РЯД 1+1+1+ Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

УДК 517.521.1

РЯД 1+1+1+...

Г. Е. Деев 1, С. В. Ермаков 1

1 Обнинский институт атомной энергетики, 1 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», georgdeo@mail.ru, ermakov@iate.obninsk.ru

Приведено описание вариантов вычисления ряда 1+1+1+..., выполненных различными авторами. Многие из вариантов дают разные ответы. На этом основании в работе делается вывод о некорректности примененных методов. В противовес им дается описание подхода, который может быть признан как метод суммирования этого и других расходящихся рядов. Этот подход позволяет расширить область применимости вычислительных устройств вплоть до бесконечно больших чисел.

Ключевые слова: расходимость рядов, обобщенное суммирование, разрядная сетка, гиперсетка, числовая ось, гиперось, числоиды, гиперчисла.

SERIES 1+1+1+...

G. E. Deev 1, S. V. Ermakov 1

1 Obninsk Nuclear Energy Institute, 1 National Research Nuclear University MEPhI georgdeo@mail.ru, ermakov@iate.obninsk.ru

The article describes variants for computing the series 1 + 1 + 1 + ... performed by different authors. Many of the variants give different sums. On this basis, these methods are concluded to be incorrect. In opposition to them, a description of the approach that can be recognized as a method of summing this and other divergent series is given. This approach allows extending the range of applicability of computing devices up to infinity.

Keywords: divergence of series, generalized summation, bit grid, hypergrid, number axis, hyper axis, chisloid, hypernumbers.

Введение. Обратимся к рядам типа

1 + X + X2 + х3 +... + хп +... (1)

Эйлер [1] рассматривает случай х = 1 и дает следующий комментарий: «Из суммирования бесконечных рядов также можно заимствовать многое, служащее как для лучшего уяснения этого учения о бесконечном, так и для лучшего устранения всяких сомнений, которые обычно возникают в этом деле. Прежде всего, если ряд состоит из равных членов, как, например, 1 +1 +1 +1 +1 +1 +... и т. д., и он продолжается без конца, т. е. до бесконечности, то нет, конечно, никакого сомнения, что сумма всех этих членов больше чем всякое могущее быть заданным число. Поэтому она необходимо должна быть бесконечной»

В этой цитате обращают на себя внимание два выделенных фрагмента. Первый говорит о том, что представления Эйлера о бесконечном настолько содержательны, что они образуют то, что может быть названо учением о бесконечном. Другими словами, бесконечность - это нечто структурированное, содержательное, достойное названия «учения». Второй фрагмент говорит о том, что при работе с объектами бесконечной природы не должно быть никаких сомнений, все должно быть недвусмысленно понимаемо.

Эйлер характеризует сумму

^ = 1 + 1 + 1 +... + 1 +... (2)

как необходимо бесконечную. Но хотелось бы понять, какое описание допускает связанная с ней бесконечность?

Различные варианты нахождения суммы ж. Между тем, сумма (2) подверглась многочисленным преобразованиям, имевшим целью найти ее числовое значение. Среди них были такие преобразования, которые приводили к неожиданным результатам. Часто получались результаты, изображаемые отрицательными числами. Но ведь Эйлер сказал, что она «необходимо бесконечна» и вовсе не равняется никакому конечному числу, тем более отрицательному. Приведём примеры таких преобразований. Пример 1. Выполним понятные преобразования:

5 = 1 +1 +1 +... +1 +... = 1 + (1 +1) + (1 +1 +1) + (1 +1 +1 +1) +... = = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... =

= 1 + (2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7) + (8 + 9 +10) +11 +... = = 1 + 9 +18 + 27 + 36 +... = 1 + 9 • (1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...) = 1 + 9 •

откуда делается вывод, что

5 = 1 +1 + 1 + ...+1 +... = -1/8. (3)

Озадачивает равенство: 5 = 1 + 9 • 5, утверждающее, что величина ^ по смыслу своему положительная, равна девяти с лишним своим значениям. Возразят - законы конечного не распространяются на бесконечные объекты, но в (3) утверждается, что ^ - конечный объект. Апостериорный парадокс.

