S-образная математическая модель единичной оценки качества Текст научной статьи по специальности «Математика»

Качество в обработке материалов

3. Baskakova N.T. Subsystem QMS planning repairs // Vestnik MGTU. them G.I.Nosova. 2009. №3. Pp.55-57.

4. Vikhansky O.S., Naumov A.I. Management: a tutorial. O.S.Vikhansky, A.I. Naumov - 4th ed. pererab. and ext. - M .: Economist, 2008. - 670 p.

5. Quality Management Subsystem repair planning as a lever of growth competitiveness of steel / AM Pesin, VA Shmeliov, NT Baskakov, DA Boyko, GA Ledneva // Steel. 2011. №1. С.79-84.

6. Baskakova N.T. Innovative approaches in planning repairs of metallurgical equipment, based on the theory of constraints (monograph). Magnitogorsk. Publisher Magnitogorsk. gos.tehn. univ them. G.I.Nosova, 2014. - 133 p.

7. Baskakova N.T. Problems strategy selection

process of maintenance and repair of fixed assets in order to increase the effectiveness of the QMS rolling mills // Modelling and development of metal forming processes: Intern. Sat. scientific. tr. / Ed.

V.M.Salganika. Magnitogorsk. Publisher Magnitogorsk. gos.tehn. univ them. G.I.Nosova, 2012. - Pp. 312-319.

8. Kolokoltsev V.M. Nosov Magnitogorsk State Technical University. History. Development. Vestnik Magnitogorskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. G.I. Nosova [Vestnik of Nosov Magnitogorsk State Technical University]. 2014, no. 1(45), pp. 5-6.

C \

УДК 621.778

Рубин Г.Ш., Касаткина Е.Г.

V________________________________________________________________________У

S-ОБРАЗНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЕДИНИЧНОЙ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА

j

Аннотация. Для оценки единичных показателей качества в квалиметрии, как правило, используются линейные зависимости. При этом не формулируются достаточно полные и точные требования к виду зависимости оценки от показателя оцениваемого свойства.

В статье сформулированы точные требования к виду зависимости оценки от показателя качества. Разработана математическая модель зависимости, имеющая график в виде S-образной кривой и удовлетворяющая сформулированным требованиям. Предложена линейная аппроксимация разработанной зависимости.

Ключевые слова: квалиметрия, оценка качества, единичный показатель качества.

В работах по квалиметрии, учебниках и научных статьях практически не уделяется внимание расчету единичных оценок. Первое исследование этого вопроса, бесспорно, сделано основателями квалиметрии [1, 4]. Ими рассмотрены различные подходы к расчету единичных оценок, однако не сформулированы принципы выбора того или иного вида оценок.

В работах автора [2] предложена классификация оценок на возрастающие, убывающие и локальные, по признаку вида зависимости оценки M от величины показателя P (рис. 1).

Для получения асимптотической зависимости использовалось, в частности, дифференциальное уравнение зависимости скорости изменения оценки от удаленно-

сти оцениваемого значения показателя от наилучшего.

Например,

= к(лmax - p\ (1)

dp

тогда

(

M (p) = к

P max P

V

2

N \

+ C.

При этом, следуя принципам логики оценок [2] и предложенным в этой же работе принципам свёртки, принималось, что диапазоном изменения оценки M является отрезок [0,1]. Это условие определяет константу C.

№2 2014

Страница 74

Качество в обработке материалов

в

Рис. 1. Три вида зависимостей

Таким образом, график зависимости оценки от значения показателя представлял из себя часть параболы (рис. 1, а, б).

Уже в работах Г.Г. Азгальдова [1] рассматривалась возможность использования логистической зависимости для определения связи между оценкой и значениями показателя (рис. 2). (Здесь и далее мы рассматриваем возрастающие оценки. Для убывающих все результаты получаются аналогично).

Следует отметить, что графически эта кривая содержит сегменты, аналогичные всем зависимостям, рассматриваемым различными авторами для расчета единичных оценок качества.

Участки 0-3 и 1-3 - аналогичны зависимостям, представленным на рис. 1, а, б и левой ветви в. Участок 1-3 близок к прямой, т.е. к линейной зависимости.

Для большинства авторов, занимающихся количественной оценкой качества,

характерна адаптация элементарных функций для выбора вида зависимости оценки от показателя качества.

