. Однако при 0 < г < 0,5г^ (рисунок 3, а-г) супергауссов пучок квадратного сечения деформируется и в его поперечном сечении вблизи краев имеется четыре максимума, в которых значения относительной интенсивности превышают единицу. Для пучка квадратного сечения сохраняется симметрия как вдоль оси ох, так и вдоль оси ОУ. Одинаковые сечения, проходящие через максимумы, отмечены на графиках сплошной линией, пунктирной линией отмечено сечение плоскостью, параллельной плоскости Х02 и проходящей через середину пучка.
Симметрия супергауссова пучка кольцевого сечения нарушается. При его самофокусировке образуется кольцо, на котором много «шумовых помех», и наблюдается только два максимума (сплошные линии). Подобный «коллапс» пучка кольцевого сечения в керровской среде был получен авторами работы [7].
Гауссов пучок в промежутке 0 < г < 0,5гк распространяется практически без изменения формы.
Супергауссов пучок квадратного сечения
Супергауссов пучок кругового сечения
Гауссов пучок
а\
аг
аз
-20 0 20 у, мкм
вг
вз
X, мкм
X. мкм
дт
дз
и
Рисунок 3. - Динамика изменения формы пучков при их распространении в свободном режиме:
пунктирная линия - сечение пучков плоскостью, проходящей через их центр, сплошные линии - сечения пучков плоскостью, проходящей через максимумы интенсивности
г
Рисунок З. - Окончание (см. с. 57)
При zr < z < 2zr (рисунок 3, д-и) наблюдается дополнительная самофокусировка супергауссовых световых пучков и значения относительной интенсивности в центре пучка совпадают с максимальным значением относительной интенсивности. Пучок кольцевого сечения фокусируется сильнее пучка, имеющего квадратное сечение. Это может быть обусловлено тем, что при распространении в линейной изотропной среде супергауссова пучка квадратного сечения характерными особенностями являются его деформация и появление максимумов в уголках сечения пучка (рисунок 3, в1-г1), а изменение формы пучка кольцевого сечения проявляется в изменении отношения радиусов ограничивающих его окружностей (рисунок 3, в2-г2). Гауссов пучок в интервале zR < z < 2zR начинает рассеиваться (рисунок 3, иЗ).
При z > 2zr супергауссовы пучки, так же как и гауссов, рассеиваются, а при z > 5zr супергауссовы пучки начинают пульсировать в пространстве.
Заключение. В работе показано, что в ближней зоне дифракции супергауссовы пучки квадратного сечения в начальной зоне слоя распространяются, практически сохраняя прямоугольный профиль, и их дифракция наблюдается только на краях пучков.
По мере углубления в слой супергауссовы пучки сильно деформируются и запас энергии, который они имели вследствие наличия у них «плоского верха», обусловливает их дополнительную самофокусировку.
Эта особенность супергауссовых световых пучков может быть полезна при исследовании квазисо-литонного режима, так как при их распространении на небольшие расстояния этот режим может быть достигнут при меньших напряженностях внешнего электрического поля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Elliptical solitons in nonconventionally biased photorefractive crystals / P. Zhang [et al.] // Opt. Exp. -2007. - Vol. 2, № 15. - P. 536-544.
2. Imbrock, J. Spatial photorefractive solitons with picosecond laser pulses / J. Imbrock, C. Heese, C. Denz // Appl. Phys. B. - 2009. - Vol. 95, № 5. - P. 261-268.
3. Ассельборн, С. А. Изменение показателя преломления фоторефрактивного кристалла при формировании пространственного экранированного солитона / С. А. Ассельборн, Н.Д. Кундикова, И.В. Новиков // Квантовая электроника. - 2010. - Т. 40, № 2. - С. 127-129.
4. Spatial solitons in photorefractive BinTiO20 with drift mechanism of nonlinearity / M.D. Iturbe Castillo [et al.] // Appl. Phys. Lett. - 1994. - Vol. 64. - P. 408-410.
5. Влияние оптической активности на распространение двумерных пространственных солитонов в кубических фоторефрактивных кристаллах / В.В. Шепелевич [и др.] // Квантовая электроника. -2007. - Т. 37, № 4. - С. 353-357.
6. Spatial solitons in photorefractive media / M. Segev [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 1992. - Vol. 68. - P. 923-926.
