Рождение электрон-позитронных пар в поле двух встречных сильных лазерных пучков и нелокальность фотон-фотонного взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том 152, кн. 3

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2010

УДК 530.145:535.14

РОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННЫХ ПАР В ПОЛЕ ДВУХ ВСТРЕЧНЫХ СИЛЬНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ И НЕЛОКАЛЬНОСТЬ ФОТОН-ФОТОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Р.Х. Гайпутдипов, A.A. Мутыгуллипа, М.А. Хамадеев

Аннотация

Исследована проблема рождения из вакуума электроп-позитроппых пар в поле двух встречных сильных лазерных пучков. Показано, что обобщенное динамическое уравнение позволяет при описании такого процесса учесть естественную пелокальпость фотоп-фотошгого взаимодействия.

Ключевые слова: фотоп-фотоппое взаимодействие, сильные лазерные поля.

Введение

Исследование физических процессов, проявляющихся в сильных лазерных полях. является весьма актуальной задачей. Это связано с бурным прогрессом в области создания мощных лазеров [1]. На сегодняшний день достигнуты мощности лазеров порядка 1022 Вт/см2 и ожидается, что эта цифра будет увеличена [1, 2]. Особый интерес представляет собой достижение величины поля, равной Есг = = т2/е = 1.3 • 1016 В/см, где е и т - заряд и масса электрона (здесь и далее используется естественная система единиц К = с = 1), что соответствует интенсивности 4.6 • 1029 Вт/см2 [3]. Это значение носит название швингеровского предела. При таких значениях напряженности электрического поля виртуальная электрон-позптронная пара приобретает энергию порядка своей массы покоя на расстоянии комптоновской длины волны электрона [1]. Этот процесс можно представить с помощью диаграммы Фейнмана. изображенной на рис. 1. Характерное

1

время рождения виртуальной пары шъ ~ --. и в швиигеровском пределе эиер-

2 те

гии поля достаточно, чтобы пара за это время накопила необходимую для рождения энергию. Однако и в более слабых полях может появиться возможность рождения реальных пар. Рассмотрим схему, при которой рождение происходит в области фокусировки двух сильных встречных лазерных пучков в вакууме [3, 4]. Если длину волны излучения взять за 100 нм, то время пролета фотона этой области окажется порядка 10-15 с, что та 6 порядков больше ДЬЬ. Этого времени может оказаться достаточно для рождения реальных электрон-позитронных пар.

Расчеты, сделанные авторами статьи [3], показывают, что эффективное рождение

1026 2

Результаты, полученные в [3], основываются, вслед за ранними работами [5 7], на учете взаимодействия электрон-позитронных пар с классическим полем. Однако до сих пор остается открытым вопрос, можно ли считать поле, взаимодействующее с частицами в течение времени ДЬЬ, классическим. В работе [4] была сделана попытка анализа физических процессов в столкновении двух мощных лазерных пучков методами стандартной квантовой электродинамики (КЭД). Обычно процессы,

Рис. 1. Фейпмаповская диаграмма рождения фотона и электроп-познтрошюй пары в присутствии сильного электрического поля. Жирные фермиоппые лилии обозначат тот факт, что электрон и позитрон «одеты» этим полем

связанные с вакуумной нелинейностью в сильных полях, описывают с использованием эффективного лагранжиана Эйлера Гейзенберга (Е-Н). Однако этот лагранжиан применим только при низких энергиях фотона ш ^ т [8]. Кроме того, Е-Н-лагранжиан но позволяет учесть естественную нелокальность эффективного фотон-фотонного взаимодействия. Для решения этой проблемы было предложено вводить в плотность функции Лагранжа добавки, содержащей нелокальный форм-фактор [4]. Однако известно, что подобная процедура является непоследовательной и приводит к потере лоренцевской инвариантности или унитарности теории. Причина этого в том. что уравнение Шредингера. которое описывает динамику физических систем в обычной квантовой механике, является локальным во времени. Чтобы учет нелокалыгости был последовательным и не приводил к противоречиям, необходимо, чтобы основное уравнение динамики позволяло нелокальные во времени взаимодействия. Поэтому за основу в настоящей работе был взят формализм обобщенной квантовой динамики (ОКД) [9]. Предсказательная сила этого формализма была продемонстрирована на примере эффективной теории поля ядерных сил [10. 11]. Целыо настоящей работы является обсуждения проблемы рождения электрон-позитронных пар в сильных лазерных полях и поиск пути решения в рамках строгого подхода, основанного на современных концепциях квантовой теории.