P

Рис. 2. Логистическая кривая

Упомянутый выше подход автора к выбору зависимости отличается тем, что вначале формулируются принципы зависЬмости, которые определяют в ко-

№2 2014

Страница 75

Качество в обработке материалов

нечном счёте расчётную формулу (1). По нашему мнению, подтверждаемому, прежде всего, анализом вида зависимостей в работах [2, 3] конкретный вид формулы определяется априорными свойствами зависимости и значениями показателя в некоторых точках, для которых, как правило, экспертным методом определены значения оценки. Например, если выбран линейный вид зависимости M (p) - (2),

M (p) = ap+b. (2)

Кроме того,

M(Pmin ) = 0 ; M (Pmax) = 1.

dM (p) _

---вблизи реперных точек первого

dp

порядка стремится к 0

lim

p ^ pmin

dM (p) dp

0;

lim

p ^ pmax

dM (p) dp

0.

(4)

Это обусловлено следующими соображениями. Скорость изменения оценки величина непрерывная, т.е. нет оснований считать, что при каких-либо значениях показателя скорость изменения оценки резко изменится, кроме того, как уже отмечалось выше, при

Следовательно,

p ^ pmin M(p) = 0 ,

M (p) = p pmin . (3)

pmax pmin

Назовем значение показателя, для которого может быть определена оценка реперным. Такими значениями являются уровни: низший -нулевой и высший -единичный оценки pmin и pmin

,

M(pmin) = 0 ; M(pmax) = 1 . Эти значения показателя и оценки, а также точки с соответствующими координатами назовем реперными первого порядка. Разумеется, следующим этапом определения вида зависимости является определение вида зависимости согласно классификации (рис. 1). Как было отмечено выше, мы рассмотрим только возрастающие оценки. Для убывающих все рассуждения и выводы симметричны, а локальные оценки мы рассматриваем как композицию возрастающих и убывающих оценок.

В качестве базового принципа оценки предлагается принять признак близости оцениваемого показателя к реперным значениям первого порядка. Представляется достаточно очевидным, что скорость изменения оценки, измеряемая величиной,

то есть

dM (p) =0) dp

Р - pmax M(p) = 1,

то есть

dM (p) dp

(6)

Тогда в первом приближении можно

dM(p) p .

считать ---= p - p- вблизи fmn и

Ф± ± min

dM (p) c r>

--:---= pmax - p вблизи pmax , при усло-

dp

вии, что M(pmin) = 0 ; М(pmax) = 1 .

Из вышеизложенного вытекает справедливость следующих равенств:

Вблизи pmin справа (рис. 3, а)

M(p) = k1 (p - pmin )2 (7)

Вблизи pmax слева (рис. 3, б)

M(p) = 1 - k2 (p - pmax )2 . (8)

№2 2014

Страница 76

Качество в обработке материалов

Рис. 3. Вид зависимости вблизи реперных точек первого порядка

Выше мы назвали точки графика оценки с первыми координатами Pmin, Ртах графика оценки реперными первого порядка. Для этих значений показателя оценки (0 или 1) могут быть определены априори. Другие значения показателя (и соответствующие точки графика), в которых оценки определяются экспертным или другим методом до определения конечного вида зависимости назовём реперными третьего порядка. Их роль в построении зависимости оценки от показателя мы обсудим позже. Реперными значениями и точками второго порядка будем называть объекты, в которых можно определить некоторые свойства графика зависимости оценки от показателя. Такими являются значения показателя, в которых отрезки графика зависимости соединяются, сохраняя гладкость кривой, т.е. непрерывность зависимости вместе с её первой производной.

Пусть pb - граничная точка участков кривой, прилегающих к реперным точкам первого порядка, т.е. реперная второго порядка. Тогда, учитывая (7), (8), непрерывность и изменения оценки получим:

k1 (Pb - Pmin )2 = 1 - k2 (Pb - Ртах)2 • Кроме

того, слева от рассматриваемой точки M ' = 2k1 (pb - pmin ), а справа -

M' = -2k2 (pb - Pmax ) • Используя дополнительно условие непрерывности скорости

изменения оценки (первой производной), получаем систему уравнений;

< k1 (Pb - Pmin)2 = 1 - k2 (Pb - Ртах)2

. k1 (Pb - Pmin) =-k2(Pb - Pmax)

(9)

Второе уравнение системы даёт

р _ p

k1 = k2^-mx—— • Подставляя полученное

Pb Pmin

выражение для k1 в первое уравнение системы, получим

k2 (Pmax - Pb )(Pb - Pmin + Pmax - Pb ) = 1 •

Отсюда следующие формулы для нахождения ki и k2 :

k1 =

k2 =

1

(Pb Pmin )(pmax Pmin)

1

• (10)

(pmax pb)(pmax pmin)

Подставляя найденные выражения для k и k в формулы (7) и (8), получим:

если Pmin ^ P < Pb , то

M (P)

(P - Pmin )2 (Pb - Pmin)

(pmax pmin)

1

(11)

№2 2014

Страница 77

Качество в обработке материалов

если Ръ - Р - Рmax , ТО

M (p) = 1

(Pm

P)2 1

Pb ) (pmax — pmin )