7. Collapse dynamics of super-Gaussian beams / T.D. Grow [et al.] // Opt. Exp. - 2006. - Vol. 14. -P. 5468-5475.
8. Observation of topological transformations of optical vortices in two-dimensional photonic lattices / A. Bezryadina [et al.] // Opt. Exp. - 2006. -Vol. 14, № 18. - P. 317-327.
9. Perturbation of super-Gaussian optical solitons in dispersion-managed fibers / R. Kohl [et al.] // Mathematical and Computer Modelling - 2009. - Vol. 49. - P. 1700-1709.
10. Dickey, F.M. Laser beam shaping theory and techniques / F.M. Dickey, S.C. Holswade. - New York : Marcel Dekker Inc., 2000. - 428 p.
11. Yajun, L. Flat-topped light beams with non-circular cross-sections / L. Yajun // Journal of modern optics. -2003. - Vol. 50. - P. 1957-1966.
12. Collapse dynamics of super-Gaussian beams / T.D. Grow [et al.] // Opt. Exp. - 2006. - Vol. 14. -P.5468-5475.
13. Dorrer, C. Design and Analysis of Binary Beam Shapers Using Error Diffusion / C. Dorrer, J.D. Zuegel // J. Opt. Soc. Am. B. - 2007. - Vol. 24. - P. 1268-1275.
14. Henderson, B.G. Laser Beam Shaping with Membrane Deformable Mirrors / B.G. Henderson, J.D. Mansell // Proc. SPIE. - 2008. - Vol. 10. - P. 7093-7102.
15. Гиргель, C.C. Скалярные параксиальные двумерные гауссоподобные световые пучки / С.С. Гиргель // Проблемы физики, математики и техники. - 2010. - № 1 (2). - C. 7-11.
16. Zozulya, A.A. Propagation of an optical beam in a photorefractive medium in the presence of a photogal-vanic nonlinearity or an externally applied electric field // A.A. Zozulya, D.Z. Anderson // Phys. Rev. A. -1995. - Vol. 51. - P. 1520-1532.
17. Interaction of spatial photorefractive solitons / W. Królikowski [et al.] // Quantum Semiclass. Opt. -1998. - Vol. 10. - P. 823-837.
18. Stepken, A. Anisotropic interaction of three-dimensional spatial screening solitons / A. Stepken, F. Kaiser, M.R. Belie // J. Opt. Soc. Am. B. - 2000. - Vol. 17. - P. 68-77.
19. Preeza, N.C. High power infrared super-Gaussian beams: generation, propagation and application / N.C. Preeza, A. Forbesb, L.R. Bothab // Proc. of SPIE. - 2009. - Vol. 7131. - P. 71311E-1 - 71311E-8.
20. Interferometric measurements of the photoinduced refractive index profiles in photorefractiv Bi12TiO20 / G.S. Garcia Quirino [et al.] // Opt. Commun. - 1996. - Vol. 123. - P. 597-602.
21. Roychoudhuri, C. The Nature of Light: What is a Photon? / C. Roychoudhuri, A.F. Kracklauer, K. Creath // Optical Science and Engineering. - 2008. - (Taylor & Francis Inc.: CRC Press, 2008).
22. Design and Evaluation of Light Spread Function for Area-Adaptive LCD System / Y.-K. Cheng [et al.] // J. Display Technol. - 2009. - Vol. 5, № 2. - P. 66-71.
23. Dickey, F.M. Laser beam shaping theory and techniques / F.M. Dickey, S.C. Holswade. - New York : Marcel Dekker Inc., 2000. - 428 p.
Поступила 15.06.2018
SELF-DIFFRACTION OF TWO-DIMENSIONAL LIGHT BEAMS WITH DIFFERENT INTENSITY DISTRIBUTIONS
V. DAVYDOUSKAYA, V. SHEPELEVICH
Presented theoretical results of the comparison of the propagation in a linear isotropic medium in a free regime of two-dimensional light beams: Gaussian, square and circular super-Gaussian beams.
Shown in detail the dynamics of the change in the shape of light beams during their propagation in a linear isotropic medium.
It is established that there exist values of the medium thickness for which a significant deformation of the super-Gaussian beam is characteristic, in connection with this additional self-focusing of super-Gaussian beams is observed, additional self-focusing is not observed for Gaussian beams.
Shown differences in the propagation of Gaussian and super-Gaussian 2D light beams, and the advantages and disadvantages of using square and cylindrical light beams with a super-Gaussian intensity distribution are noted.
Keywords: linear isotropic medium, free regime, two-dimensional light beams, Gaussian, super-Gaussian profiles, deformation, additional self-focusing, comparison.