1. Рождение электрон-позитронных пар в сильных полях

В 1936 г. Гейзонборг и Эйлер получили лагранжиан, содержащий поправку,

обусловленную фотон-фотонным взаимодействием через рождение виртуальной

электрон-позитронной пары

Ь(Е-Н)

2а2 45т4

(Н2 -Е2)2 +7(Н -Е)2 , (1)

где Е и Н это операторы электрического и магнитного полей. Известно, что лагранжиан обладает экспоненциально убывающей с уменьшенном интен-

сивности поля мнимой частью, которая соответствует рождению пары [12]. Швин-гером была рассчитана вероятность такого рождения в присутствии статического электрического поля = р;Есг [7]:

ТУ = 2 • 1т (ЬЕ-н(Рь)) = ехР (— —) (2)

(2п)3 ^ п2 рь

4 ' П=1

Задача о рождении пар в поле, создаваемом двумя встречными сфокусированными лазерными пучками, рассматривалась в [3]. В качество основания для использования выражения (2) нами использовался тот факт, что характерная длина процесса

определяется комптоновской длиной Ас ~ —. которая много меньше, чем длина

те

волны лазерного излучения. Это позволяет вычислять число рожденных пар в единице объема за единицу времени с помощью формулы (2) для постоянного поля

X

Рис. 2. Фейпмаповская диаграмма, описывающая фотоп-фотоппое взаимодействие

в произвольной точке, а затем проинтегрировать получившееся выражение по объему н длительности импульса.

Лагранжиан Эйлера Гейзенберга является эффективным лагранжианом в эффективной квантовой теории поля (ЭКТП), описывающей взаимодействие света со светом. Эти теории, играющие важную роль в современной физике, представляют собой иизкоэиергетические приближения более фундаментальных теорий. В таких теориях явно учитываются только низкоэнергетические степени свободы. В эффективной теории Эйлера Гейзенберга учитываются только фотоны, а электроны и позитроны, которые появляются в диаграммах КЭД (см рис. 2), описывающих фотон-фотонное взаимодействие, проявляют себя только в константах в эффективном лагранжиане. В общем случае такой лагранжиан включает в себя бесконечное число всех возможных локальных лагранжианов взаимодействия, совместных с симметриями теории. Порядок вкладов от каждого из этих лагранжианов определяется из соображений размерностей. Это позволяет строить теорию с помощью разложения решений по параметру Лея-, равному отношению характерных масштабов эффективной иизкоэиергетической теории и высокоэиергетической фундаментальной теории. В теории Е-Н, для которой параметр ЛеАт задается отношением характерной энергией фотонов к массе электрона, лагранжиан в лидирующем порядке представляет собой свободный лагранжиан. Первые члены лагранжиана, описывающие взаимодействие, появляются из операторов более высокой размерности. В лидирующем порядке по ЛеАг мы имеем:

поскольку это единственно разрешенные из соображений калибровочной инвариантности и лоренц-ннварнантностн члены четвертой степени по Е и Н, не содержащие действующих на эти поля дифференцирований (слагаемые с производными были бы подавлены в пределе низких энергий фотонов Е дополнительным множителем Е/ше). Константы е\ и С2 находятся путем сравнения вкладов от оператора (3) и диаграммы на рис. 2. Таким образом, мы приходим к эффективному Е-Н-лагранжиану (1).

Одна из наиболее серьезных проблем, с которыми сталкиваются эффективные квантовые теории поля, заключается в том, что эти теории являются иепереиор-мируемыми. Степень расходимости диаграмм в ЭКТП может быть сколь угодно большой, что приводит к необходимости введения все новых контрчленов перенормировки с константами, определяемыми из условия согласия с экспериментом при вычислении высших порядков в эффективном разложении. По сути это является платой за то, что эффективное взаимодействие в этих теориях описывается локальными гамильтонианами (лагранжианами) взаимодействия, несмотря на то что эти взаимодействия по своей природе являются нелокальными. Введение в лагранжиан нелокального форм-фактора, как это было сделано, например, в [4] с помощью добавки

(3)