Согласно точке зрения Эйлера, все сомнения в учении о бесконечном должны быть устранены. Равенств типа (3) быть не должно, они отвергаются многими математиками, среди которых в свое время по этому поводу явно высказался Н.-Х. Абель, сказав: «...читать такого сорта равенства, - ну разве это не смехотворно?».

Выполнив преобразования, аналогичные проделанным, легко получить равенства:

5 = 1 +1 +1 +... +1 + ...

5 = 51 = 1 + 2 + 3 + 4 +... + п +... , (4)

5 = 52 = 1 + 22 + 32 + 42 +... + п2 +... 5 = 53 = 1 + 23 + 33 + 43 +... + п3 +...

5 = 5Р = 1 + 2Р + 3Р + 4Р +... + пр +...

утверждающие, что сумма 5 равна любому из перечисленных рядов. Но ряды все различны, у них разные законы роста, разные суммы и потому 5 не может быть равна ни одному из них. Это говорит о том, что преобразование исходного ряда во все последующие недопустимо, так как, по Эйлеру, при изучении бесконечностей сомнений быть не должно. А тут их столько! Преобразование, которое привело к такому результату, - это группировка. Она при работе с расходящимися рядами недопустима, или в каждом отдельном случае требует обоснования.

Пример 2. Существует обобщение преобразования, приведенного в примере 1. Оно приводит к соотношению:

5 = (1 + 2 +... + т) + (2т +1)2 • 5, (5)

при любом т = 1,2,... .

При первых значениях т = 1,2,... получаются результаты:

5 = 1 + 9 • 5, 5 = 1 + 2 + 25 • 5, 5 = 1 + 2 + 3 + 49 • 5,

для всех преобразований семейства (5), т. е. при любом т, 5 = —1/8. Это как будто бы довод в пользу такого результата.

Но вот еще примеры преобразований.

Пример 3. В силу (4), одним из рядов, равных 5 , является ряд 5 = 1 + 2 + 3 +... + п +... Рамануджан показал, что

5 = 1 + 2 + 3 +... + п +... = —1 (6)

12

Это делается следующим образом. Помимо суммы 5 рассматриваются еще две суммы:

5 = 1 -1 + 1 -1 +1-1 +... , (7)

52 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... . (8)

Сумма 5 привлекала к себе внимание еще в XVI-XVII вв. Вначале Лейбниц приписал сумме 5 значение, равное 1/2, мотивируя это преобразованием:

5 = 1_1 +1_1 +1_1 +... = 1-(1-1 +1-1 +1-1 +...) = 1- 5,

откуда

5 = 1/2. (9)

Но можно выполнить другое, совершенно равноправное преобразование:

5 = 1_1 + 1_1 +1_1 +... = 1_1 + (1_1 +1_1 +1_1 +...) = 0 + 5,

откуда

5 - любое число. (10)

Поскольку, по Эйлеру, учение о бесконечном должно быть ясным и никаких сомнений быть не должно, то надо признать, что преобразования, приведшие к парадоксу (9)—(10), недопустимы. А это опять группировка членов бесконечного ряда.

Сам Эйлер тоже получил для 5 значение, приведенное в (9). Но он получил его по другому, исходя из ряда

9 1

1 + X + х + ...хп +... =-, (11)

1 - X

в котором он положил X = -1. Обоснование этому было сделано позже Пуассоном, который сформулировал один из первых методов обобщенного суммирования. Пуассон кладет идею Эйлера в основу метода обобщенного суммирования, на основе которого осуществляется суммирование. Но так ли все гладко «на самом деле»? В связи с этим в книге Фихтенгольца [3, т. 2, с. 397] приводится тождество, аналогичное (11), имеющее вид:

1 + Х + - + хт\ = 1 - хт + хп - хт+п + х2п... (12)

1 + х +... + хп-1 v 7

которое дает при х = 1 для суммы 51:

5 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +... = т/п , (13)

т. е. для этой суммы любое рациональное положительное число может быть взято в качестве значения (заметим, что (13) согласуется с (10)). Прием совершенно эквивалентен Эйлеровскому и обосновывается по Пуассону, но дает массу других результатов. В учении о бесконечном это недопустимо (Эйлер).