(12)

Тогда

M (pb) = Pb Pmin

pmax p min

(13)

то

В частности, если pb

M (pb ) =

: + pn

2

если

Pb = Pmin + *(Pmax — PminX 0 - к - 1 , ТО

M (pb) = к •

Т.е. точка соединения двух участков графика зависимости оценки от показателя лежит (рис. 4) на прямой, соединяющий точки (pmin> 0) (pmax, 1) и описываемой

уравнением:

M (p) = p ~pmin • (14)

pmax pmin

ния зависимости скорости изменения оценки от значения показателя:

1. Находим pmin по условию

M Cpmin) = О2. Находим pmax по условию

M (pmax) = 1 •

3. Находим pb по условию M (pb ) = pb — pmin .

pmax pmin

4. При pmin - p - pb определяем

M(p) =-----1-----(p~pmin) .

pmax — pmin (pb ~ pmin )

5. При pn

> p > pb, определяем

M (p) = 1 - -

(pmax ~ p)

(pmax - pb )

1

max

min

6- p - pmin M(p) = 0 при p > pmax M (p) = 1 .

Простейший вариант, если

p — p ■

p6 = pmin ^ma^ j-min , т.е. середина от-

резка [pmin, pmax ] , тогда

M (p) =

2(p — pmin)

(pmax — pmin )

-, если p < pb,

m(p) = 1 — 2(pmax p)

Cpmax pmin)

2 ’

если

p > pb ■

В общем случае, при 0 < к < 1, имеем

2

Рис. 4. Положение реперной точки второго порядка ръ

Таким образом, при изложенном выше подходе конкретный вид кривой определяется тремя реперными точками: двумя точками первого порядка и одной точкой второго порядка. Это определяет следующий алгоритм построения кривой уравне-

pb pmin ^ к(pmax pmin )

(15)

Тогда

M (p)

1 ( p — pm.n)2

к Cpmax — pmin)2’

при p - pb,

(16)

№2 2014

Страница 78

Качество в обработке материалов

M(p) = 1 --L (Р pmax) , при

1 - k CPmax - Pmin)

Р > Pb • (17)

Итак, для определения зависимости необходимо знать реперные точки первого порядка. Эти точки определяются независимо от выбранного вида зависимости. Определение значения рь и оценки этого уровня показателя k = M (pb) полностью определяет уравнение зависимости оценки от значения показателя. На практике для упрощения расчётов можно использовать линейную аппроксимацию полученной зависимости. Для получения линейной аппроксимации исследуем подробнее динамику изменения оценки. В интервале (pmin > Pb) оценка растёт ускоренно с ускорением к1, в интервале (pb, pmax) оценка

растёт замедленно с ускорением - к2. Т.е. при значении показателя рь происходит переход от ускоренного роста к замедленному. При этом в начале интервала (pmin, pb) скорость роста меньше, чем равномерная на интервале (14), а во втором сегменте - больше. В начале интервала (pb, pmax) скорость роста больше средней равномерной, а во втором сегменте меньше. Граничные точки этих сегментов назовём реперными третьего порядка и обозначим ра и Pd , соответственно (рис.

5).

В этих точках касательные к графику зависимости M(p) (см. прямые II и III, рис. 5) параллельны прямой, проходящей, через реперные точки первого и второго порядка (см. прямая I, рис. 5).

Рис. 5. Реперные точки третьего порядка

Тогда M'(pa) = M'(pj

и (12)

1

max

min

угловой коэффициент прямой I, и с учётом (11)

№2 2014

Страница 79

Качество в обработке материалов

М '(Pa) =

2(P2 - Pmin )

1

М ’ СРэ) = -

(pmax pmin)(pb Pmin) Pmax Pmin

1 (-2)(Pmax - PJ_ 1

• P = P ■ + Pb - Pmin • p = Pb + Pn

’ ^a /'min ~ ~ ’ i'a ~

2

(18)

max .г min

Pb

(-2)(P max ZPA--V „ Pb + Pm

• = 1 Pd = I

Pmax - Pmin Pmax - Pb 2

(19)

max

Т.е. реперные точки третьего порядка являются серединами отрезков ускоренного и замедленного роста, соответственно. Подставив выражения (18) в (11) и (19) в (12), получаем:

М ( Pa)

1 (Pa - Pmin)2

Pmax Pmin Pb Pmin

Pb - Pmin 4(Pmax - Pmin)

к

4s

2. M (p)

3. M (p)

_ 1 P - Pmin

2 pmax pmin

k + 3k.PZ.Pa_ 4 4 Pb - Pa

Pmin < P < Pa s Pa < P < Pd .