как известно, приводит к потере лоронцовской инвариантности или унитарности теории. Это означает, что для описания процесса рождения электрон-иозитронных пар в сверхинтенсивном лазерном поле необходимо построить эффективную теорию. позволяющую непротиворечивым образом описывать нолокалыгость фотон-фотонного взаимодействия. С данной задачей можно справиться с помощью формализма ОКД. В отличие от вышеприведенных примеров, в ОКД используется язык функций Грина и Т-опораторов. Путем их модификации можно добиться учета взаимодействия с вакуумом в удобной и наглядной форме. Если принять во внимание, что обобщенное динамическое уравнение естественным образом позволяет учитывать нелокальные взаимодействия, есть все основания ожидать, что формализм ОКД может быть успешно применен к данной проблеме аналогично тому, как было сделано в эффективной теории поля ядерных сил [10, 11].

2. Пропагатор фотона, взаимодействующего с сильным лазерным полем

В рамках формализма ОКД становится возможным естественным образом учесть нолокалыгость взаимодействия фотона с интенсивным лазерным полем, заменив свободный пропагатор фотона

п г Еп

пропагатором

описывающим эволюцию взаимодействующего фотона. В таком случае оператор Т(г) заменяете оператором М(г), который описывает процессы, когда существует взаимодействие по крайней мере между двумя частицами в системе. Операторы Т(г) и М(г) связаны следующим образом [9]:

Сс(г) + О0(г)Т (г)О0(г) = ¿?о(г) + б0(г)М (г)5о(г). (7)

Функция С (г), описывающая взаимодействие с вакуумом, отвечает за собственную энергию частицы и определяется из уравнения [9]

= -М(*)С§(*)М(*) (8)

с граничным условием

Ск(г) ^ (п\ Бй(г)| п) , (9)

—

где (п\ Бй(2)\ п) - это амплитуды, определяемые более фундаментальной теорией для данной задачи. Они выбираются таким образом, чтобы воспроизвести физику системы при высоких энергиях или при коротких временах, что то же самое. Очевидно, что для рассматриваемой задачи основной вклад будет давать диаграмма, описывающая взаимодействие радиационного поля с внешним электромагнитным полем в однопотловом приближении. Соответствующая амплитуда может быть получена с помощью эффективного оператора такого взаимодействия, приведенного в'[13]:

ЫВ(;)|72> = -^(к1-к2) х

СЮ

х I ¿те1^(е7)м (в-4к0тП^(т, к1) + е*к0тП^(т, -к2)) (еу )„, (10) о

Рис. 3. Уравнение (8), графически представленное на языке упорядоченных во времени диаграмм. Первые два члена соответствуют вкладу от собственной энергии фотона, не взаимодействующего с лазерными модами

П^(т,к) = / — (11)

) 2п

Подробный вид оператора (к; рь), описывающего поляризацию вакуума в присутствии внешнего поля, приведен в [4]. В уравнении (8) в качестве операторов М(г) можно выбрать амплитуды, соответствующие процессу, при котором и электрон и позитрон поглощают по одному лазерному фотону. При этом сохраняется импульс основного фотона, что должно выполняться в силу симметрии задачи. Процессы, при которых пара поглощает всего один фотон, запрещены теоремой Фарри. Детализированный вид уравнения (8) представлен на рис. 3.

Определив с помощью уравнения (8) с граничным условием (9) функцию С (г), мы сможем записать пропагатор фотона, «одетого» внешним лазерным полем:

сю

[/(£,0) = -^ J в0{г)ешс1г =

—с

сс —с

где г0 определяется из уравнения на полюс функции Грина

г0 - Вк - Ск (г0) = 0.

(13)

Тогда вероятность рождения пар из вакуума будет определяться мнимой частью . Легко показать, что в лидирующем порядке, когда

Ск (г) = ЬЕ-Н, (14)

можно получить стандартное выражение (2). Действительно, в этом случае

г0 = Ек + ЬЕ-Н. (15)

Тогда

и (г, 0) = У \к) г(Е*+ьВ-Н > (к\ ¿3к = е'ьЕ-Н * ! \к) еЕ* (к\ ¿3к =

= е1(Н+В,е ьв-Н)*е-1ш ьв-Нг^ ^

Р ~ е-21шьЕ-Н(17)

где Ш = 21т ЬЕ-Н - вероятность рождения пары в единицу времени, что приводит к выражению (2).