Итак, наряду с результатом (9), находятся другие результаты, эквивалентные ему по методу получения. Но большинство исследователей, включая Рамануджана, в качестве значения суммы не отдали предпочтения ни 1, ни 0, а взяли 5 = 1/2. Не исключено, что над ними довлело представление о том, что предел должен быть непременно единственным. Однако вполне возможно, что более правильным был бы подход, в основе которого лежит принцип «что получается, то и получается». На основе этого подхода надо было бы признать, что пределом у этого ряда является множество, состоящее из двух чисел: 1 и 0. Это так называемый полный предел, являющийся множеством пределов всех подпоследовательностей частичных сумм ряда. И тогда мы бы писали:

5 = 1 — 1 +1 — 1 +1 — 1 +... = {0;1} (14)

Это означает, что природа такова: два числа с равным правом претендуют на звание предела ряда. Но наша ментальная действительность иная: считается, что 5 = 1/2 .

Приняв это, переходим ко второй сумме 52, к сумме (10). Она подвергается следующему преобразованию:

252 = 52 + 52 = (1 — 2 + 3 — 4 + 5 —...) + 52 = [ место 1]

= (1 — 2 + 3-4 + 5 —...) + (1 — 2 + 3 — 4 + 5 —...) = [место 2] =1—2+3—4+5—6+7—...

+1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 +... = [место 3] = 1 — 1 +1 — 1 +1 — 1 +... = 5 = 1/2.

Комментарий к [месту 1]: левая 52 расписывается, причем ее слагаемые в своем расположении уходят в бесконечность, при этом правая 5 этой бесконечностью оказывается выброшенной за пределы нашего мира.

Комментарий к [месту 2]: правая 52, находящаяся за пределами нашего мира, также расписывается.

Комментарий к [месту 3]: сумма 52 в расписанном виде возвращается в наш мир и ее слагаемые группируются специальным образом со слагаемыми первой суммы.

Специальная группировка обеспечивает сложение, приводящее к сумме 5 . В итоге получается, что

52 = 1/4. (15)

Замечание 1. То же значение для 52 получается при другой группировке.

252 = 52 + 52 = = 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + 7 —...

+1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 +... =—1 + (4 — 6 + 8 —10 +12 —...) = = —1 + 2(2 — 3 + 4 — 5 + 6 —...) = —1 — 2[—1 + (1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 +...)] = 1 — 252

В отличие от предыдущего случая, здесь обошлось без обращения к сомнительной сумме 5 .

Замечание 2. При другой аналогичной группировке получается, что 5 может быть

любым. Действительно,

252 = 52 + 52 = = 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + 7 —...

+1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 +... = = —2 + (6 — 8 +10 —12 +...) =

= —2 + 2(3 — 4 + 5 — 6 +...) = —2 + 2[1 + (1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 +...)] = —2 + 2 + 2 5. Отсюда следует верное равенство, 0 = 0, справедливое при любом 52, т. е. 52 может быть любым. Ситуация аналогична ситуации для 5 (10).

Замечание 3. Сумма 5 находится также по методу Пуассона и дает (15). Теперь, наконец, находим 5 :

5 — 52 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...

— 1 + 2 — 3 + 4 — 5 + 6 —... = 4 + 8 +12 +16 +... = = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...) = 45.

Откуда,

5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = —1/12. (16)

Итак, для 5 , помимо (16), доказанным оказалось равенство (3):

5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... = —1/8

Кроме того, можно получить:

5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... = 3/16 (17)

Поскольку, кроме того, 5 и 52 могут быть любыми, а эти суммы принимают участие при

нахождении 5, то и 5 может быть любой. Отсюда следует, что все предлагаемые здесь значения для 5 ложны, 5 не равняется ни одному из них. Известно, что равенство (16) используется в книге Joseph Pulchinski по теории струн [4, c. 22]; поскольку истинность его сомнительна, то это заставляет повнимательнее рассмотреть те разделы теории струн, где оно используется.

Иной вариант суммирования. Переходим к описанию другого подхода, согласно которому написанная выше сумма (2) должна изучаться на основе соотношений, в которых явно отражена первоначально данная динамика роста последовательности частичных сумм.

Поясним, что такое динамика роста последовательности частичных сумм. Для этого снова обратимся к сумме (2).