4. м (p)=3 (1 - k)+1±Ж-Р-Л_

4 4 Pmax - Pd

Pd < P < Pm

M (Pd) = 1 --

(pd pmax)

max г min г max

Pb

= 1 - Pmax - Pb = 1 - izk- 3 + k

4(pmax pmin)

4 4

Итак, реперные точки третьего порядка определяются формулами (18), (19)

и следующими: к

М (Pa) = -,

(20)

1

5. М(p)= 1s p > Pmax

Рис. 6. Линейная аппроксимация зависимости оценки от показателя

М (Pd)=■

4 (21)

По полученным координатам легко установить, что реперные точки второго и третьего порядка лежат на одной прямой. Линейную аппроксимацию зависимости М (р) построим как ломанную, соединяющую реперные точки. Таким образом, зависимость будет состоять из следующих пяти отрезков прямой (рис. 6):

1 М(p) = 0, p < pmm.

Напомним, что все реперные точки определяются тремя числами: pmin, Ртах и k. Следовательно, и все звенья ломанной определяются этими тремя числами. Если реперные точки первого порядка могут быть определены из нормативной документации для объекта оценки, то число k и реперная точка второго порядка определяется экспертным методом. Возможные другие пути нахождения реперной точки второго порядка - предмет отдельного исследования.

Список литературы

1. Азгальдов Г.Г., Райхман Э.П. О квали-метрии. М.: Стандарты, 1973. 172 с.

2. Рубин Г.Ш., Гун Г.С. Логические законы оценки качества продукции. Деп. в ВИНИТИ 19

№2 2014

Страница 80

Качество в обработке материалов

авг.1981. № 4105-8.

3. Рубин Г.Ш. Выбор и исследование рациональных технологических схем получения высокоточных фасонных профилей на основе комплексной оценки эффективности технологии: дис. ... канд. техн. наук: 05.16.05 / Рубин Геннадий Шмульевич. Магнитогорск, 1983. 142 с.

4. Колокольцев В.М. Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова. История. Развитие // Вестник Магнитогор ского государственного технического университета им. Г.И. Носова. 2014. № 1(45). С. 5-6.

References

1. Azgaldov G.G., Reichman E.P. About qualimetry - M.: Standards, 1973.- 172 p.

2. Rubin G.Sh., Gun G.S.. Logical laws as-

sessing the quality of products. deposited in VINITI 19 aug.1981. № 4105-8

3. Rubin G.Sh. Selection and research rational technological schemes obtaining high-precision shaped sections based on a complex assessment of the effectiveness of technology: thesis. Candidate of Technical Sciences Magnitogorsk, 1983. 142 p.

4. Kolokoltsev V.M. Nosov Magnitogorsk State Technical University. History. Development. Vestnik Magnitogorskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. G.I. Nosova [Vestnik of Nosov Magnitogorsk State Technical University]. 2014, no. 1(45), pp. 5-6.

C--------------------------------------------------------------------------------\

УДК 521.771.63 Шемшурова Н.Г.

ч________________________________________________________________________________

К ВОПРОСУ ОБ ОЦЕНКЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ХОЛОДНОГНУТЫХ ПРОФИЛЕЙ ПРОКАТА

Аннотация Выполнены исследования по прогнозированию механических свойств холодногнутых профилей по известным характеристикам листовой заготовки.

Ключевые слова: Листовая заготовка, гнутые профили, методика УКРНИИМЕТ, деформационное упрочнение, характеристики механических свойств, оценка качества, статистическая обработка

В современных строительных технологиях широко применяют стальные холодногнутые профили (ХГП), имеющие при повышенных характеристиках прочности, жесткости и ресурса небольшую цену и высокое качество. Они выполняют одновременно несколько строительных задач и являются, по существу, профильными конструкциями, которые работают в сложных климатических условиях [1].

При оценке качества металлургической продукции обычно учитывают основные показатели назначения, такие как геометрические размеры, механические свойства, химический состав, структуру. При поставке гнутых профилей потребителю в сертификатах качества предоставляют сведения о механических свойствах готовой продукции без учета влияния упрочнения в процессе холодного профилирования - ме-

ханические свойства стальной заготовки автоматически «переносят» на механические свойства готовых профилей.

Согласно основным принципам управления качеством, положенным в основу МС ИСО 9004 [2, приложение В], подход к принятию решений должен осуществляться на основе достоверных фактов на основании измерений, производимых для получения данных о процессах. Поэтому потребитель имеет право знать реальные характеристики механических свойств готовых гнутых профилей, чтобы принимать адекватные решения по их использованию.

Учет деформационного упрочнения позволит облегчить конструкции и, согласно данным института сварки им. Е.О. Патона, позволит потребителю экономить до 10 % проката без дополни-

№2 2014

Страница 81