Заключение

Мы обсудили различные подходы к проблеме рождения элоктрон-позитронных пар из вакуума в присутствии сильного внешнего поля. Особый интерес представляет схема, при которой рассматривается взаимодействие двух сильных встречных лазерных пучков. Для расчета вероятности традиционно используется формула (2) [3], однако она была выведена еще в пионерских работах по вакуумной нелинейности (см., например, [7]) и основана на определенных приближениях. Попытка строгого анализа была сделана в работе [4], однако, как было отмечено выше, в ней вводится лагранжиан, не имеющий физического смысла. Нами было показано, что ОКД открывает новые возможности для решения подобных проблем. Мы доказали также, как это можно сделать, исходя из нелокального оператора взаимодействия, полученного ранее в рамках формализма ОКД [13].

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ-5289.2010.2 и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 2013 годы (ГК Л* 02.740.11.0428).

Summary

R.Kh. Gainuttlinov, A.A. Mutygullina, М.А. Khamadeev. Generation of Electron-Positron Pairs in the Field of Two Strong Couut.erpropagat.iug Laser Beams and the Nonlocalit.y of Photon-Photon Interaction.

The article investigates the process of electron-positron pair generation in the field of two strong counterpropagating laser beams in vacuum. It is shown that a generalized dynamic equation makes it possible to take into account the natural nonlocality of photon-photon interaction while describing this process.

Key words: phot.ou-phot.ou interaction, strong laser fields.

Литература

1. Mourou G.A., Tajima Т., Bulanov S.V. Optics in the relat.ivist.ic regime // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78, No 2. P. 309 371.

2. Yanovsky V., Chvykuv, V., Kalinchenko, G. et al. Ult.ra-liigli intensity-300-TW laser at 0.1 Hz repetition rate // Opt. Soc. Am. 2008. V. 16, No 3. P. 2109 2114.

3. Нарожмый Н.Б., Буланов G.G., Мур В.Д., Попов B.C. О рождении e+e--nap сталкивающимися электромагнитными импульсами // Письма в ЖЭТФ. 2004. Т. 80,

6. С. 434 438.

4. Di Piazza A., Hatsagurtsyan K.Z., Keitel С.Н. Harmonie generation from laser driven vacuum // Pliys. Rev. D. 2005. V. 72, No 8. P. 085005-1 085005-23.

5. Sauter F. Uber das Verhalten eines Elektrons im homogenen elektrischen Feld nach der relativistischen Theorie Diracs // Z. Pliys. 1931. V. 69. P. 742 764.

6. Heisenberg W., Euler H. Folgerungen aus der Diracsclien Theorie des Positrons // Z. Pliys. 1936. V. 98. P. 714 732.

7. Schwinger J. On Gauge Invariance and Vacuum Polarization // Pliys. Rev. 1950. V. 82, No 5. P. 664 679.

8. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. М: Изд-во иностр. лит., 1963. 559 с.

9. Gainutdinuv R.Kh. Nonlocal interactions and quantum dynamics // J. Pliys. A: Mat.li. Gen. 1999. V. 32. P. 5657 5677.

10. Gainutdinuv R.Kh., Mutygullina A.A. Nonlocalit.y of the NN interaction in an effective field theory // Pliys. Rev. C. 2002. V. 66, No 1. P. 014006-1 014006-13.

11. Gainutdinuv R.Kh., Mutygullina A.A. Nuclear forces from cliiral dynamics // Fizika B. 2004. V. 13, No 2. P. 373 382.

12. Axueaep А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М: Наука, 1981. 390 с.

13. Гайиутдгчюв Р.Х., Мутыгуллхта A.A., Хамадеев М.А. Эффективный оператор взаимодействия фотона с интенсивным лазерным полем // Изв. РАН. Сер. физ. 2008. Т. 72, Л» 12. С. 1757 1761.

Поступила в редакцию 24.12.09

Гайнутдинов Ренат Хамитович доктор физико-математических паук, профессор кафедры оптики и папофотопики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Renat.GainutdinovOksu.ru

Мутыгуллина Айгуль Ахмадулловна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры общей физики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Aigul.Mutygullina Qksu.ru

Хамадеев Марат Актасович аспирант кафедры оптики и папофотопики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Marat.Khamadeeveksu.ru