Первоначальное понимание этой суммы таково: с ней связан вполне определенный процесс последовательного суммирования, состоящий в том, что после нахождения на каком-то этапе частичной суммы следующим шагом является прибавление к ней еще одной единицы и т. д. В символах это описывается предельным переходом:

^ =1 + 1 + 1 + ... + !,

n+1

п раз

= 5 +1,

5 = lim 5„

(18i) (1822

(183)

(18)

Никакого другого истолкования запись 1+1+1+... не имеет.

В соотношениях (18) выделяется по своей роли равенство (18). Его можно назвать равенством, определяющим динамику роста частичных сумм. Динамика роста суммы является важнейшим показателем, характеризующим сумму. Она является аналогом скорости роста, аналогом производной. А сама сумма является аналогом интеграла. Точно так же, как значение интеграла зависит от интегрируемой функции, точно так же сумма бесконечного ряда зависит от показателя, характеризующего динамику роста суммы. Поэтому два ряда, имеющие различные характеристики динамики роста, должны считаться различными.

Процесс суммирования ряда 5=1 + 2 + 3 + 4 + ... аналогичными соотношениям (18):

"5 =1 + 2 + 3 + 4 + ... + /7,

описывается соотношениями,

£й+1 = + s = lim s,„ .

(19,)

(192)

(193)

(19)

Соотношение (192) характеризует динамику роста суммы 5, причем совсем другую динамику, чем соотношение (182). Поэтому ряды .V и различны и нельзя выводы, сделанные относительно одного из них, автоматически переносить на другой.

Изучать поведение рядов надо на основе соотношений типа (18) и (192), характеризующих динамику роста ряда, не сводя данный ряд к рядам с другой динамикой роста. Использовать привычные законы конечной алгебры для преобразования расходящихся рядов без соответствующего обоснования нельзя.

Поэтому выполненный выше переход от ряда 5 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... к ряду 5=1 + 2 + 3 + 4 + ... + /? + ... является недопустимым, он меняет динамику роста, значит

<

<

является переходом к другому ряду, не эквивалентному исходному (несмотря на то, что с точки зрения законов конечной алгебры возможен двусторонний переход 5 5, гарантирующий в конечной алгебре эквивалентность). Тем более недопустимыми являются дальнейшие преобразования, так как они также являются преобразованиями, приводящими к рядам с другой динамикой роста.

Поскольку далее речь пойдет о положительных целых числах, то для их представления будет использоваться разрядная сетка С г" =...7770 - ее вполне достаточно. В

ег°(ю0)

обозначении этой сетки под фигурной скобкой стоит имя сетки (От0), а также ее основной весовой коэффициент (10°). Вес места сетки с номером I находится по формуле 10°+!". На места сетки, изображенные черточками, ставятся цифры той системы счисления, в которой ведется изложение. В результате простановки на все места цифр системы счисления получается объект, называемый числоидом, который служит для представления чисел. Любое г-разрядное натуральное число п на этой сетке записывается в виде: п = ..ШОпг1..п2п1п0=Опг1...п2п1п0, где я-е£(10) ={0,1,2,...,9}, - цифры десятичной системы

счисления (в общем случае Л-ичной, где к> 2, натуральное), 0 = ...ООО .

При изучении ряда (2) будем пользоваться соотношениями (18). Из (18) мы узнаем, что частичная сумма 5и есть просто натуральное число п, а сумма ряда, в силу (18), есть предел последовательности натуральных чисел, который и надо найти:

^ = Нш яп = Нш п . (20)

п ^от п ^от

В (20), присутствующая под знаком предела запись п ^ от, должна читаться так: «при неограниченном возрастании п», а не «при п, стремящемся к бесконечности», чтобы не примешивать преждевременно бесконечность - объект, еще подлежащий осмыслению, имеющий сложную структуру, и как к нему «стремиться» еще нужно объяснить.

Судя по записи (20), надо найти «последнее натуральное число». Это делается в два этапа. Вначале находится последнее натуральное число среди натуральных чисел ограниченной разрядности. Рассмотрим числа разрядности г. Это числа приведенного выше вида:

п = ...ОООпг_1...п2п1п0 =Опг_1...п2п1п0. (21)

По мере роста они стремятся к своему последнему числу, которое имеет вид:

...0009...99 = 09...99 (22)

т раз т раз

На втором этапе надо заставить неограниченно возрастать г:

\irnn = Нт09...99 = ...999 = 9. (23)

т раз

0

Числоид, который получается простановкой на все места разрядной сетки От цифры 9, является тем объектом, к которому стремятся натуральные числа при неограниченном их росте. Этот числоид сам по себе натуральным числом не является, ибо нет никакого натурального числа, с которым он мог бы быть отождествлен. Но он является идеальным элементом по отношению ко всем натуральным числам.

Итак, на сетке Ог° есть объект, который представляет сумму ряда (2):

5 = 1 + 1 + 1 + ... = 9 (24)

Запись (24) справедлива в десятичной системе счисления. В произвольной Л-ичной системе счисления, (к > 2), запись имеет вид:

5 = 1 + 1 + 1 + ... = ^^1. (25)

На гиперсетке, модель которой такова:

(26)

Gr2( 102™) Gr1 (101ад) Gr0 (10°)

где сетка Gr1 (101w) представляет мир бесконечно больших величин первого порядка, сетка Gr 2(102 'w) - мир бесконечно больших величин второго порядка и т. д., полученный объект записывается в виде:

Gr =... || б || 0 || 9 |=... || О || О || 91 (27)

Gr2(102'" ) Gr1(101'" ) Gr0 (100 )

(по историческим причинам в разрядных сетках разряды растут справа налево; так же растут веса всех сеток). Полная запись числоида, представляющего сумму на гиперсетке (27), такова:

i = l + l + l + .... = ...||Ö||Ö||9|. (28)

Но записи (24)-(28) носят представительский характер, они лишь представляют объект, которому равна сумма s, «количественной» характеристики они не дают, наподобие того, как 784 - это представительская характеристика вполне определенного количества, правда, легко понимаемая нами. Но она же, записанная в четверичной системе счисления -30122, с точки зрения количественной воспринимается нами не так легко. Чтобы вскрыть количественное содержание представительских записей, надо провести дополнительное вычисление, проявив количественный смысл каждой содержащейся в записи цифры. Так,

784 = 7-102 + 8-101 + 4-10° и 30122 = 3-44 + 0-43 +1-42 + 2-41 + 2-4°. По аналогии находится количественный смысл записи

9 = lim 0 9.. .99 = lim(l 0Г -1) = 101'00 -1

r^w r ^w

r раз

или кратко,

lim n = 101 - w-1, (29)

а также

1 +1 +1 +... = 101-w-1 (30)

Равенство (30) дает количественную характеристику результата суммирования, а равенство (29) - количественную характеристику результата предельного перехода. Для понимания правой части в (29) и (30) удобно ее переписать:

101-w-1 = (-1)-100 + 1-101- w (31)

и трактовать так:

Первое слагаемое в (31) - это обыкновенное число (-1), расположенное на нашей числовой оси Ax0(100) , на которой числа идут с весовым коэффициентом 100 (рис. 1).

Второе слагаемое - это бесконечно большая величина первого порядка. О порядке бесконечно большой величины мы узнаем по множителю 1, стоящем перед символом бесконечности в показателе. Существует числовая ось, полностью аналогичная нашей оси, известной еще со школы, но числа на этой оси идут с общим весовым коэффициентом 101 - w и понимаются как бесконечно большие величины первого порядка. На этой числовой оси выбрано число 1 в качестве результата в (31).

Эти представления укладываются в рамки модели числовой гипероси, представленной далее, см. также [5]. Числовая гиперось является расширением известного понятия числовой оси и дает начальное представление о структуре бесконечности. Числовую ось, имеющую весовой коэффициент 10p-w, обозначаем символами: Axp (10p-w) или Axp .

Рис. 1. Числовая гиперось

Числовые оси, входящие в гиперось, упорядочены по признаку порядка р. Поэтому гиперось Ах можно записать как упорядоченное объединение числовых осей:

Ах= и Ахр (32)

—СО<р<+СО

Наглядное представление о гипероси можно получить из рис. 1.

Отрицательным значениям р соответствуют бесконечно малые величины порядка р, положительным - бесконечно большие. Множество значений параметра р может быть как дискретным, так и континуальным.

Правая часть в (31) - это гиперчисло. Наподобно тому, как числа изображаются точками на числовой оси, гиперчисла также изображаются точками на гипероси, правда, для изображения гиперчисла требуется не одна точка, а набор точек, по точке на каждую ось. Гиперчисло (31) изображается так:

Рис. 2. Представление гиперчисла (31) на числовой гипероси

Гиперчисло (31) можно записать с явным выделением числовых осей:

101от_ 1 = (_1) .10° + 1-101 от = (-1)1 +11 +01 +... ,

-\1 • от

Ах0

1Ах1

'Ах2

(33)

или более компактно:

101от-1 = [—11110| ...> ,

(34)

где справа от равенства после открывающей квадратной скобки на оси стоит число (-1), на оси ^х1 - число 1, на оси ^х2 - число 0 и т. д. Вертикальные черточки служат для отделения числовых осей друг от друга. Угловая скобка показывает направление роста порядков числовых осей. Нам для записи гиперчисла понадобились числовые оси, начиная с оси ^х°, поэтому интересующую нас сумму можно записать в виде:

5 = 1 +1 +1 +... = [—1|1|0|___>, (35)

не выделяя начальную ось ^х°. В иных случаях такое выделение можно явно оформить. Выражения (33)-(35) раскрывают структуру той бесконечности, которой равна сумма 5.

Замечание 4. Не следует путать числовую гиперось (рис. 1) с обобщенной разрядной сеткой, с гиперсеткой (26).

Замечание 5. По историческим причинам числа на числовых осях растут слева направо.

На гиперсетках, наоборот, веса разрядов растут справа налево. Итоговые равенства (24), (28), (35) соберем вместе:

1 + 1 + 1 + ... = 9 насеткеСг"

1 + 1 + 1 + ... =... || 01| 01| 91 на гиперсетке Ог (26)

1 +1 +1 +... = [—111| 0| ...> на гипероси, рис.2

Справа от равенств стоят представления той бесконечности, которой равен ряд. Представление (24) дано на сетке От0; представление (28) - на гиперсетке От (по другому,

на обобщенной разрядной сетке); представление (35) - на числовой гипероси. Тем самым получен ответ на вопрос о структуре бесконечности, поставленный в конце Введения.

Дополнение. Формула lim n = 101 ' 1 (29) позволяет решить вопрос о пределах

многих бесконечных сумм.

Пример 4. Найти предел суммы

^ = 1 + 2 + 3 +... + п +... (36)

Решение. Имеем:

s = 1 + 2 + 3 +... + n +... = lim(1 + 2 + 3 +... + n) =

= lim(— • n +---n2) = — • lim n +---(lim n)2 =

n^w 2 2 2 n^w 2 n^w

=1 • (101 w -1) +1 • (101 w -1)2 = -1 • 101 w +1 • 102 w = [0| -111101 ...> ^2 ^2 ^2 ^2 2 2

Итак,

^ = 1 + 2 + 3 +... + n +... = [0| -1|1|0|...> , (37)

т. е. сумма (36) является бесконечно большой величиной второго порядка, наподобие того, как ее конечный аналог является многочленом второго порядка. Аналогично (37) находим:

5 = 12 + 22 + 32 +... + n2 +... = [0|11 -1|1|0|...>,

'б 2 3

5 = 13 + 23 + 33 +... + n3 +... = [0|0|11 -1|1|0|...> .

'V 2 4

Понятно, как действовать в других случаях. По проблеме, рассмотренной в данной статье, см. также [6-8].

Считаем приятным долгом выразить благодарность доктору технических наук, профессору А. И. Перегуде за интерес к работе.

Литература

1. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М. ; Л. : ГИТТЛ, 1949. 580 с.

2. Santonja J. M. Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых / пер. с исп. М. : Де Агостини, 2015. 168 с.

3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления ; в 3 т. СПб. : Лань, 2016.

4. Pulchinski J. String theory. Vol 1. Cambridge university press, 2005. 402 p.

5. Деев Г. Е. Вычисления с бесконечностями // Вестн. кибернетики. 2017. № 1. С. 49-57.

6. Харди Г. Расходящиеся ряды. М. : Изд-во иностр. лит., 1951. 504 с.

7. Рамис Ж.-П. Расходящиеся ряды и асимптотические теории. М. ; Ижевск : Ин-т компьют. исслед., 2002. 80 с.

8. Выгодский М. Я. Вступителное слово к «Дифференциальному исчислению» Л. Эйлера // Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М. ; Л. : ГИТТЛ, 1949. С. 5-34.